丰台区2018届高三二模数学(理)试题及答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知{|1}A x x =>，2{|230}B x x x =--<，则AB =(A) {|1x x <-或1}x ≥ (B) {|13}x x << (C) {|3}x x >(D) {|1}x x >-（2）设a ，b 为非零向量，则“a 与b 方向相同”是“∥a b ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）已知双曲线2221(0)9x y b b-=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则b 的值为(A)3(B)(C)(D) （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 25 (B) 20 (C) 13 (D) 6（5）在2()nx x-的展开式中，若二项式系数的和为32，则x 的系数为(A) 40- (B) 10- (C) 10(D) 40（6）设下列函数的定义域为(0,)+∞，则值域为(0,)+∞的函数是(A) =e xy x - (B) =e ln xy x +(C) y x =(D) ln(1)y x =+（7）已知,x y 满足约束条件0,2,20,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨+≥⎪⎩若目标函数y mx z +=的最大值是6，则=m(A) 5- (B) 2- (C) 2(D) 5（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知复数(1i)2z +=，则z = ．（10）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5=S ． （11）在极坐标系中，如果直线cos a ρθ=与圆2sin ρθ=相切，那么a = ．（12）甲乙两地相距500km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h ．已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元，则全程运输成本与速度的函数关系是y = ，当汽车的行驶速度为 km/h （13）若函数sin()y x ωϕ=+(0ω>，π2ϕ<)则=ω____，ϕ=____．（14）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ；② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为3； ③ 存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90︒． 其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且14AB =，6BD =，π3ADC ∠=，cos C ∠=． （Ⅰ）求sin DAC ∠；（Ⅱ）求AD 的长和△ABC 的面积．（16）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年CDABA以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．年龄（岁）70605040302010注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；（III ）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．（17）（本小题共14分）如图所示，在三棱柱111ABC AB C -中，D 是AC 中点，1A D ⊥平面ABC ，平面1BB D 与棱11AC 交于点E ，1=AA AC ，=AB BC ． （Ⅰ）求证：1B B DE ∥； （Ⅱ）求证：1AA BD ⊥；（Ⅲ）若1B C 与平面11A ABB 所成角的正弦值为7， 求ACBD的值．（18）（本小题共13分）EDA 1C 1B 1CAB已知函数()cos f x x x ax a =-+，π[0,]2x ∈，(0)a ≠． （Ⅰ）当1a ≥时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有一个零点．（19）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，设点(,0)P m ，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若120k k +=，求m 的值．（20）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n n a k t Sa k t n ak t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩ 其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-．（Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值； （Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）．丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）1i - （10）121（11）1± （12）18000018y v v =+(0120)v <≤；100 （13）4；π3- （14）①②注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题： （15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ACD 中，因为 π()DAC ADC C ∠=-∠+∠，π3ADC ∠=， 所以 πsin sin()3DAC C ∠=+∠1sin 22C C =∠+∠． …………………2分因为 cos C ∠=， 0πC <∠<，所以 sin 7C ∠==…………………4分所以 1sin 2DAC ∠=． …………………5分 （Ⅱ）在△ABD 中，由余弦定理可得2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠， …………………7分所以 222214626cos3AD AD π=+-⨯⨯⨯， 所以 261600AD AD +-=， 即 (16)(10)0AD AD +-=．所以 10AD =或16AD =-（舍）．所以 10AD =． …………………8分在△ACD 中，由正弦定理得sin sin CD ADDAC C=∠∠，即= …………………10分 所以 15CD =． …………………11分 所以 11sin sin 22ABC S AD BD ADB AD DC ADC ∆=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯∠=即ABC S ∆=． …………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）m n <． …………………3分 （Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………6分 所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………10分 所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望01225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………12分 即103=ξE ． …………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在三棱柱 111ABC A B C -中，EA 1C 1B 1侧面 11A ABB 为平行四边形， 所以 11B B A A ∥．又因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ，所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………2分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，所以 1B B DE ∥． …………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点， 所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………………5分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -1)A ，(,0,0)B a ．所以 1(0,)AA b =，(,0,0)DB a =．…………………7分所以 10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯⨯=，所以 1AA BD ⊥． …………………9分（Ⅲ）解：因为 (0,)E b ， 所以 1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以 1()CB a =． …………………10分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z ，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令 =z a ，则y =，x =，所以 (3,,)n b a =． …………………12分 因为 111|||cos ,|||||3n CB n CB n CB b ⋅<>==A1所以7422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2AC BD 或4=3AC BD ． …………………14分（18）（本小题共13分）（Ⅰ）解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--． …………………2分令 ()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈， 则 ()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤， …………………4分 所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间． …………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()g x 在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1g a =-，ππ()22g a =--． 当 1a ≥时，()f x 在π[0,]2上单调递减． 因为 (0)0f a =>，ππ()(1)022f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………7分当 π02a --≥，即π2a ≤-时，()0g x ≥，即 ()0f x '≥，()f x 在π[0,]2上单调递增．因为 (0)0f a =<，ππ()(1)022f a =->，所以()f x 有且仅有一个零点． …………………9分当 π12a -<<时，(0)10g a =->，ππ()022g a =--<， 所以存在0π(0,)2x ∈，使得0()0g x =． …………………10分x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以 ()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)2x 上单调递减． …………………11分 因为 (0)f a =，ππ()(1)22f a =-，且0a ≠， 所以 2ππ(0)()(1)022f f a =-<，所以()f x 有且仅有一个零点．…………………12分 综上所述，()f x 有且仅有一个零点． …………………13分（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意得 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =． …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）椭圆的右焦点 (1,0)F ． …………………5分设直线 l ：(1)(0)y k x k =-≠，设 11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………8分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k -=+． …………………9分因为 1212120y y k k m x m x --+=+=--， …………………10分所以122112()()0()()y m x y m x m x m x ----=--，即 1221()()0y m x y m x -+-=，…………11分所以 2112()(1)()(1)0k m x x k m x x --+--=恒成立． …………………12分 因为 0k ≠，所以 1212(1)()220m x x x x m ++--=，即 222284(3)(1)2203434k k m m k k-+⋅-⋅-=++， …………………13分 化简为 2228(1)8(3)2(34)0k m k m k +---+=，所以 4m =． …………………14分（20）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=． …………………1分因为 23a a >，所以 1234341a a a a ++==-． …………………2分因为 34a a >，所以 54+14a a ==． …………………4分 所以 34a =，43a =，54a =．（Ⅱ）当 0m =时，30a =，40a =， …………………5分当 0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，所以 12342133a a a m a ++-==．因为 34a a =，所以 2113m m --=，所以 2m =． …………………7分当 0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>，所以 12342133a a a m a +++==．因为 34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． …………………9分所以 3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当 3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++===，所以当 2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． …………………10分 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤． …………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。