高中数学电子题库第二章1知能演练轻松闯关北师大版必修4

高中数学 电子题库 第二章 1知能演练轻松闯关 北师大版必修4

1.下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向； ②单位向量的方向任意；

③长度为1 cm 的向量是一个单位向量； ④与一个非零向量共线的单位向量有两个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故②不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm 不一定等于1个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．

2.(2012·西安质检)如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )

A ．有相同起点的向量

B ．共线向量

C ．模相等的向量

D ．相等的向量

解析：选C.OB →、OC →、AO →

模相等，都为圆的半径，故选C.

3.如图，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．

解析：由于图中各点确定的非零向量都是共线向量，只需从向量的长度和方向考虑即可．向量的长度为1、2、3，方向相同或相反，故有6个互不相等的非零向量．

答案：6

4.下列命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若|a |>|b |，则a >b ； ③若a ＝b ，则a ∥b ；

④若a ∥b , b ∥c ，则a ∥c .

其中，所有真命题的序号为________．

解析：①不正确，②不正确，③正确，当b ＝0时，④不正确． 答案：③

[A 级 基础达标]

1.(2012·南昌质检)有下列说法：

①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同；

②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →

； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选A.对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；

对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

2.如图所示，四边形RSPQ 是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是( ) A.SP →和QR → B.SR →和PQ → C.SR →和QR → D.SR →和SP →

解析：选B.因为四边形RSPQ 是菱形，所以各边长度相等，因此只需寻找方向相同的有向

线段．由菱形的性质可知SR →和PQ →

的方向相同．故选B.

3.把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )

A ．4π

B ．π

C ．2π

D ．3π

解析：选D.图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12

)＝3π.

4.(2012·九江调研)若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：在四边形ABCD 中，BA →＝CD →，则ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →

|，所以四边形是菱形．

答案：菱形

5.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形．

(1)与向量ED →

相等的向量有________；

(2)若|AB →|＝3，则向量EC →

的模等于________．

解析：相等向量既模相等，又方向相同，所以与ED →相等的向量有AB →，DC →.若|AB →

|＝3，则|ED →|＝|DC →|＝3.∴|EC →

|＝2×3＝6.

答案：(1)AB →，DC →

(2)6

6.如图所示，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：

(1)找出与AO →，BO →

相等的向量；

(2)找出与AO →

共线的向量；

(3)找出与AO →

模相等的向量；

(4)向量AO →与CO →

是否相等？

解：(1)AO →＝BF →，BO →＝AE →

；

(2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；

(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →；

(4)向量AO →与CO →

不相等，因为它们的方向不相同．

[B 级 能力提升]

7.(2012·新余质检)若a 是任一非零向量，b 是单位向量，则下列式子正确的是( ) A ．|a |>|b | B ．a ∥b C ．|a |>0 D.a

|a |

＝b

解析：选C.对于A ，向量b 是单位向量，其模为1，而对任一非零向量a ，其模不一定大于1，故A 错；对于B ，a 与b 不一定平行，故B 错；对于C ；非零向量的模一定大于0，故C 正确；对于D ，a

|a |

是单位向量，但是与b 不一定相等，因为方向不一定相同，故D 错．

8.(2012·淮北质检)已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )

A ．C A

B ．A ∩B ＝{a }

C ．C B

D ．A ∩B {a }

解析：选B.∵A ∩B 中还含有与a 方向相反的向量，故B 错．

9.如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →

的模为1，那么DB →

的模为________．

解析：由三角形内角平分线的性质，得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|，故|DB →|＝3

2

.

答案：32

10.如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN →＝MA →.

证明：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB →∥DC →

，

∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD →＝BC →

. ∵M ，N 分别是BC ，AD 的中点，

∴|AN →|＝12|AD →|，|MC →|＝12|BC →|，∴|AN →|＝|MC →

|.

又∵AN →∥MC →

，∴四边形AMCN 是平行四边形， ∴CN →∥MA →，|CN →|＝|MA →|，且CN →，MA →

方向相同， ∴CN →＝MA →.

11.(创新题)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A

跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→

表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．