中考数学复习专题6+运动型问题

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最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。

通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。

刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。

捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

中考数学运动变化型问题的解题策略

层层分解，熟练掌握做题技巧，争取不丢分而且得高分。作为一线的数学教师，要认真解读教学理念的实质，不断反思，在实践中历练，ｆｇ导学生轻
轻松松迎中考。
关键词：中考数学；运动变化型问题；解题簋略第小问多为填空，能直接解答，２小问还涉及分类讨论的情况，数形结合是把代数问第《课程标准》强调，在学生已有的认知发展进，１
我觉得这是不对的，这些钱是亲进行课程改革， “ 提倡自主、合作、讨论、探究的的讨论积极性被调动了起来。因为每个小组的都被父母没收，
时候，我在初中政治教学中尝试实践讨论教学成员都是自己很喜欢的、熟悉的，愿意讨论的。朋给我的，就应该属于我自己” ……学生们兴趣
得不好意思。
，、ｐ；
观念的一次新的转变，是培养学生创新思维和
实践能力的实施途径，掌握好这种教学方法，能够使我们的教学更能适应时代的要求，更有利
是前面的学生要转到后面讨论，的很不方便；益》，觉时在课堂上我提出了这样一个问题：结合于学生全面和谐地发展。 “
、
生营造一种民主讨论的氛围。我刚开始尝试课
二、心设计讨论问题。发学生讨论兴趣精激
的课堂教学效果好得多。
堂讨论式教学法的时候，发现有部分学生讨论
讨论的问题需要我们在研究学生道德认识
生活水平，研究教学的需要和教材的基础问题的态度不是很积极，有的更是默默不语，水平、等
．
６试题关注学生的运算能力。运算能力是．是对学生计算的考察，有一定的计算量、计算二、中考数学运动变化型问题的解题策略１教师要认真研究《．学科说明》更新教学，

运动型问题-中考数学综合专题训练试题

第三节运动型问题近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．,中考重难点突破)动点类【例1】(梅州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以3cm /s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t s (0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【解析】(1)由已知条件得出AB ＝10，BC ＝5 3.由题意知：BM ＝2t ，CN ＝3t ，BN ＝53－3t ，由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；(3)过M 作MD⊥BC 于点D ，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD ＝t ，四边形ACNM 的面积y ＝△ABC 的面积－△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴AB ＝10，BC ＝53，BN ＝53－3t ，由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15；(2)①当△MBN∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52； ②当△NBM∽△ABC 时，∴NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157.∴当t ＝52或157 s 时，△MBN 与△ABC 相似；(3)过M 作MD⊥BC 于点D.∵∠MBD ＝∠A BC ，∠BDM ＝∠BCA＝90°， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴MD AC ＝BM AB ，∴MD 5＝2t 10， ∴MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y.∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD＝12×5×53－12(53－3t )·t ＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋7583. ∴根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．此时，y 最小＝7583.1．(2016遵义升学三模)如图，P ，Q 分别是等边△ABC 的AB 和AC 边延长线上的两动点，点P 由B 向A 匀速移动，同时点Q 以相同的速度由C 向AC 延长线方向移动，连接PQ 交BC 边于点D ，M 为AC 中点，连接PM ，已知AB ＝6.(1)若点P ，Q 的速度均为每秒1个单位，设点P 运动时间为x ，△APM 的面积为y ，试求出y 关于x 的函数关系式；(2)当时间x 为何值时，△APM 为直角三角形？(3)当时间x 为何值时，△PQM 面积最大？并求此时y 的值．解：(1)∵y＝12×(6－x)×332，∴y ＝－334x ＋932；(2)在Rt △APM 中，当PM⊥AC 时，则x ＝0，当PM⊥AB 时，∠AMP ＝30°，AP ＝12AM ＝32，∴x ＝6－32＝92；(3)S △PQM ＝12·(3＋x)·32(6－x)，＝－34(x ＋3)(x －6)，当x ＝－3＋62＝32时，△PQM 的面积最大，此时y ＝2738. 2．(汇川升学一模)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)若点P ，Q 同时从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P 运动到B 点时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；②当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请直接写出t 的值及D 点的坐标．,备用图)解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83，c ＝－4.∴y ＝43x 2－83x －4；(2)①存在．如答图，过点Q 作QD⊥OA 于D ，此时QD∥OC. ∵A(3，0)，B(－1，0)， C(0，4)，O(0，0)， ∴A B ＝4，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC ＝5.∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4， ∴AQ ＝4.∵Q D ∥OC ，∴QD OC ＝AD AO ＝AQAC ，∴QD 4＝AD 3＝45， ∴QD ＝165，AD ＝125.ⅰ作AQ 的垂直平分线，交AO 于E ，此时AE ＝EQ ，即△AEQ 为等腰三角形，设AE ＝x ，则EQ ＝x ，DE ＝AD －AE ＝|125－x|，∴在Rt △EDQ 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫125－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝x 2，解得x ＝103.∴OA －AE ＝3－103＝－13，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0；ⅱ以Q 为圆心，AQ 长为半径画圆，交x 轴于E ，此时QE ＝QA ＝4， ∵ED ＝AD ＝125，∴AE ＝245，∴OA －AE ＝3－245＝－95，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0； ⅲ当AE ＝AQ ＝4时，当E 在A 点左边时， ∵OA －AE ＝3－4＝－1，∴E(－1，0)．当E 点在A 点右边时，∵OA ＋AE ＝3＋4＝7，∴E(7，0)．综上所述，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0或(－1，0)或(7，0)；②t ＝14564，D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.动线类【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm /s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t(s )(0＜t ＜8)．解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？(2)设四边形APFE 的面积为y(cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式．【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8.在Rt △AOB 中，AB ＝62＋82＝10. ∵EF ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DCO ， ∴DF DC ＝QD OD ，即DF 10＝t 8，∴DF ＝54t. ∵四边形APFD 是平行四边形， ∴AP ＝DF.即10－t ＝54t ，解得t ＝409，∴当t ＝409 s 时，四边形APFD 是平行四边形；(2)过点C 作CG⊥AB 于点G. ∵S 菱形ABCD ＝AB·CG＝12AC ·BD ，即10·CG＝12×12×16，∴CG ＝485，∴S 梯形APFD ＝12(AP ＋DF)·CG＝12(10－t ＋54t )·485＝65t ＋48. ∵△DFQ ∽△DCO ，∴QD OD ＝QF OC ，即t 8＝QF 6，∴QF ＝34t. 同理，EQ ＝34t ，∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×32t ×t ＝34t 2，∴y ＝S 梯形APFD －S △EFD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65t ＋48－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48.【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．3．(红花岗中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA ，PB ，且∠APC ＝∠BAP，设PC 的长为x(2＜x ＜4)．(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：∵∠APC＝∠BAP∴AB∥CP.∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.∵AB为⊙O的直径，∴直线l与⊙O相切；(2)存在．当AM＝102或4105时，△AOM与△ABP相似；(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.又∵PC＝x，∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，∴CD＝PC－PD＝x－2(x－2)＝4－x，∴PD·CD＝2(x－2)·(4－x)＝－2x2＋12x－16＝－2(x－3)2＋2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2.4．(湖州中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BC D相似，请直接写出所有点P的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3b ＋c ＝1，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4， ∴二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋4，配方得y ＝－(x －1)2＋5，∴点M 坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，c ＝4，∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋4.如图所示，对称轴直线x ＝1与△ABC 两边分别交于点E ，点F ，把x ＝1代入直线AC 解析式y ＝－x ＋4，解得y ＝3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)， ∴1＜5－m ＜3，解得2＜m ＜4；(3)所有符合题意的点P 坐标有4个，分别为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，133，P 3(3，1)，P 4(－3，7)。

初中数学动点问题解题思路

2
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x

【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：专题六综合型问题

理解：如图①，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且 S△ACD＝S△BCD.
应用：如图②，在矩形 ABCD 中， AB＝4， BC＝6，
点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE＝BF，AF 与 BE 交于点 O.
(1)求证：△ AOB 和△ AOE 是“友好三角形”； (2)连接 OD，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的面积．
考点三运动型问题例 3 (2013· 襄阳 )如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋ c 与 x 轴的一个交点 A 的坐标为(－1,0)，对称轴为直线 x＝－ 2. (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (2)点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上的另一点．已知以 AB 为一底边的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式，并指出顶点 E 的坐标；
温馨提示解答阅读理解型题的关键在于阅读，核心在于理解，目的在于应用 .解题的策略是：理清阅读材料的脉络，归纳总结重要条件、数学思想方法以及解题的方法技巧，构建相应的数学模型来完成解答 .
2．解图表信息题关键是“识图”和“用图”．解题时，要求通过认真阅读、观察和分析图象、图形、表格来获取信息，根据信息中数据或图形的特征，找出数量关系或弄清函数的对应关系，研究图形的性质，进行推理、论证、计算，从而解决实际问题．图表信息问题往往出现在“方程 (组 )、不等式 (组 )、函数、统计与概率”等知识应用题中，审题时注意把握图表中的信息．
∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF. ∴S
四边形
CDOF ＝ S
矩形
1 ABCD － 2S△ABF ＝ 4×6 － 2× 2

中考动点问题专题教师讲义带答案

中考动点问题专题教师讲义带答案集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S 与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2015白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C 考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

施国龙小议中考数学“运动型”问题的解题策略

小议中考数学“运动型”问题的解题策略晋江二中数学组施国龙一、问题由来及背景：用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数中“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想，对培养同学们的思维品质和数学能力都有很大的促进作用，它集代数与几何的众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，综合性较强，已成为中考热点试题。

新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神，运动型试题所考查的知识与能力很好地体现了课改精神，如教材新增内容：图形的三种变换（平移、旋转、翻折）、图形与坐标等知识内容，以网格纸、坐标系等为背景，三角尺、多边形纸张等为工具，以运动为载体来设计试题，具有背景新颖、题材丰富、可操作性强的特点，使之成为新课程中考的压轴题热点之一。

运动型试题主要包含质点运动型试题与图形变换型试题两类，命题的设置往往带有开放性、操作性、探究性和综合性的特点。

二、典型例题：例1.如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。

点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。

点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。

⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；⑵当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t 的函数关系式；（不必写出t的取值范围）⑷△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

青岛市中考数学动点题汇编

青岛市中考数学动点题汇编在中考数学中，动点问题一直是学生们的难题之一。

动点问题涉及到的知识点较多，需要学生有较强的数学思维和解决问题的能力。

为了帮助学生更好地掌握动点问题的解题技巧，提高解题效率，本文将汇编青岛市中考数学动点题，并给出相应的解析和答案。

动点问题是指在图形中，一个或多个动点在给定条件下运动，求出动点的轨迹、路径、距离等问题。

动点问题的解题思路一般包括：分析动点的运动规律，运用相关数学知识建立方程或不等式，求解并检验。

例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的一个动点，连接CP，过点P作PD⊥AC于D，则AD的长度y与AP的长度x之间的函数关系式是_________。

解析：根据勾股定理可求得AB的长，再根据相似三角形的性质可得答案：根据勾股定理可求得AB的长为10。

根据相似三角形的性质可得例2：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E为AD上一点，且BE=7cm，将纸片折叠使点A与E重合，求折痕的长度。

解析：首先根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出折痕的长。

题1：在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点P是BC边上的一个动点，连接AP。

设BP的长度为，求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围。

题2：在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=2cm，BC=4cm。

点P是BC 边上的一个动点，连接AP。

设BP的长度为，求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围。

鉴于甲、乙双方与丙方于年月日签订《房地产营销顾问合同协议书》（以下简称“原合同”），约定丙方接受甲、乙双方的委托，担任房地产营销顾问，负责推动和促进甲、乙双方共同商定之交易事项的完成。

现甲、乙双方经友好协商，决定提前终止原合同，特订立本协议书，以兹共信守。

甲、乙双方同意，自本协议书签署之日起，原合同终止执行。

丙方已完成的房地产营销顾问工作，甲、乙双方确认其工作成果，并按照原合同的约定支付相应的顾问费用。

2013中考压轴题选讲专题6：由运动产生的线段和差问题(排版+答案)

2012年中考数学压轴题分类解析专题6：由运动产生的线段和差问题授课老师：黄立宗典型例题选讲：例题1：如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．例题2：如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．备用图巩固练习1、（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:()()1y x2(x m)m0m=-+->与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2、（2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线2=++经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．y ax bx c（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，抛物线y ＝x 2－6x ＋8与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），直线y ＝21x ＋2交y 轴于点C ，且过点D （8，m ）．左右平移抛物线y ＝x 2－6x ＋8，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′．（1）求线段AB 、CD 的长；（2）当抛物线向右平移到某个位置时，A ′D ＋B ′D 最小，试确定此时抛物线的表达式；（3）是否存在某个位置，使四边形A ′B ′DC 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A ′B ′DC 的周长最小值；若不存在，请说明理由．参考答案例题1【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩。

2024年中考数学复习瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。

【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

初中数学中考复习动态型问题(动点动线动面)专项练习及答案解析(50道)

初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。

2015年陕西省中考数学总复习考点跟踪突破：专题六运动型问题

专题跟踪突破六运动型问题1．(30分)(2014·武汉)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；(2)连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；(3)试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．解：(1)①当△BPQ ∽△BAC 时，∵BP BA ＝BQ BC，BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴5t 10＝8－4t 8，∴t ＝1 ②当△BPQ ∽△BCA 时，∵BP BC ＝BQ BA ，∴5t 8＝8－4t 10，∴t ＝3241，∴t ＝1或3241时，△BPQ 与△ABC 相似(2)如图所示，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA ＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM 且∠ACQ ＝∠PMC ＝90°，∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP ，∴68－4t ＝4t 3t，解得t ＝78(3)如图，仍有PM ⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC于点F ，∵∠ACB ＝90°，∴DF 为梯形PECQ 的中位线，∴DF ＝PE ＋QC 2，∵QC ＝4t ，PE ＝8－BM ＝8－4t ，∴DF ＝8－4t ＋4t 2＝4，∵BC ＝8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，∴RC ＝DF ＝4成立，∴D 在过R 的中位线上，∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上2．(30分)(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －4与x 轴交于点A(－2，0)和点B ，与y 轴交于点C ，直线x ＝1是该抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)若两动点M ，H 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ，设点M 的运动时间为t 秒(t ＞0)．求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －4与x 轴交于点A(－2，0)，直线x ＝1是该抛物线的对称轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －4＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴抛物线的解析式是：y ＝12x 2－x －4(2)分两种情况：①当0＜t ≤2时，∵PM ∥OC ，∴△AMP ∽△AOC ，∴PM OC ＝AM AO，即PM 4＝t 2，∴PM ＝2t.解方程12x 2－x －4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∵A(－2，0)，∴B(4，0)，∴AB ＝4－(－2)＝6.∵AH ＝AB －BH ＝6－t ，∴S ＝12PM·AH ＝12×2t(6－t)＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9，当t ＝2时，S 的最大值为8 ②当2＜t ≤3时，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，作PF ⊥y 轴于点F ，则△COB ∽△CFP ，又∵CO ＝OB ，∴FP ＝FC ＝t －2，PM ＝4－(t －2)＝6－t ，AH ＝4＋32(t －2)＝32t ＋1，∴S ＝12PM·AH ＝12(6－t)(32t ＋1)＝－34t 2＋4t ＋3＝－34(t －83)2＋253，当t ＝83时，S 最大值为253.综上所述，点M 的运动时间t 与△APH 面积S 的函数关系式是S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋6t （0＜t ≤2），－34t 2＋4t ＋3（2＜t ≤3），S 的最大值为253 3．(40分)(2013·岳阳)某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合．三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q.(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； (3)如图③，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ，仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E ，连接PE ，若AB ∶AP ＝3∶4，请帮小明算出△DEP 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ，∠DAP ＝∠DCQ ＝90°，∵∠PDQ ＝90°，∴∠ADP ＋∠PDC ＝90°，∠CDQ ＋∠PDC ＝90°，∠ADP ＝∠CDQ ，在△ADP与△CDQ 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠DCQ ，DA ＝DC ，∠ADP ＝∠CDQ ，∴△ADP ≌△CDQ(ASA )，∴DP ＝DQ(2)PE ＝QE.证明：∵DE 是∠PDQ 的平分线，∴∠PDE ＝∠QDE ，在△PDE 与△QDE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝DQ ，∠PDE ＝∠QDE ，DE ＝DE ，∴△PDE ≌△QDE(SAS )，∴PE ＝QE (3)解：∵AB ∶AP ＝3∶4，AB ＝6，∴AP ＝8，BP ＝2，由(1)知：△ADP ≌△CDQ ，则AP ＝CQ ＝8，由(2)知：PE ＝QE ，设CE ＝x ，则PE ＝QE ＝CQ －CE ＝8－x ，在Rt △PEB 中，BP ＝2，BE ＝6＋x ，PE ＝8－x ，由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x ＝67，∵BP ∥CD ，∴BM CM ＝BP CD ，∴BM 6－BM ＝26，∴BM ＝32，∴ME ＝CM ＋CE ＝6－32＋x ＝6－32＋67＝7514，∴△DEP 的面积为S △DEP ＝S △DME ＋S △PME ＝12·ME·DC ＋12·ME·PB ＝12·ME·(DC ＋PB)＝12×7514·(6＋2)＝12×7514×(6＋2)＝1507。

决胜2020年中考数学压轴题专题06《一次函数的应用问题》

专题 06一次函数的应用问题【典例分析】【考点1】行程问题【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为x (分)，图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；(3)在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离()y km 与小王的行驶时间()x h 之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【变式1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离S(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF 所示.（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求E 点坐标，并解释点的实际意义.【考点2】方案选择问题【例2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x ．（Ⅰ）根据题意填表：一次购买数量/kg30 50 150 … 甲批发店花费/元300 … 乙批发店花费/元350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．【变式2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【考点3】最大利润问题【例3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y 件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【考点4】几何问题【例4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -.（1）求直线1l的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积.【变式4-1】（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -.(1)如图1，已知P e 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P e 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点，连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【变式4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【达标训练】1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有,,A B C 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离()s km 与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①,A B 两村相距10km ；②出发1.25h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km ．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点()4,4A出发，经y轴上的点C反射后经过点()10B,，则点C的坐标是()A．1 0, 2⎛⎫⎪⎝⎭B．40,5⎛⎫⎪⎝⎭C．()0,1D．()0,23．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点1A、2A、3A…nA在x轴上，1B、2B、3B…nB在直线33y x=上，若()11,0A，且112A B A∆、223A B A∆…1n n nA B A+∆都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为1S、2S、3S…nS．则nS可表示为( )A．223B．223n-C．223n-D．223n-4．（2019·广西中考真题）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为()()()()4,0,2,1,3,0,0,3A B C D---，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．116105 y x=+B．2133y x=+C．1y x=+D．5342y x=+5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：306．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h．8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．10．（2019·湖南中考真题）已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为0021kx b y d k +-=+，例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离2512d ==+．据此进一步可得两条平行线y x =和4y x =-之间的距离为_______．11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的,A B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x（单位:min）的函数图象，则a b-=_____．12．（2019·四川中考真题）如图，点P是双曲线C：4 yx=（0x>）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：122y x=-于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是______.13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从,A B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程()y km与各自行驶的时间()x h之间的关系如图所示．⑴m=________，n=________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程15. （2019·新疆中考真题）某水果店以每千克8元的价格收购苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果以每千克降价4元销售，全部售完。

2014年苏州中考数学运动性问题专题复习(含练习和答案)

2014年苏州中考数学运动性问题专题复习（含练习和答案）太仓市浮桥中学数学组运动变化型试题，包括动点、动线、动形三种类型，近年来中考试卷中出现较多的题型。

它集点的运动、直线的运动和图形的运动于一身，蕴含一定的数学思想方法，突出了图形的运动变化，从中发现一些不变的规律，从而使问题变得有趣，激发学生学习热情。

因而备受中考命题者的青睐，现已成为各地中考试题的一大热点题型。

近三年中苏州市中考数学试题有关运动性问题的试题共有9题，2011年有27、28、29题，2012年18、28、29题，2013年有10、28、29题，都可以归结为上述三类问题。

由于图形的不断运动，制约着学生的思维，因此我们要想办法让图形的运动静止下来，然后认真观察图形，仔细分析变量之间的关系，综合运用所学的有关的基础知识及有关数学模型加以解决。

下面就苏州市近三年中考试卷中出现的这类问题进行分析研究，希望对师生们在复习迎考中有所帮助。

一、动点型问题：所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

解题策略：解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“旋转、平移、翻折等图形变换方法观察动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质（轴对称、中心对称、全等、相似等）是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

典例精讲：例1：（2011年，苏州，27题），已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．点P坐标为（a，b），试求2 S1S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．【考点】直径所对的圆周角是直角, 直角三角形中30°所对对的边是斜边的一半, 相似三角形的判定和性质, 等腰三角形的判定和性质, 直径垂直平分弦, 二次函数的最大值.解题的关键是画出运动过程中符合条件的静止图形（如下四张静止图形）。

2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点：折叠性质；①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；★直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B =.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 的中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，CF ，当△CEF 为直角三角形时，AP 的长为.例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =16, AD =10，sinA =, 点M 为AB 边上35一动点，过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时，AM 的长为.例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P 作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC ＝．例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB 交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为．例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF 的长为二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.【分析】分三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，设∠ONM=x°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，进而利用三角函数求得ON的长；②当M’N=ON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；③当M’O=ON=OM，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图所示，ANH设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’ =2x°,∵∠AOB=90°，∴x+2x=90，解得：x=30，在Rt △NOM 中，ON =；°=3tan 30OM ②当M ’N =ON 时，如下图所示，NH由①知：∠NOM ’=30°，过M ’作M ’H ⊥OA 于H ，∴HM ’=,12在Rt △HNM ’中，NM ’=，°'=1cos30HM 即ON =1；③当M ’O =ON =OM ，N 此时M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：1或3.例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B =.【分析】由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，△BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当DE =BD 时，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45；②当BD =BE 时，作出图形，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =30；③当BE =DE 时，得∠FDB =90°，∠FDB +∠CDF =135°≠180°，此时C 、D 、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45°或30°.【解析】解：由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，∠CDF =∠CFD =45°，∴∠FDB =135°，△BDE 是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：①当DE =BD 时，见下图，A设∠B =x °，则∠DEB =x ，∠EDB =180°－2x ，由折叠知：∠A =∠FDE =90°－x ，∴180－2x +90－x =135，解得：x =45，即∠B =45°；②当BD =BE时，如下图所示，A设∠B =x °，则∠EDB = ，°1802x 由折叠知：∠A =∠FDE =90°－x ，∴+90－x =135，解得：x =30，1802x -即∠B =30°；③当BE =DE 时，得∠B =∠EDB ，∴∠FDB =∠FDE +∠EDB =∠A +∠B =90°，∠FDB +∠CDF =135°≠180°，此时C 、D 、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：45°或30°.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为．【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E 、F 均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【解析】解：∵AD ＝8，AB ＝6，四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝8，∠B ＝90°，根据勾股定理得：AC ＝10．由分析知，△EFC 为直角三角形分下面两种情况：①当∠EFC ＝90°时，如下图所示，由折叠性质知：∠AFE ＝∠B ＝90°，∠EFC ＝90°，AF =AB =6,∴A 、F 、C 三点共线，又AE 平分∠BAC ，∴CF =AC －AF =4，设BE =x ，则EF =x ，EC =8－x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得：，()22248x x +=-解得：x =3，即BE =3；②当∠FEC ＝90°时，如下图所示．由题意知：∠FEC ＝90°，∠FEB ＝90°，∴∠AEF ＝∠BEA ＝45°，∴四边形ABEF 为正方形，∴BE ＝AB ＝6．综上所述：BE 的长为3或6．故答案为：3或6．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 的中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，CF ，当△CEF 为直角三角形时，AP 的长为.【分析】当△CEF 为直角三角形时，通过分析知：∠FCE <90°，不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：∠EFC =90°或∠FEC =90°，作出图形求解；【答案】或1.94【解析】解：分以下两种情况讨论：（1）∠EFC =90°，如下图所示，由折叠性质知：∠A =∠PFE =90°，AP =PF所以点P 、F 、C 在一条直线上，∵EF =ED =3，∴Rt △CEF ≌Rt △CED ，由勾股定理得：CE =5，∴CD =CF =4，设AP =x ，则PF =x ，PC =x +4，BP =4－x ，在Rt △BCP 中，由勾股定理得：，()()222446x x +=-+解得：x =，即AP =；9494（2）∠FEC =90°，如下图所示，过F 作FH ⊥AD 于H ，过P 作PG ⊥FH 于G ，易知∠EFH =∠ECD ，∴,FH DE EF CE=∴,335FH =即FH =, ∴EH =,AH =PG =，9512535由∠FPG =∠HFE ，∴cos ∠FPG = cos ∠HFE ，即,PG FH PF EF=,39553PF =解得：PF =1；故答案为：或1.94例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =16, AD =10，sinA =, 点M 为AB 35边上一动点，过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时，AM 的长为.【分析】分两种情况讨论：当∠CDE ＝90°，根据折叠的性质及勾股定理求解；当∠DEC ＝90°，过D 作DH ⊥AB 于H ，根据相似三角形的性质：得到DH ＝6，AH ＝8，设EH ＝x ，根据勾股定理得到x ＝8﹣，x ＝（舍去），得AE ＝AH +HE ＝16﹣，于是得到AM ＝8．【答案】4或8.【解析】解：当△CDE 为直角三角形时，①当∠CDE ＝90°，如下图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∴DE ⊥AB ，由折叠知：MN ⊥AB ，AM ＝EM ，∴MN ∥DE ，∴AN ＝DN ＝AD ＝5，12由sinA ＝＝，MN AN 35∴MN ＝3，AM ＝4；②当∠DEC ＝90°，如下图所示，过D 作DH ⊥AB 于H ，由题意知：∠HDC ＝90°，∴∠HDC +∠CDE ＝∠CDE +∠DCE ＝90°，∴∠HDE ＝∠DCE ，∴△DHE ∽△CED ，∴，DE CD EH DE∵sinA ＝，AD ＝10，∴DH ＝6，AH ＝8，35设EH ＝x ，∴DE ＝，由勾股定理得：DH 2+HE 2＝DE 2，62+x 2＝16x ，解得：x ＝8﹣，x ＝（不合题意舍去），∴AE ＝AH +HE ＝16﹣，∴AM ＝8，故答案为：4或8．例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 为AC 上一点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，将△PCD 沿PD 折叠，得到△PED ，连接AE ．若△APE 为直角三角形，则PC ＝．【答案】.1516【解析】解：当∠AEP ＝90°时，设PC ＝x ，在Rt △PDC 中，sinC ＝，cosC ＝，3545所以PD ＝x ，CD ＝x ．3545由折叠知：DE ＝CD ＝x ．45∴BE ＝BC ﹣CE ＝x ．125在△ABE 和△EDP 中，∠B ＝∠PDE ，∠BAE +∠AEB ＝90°，∠PED +∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠PED ．∴△ABE ∽△EPD ．∴，即，解得x ＝．BE DP AB DE =123534x =1516故答案为:．1516例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，点D 为斜边AB 上一点，DE ⊥AB 交AC 于点E ，将△AED 沿DE 翻折，点A 的对应点为点F ．如果△EFC 是直角三角形，那么AD 的长为．【分析】根据勾股定理得到AB ＝10，分三种情况讨论：∠CFE ＝90°，∠ECF ＝90°，∠CEF ＝90°时，得到结论．【答案】或5.75【解析】解：在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB ＝10，（1）若∠CFE ＝90°，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠1+∠2＝∠B +∠A ＝90°，由折叠知：∠A ＝∠2，AE ＝EF ，∴∠1＝∠B ，即CF ＝BC ＝6，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE 2＝EF 2+CF 2，CE 2＝（8﹣CE ）2+62，∴CE ＝，254∴AE ＝，74由△ADE ∽△ACB ，得：AE AD AB AC ∴AD ＝；75（2）当∠ECF ＝90°时，点F 与B 重合，AD ＝5；（3）当∠CEF ＝90°时，则EF ∥BC ，∠AFE ＝∠B ，∵∠A ＝∠AFE ，∴∠A ＝∠B ，∴AC ＝BC （与题设矛盾），∴这种情况不存在，故答案为：或5．75例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E ，F 分别为BC ，AC 上的两个动点，将△CEF 沿EF 折叠，点C 的对应点为G ，若点G 落在射线AB 上，且△AGF 恰为直角三角形，则线段CF 的长为【答案】.202079或【解析】解：（1）当∠AFG =90°时，如下图所示，设CF ＝y可得：△AFG ∽△ABC ∴AF GF AB BC=即534y y -=解得：x ＝；207（2）当∠AGF =90°时，如下图，设CF ＝x在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AC ＝5由折叠知：GF ＝FC ．∵∠AGF ＝∠ABC ＝90°∴GF ∥EC∴△AGF ∽△ABC ∴AF GF AC BC =即554x x -=解得：x ＝；209故答案为：.202079或。

2015年陕西省中考数学总复习课件：专题六运动型问题

C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1
处；作∠BPC1的平分线交AB于点E.设BP＝x，
BE＝y，那么y关于x的函数图象大致应为( C )
线动问题
【例 2】 (2014· 衡阳)如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A(－4，0)，B(0，3)，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单 3 位的速度沿直线 AB 向点 B 移动，同时，将直线 y＝4x 以每秒 0.6 个单位的速度向上平移，分别交 AO，BO 于点 C，D，
(1)试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；
3 解：(1)由 y＝－ x＋3，令 x＝0，得 y＝3，所以点 A(0，3)； 4 令 y＝0，得 x＝4，所以点 C(4，0)，∵△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，∴B 点坐标为(－4，0)，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴D 点坐标为(8，3)，将点 B(－4，0)、点 D(8，3)代入二次函数
设运动时间为 t 秒(0＜t＜5)．
(1)证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；
3 k＝ 0＝－4k＋b 4，设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，由题意，得，解得： 3＝b b＝3 3 3 ∴y＝ x＋3.∴直线 AB∥直线 y＝ x.∵A(－4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3， 4 4 3 3 在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 AB＝5.∴sin∠BAO＝， tan∠DCO＝ .作 PE⊥AO， 5 4 ∴∠PEA＝∠PEO＝90°∵AP＝t，∴PE＝0.6t.∵OD＝0.6t，∴PE＝OD.
∵∠BOC＝90°，∴∠PEA＝∠BOC，∴PE∥DO.∴四边形 PEOD 是平行四边形，
∴PD∥AO.∵AB∥CD，∴四边形 ACDP 总是平行四边形

中考数学动点问题压轴题

中考数学动点问题压轴题【典型题1】难度★★★如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y 与x的函数关系的是（）【思路分析】根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【答案解析】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y ＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2≤x≤4时，y＝S△APQ＝S正方形ABCD ﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．【典型题2】难度★★★在边长为3 cm的正方形ABCD中，动点M自点A出发沿AB 方向，以每秒1 cm的速度运动；动点N自点A出发沿折线A —D—C—B，以每秒3 cm的速度同时出发.到达点B时两点同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）.【答案解析】根据题意，作出如图所示正方形ABCD，应分三种情形：（1）当0<x≤1时，4个选项图象相同，可不作讨论；（2）当1<x≤2时，点N在边DC上点N1位置，点M在边AB 上点M1位置，AM1=x，边AM1上的高为3，.图象为从左向右上升的线段，排除选项（A）、（D）；（3）当2<x≤3时，点N在边CB上点N2位置，点M在边AB 上点M2位置，如图中虚线所示.AM2=x，BN2=9-3x..图象为开口向下的抛物线上一段，排除（C），故选B.【典型题3】：难度★★★如图，已知A、B是反比例函数，图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中箭头所示路线)匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设矩形OMPN的面积为S，点P运动时间为t，则S与t的函数图象大致为（）【答案解析】当点P在OA上运动时，S随t的增大而增大，且S与矩形边长的平方成正比，也就是与矩形的对角线OP的平方成正比，是t的二次函数，故可排除选项(B)、(D)(也可以根据点P在双曲线上运动时，矩形的面积不变，达到同样目的).当点P 在BC上运动时，S随t的增大而逐渐减小，排除选项(C).故应选A.【典型题4】难度★★★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD 从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）【思路分析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．由此即可判断．【答案解析】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+．故选：D．。