高中数学第二章随机变量及其分布23离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修23
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3
预习导航
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单
随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值高效演
2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值高效演练新人教A版选修2-3的全部内容。
2。
3.1 离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1．一批种子的发芽率为80％,现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为（）A．60 B．70 C．80 D．90解析：易知发芽的种子数X～B（100，0。
8)，所以E（X)＝100×0.8＝80.答案：C2．设ξ的分布列为ξ1234P错误!错误!错误!错误!又设η＝2ξ＋5A.错误! B。
错误! C.错误! D.错误!解析：E（ξ）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＝错误!，E(η）＝E(2ξ＋5)＝2E（ξ）＋5＝2×错误!＋5＝错误!.答案：D3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )A．20 B．25 C．30 D．40解析:抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为错误!＝错误!.所以X～B 错误!。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足 (1)p i ≥0,i=1,2,3,...; (2)p 1+p 2+...+p n + (1)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+112101)21(2122q q q q 解得 q=1-22 故X 的分布列为∴EX=(-1)×2+0×(2-1)+1×(22-)=-2321++（-2）=1-2 DX=［-1-（1-2)］2×21+（1-2）2×（2-1）+［1-（1-2)］2×(223-)=（2-2）2×21+（2-1）3+2(223-)=2-1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1）×21+0×(1-2q)+1×q 2=q 2-21; DX=［-1-(q 2-21)］2×21+(q 2-21)2×(1-2q)+［1-(q 2-21)］2×q 2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X ，由题意可知X —B （100，p ），那么σX=)1(100p p DX -=，因为DX=100p(1-p)=100p-100p 2（0≤p≤1）把上式看作一个以p 为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，DX 有最大值25.所以DX 的最大值为5，即当p=21时，成功次数的标准差的最大值为5. 温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1. 三、方差的应用【例3】 海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2（单位：s ），根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量. 解：∵EX 1=0,EX 2=0 ∴EX 1=EX 2∵DX 1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX 2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2 ∴DX 1＜DX 2由上可知，A 面大钟的质量较好. 温馨提示随机变量X 的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=DX 则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X 1、X 2，且EX 1=EX 2或EX 1与EX 2比较接近时，我们常用DX 1与DX 2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X 较为离散，反之则表明X 较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X 与其均值的偏差较大，反之，则表明X 与其均值的偏差较小. 各个击破【类题演练1】若随机事件A 在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a =(1-2a)2a(2a+1-2a) =2a(1-2a)=-4［a-41］2+41 由分布列的性质得0≤1-2a≤1 且0≤2a≤1 ∴0≤a≤21∴当a=41时Dξ最大值为41； 当a=0或21时Dξ的最小值为0.【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5. ξ≈1表示一发即中，故概率为 P （ξ=1）=0.8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中， 故P （ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P （ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故P （ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，4Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.【类题演练2】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数. （1）求方差Dξ的最大值； （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ，从而Eξ=0×（1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2. (1)Dξ=p -p 2=-(p-21)2+41,∵0＜p ＜1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值为41. （2）ξξE D 12-=)12(21)(22p p p p p +-=--, ∵0＜p ＜1,∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1,即p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p ，则p （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤(21p p -+)2=41. 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过41. 【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣. 解析：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）. E η=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.D ξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.D η=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的
题型探究
类型一 求随机变量的方差与标准差
例1 已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
1 2
1 4
a
(1)求X2的分布列；
解答
(2)计算X的方差；
解答
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解 因为Y＝4X＋3， 所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
解答
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出 错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝ E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用， 如D(aX＋b)＝a2D(X).
解答
反思与感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第 二步代入相应的公式求解.若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从 二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).
跟踪训练2 某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； 解 用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1. ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98， 所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p) (其中p为成功概率)
__n_p_(_1_－__p_) _
[思考辨析 判断正误]
1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( × ) 2.若a是常数，则D(a)＝0.( √ ) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.
( √)
跟踪训练1 已知η的分布列为
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课件新人
[变式训练] 已知随机变量 ξ 的分布列为：
ξ －1 0 1
P
1 2
1 3
m
若 η＝aξ＋3，E(η)＝73，则 a＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以 m＝16. 所以 E(ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 所以 E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－13a＋3＝73， 得 a＝2. 答案：B
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝
4.( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝x1＋x2＋n …＋xn.(
)
解析：(1)错误，随机变量的数学期望 E(X)是个常量， 是随机变量 X 本身固有的一个数字特征．(2)错误，随机 变量的均值反映随机变量取值的平均水平．(3)正确，由 均值的性质可知．(4)错误，因为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋ xnpn.
解析：(1)抛掷骰子所得点数 ξ 的分布列为：
ξ123456
P
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
所以 E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16
＝3.5.
(2)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币 正面向上的概率为 1－122＝34，且 X～B2，34，
所以均值是 2×34＝32. 答案：(1)C (2)32
归纳升华 求数学期望的步骤是： (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用数学期望公式进行计算．
[变式训练] 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现 播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )
高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值讲义
2．3.1 离散型随机变量的均值知识点离散型随机变量的均值或数学期望1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝□01x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了02平均水平．离散型随机变量取值的□2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量；(2)E(aX＋b)＝□03aE(X)＋b.知识点两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝□01p.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝□02np.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论：(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( )(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)若随机变量η的分布列为则η的数学期望E (η)＝________.(2)设随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则p ＝________.(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为67，则口袋中白球的个数为________．答案 (1)1.3 (2)14(3)3解析 (1)由题意可知m ＝0.5，故η的数学期望E (η)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3. (2)若随机变量X ～B (16，p )，且E (X )＝4，则16p ＝4，所以p ＝14.(3)设口袋中有白球n 个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是n7，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×n 7＝67，所以n ＝3.探究1 求离散型随机变量的均值例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望．[解] 取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P (ξ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (ξ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (ξ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (ξ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.拓展提升求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定ξ的可能取值； (2)计算出P (ξ＝k )； (3)写出分布列；(4)利用E (ξ)的计算公式计算E (ξ)．[跟踪训练1] 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．解 X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.金版教程|数学·选修2－3[A]第二章 随机变量及其分布 探究2 均值性质的应用例2 已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3.(1)求b ； (2)求a ；(3)若η＝2ξ－3，求E (η)．[解] (1)由随机变量的分布列的性质，得 0．5＋0.1＋b ＝1. 解得b ＝0.4.(2)E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.解得a ＝7.(3)由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b得E (η)＝E (2ξ－3)＝2E (ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6. 拓展提升求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解．对于求aX ＋b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量(aX ＋b )的分布列，再用定义求解．[跟踪训练2] 已知随机变量ξ的分布列为若η＝a ξ＋3，E (η)＝73，则a ＝________.答案 2解析 由分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，即m ＝16，所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.则E (η)＝E (a ξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝73，即－13a ＋3＝73，得a ＝2.探究3 离散型随机变量均值的实际应用例3 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解] (1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. ∴P (ξ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (ξ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴E (ξ)＝4×12＝2. 又由题意可知η＝2300－100ξ，∴E (η)＝E (2300－100ξ)＝2300－100E (ξ)＝2300－100×2＝2100. 即所求变量η的数学期望为2100元． 拓展提升解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．[跟踪训练3] 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2，P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25， P (X ＝1)＝20200＝0.1，P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.即1件产品的平均利润为4.34万元．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1.求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( )A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22答案 B解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.2．已知随机变量ξ的分布列为若E(ξ)＝7.5，则a等于( )A．5 B．6 C．7 D．8答案 C解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧0.3＋0.1＋b ＋0.2＝1，4×0.3＋a ×0.1＋9b ＋10×0.2＝7.5，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.4，a ＝7.3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望为________．答案509解析 一次试验成功的概率为1－4×46×6＝59，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，59，因此X 的数学期望为509. 4．随机变量ξ的概率分布列如下表：尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E (ξ)＝________.答案 2解析 设“？”处的数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以E (ξ)＝t ＋2(1－2t )＋3t ＝2.5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．解 设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)． 所以由题意得P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.所以E (ξ)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185.又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E (η)＝E (ξ)－5＝185－5＝－75.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？ 答案 5×4＋6×123＋7×5＝5×13＋6×14＋7×152＝1723.
梳理 (1)离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值或数 学期望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
解 ξ的分布列为
ξ0
1
2
3
4
P
1 2
1 20
1 10
3 20
1 5
ξ 的均值 E(ξ)＝0×12＋1×210＋2×110＋3×230＋4×15＝32.
12345
解答
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值. 解 E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又 E(ξ)＝32， 则 a×32＋4＝1，∴a＝－2.
(2)均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
知识点二 两点分布、二项分布的均值
1.两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝ p . 2.二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝ np .
[思考辨析 判断正误]
1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.( × ) 2.随机变量的均值与样本的平均值相同.( × ) 3.若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( √ )
5
C.2
D.3
解析 E(X)＝1×35＋2×130＋3×110＝32.
12345
解析 答案
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的
1 2.3.1 离散型随机变量的均值
课前导引
问题导入
设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个，今取1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X ，求X 的均值.
思路分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m
1，事件“X=k”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复试验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算解法可求出P(x=k)，进而可求EX.
解析：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P （A ）=m
1. ∴P（X=k)= k
n C (m 1)k ·(1-m
1)n-k (k=0,1,2,…,n) ∴X—B(n,m 1),故EX=n×m 1=m n 知识预览
1.均值：
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.
若Y=aX+b,其中a,b 为常数，则Y 也是随机变量，E(aX+b)=aEX+b.
2.两点分布的均值
一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么EX=1×p+0×(1-p)=p.
于是若X 服从两点分布，则EX=p.
3.二项分布的均值
若X —B （n,p)，则EX=np.。
高中数学第二章随机变量及其分布23离散型随机变量的均值与方差232离散型随机变量的方差同步课件新人
审题指导：先根据分布列的性质求出 a，然后写出 ξ， η 的分布列；再利用公式求出数学期望和方差，根据期望、 方差各自的大小关系比较甲、乙的射击技术．
[规范解答] (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1 解得 a＝ 0.1.(1 分)
4．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先 求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量 的均值、方差和标准差．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一 动，久坐对身体不好哦~
2021/4/17
高中数学第二章随机变量及其分布23
17
离散型随机变量的均值与方差232离散
归纳升华 求离散型随机变量 ξ 的方差的步骤
1．理解 ξ 的意义，明确其可能的取值． 2．判定 ξ 是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布 等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服 从特殊分布，则继续下面步骤． 3．求 ξ 取每个值的概率． 4．写出 ξ 的分布列，并利用分布列性质检验． 5．根据方差定义求 D(ξ)．
[学习目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的 方差及标准差的概念(重点、难点)． 2.会求两点分布、 二项分布的方差(重点)． 3.会利用方差的概念与性质， 计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问 题(重点、难点)．
1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义． 设离散型随机变量X的分布列为：
归纳升华 1.离散型随机变量线性运算的方差． 设 a，b 为常数，则 D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差． (1)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)； (2)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)．
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差预习案 新人教A版选修2-3
山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差预习案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差预习案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3 离散型随机变量的均值与方差预习案新人教A版选修2-3的全部内容。
2.3 离散型随机变量的均值与方差§2.3.1 离散型随机变量的均值【教学目标】1．知识与技能理解离散型随机变量的均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值．2．过程与方法通过实例理解期望的意义；通过例题体会正确写出随机变量的分布列是计算均值的关键，并总结步骤.3．情感、态度、价值观离散型随机变量的分布列、均值是本部分的重点知识，是高考的知识点，对生产、生活中有现实的指导意义，需要熟练应用。
【预习任务】阅读课本P60P63，完成下列问题：1．举例说明加权平均数的含义是什么?2．写出离散型随机变量X的均值计算公式为：3．举例说明为什么离散型随机变量X的均值E（X)反映了取值的平均水平？4．设X为离散型随机变量,且Y=aX+b,写出随机变量Y的分布列.并写出E（Y）与E（X)有的关系。
5．写出二项分布的均值计算公式：【自主检测】1．课本P64练习25题2．袋中有6个红球、4个白球，从中随机任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设X为取得红球的次数，则E(X)=3．某种种子每粒发芽的概率都为0。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变
2.3 离散型随机变量的均值与方差知识梳理1.离散型随机变量的均值则称_____________为随机变量X的均值或数学期望.(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_____________.(3)若Y=aX+b，其中a、b为常数，则EY=E(aX+b)=____________.(4)若随机变量X服从两点分布，则EX=____________.(5)若X—B(n,p)，则EX=____________.2.离散型随机变量的方差则称DX=______________为随机变量X的方差(variance),其算术平方根DX为随机变量X 的______________,记作______________.(2)随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的______________，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的______________.3.D(aX+b)= ______________.若X服从两点分布，则DX=______________.若X—B(n,p)，则DX=______________.知识导学要学好离散型随机变量的均值与方差，首先要理解什么是随机变量，其次是能列出随机变量的分布列，这归根到底是要掌握概率的相应知识.这一节内容事实上是概率知识的引申，而随机变量的均值与方差是统计中两个最重要的量.对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.对于离散型随机变量的方差，要了解掌握它的必要性.因为在实际问题中，有时仅凭均值还难以确切地反映随机变量的分布特征，还必须进一步考虑其偏离均值的离散程度，即方差大小.方差与均值相同，也是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，也不具有随机性，它反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.疑难突破1.求离散型随机变量的均值或方差剖析:求离散型随机变量的均值常分为两步：①列出随机变量的分布列；②计算随机变量的均值.求离散型随机变量的方差常分为以下三步：①列出随机变量的分布列；②求出随机变量的均值；③求出随机变量的方差.2.如何证明下列结论？(1)D(aX+b)=a2DX；(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)；(3)若X—B(n,p)，则DX=np(1-p).剖析:证明：(1)D(aX+b)=∑=+-+ni i ip b aX E b ax12)]()[(=DX a p EX xap aEX axni i ini i i212212)()(=-=-∑∑==.(2)若X 服从两点分布，则EX=p ，所以DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).(3)若X —B(n,p)，则EX=np ，设q=1-p ， DX=kn k k n nk kn k k nnk q p C p n npk k qp Cnp k -=-==+-=-∑∑022202)2()( =∑∑∑=--==-+-nk k n k k nkn knk k nnk kn k knq p Cpn qp kC np qp C k220022=22022p n np np q p C knk k n k k n +•-∑=-=∑=--nk k n k k n p n q p C k0222=∑∑=-=-+-nk kn k k n nk kn k knq p kC qp Ck k 0)1(, 而np q p C k k qp C knk kn k k n nk kn k kn+-=∑∑=-=-22)1( =∑=------+-nk k n k k n np q p Cpn n 2)2()2(2222)1(=n(n-1)p 2+np,∴DX=n(n -1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p) =np q p C k k qp kC qp Ck k kn k k n nk nk kn kk nnk kn k k n+-=+--==-=-∑∑∑2)1()1( =)2()2(22222)1(----=--∑-k n k nk k n q p Cpn n +np=n(n-1)p 2+np.∴DX=n(n -1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 离散型随机变量的均值与方差 1
预习导航
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83 C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.
1。