北京市考试院2010届高三上学期抽样测试(数学理)
北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(理科)C
北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（理科）C一、解答题（共1小题；共13分）1. 一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是，，，，，现从盒子中随机抽取卡片．（1）若从盒子中有放回地抽取次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（2）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数的分布列和期望．二、选择题（共8小题；共40分）2. 设集合，，，则等于______A. B. C. D.3. " "是" "的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则下列不等式中正确的是______A. B.C. D.5. 如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正（主）视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为______A. B. C. D.6. 数列满足，，（），则等于______A. B. C. D.7. 在数列中，，．为计算这个数列前项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框处合适的语句是______A. B. C. D.8. 设集合，集合是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为______A. B. C. D.9. 如图，在等腰梯形中，，且．设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则______A. 随着角度的增大，增大，为定值B. 随着角度的增大，减小，为定值C. 随着角度的增大，增大，也增大D. 随着角度的增大，减小，也减小三、填空题（共6小题；共30分）10. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，成绩全部在分至分之间，将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；，第五组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．名同学中成绩大于等于分且小于分的学生有______ 名．11. 在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）12. 如图，是圆的内接三角形，切圆于点，交圆于点．若，，，则 ______， ______．13. 圆（为参数）的半径为______，若圆与直线相切，则______．14. 设、、为单位向量，、的夹角为，则的最大值为______．15. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）．四、解答题（共5小题；共65分）16. 如图，在四边形中，，，．（1）求的值；（2）求的面积．17. 已知，函数．设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点．（1）证明：；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．18. 如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为、，直线与轴、轴分别交于两点、，与椭圆交于两点，．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，若，求的值．19. 在数列和中，，，，其中且，．（1）若，，求数列的前项和；（2）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（3）设，，试问在区间上是否存在实数使得．若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由．20. 如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．答案第一部分1. （1）设表示事件“有放回地抽取次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”．由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，则（2）依题意，的可能取值为，，，所以所以的分布列为．第二部分2. B3. A4. C5. B6. A7. C8. D9. B第三部分10.11.12. ；13. ；或14.15. ②④第四部分16. （1）由已知及余弦定理得，解得，由正弦定理，，所以（2）在中，，所以，，因为，所以，所以，的面积．17. （1）对求导数，得，故切线的斜率为，由此得切线的方程为令，得（2）由，，得所以符合题意，当时，记，．对求导数，得令，得．当时，的变化情况如下表：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，从而函数的最小值为依题意，解得，即的取值范围是．综上，的取值范围是或．18. （1）设，，由得进而由已知，，又，所以从而，即．结合韦达定理，得解得，符合题意．所以所求直线的方程为或．（2）由已知，得，．由，得平方，得由，得，同理，代入上式，计算得即所以解得或因为，，所以异号，故舍去，所以．19. （1）因为，所以，，由，得，所以，因为且，所以，所以，是等差数列，所以数列的前项和．（2）由已知，假设，，成等比数列，其中，且彼此不等，则，所以，所以，若，则，可得，与矛盾；若，则为非零整数，为无理数，所以为无理数，与是整数矛盾．所以数列中的任意三项都不能构成等比数列．（3）设存在实数，使，设，则，且，设，，则所以，因为，且，所以能被整除．（i）当时，因为，，所以；（ii）当时，由于，所以，，所以，当且仅当时，能被整除．（iii）当时，由于，所以，所以，当且仅当，即时，能被整除．综上，在区间上存在实数，使成立，且当时，；当时，．20. （1）四棱柱中，，又面，所以 平面，又是正方形，所以，又面，所以 平面，所以平面 平面，所以 平面．（2）因为是正方形，所以，因为平面，所以，．如图，以为原点建立空间直角坐标系．中，由已知可得，则，，，从而．因为平面，所以平面，从而，又，所以平面，则平面的一个法向量为．设与所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）设平面的法向量为，则由，，得令，则得．设二面角的大小为，则所以二面角的余弦值为．。
2010年北京西城区高考一模试题解析数学理科人教B版
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（西城·理·题1）1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．（西城·理·题2）2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是（ ） A．2π B ．2,2π- C．π D ．2,π- 【解析】 A ；π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（西城·理·题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ） A ．10 B ．12 C ．15 D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（西城·理·题4）4．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ．1212,x x s s =< C ．1212,x x s s == D ．1212,x x s s <>3275538712455698210乙甲【解析】 B ；1215x x ==，2222222222221211(761167)(872278)88s s =+++++<=+++++．（西城·理·题5） 5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321 B ．2113 C ．813 D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（西城·理·题6）6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32 【解析】 C ；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24=种排法．（西城·理·题7）7．已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【解析】 C ；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知12P =．（西城·理·题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行【解析】 B ；若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（西城·理·题9）9．若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ． 【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==．（西城·理·题10）10．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ．222(2)44cos6013a b a a b b -=-⋅︒+=．（西城·理·题11）11．将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ． 【解析】 2220x y x +-=；2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=．（西城·理·题12）12．如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC =．OE = ．B【解析】 94,5； 22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知O C P C ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．lBCOE PDA（西城·理·题13）13．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 ． 【解析】 2-；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．（西城·理·题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．【解析】[2,)+∞；[1,1]-； 2()(1)f x x x =-≥的图象如下图左所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可；由()f x 为奇函数及0x ≥时的解析式知()f x 的图象如下图右所示，∵222(3)()f a a f a ==-，由2222(4)()(3)f a f a a f a -+-==≥，故2243a a -+≥，从而21a ≤，又21a ≤时，恒有(4)()f x f x +≥，故21a ≤即可．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （西城·理·题15） 15．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑵求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos2cos2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos2sin cos2cos2ααααααα-===．因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin α=所以sin 2cos sin cos 2αααα-．（西城·理·题16） 16．（本小题满分13）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率；⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．【解析】 设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====，⑴设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．⑵设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=； ⑶X 的可能取值为1，2，3，4，11(1)()6P X P A ===，21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（西城·理·题17） 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，ADC ∠=90°，1AB AD PD ===，2CD =． ⑴求证：BE ∥平面PAD ； ⑵求证：BC ⊥平面PBD ；⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45°．PEDCB A【解析】 ⑴取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以EF CD ∥，且11,2EF CD ==在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =，所以EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以BE AF ∥，BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD ． ⑵平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥． 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -． 则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ．(1,1,0),(1,1,0)DB BC ==-．所以0,BC DB BC DB ⋅=⊥．又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD ．⑶平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈， 所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)n a b c =，由0n DB ⋅=，0n DQ ⋅=，得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以cos45||||n BCn BC⋅︒===， 注意到(0,1)λ∈，得1λ．（西城·理·题18） 18．（本小题满分14分）椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>．⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率． 【解析】 ⑴由已知225c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >． 设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=， 所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k ⨯+-+=++，解得k =ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……① 又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=， 解得123y =或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -== 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为．（西城·理·题19） 19．（本小题满分14分）已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==，因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以在区间,⎛-∞ ⎝⎭上()f x 是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上()f x 是减函数．⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()02a f -<．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（西城·理·题20） 20．（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +（i =1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．⑴设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”；⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；⑶对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当”22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．【解析】 ⑴当2n ≥时，1n n n a S S -=-2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-，又10a =，所以2*()n a n n n =-∈N ． 所以2(1,2,3,)i a i i i +==是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”；⑵数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列{}n b 为3，2，1，5，4，数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数， 所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”； ⑶设2,121n m j j m =++≤≤， 注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-， 令441h m j =+--， 由于121,5j m m +≤≤≥， 所以4412212h m j m =+--+≥≥，又22244142m h m m j m m -=--++--≥，2242(2)60m m m --=-->， 所以2h m <，即2[12,]h m ∈，因为当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列{}n a 具有“变换P 性质”， 所以1，2，…，441m j +--可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h +=都是平方数．另外，244,441,,m j m j m j +-+-++可以按相反顺序排列， 即排列为2,,441,44m j m j m j +--++-，使得22(44)()(2)m j m j m +-++=+，22(441)(1)(2),,m j m j m +-+++-=+ 所以1，2，22441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++可以排列成 2123,,,,,,44h a a a a m j m j ++-， 满足2(1,2,,)i a i i m j +=+都是平方数． 即当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合=-====-P M x y y P y y M x 则},1|{},2|{( )A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2．若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( )A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．设复数=+=+-=2121arg ,2321,1z z i z i z 则( )A ．π1213B ．π127 C ．π125 D ．－π1254．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A ．54 B ．45 C ．43 D ．345．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+>+b a byax y b x a 与的曲线大致是( )正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径xyxy xyxyOOOOABCD6．若A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的是( )A ．C A sin sin <B ．C A cos cos <C ．tgC tgA <D ．ctgC ctgA <7．椭圆ϕϕϕ(sin 3,cos 54⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的焦点坐标为( ) A ．（0，0），（0，－8） B ．（0，0），（－8，0）C ．（0，0），（0，8）D ．（0，0），（8，0）8．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．0°9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A ．42B ．30C ．20D ．1210．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在11．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－812．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( ) A ．95B ．91C ．88D ．752003年普通高等学校春季招生考试A B CDEFG H JL数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三总 分 17 18 19 20 21 22 分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水 面高度恰好升高r ，则=rR14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）8815．如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by ax 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是16．若存在常数0>p ，使得函数 =)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解不等式：.1)1(log)2(log 21221-->--x x x18．（本小题满分12分）rr↑↓（1）（2）xyOPF 1F已知函数)(,2cos 4sin 5cos6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， EF ∩BD=G .（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； （Ⅱ）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （Ⅲ）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V .ABCD EFGB 1C 1D 1A 120．（本小题满分12分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21．（本小题满分13分）如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n+1与圆O n 外切，且与AB ，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆O n 的面积为)(N n a n ∈. （Ⅰ）证明}{n a 是等比数列； （Ⅱ）求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.ABCO 1O 222．（本小题满分13分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线1l相切，点C在l上.x:-=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.2003年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．332 14．（140）（85） 15．32 16．2p 注：填2p 的正整数倍中的任何一个都正确.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分.解：原不等式变形为)22(log)2(log21221->--x x x .所以，原不等式3230,203,01,0)1)(2(22201,02222<<⇔⎩⎨⎧<<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--⇔x x x x x x x x x x x x x x .故原不等式的解集为}32|{<<x x .18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1c o s 32c o s )1c o s 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分.（Ⅰ）证法一： 连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又 EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. （Ⅱ）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H.∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H. ∵422221111=⋅==B A B D ，,174144sin sin 2211111=+==∠=∠GB B B GB B H B D∴.17171617441=⋅==H D d 解法二：∵△D 1HB 1～△B 1BG ， ∴GB B D BB H D 11111=，∴.1717161442221211=+===GB B B H D d解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半， 即21112121B B H D G B =⋅⋅， .1717161211===∴GB BB H D d（Ⅲ）EF B EF B D EFD B S d V V V 1111131∆--⋅⋅===.31617221171631=⋅⋅⋅⋅=20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(⨯-----=x x x x f ，整理得307050)4050(5012100016250)(22+--=-+-=x x xx f BO n-1O nACABCDEFG B 1C 1D 1A 1B 1BG DD 1HB 1BG DD 1H所以，当x =4050时，)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记r n 为圆O n 的半径，则,633021l tg l r =︒=.2130sin 11=︒=+---nn n n r r r r所以,12),2(3122111lra n r r n n ππ==≥=-于是91)(211==--n n n n r r a a 故}{n a 成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11N n a a n n ∈=-所以.323911)(lim 2121l a a a a nn π=-=+++∞→22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力. 满分13分.解：（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为x y 42=.（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=xy x y x y 4)1(3)1(32由消y 得.3,31,03103212===+-x x x x 解得所以A 点坐标为)332,31(，B 点坐标为（3，32-），.3162||21=++=x x AB假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131(,)316()32()13(y y 由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y.9314-=y 解得但9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.① ② )332,31()32,3(-xy 42=l32-332xyA OB P(1,0)-1因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， 由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得， 即当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，故32≠y . 又2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.又222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y ++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二：以AB 为直径的圆的方程为222)38()332()35(=++-y x . 圆心)332,35(-到直线1:-=x l 的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G )332,1(--.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G点不重合，且A ，B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为9321).31(33332=-=-=-y x x y 得令.过点B 且与AB 垂直的直线方程为)3(3332-=+x y . 令33101-=-=y x 得.又由321)1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 解得，所以，当点C 的坐标为（－1，32）时，A ，B ，C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是).32(9323310≠>-<y y y 或。
2010年北京市高三测试(理)
北京市朝阳区2009—2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学试题（理工类）2010.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数等于（）A． B． C．－ D．2．右图是2010年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有（）A．B．C．D．的大小与的值有关3．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A． B．C． D．4．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆。
其中正确的是（）A．①② B．②③C．③④ D．①④5．在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）A． B． C． D．6．已知点渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（）A． B． C． D．7．设表示两者中较小的一个，若函数，则满足的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，+∞） C． D．8．一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D—AC —B的余弦值为，则下列论断正确的是（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3 B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4 C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上。
2010年高考数学北京卷(理)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷） 第Ⅰ卷（选择题 共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合{|03}P x Z x =∈≤≤，2{|9}M x Z x =∈≤，则P M = ( ) (A){} 1,2 (B){}0,1,2 (C){}1,2,3 (D){}0,1,2,3（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m = ( )（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ( )（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ( )（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是 ( )（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线（6）,a b 为非零向量。
“⊥a b ”是“函数()()()f x x x =+- a b b a 为一次函数”的 ( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设不等式组，1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞](8) 如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为2，动点E F 、在棱11A B 上，动点P Q ，分别在棱A D C D ， 上，若11EF A E x D Q y D P z ====， ， ， ，（,,x y z 大于零），则四面体PEFQ 的体积 ( ) （A ）与,,x y z 都有关 （B ）与x 有关，与,y z 无关 （C ）与y 有关，与,x z 无关 （D ）与z 有关，与,x y 无关第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2010年高考《数学(理科)》试题及参考答案(北京卷)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
（2）请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。
（3）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。
）1. 若集合，则A． B． C． D．2. 复数的共轭复数是A． B． C． D．3．已知，则的值是A． B． C． D．4. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积是A． B． C． D．5. A、B两名同学在4次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A、B的平均成绩分别是、，则下列结论正确的是A．>,B比A的成绩稳定B．<,B比A的成绩稳定C．>,A比B的成绩稳定D．<, A比B的成绩稳定6. 双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交与A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则A． B． C． D．7. 函数在定义域内可导，其图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为A．B．C．D．8．执行下面的程序框图，若，则输出的A．B．C．D．9. 已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：）A．B．C．D．10.现将一个边不等的凸五边形的各边进行染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则共有（）种染色方法A．30 B．36 C．48 D．5011.下列命题中正确的一项是A．“”是“直线与直线相互平行”的充分不必要条件B．“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的充分条件C．已知a,b,c为非零向量，则“a•b=a•c”是“b=c”的充要条件D．，。
2010年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x2＜9}，分别解出集合P，M，从而求出P∩M．【解答】解：∵集合P={x∈Z|0≤x＜3}，∴P={0，1，2}，∵M={x∈Z|x2＜9}，∴M={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴P∩M={0，1，2}，故选B．【点评】此题考查简单的集合的运算，集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发．2．（5分）（2010•北京）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4a5，求得a m=a1q10，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4a5=a1qq2q3q4=a1q10，因此有m=11【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．3．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．4．（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】本题要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：用插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有A88种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，∴一共有A88A92种排法．故选A．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．5．（5分）（2010•北京）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．6．（5分）（2010•北京）若，是非零向量，“⊥”是“函数为一次函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】简易逻辑．【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到，则成立，再判断充分性是否成立，由，不能推出函数为一次函数，因为时，函数是常数，而不是一次函数．【解答】解：，如，则有，如果同时有，则函数f（x）恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，则，因此可得，故该条件必要．故答案为B．【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算．7．（5分）（2010•北京）设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=a x的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y=a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．【点评】这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2010•北京）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】立体几何．【分析】四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．【解答】解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故选D．【点评】本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2010•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（﹣1，1）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式即复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标．【解答】解：∵，∴复数在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，要写点的坐标，需要把复数写成代数形式的标准形式，实部做横标，虚部做纵标，得到点的坐标．10．（5分）（2010•北京）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=1．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=0.03．若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】欲求a，可根据直方图中各个矩形的面积之和为1，列得一元一次方程，解出a，欲求选取的人数，可先由直方图找出三个区域内的学生总数，及其中身高在[140，150]内的学生人数，再根据分层抽样的特点，代入其公式求解．【解答】解：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1，解得a=0.03．由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．其中身高在[140，150]内的学生人数为10人，所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为×10=3人．故答案为：0.03，3．【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的，都等于．12．（5分）（2010•北京）如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE=5；CE=．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】立体几何．【分析】首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．【解答】解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，故BE为直径，因此∠C=90°，由勾股定理可知CE2=AE2﹣AC2=28，故CE=．故填：5；．【点评】本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．13．（5分）（2010•北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为（4，0），（﹣4，0）；渐近线方程为y=x．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程．【解答】解：∵椭圆的焦点为（4，0）（﹣4，0），故双曲线中的c=4，且满足=2，故a=2，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=±=±x故答案为：（4，0），（﹣4，0）；y=x【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f （x），则f（x）的最小正周期为4；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为π+1．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 可以沿x轴负方向滚动．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：故其与x轴所围成的图形面积为．故答案为：4，π+1【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（Ⅱ）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x ﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）=；（Ⅱ）f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx=3cos2x﹣4cosx﹣1=，因为cosx∈[﹣1，1]，所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当时，取最小值﹣．【点评】考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值，此题以三角函数为平台，考查二次函数求最值的方法．16．（14分）（2010•北京）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形⇒EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）先以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．把对应各点坐标求出来，可以推出•=0和•=0，就可以得到CF⊥平面BDE（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到=（，，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量•=0和•=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角A﹣BE﹣D的大小．【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG．因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）．所以=（，，1），=（0，﹣，1），=（﹣，0，1）．所以•=0﹣1+1=0，•=﹣1+0+1=0．所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．即所以x=0，且z=y．令y=1，则z=．所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A﹣BE﹣D为锐角，所以二面角A﹣BE﹣D为．【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．17．（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p a d（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（Ⅱ）求数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件“ξ=0”是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果．（II）由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望．【解答】解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．由题意可知（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1﹣P（ξ=0）=1﹣（II）由题意可知，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=整理得p=．∵a=P（ξ=1）===d=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=【点评】本题课程互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是一道综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题．18．（13分）（2010•北京）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）当K=2时，由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）当k=0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．【解答】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．20．（13分）（2010•北京）已知集合S n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…a n，），B=（b1，b2，…b n，）∈S n，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：∀A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）；（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈S n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数（Ⅲ）设P⊆S n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为．证明：≤．【考点】进行简单的合情推理．【专题】压轴题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合S n的要求．然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1，每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差．（Ⅱ）先比较A和B有几个不同（因为距离就是不同的有几个），然后比较A和C有几个不同，这两者重复的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同）去掉两次（因为在前两次比较中各计算了一次），剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：h=k+l﹣2i，从而三者不可能同为奇数．（Ⅲ）首先理解P中会出现C m2个距离，所以平均距离就是距离总和再除以C m2，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位．然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来，一切就水到渠成了．此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范．【解答】解：（1）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n因a i，b i∈0，1，故|a i﹣b i|∈0，1，（i=1，2，…，n）a1b1∈0，1，即A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|a n﹣b n|）∈S n又a i，b i，c i∈（0，1），i=1，2，…，n当c i=0时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|a i﹣b i|；当c i=1时，有||a i﹣c i|﹣|b i﹣c i||=|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）=|a i﹣b i|故（2）设A=（a1，a2，…，a n），B=（b1，b2，…，b n），C=（c1，c2，…，c n）∈S n记d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h记O=（0，0，…，0）∈S n，由第一问可知：d（A，B）=d（A﹣A，B﹣A），d=（O，B﹣A）=kd（A，C）=d（A﹣A，C﹣A）=d（O，C﹣A）=ld（B，C）=d（B﹣A，C﹣A）=h即|b i﹣a i|中1的个数为k，|c i﹣a i|中1的个数为l，（i=1，2，…，n）设t是使|b i﹣a i|=|c i﹣a i|=1成立的i的个数，则有h=k+l﹣2t，由此可知，k，l，h不可能全为奇数，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．（3）显然P中会产生C m2个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和．分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了t i个1，那么自然有m﹣t i个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，（i=1，2，…，n），那么n个位置的总和即【点评】本题是综合考查集合、数列与推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了．。
2010北京西城高三一模数学理(word版 答案免点数)
北京市西城区2010届高三抽样测试（数学理）（高三一模）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是 A．π B ．2,2π-C．πD ．2,π-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。
2010北京西城高三一模数学理(word版 答案 免费免点数)
北京市西城区2010届高三抽样测试（数学理）（高三一模）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是 A ．P Q = B ．P Q R =C ．P QÜD ．Q PÜ2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是 A．π B ．2,2π-C．πD ．2,π-3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A ．1321B ．2113C ．813D ．1386．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．已知平面区域1,||1,{(,)0,,{(,)0,1,y x y x x y y M x y y x ≤+⎧⎫≤-+⎧⎫⎪⎪Ω=≥=⎨⎬⎨⎬≥⎩⎭⎪⎪≤⎩⎭，向区域Ω内随机投一点P ，点P落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点。
2010年北京市高考理科数学试卷与答案
2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） 第 I 卷选择题（共40 分） 一、 本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。
在每小题列出的4 个选项中，选出符合题目要求的一项。
1， 集合 P x Z | 0 x 3 , M x R | x29 ，则 P M（ A ） 1,2 （ B ） 0,1,2 （ C ） x | 0 x 3 （ D ） x |0x 32，在等比数列 a n中， a1 1，公比 q 1.若 a m a1a2 a3 a4 a5 ，则m（A ）9 （ B ）10 （ C ） 11 3，一个长方体去掉一个小长方体，所得集（ D ） 12 合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如 右图所示，则该几何体的俯视图为正（主）视图侧（左）视图（ A ）（B ）（ C ） （D ）4，8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法总数为（A ） A 88 A 92 （ B ） A 88C 92 （ C ） A 88A 72 （ D ） A 88 C 925，极坐标方程(1)( ) 0(0) 表示的图形是 （A ）两个圆 （ B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （ D ）一条直线和一条射线6， a, b 为非零向量，“ a b ”是“函数 f( x) ( xa b) ( xb a) 为一次函数”的（A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （ D ）既不充分也不必要条件x y 11 0a x 的图象上7，设不等式组3x y 3 0 表示的平面区域为D，若指数函数y存在5x 3y9 0区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（A） (1,3] （ B） 2,3 （ C） (1,2] （ D） [3, )8，如图，正方体ABCD A1 B1C1 D1的棱长D1C1为 2 ，动点 E， F 在棱 A1 B1上，动点P，Q E FB1分别在棱AD ,CD 上，若A1E F1 1, A E , x D ,（Qx, y, zy大 DP zQ CD于零），则四面体P EFQ 的体积（A）与 x, y, z 都有关（B）与 x 有关，与y, z 无关（C）与 y 有关，与x, z 无关（D）与 z 有关，与x, y 无关PA B第II 卷（共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共30分。
北京市东城区2010-2011学年上学期高三年级期末统一检测数学试卷(理科)
北京市东城区2010-2011学年上学期高三年级期末统一检测数学试卷（理科）（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时长120分钟。
）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合P={x|x<4}，Q ={x|x 2<4}，则A. P Q ⊂≠B. Q P ⊂≠C. Q C P R ⊂≠D. P C Q R ⊂≠2. 在复平面内，复数i(i-1)对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-,01,01,01y x y y x 那么2x-y 的最大值为A. -3B. -2C. 1D. 24. 已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 若a=log 312，b =log 213，c =(21)0.3，则 A. a <b <c B. a <c <b C. b <c <a D. b <a <c 6. 直线ax +by +a +b =0与圆x 2+y 2=2的位置关系为 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切7. 已知△ABD 是等边三角形，且321==+，那么四边形ABCD 的面积为A.23B.323C. 33D.329 8. 已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，对任意x ∈R ，有|f (x )|≤m |x |，则称f (x )为F 函数。
给出下列函数：①f (x )=x 2；②f (x )=sin x +cos x ；③f (x )=12++x x x；④f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)-f (x 2)|≤2|x 1-x 2|。
[实用参考]2010年4月北京市西城区抽样测试理科
![[实用参考]2010年4月北京市西城区抽样测试理科](https://img.taocdn.com/s3/m/bbd2844a02768e9950e7381d.png)
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][来源:学科网][来源:学G 科G 网ZGGGGGK][来源:学|科|网][来源:学科网ZGGK]高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{1}P x x =>，2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q =RC ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P2.函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是A．2π B ．2,2π- C．πD ．2,π-3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304.甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s =D ．12x x <，12s s >7 83 5 5 72 38 94 5 5 6 1 2 2 0 1 乙甲5.阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为A ．1321B ．2113 C ．813D ．1386.某会议室第一排共有8个座位，现有3么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327.已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为A ．14 B ．13C ．12D ．238.如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ,,M N 分别是线段,AB CD 的中点.下列判断正确的是A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行βα lBACDMN· ·第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b +=___________. 10.已知2=a ，3=b ，a 、b 的夹角为60，则2-=a b ____________. 11.极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为___________.12.如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.13.已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为___________.14.设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是____________.如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos sin cos 2αααα-的值.16.（本小题满分13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ； （Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，P Q P C λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.18.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，长轴端点与短轴端点间的距离（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率. 19.（本小题满分14分）ABCDEP已知函数()(1)x af x e x=+，其中0a >．（Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（Ⅲ）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果满足i a i +（1,2,3,i =）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”.（Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （Ⅱ）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,,11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；（Ⅲ）对于有限项数列:1,2,3,,A n ，某人已经验证当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”.（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，…………………10分又α为锐角，所以10sin 10α=所以sin 2cos sin 10cos 210αααα-=.…………………12分16、解：设事件i A （1,2,3,4i =）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，…………………11分X 1234P16161612…………………12分1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………13分17、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ，…………………2分BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD .…………………4分（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥.…………………5分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P…………………6分(1,1,0)DB =，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，……………8分A BCD EP y xzQF又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD .…………………9分（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，…………………10分(0,2,1)PC =-，PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-，…………………11分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得所以，02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以2(1,1,)1λλ--n =，…………………12分所以22cos 452222()1BC BCλλ⋅===+-n n ，…………………13分 注意到(0,1)λ∈，得21λ=-.…………………14分 18、解：（Ⅰ）由已知32c a =，225a b +=，…………………3分 又222a b c =+，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………5分（Ⅱ）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立，22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，…………………6分又221114x y +=………②， 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），………………13分 将123y =代入①，得1253x =所以1145y k x -==14分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为19和519、解：（Ⅰ）解()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -.…………………2分 （Ⅱ）函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x+-'=，…………………5分 令()0f x '=，得1x =，2x =，因为0a >，所以10x <，20x >.…………………7分 当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以在区间(-∞上()f x 是增函数，………8分在区间上()f x 是减函数.…………………9分 （Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上()f x 存在最小值()2af -.…………………10分证明：由（Ⅰ）知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=->， 所以10x a <-<，…………………11分由()(1)x af x e x=+知，当x a <-时，()0f x >，…………………12分又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<，所以函数在区间1(,]2a x -上的最小值为()2a f -，且()02af -<，………………13分所以函数在区间(,]2a -∞-上的最小值为()2af -，计算得2()2aaf e --=-.…………………14分20、解：（Ⅰ）当2n ≥时，1n n n a S S -=-…………………1分2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-， (2)分又10a =，所以2n a n n =-()n ∈*N ................3分 所以2i a i i +=（1,2,3,i =）是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”. (4)分（Ⅱ）数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”，…………………5分数列{}n b 为3,2,1,5,4.…………………6分 数列1,2,3,,11不具有“变换P 性质”.…………………7分因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数， 所以数列1,2,3,,11不具有“变换P 性质”.…………………8分（Ⅲ）设2n m j =+，121j m ≤≤+，注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-， 令441h m j =+--，由于121j m ≤≤+，5m ≥，所以4412212h m j m =+--≥+≥， 又22244142m h m m j m m -=--++≥--，2242(2)60m m m --=-->，所以2h m <，即2[12,]h m ∈.………………10分因为当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列{}n a 具有“变换P 性质”， 所以1,2,,441m j +--可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h +=都是平方数；…………………11分另外，44m j +-，441m j +-+，…，2m j +可以按相反顺序排列，即排列为2m j +，…，441m j +-+，44m j +-，使得(44)m j +-22()(2)m j m ++=+，22(441)(1)(2)m j m j m +-+++-=+，…，…………………12分所以221,2,,441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++可以排成123,,,,,h a a a a2,,44m j m j ++-满足2(1,2,,)i a i i m j +=+都是平方数.…………………13分。
北京市昌平区2010届高三数学上学期期末质量抽测(理) 新人教版
UBA昌平区2010届高三上学期期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写，并认真核对条形码上的考试编号、姓名。
3．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)(1)复数i Z +=31，i Z -=12，其中i 是虚数单位，则21Z Z Z ⋅=在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知全集U=R ，集合A={x |x 2-3x -10<0},B ={x |x >3}, 则右图中阴影部分表示的集合为A ．(3,5)B ．(-2,+∞)C ．(-2,5)D ．(5,+ ∞)(3) 已知直线12:210:(1)10l x my l x m y -+=+--=与,则“m =2”是“1l ⊥2l ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件(4)下列函数中,周期为π的偶函数是A.cos y x =B.cos(2)2y x π=+C .sin(2)2y x π=+D.tan y x =正视图俯视图左视图OBCAP（5）数列{n a }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a =A. 11B. 15C. 17D.20（6）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ）， 则此几何体的体积是（ ）A ．396cmB ．380cmC ．()380162cm + D ．3224cm 3（7）函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A,若点A 在直线10mx ny +-=上，其中0m n >、，则21m n+的最小值为 A . 22 B. 3 C. 322+ D. 6(8)已知函数),3[)(+∞-的定义域为x f ，且2)3()6(=-=f f .'()f x 为()f x 的导函数， '()f x 的图像如右图所示.若正数,a b 满足(2)2f a b +<，则32b a +-的取值范围是（ ）A ．3(,3)2-B ． 3(,)(3,)2-∞-⋃+∞ C ． 9(,3)2- D ．9(,)(3,)2-∞-⋃+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）(9)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB =1，则圆O 的 半径R = .1 13 1517 19 111 113 115 117 119121 (129)……（10）在ABC ∆中，AB =3,BC =13，AC =4，则A ∠ =_____，ABC ∆的面积是 .(11)为了测算右图阴影部分的面积，做一个边长为6的 正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点, 结果恰有200个点落在阴影部分内.据此，可估计阴影 部分的面积是_____(12)已知命题:p R x ∈∃，022≤++a ax x ． 写出﹁p : _____________________; 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围 是 ．(13)执行右边的程序框图，若p ＝0.9，则输出的=n _______ (14) 把数列1{}21n -（*N n ∈）的所有项按照从大到小的 原则写成如右图所示的数表，其中的 第k 行有12k -个数，第k 行的第s 个数(从左数起)记为(,)A k s ，则(5,12)A 表示的数是___________;12009这个数可记为A(________).三、 解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)ABCDEA 1B 1C 1D 1如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 为11A B 的中点． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； (II)求二面角D BE C --的余弦值.（16）(本小题满分13分)已知向量(sin , cos )x x =a ，(cos ,sin 2cos )x x x =-b ，02x π<<.（Ⅰ）若a b ∥，求x ； （Ⅱ）设()f x =⋅a b ，（1） 求()f x 的单调增区间；（2） 函数()f x 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？（17）(本小题满分13分)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[50,60)，第二组[60,70) ，……，第五组[90,100]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I ）若成绩大于或等于60且小于80， 认为合格，求该班在这次数学测试中 成绩合格的人数；（II ）从测试成绩在[50,60)[90,100]⋃内的 所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成 绩分别为m、n ，求事件“||10m n ->”的概率.（18）(本小题满分14分)已知以点A (-1,2)为圆心的圆与直线1l ：270x y ++=相切.过点B (-2,0)的动直线l 与圆A 相交与M 、N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .(I) 求圆A 的方程；（II ）当MN =l 的方程； （III ）BQ BP ⋅是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.（19）(本小题满分13分)已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在0=x 处取得极值. （I ）求实数a 的值；（II ）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间]2,0[上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.（20）(本小题满分14分)对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ,使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “M 类数列”．（I ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“M 类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（II ）若数列{}n a 满足12a =，*132(N )n n n a a t n ++=⋅∈，t 为常数．（1） 求数列{}n a 前2009项的和；（2） 是否存在实数t ，使得数列{}n a 是“M 类数列”，如果存在，求出t ；如果不存在，说明理由.y昌平区2010届高三上学期期末考试数学参考答案（理科）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)（9） (10) 600; (11) 9(12) R,x ∀∈ 220x ax a ++>; 10<<a (13) 5 (14)153；（10，494） 三、解答题(本大题共6小题，共80分) （15）(本小题满分13分) （Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D BC -⊥在长方体中，侧面11ABB A ，AE ⊂侧面11ABB A ，AE BC ∴⊥，………2分在ABE ∆中，2,AB a AE BE ===，则有222AB AE BE =+，90AEB ∴∠=︒，AE EB ∴⊥， …………5分 又BC EB B =AE ∴⊥平面BCE …………6分(II)以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系D-xyz.则D(0,0,0) ,B(2a,a,0),E(a,a,a,),A(0,a,0),(,0,),(2,,0),(,,)AE a a DB a a DE a a a ===……………………………………………………………………….9分设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则由0,0n DB n DE ⋅=⋅=，得，20ax ay ax ay az +=⎧⎨++=⎩，令x=1,得(1,2,1)n =-………………………..10分又由（I ）AE ⊥平面BCE ，(,0,)AE a a =为平面BCE 的法向量，……11分3cos ,3||||AE n AE n AE n ⋅<>==⋅即所求二面角D BE C --的余弦值为3..………………………..13分（16）(本小题满分13分)解：（I ）若a b ∥，则2sin (sin 2cos )cos ,x x x x ⋅-=……………………….1分sin 2cos 2,x x -=即tan 21x ∴=-……………………………………………..2分330,02,2,248x x x x ππππ<<∴<<∴==又……………………………..4分（II ）2()2sin cos 2cos sin2cos2)14f x x π=⋅⋅--a b =x x -x =x -x -………….…8分 (1) 令222,,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得，388k x k ππππ-+≤≤+， 又02x π<<，308x π∴<≤，即（0，3]8π是()f x 的单调增区间………….11分(2) 将函数()f x 的图像向上平移1个单位，再向左平移8π个单位，即得函数()2g x x =的图像，而()g x 为奇函数…………………………………..13分(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给分.) （17）(本小题满分13分)解：（I ）由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为：5010(0.0180.040)29⨯⨯+=.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.………………….3分（II ）由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50100.0042⨯⨯=，设为x 、y ，...5分成绩在[90,100] 的人数为50100.0063⨯⨯=，设为a b c 、、，……………..6分 若,[50,60)m n ∈时，只有xy 1种情况，………………….7分 若,[90,100]m n ∈时，有,,ab bc ac 3种情况，……………..8分 若n m ,分别在[50,60)和[90,100]内时，有共有.10分 事件“||10m n ->”所包含的基本事件个数有6种……………………11分∴P （||10m n ->）=63105=. (13)分（18）(本小题满分14分)解：设圆A 的半径为R ,由于圆A 与直线1l ：270x y ++=相切，R ∴==∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=……………………………………….4分(II) ①当直线l 与x 轴垂直时, 易知2x =-符合题意……………5分②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为(2)y kx =+，即20kx y k -+=， 连结AQ ,则AQ MN ⊥ ∵MN =1AQ ==，………………………………………6分则由1AQ ==，得34k =, ∴直线l ：3460x y -+=. 故直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=………………………………………9分 (III)∵AQ BP ⊥,∴ ()BQ BP BA AQ BP BA BP AQ BP BA BP ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅…10分① 当l 与x 轴垂直时，易得5(2,)2P --，则5(0,)2BP =-,又(1,2)BA =,∴5BQ BP BA BP ⋅=⋅=-………………………………………………………11分②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，则由(2)270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，得P （47,12k k --+512k k -+）,则55(,)1212kBP k k --=++∴51051212k BQ BP BA BP k k--⋅=⋅=+=-++ 综上所述，BQ BP ⋅是定值，且5BQ BP ⋅=-.…………………14分（19）(本小题满分13分)解：（I ）121)('--+=x a x x f ---------------------------------------------------------------2分 又1.011,0)0(=∴=-='a a f 即 -----------------------------------------------------------3分（II ）由253()ln(1)022f x x b x x x b =-++-+-=得设23()ln(1)2g x x x x b =+-+-，则'13(45)(1)()2122(1)x x g x x x x -+-=-+=++---------------------------------------7分 令'5()0,1(g x x x ===-得，或舍）， ……………………………………………………………………………..11分()g x =0在区间]2,0[上恰有两个不同的实数根1(1)ln 202(0)0(2)ln 310g b g b g b ⎧=+->⎪⎪∴=-≤⎨⎪=--≤⎪⎩，即1ln 31b<ln2+2-≤. ---------------------13分（20）(本小题满分14分)解：（I ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*N n ∈故数列{}n a 是“M 类数列”， 对应的实常数分别为1,2． ……………………………2分因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *N n ∈故数列{}n b 是“M 类数列”， 对应的实常数分别为2,0． ……………………………4分（II ）（1）因为 *132(N )n n n a a t n ++=⋅∈ 则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅，20062006200732a a t +=⋅， 20082008200932a a t +=⋅ ……………………………….6分故数列{}n a 前2009项的和2009S =1a +()23a a ++()45a a +++()20062007a a ++()20082009a a +()24200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅++⋅+⋅=+-………………9分若数列{}n a 是“M 类数列”， 则存在实常数,p q使得1n n a pa q +=+对于任意*N n ∈都成立，………………………………………….10分 且有21n n a pa q ++=+对于任意*N n ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*N n ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且1*1232(N )n n n a a t n ++++=⋅∈则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*N n ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，………………………………………12分①当2,0p q ==时，12n n a a +=，2nn a =，1t =，经检验满足条件. ②当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件.因此当且仅当1t =或0t =，时，数列{}na 也是“M 类数列”.对应的实常数分别为2,0, 或1,0-． ………………………………………………………………14分。
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北京市考试院2010届高三上学期抽样测试（数学理）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数2i1i +等于（A ）1i -+ （B ）1i +（C ）22i -+（D ）22i +2．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，那么命题p ⌝为（A ）x ∃∈R ，20x< （B ）x ∀∈R ，20x< （C ）x ∃∈R ，20x≤（D ）x ∀∈R ，20x≤3．已知幂函数()f x 的图象经过点(2,4)，那么()f x 的解析式为 （A ）()2f x x =（B ）2()f x x =（C ）()2xf x =（D ）()2f x x =+4．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分 别用甲x 、乙x 表示，则下列结论正确的是 （A ）甲x >乙x ，且甲比乙成绩稳定 （B ）甲x >乙x ，且乙比甲成绩稳定 （C ）甲x <乙x ，且甲比乙成绩稳定 （D ）甲x <乙x ，且乙比甲成绩稳定5．如图给出的是计算11113519S =++++的 一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是（A ）10>i （B ）10<i18 99 8 2 1 03 8 9 9 甲乙（C ）9i > （D ）9i <6．一个四棱锥的底面为正方形，其三 视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（A ）(,5][5,)-∞-+∞ （B ）(,25][25,)-∞-+∞ （C ）[25,25]-（D ）[5,5]-8．设集合{123456}I =，，，，，，集合,A B I ⊆，若A 中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中所有数均不小于A 中最大的数，则满足条件的集合,A B 有 （A ）33组（B ）29组（C ）16组（D ）7组第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知圆C 的极坐标方程是2sin ρθ=，那么该圆的直角坐标方程为___________，半径长是___________.10. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a ___________.2正(主)视图侧(左)视图俯视图11. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1tan 3A =，150C =，1a =，则c =___________.12. 如图，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一 点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．13. 已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =- 有3个零点，则实数m 的取值范围是___________. 14. 在数列{}n a 中，1a a =，2a b =，且12n n n a a a --=-，3,4,5,n = .给出下列命题：① ,a b ∃∈R ，使得1a ，2a ，3a 均为负数； ② ,a b ∃∈R ，使得1a ，2a ，3a 均为正数； ③ 若5,1a b ==，则883a =-.其中真命题的序号为___________.（填出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )f x x x x =⋅+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设π()()8g x f x =+，判断函数()g x 的奇偶性，并加以证明．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=，12AB AA ==，1AC =，M ，N分别是11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅲ）求二面角M AN B --的余弦值．17．（本小题满分13分）如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为1:1:2．某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的． （Ⅰ）求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率；（Ⅱ）设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求X 的分布列；（Ⅲ）若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数2()()e xf x x ax a =--．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值． ABCABB 1CC 1A 1MN已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线C 上的动点M 满足1212||||2||MF MF F F +=，直线2MF 与曲线C 交于另一点P ．（Ⅰ）求曲线C 的方程及离心率； （Ⅱ）设(4,0)N -，若22:MNF PNF S S ∆∆3:2=，求直线MN 的方程．20．（本小题满分14分）数列{}n a 满足：2133n n n a a a +=-，1,2,3,n = .（Ⅰ）若数列{}n a 为常数列，求1a 的值；（Ⅱ）若112a =，求证：22334n a <≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列2{}n a 单调递减.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 有两空的小题，第一空3分，第二空2分.9．22(1)1x y+-=110．211．1012．12513．(0,1)14．②③注：14题少解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）2()cos sin cosf x x x x=+…………………2分111sin2cos2222x x=++…………………4分2π1)242x=++…………………6分故()f x的最小正周期为π．………………7分（Ⅱ）π()()8g x f x=+2ππ1)]2842x=+++………………… 9 分2π1)22x=++2122x=+…………………11分因为()g x-21212)cos2()2222x x g x =-+=+=，所以函数()g x是偶函数．…………………13分16．解法一：所以AC 是1AC 在平面ABC 内的射影， ………………… 2 分由条件可知AB ⊥AC ， 所以1AB AC ⊥． ………………… 4 分（Ⅱ）证明：设 AC 的中点为D ， 连接DN ，1A D .因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB .又1A M =1211A B ，11A B //=AB ， 所以1A M //=DN . 所以四边形1A DNM 是平行四边形.所以1A D ∥MN . ………………… 7 分因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以MN ∥平面11ACC A . …………… 9 分（Ⅲ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，所以MH ∥1BB .因为1BB ⊥底面ABC ， 所以MH ⊥底面ABC .在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G . 连接MG ，则MG ⊥AN .所以∠MGH 是二面角M AN B --的平面角. ………………… 12 分 因为MH =1BB =2，DABB 1CC 1A 1MNDABB 1CC 1A 1MNHG由AGH ∆∽BAC ∆，得HG=.所以MG.所以cos MGH ∠=HG MG =2121.二面角M AN B --的余弦值是2121. ………………… 14 分解法二：依条件可知AB ，AC ，1AA 两两垂直.如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -. 根据条件容易求出如下各点坐标：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)B ，1(1,0,2)C -，(0,1,2)M ，1(,1,0)2N -.（Ⅰ）证明：因为(0,2,0)AB =，1(1,0,2)AC =- ，所以1AB AC ⋅=0(1)20020⨯-+⨯+⨯=. ………………… 2 分 所以1AB AC ⊥ . 即1AB AC ⊥. ………………… 4 分（Ⅱ）证明：因为1(,0,2)2MN =-- ，(0,2,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， 且MN AB ⋅= 10022002-⨯+⨯-⨯=，所以MN AB ⊥. ………………… 7 分又MN ⊄平面11ACC A ， 所以MN ∥平面11ACC A . ………………… 9 分A BB 1CC 1A 1MNxyz因为(0,1,2)AM = ，1(,1,0)2AN =- ，由=0,=0,AM AN ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ n n 得020,10.2y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)=-n .由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=-m . ………………… 12 分设二面角M AN B --的大小为θ， 则cos ||||θ⋅=n m n m 211⨯=2121.二面角M AN B --的余弦值是2121. ………………… 14 分17．解：（Ⅰ）设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为()P A ，依题意，()P A 1=4. ………………… 3 分（Ⅱ）依题意知,1(3,)4X B ，从而X 的分布列为： X 0 1 2 3P2764 2764 964 1648 分 （Ⅲ）设i B 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，i C 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，1,2,3i =.依题意知1231231231113()()()342216P P B C C P C B C P C C B =++=⨯⨯⨯=． … 13 分 18．解：（Ⅰ）2()(2)e ()e x x f x x a x ax a '=-+--(2)()e xx x a =+-． 3 分当1a =时，(0)2f '=-，(0)1f =-，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)2y x --=-，即210x y ++=． ………………… 5 分（Ⅱ）令()0f x '=，解得2x =-或x a =．① 2a ≥，则当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(2,2)-上单调递减，所以，当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为2(2)(43)e f a =-．…… 7分② 22a -<<，则当()2,2x ∈-时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x2-(2,)a -a(,2)a2()f x '-+()f x2(4)e a -+极小值2(43)e a -所以，当x a =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()e a f a a =-⋅． …… 10 分③ 2a ≤-，则当(2,2)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在(2,2)-上单调递增，所以，当2x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为2(2)(4)e f a --=+． …… 12 分 综上，当2a ≤-时，()f x 的最小值为2(4)e a -+；当22a -<<时，()f x 的最小值为e a a -⋅； 当2a ≥时，()f x 的最小值为2(43)e a -． ………………… 13 分19. 解：因为12| |4F F =,1212| |||2||84MF MF F F +==>，所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为8的椭圆． ………………… 2 分曲线C 的方程为2211612x y +=，离心率为12． ………………… 5 分（Ⅱ）显然直线MN 不垂直于x 轴，也不与x 轴重合或平行. 设(,),(,)M M P P M x y P x y ，直线MN 方程为(4)y k x =+，其中0k ≠.由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)240k y ky +-=. ………………… 7 分 解得0y =或22443ky k =+.依题意22443M k y k =+，2211612443M M k x y k k -+=-=+. 因为22:3:2MNF PNF S S ∆∆=， 所以22||3||2MF F P =，则2232MF F P = .于是 32(2),230(0),2M P M P x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以 2222242(2)2,343216.343P M P M k x x k k y y k ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=-=⎪+⎩ ………………… 10 分 因为点P 在椭圆上，所以 22222242163()4()484343k k k k +-+=++.整理得 42488210k k +-=， 解得2712k =或234k =-（舍去），从而 21k =. ………………… 12 分所以直线MN 的方程为21(4)6y x =±+. ………………… 13 分20.解：（Ⅰ）因为数列{}n a 为常数列，所以1n n a a +=，32n n a a += 解得0n a =或23n a =由n 的任意性知，10a =或123a =.所以0a =，或23a =. ………………… 3 分 （Ⅱ）用数学归纳法证明22334n a <≤. ① 当1n =时，234a =，符合上式. ………………… 4 分 ② 假设当(1)n k k =≥时，22334k a <≤， 因为 22334k a <≤， 所以 2229233163k k a a ≤-<，即2192163k a +≤<. 从而221212189333256k k a a ++<-≤，即2221893256k a +<≤. 因为18932564<， 所以，当1n k =+时，222334k a +<≤成立. 由①，②知，22334k a <≤. ………………… 8 分 （Ⅲ）因为22222222222222223(33)3(33)n n n n n n n a a a a a a a -------=----432222222222754368n n n n a a a a ----=-+-+ (2n ≥)， 所以只要证明4322222222227543680n n n n a a a a -----+-+<. 由（Ⅱ）可知，220n a ->，所以只要证明3222222227543680n n n a a a ----+-+<， 即只要证明3222222227543680n n n a a a ----+->.令32()2754368f x x x x =-+-，222'()273542369(9124)9(32)0f x x x x x x =⨯-⨯+=-+=-≥， 所以函数()f x 在R 上单调递增.因为222334n a -<≤， 所以222()()03n f a f ->=，即3222222227543680n n n a a a ----+->成立. 故222n n a a -<.所以数列2{}n a 单调递减. ………………… 14 分。