九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似拓展资源古代文献中的相似三角形问题素材北师大版剖析
[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲
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[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册-第四章-图形的相似《相似三角形的性质及应用》知识讲相似三角形的性质及应用--知识讲解【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。
已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】 A.【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则1.60.82DN DE ==,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6(m).∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24(m)，所以选A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度． 举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，∴，∴.∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.2. 如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．【答案与解析】解：过E 作EH⊥CD 交CD 于H 点，交AB 于点G ，如下图所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH 为矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH，∴EHEG CH AG， 解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米． 答：故树高DC 为5.2米．【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．类型二、相似三角形的性质3.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）.A. 2：5B．14:25C．16:25 D. 4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,由△ADE∽△ACB得，S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形.举一反三【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.【答案】过点B 做BF⊥AC,垂足为点F ，∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴,BD AB BD BEBE CB AB CB==即,且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA,∴221189BED BCADE AC S S⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△,∴13DE AC =,又∵DE=2， ∴AC=6， ∴11862ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.4. 如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=3，AA1=2，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，从而找出规律答案即可求出．【答案与解析】2（3）2014解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=3，AA1=2，∴A1B2=A1B1=3，∴A1A2=23，同理：A2A3=2（3）2，A3A4=2（3）3，…∴An An+1=2（3）n，∴A2014A2015=2（3）2014，故答案为：2（3）2014．【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.举一反三：【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)∵，.,∽....(2)∵的周长与四边形的周长相等.,=6.,∽..,, .。
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳
九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。
在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。
本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。
1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。
- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。
2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。
以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。
- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。
- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。
3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。
- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。
- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。
4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。
当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。
常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。
- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 8 图形的位似 拓展资源 位似小知识素材 (新版)北师大版
位似小知识1定义每组图形的对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
如图，两个圆形的对应点o和o’和其半径所在的直线都经过S和S'，所以两个圆形是位似图形2性质位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。
3中心落点位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心。
）；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
4作图步骤位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择（除非题目指明）；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。
（不推荐考试的时候这么做，时间或许不够）5位似变换把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心. 位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题.2。
九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似典例分析教你画位似图形素材北师大版剖析
教你画位似图形位似图形是特殊的相似图形，而位似图形的画法要比相似图形的画法容易，因此，相似多边形的画法通常是通过画位似多边形来进行替代.下面以四边形为例进行说明.例已知四边形ABCD，画四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且相似比为k（k>1）.方法一：位似中心在图形内部.如图1所示，（1）在四边形ABCD内部任取一点O；（2）以点O为端点分别作射线OA、OB、OC、OD；（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB ＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.方法二：位似中心在图形外部.如图2所示，（1）在四边形ABCD外部任取一点O；（2）连接OA、OB、OC、OD；（3）分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取点A′、B ′、C ′、D ′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.方法三：位似中心在图形的一边上.如图3所示，（1）在四边形ABCD的边AB上任取一点O；（2）分别延长OA、OB，连接OC、OD并延长；（3）分别在OA、OB、OC、OD的延长线上取点A′、B′、C′、D′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；（4）连接B′C′、C′D′、D′A′.则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.小结：综上所述，已知一个图形，画它的位似图形关键有两点：第一，确定位似中心；第二，确定位似比（即相似比）.若题中没有明确规定，则可以自由确定，其中位似中心可以是随意的点，位似比可以选择一个适当的数；若题中有限制条件，则根据要求进行，在确定位似比时，要注意的是已知原图与新图的相似比，还是已知新图与原图的相似比，以确定是将原图放大还是缩小.跟踪训练如图所示，请你作一个与△ABC位似的缩小图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为1∶2.答案作图略.。
2019秋九年级数学上册第4章图形的相似4.8图形的位似课件(新版)北师大版
例3 如图4-8-4,已知O是坐标原点,△OBC中,点B(3,-1),点C(2,1).请你以 点O为位似中心画△OB‘C',使其满足:①△OB'C'与△OBC位似,且相似比 为2;②点O在△OB'C'与△OBC之间.
图4-8-4 分析 根据△OB'C'与△OBC的相似比为2,可知|k|=2;根据点O在△OB'C' 与△OBC之间,可知k=-2,把点B,C的横、纵坐标均乘-2,得到点B'、C'的 坐标,由此即可画出△OB'C'.
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
知识点一 位似变换的定义及性质
定义
一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P‘所在的直线都经过同 一点O,且有OP’=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形
有关概念 在位似多边形的定义中,点O叫做位似中心,k叫做这两个位似多边形的相似比
解析 (1) b1 = l1 .理由如下: b2 l2
因为P1D1∥P2D2,
所以△P1D1O∽△P2D2O.
所以 P1D1 = D1O ,即 b1 = l1 . P2D2 D2O b2 l2
(2)由(1)知 b1 b2
Hale Waihona Puke = l1l2,将b1=3.2
cm,b2=2
cm,l1=8
m代入得 3.2
此书收集于明成祖时编修的永乐大典中,现保存在英国剑桥大学图书
馆,该卷书是
;
(2)在(1)中提到刘徽的杰作中,记载的第一个问题的大意是:在如图4-8-9
所示的示意图中,要测量海岛上一座山峰的高度AH,立两根高3丈的标
九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似拓展资源古代文献中的相似三角形问题素材北师大版
古代文献中的相似三角形问题古塔测高有一座古塔，不知有多高,测得影长为11。
3米。
现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。
求塔高.(图2）这个例子源于古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得《光学》中对物体高度的测量。
隔河测距在A和B之间有一条河.在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。
测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。
求AB之间的距离。
这个问题源于古希腊海伦《Dioptra》中的间接测量问题。
推求邑方今有邑方不知大小，各开中门。
出北门三十步有木.出西门七百五十步见木。
问：邑方几何？尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 相约“相似三角形”和探索“相似的条件”
相约“相似三角形”和探索“相似的条件”我们已经认识了形状相同的图形，结识了相似多边形，下面让我们一起来研究最简单的相似图形――相似三角形，来探索两个三角形相似的条件吧。
一．相似三角形的概念三角对应相等，三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
温馨提示：全等三角形是相似三角形的特例，两者之间有如下关系：（1）全等三角形是相似比为1的相似三角形；相似三角形不一定全等；（2）全等三角形要求对应边相等；相似三角形要求对应边成比例。
因此，我们可以通过将全等三角形与相似三角形进行类比，来学习和掌握相似三角形的相关知识。
现将三角形全等的判别方法与三角形相似的条件列表比较如下：二．探索“三角形相似的条件”1．条件比拼判定两个三角形相似，除了运用相似三角形的定义外，常用的方法还有以下三种：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）三边对应成比例的两个三角形相似．（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．指点迷津在利用相似三角形解决问题时，常用到以下几个基本图形：（1）平行型：条件中若有平行线，可直接得两三角型相似，如没有平行线，可添加平行线，构造平行型相似三角形．如：如图1，DE//BC，则△ABC∽△ADE。
（2）斜交型：条件中若有一对角相等，可考虑在找一对角相等，应用相似三角形方法1（两角对应相等的两个三角形相似），或找等角的夹边对应成比例，应用相似三角形的方法3（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．如：如图2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，则△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）。
（3）垂直型：若有一对直角出现在条件中，可考虑再找一对等角，使用方法1；或者证明斜边、直角边对应成比例．如：如图3（1），AB⊥AC，AD⊥BC，则△ABD∽△CBA∽△CAD；如图3（2），AB⊥AC，ED⊥BC，则△ABC∽△DEC。
温馨提示：在解与相似三角形有关的问题时，可以通过寻找基本图形来确定相似三角形，也可以通过添加辅助线构造基本图形得到相似三角形，从而使问题得到解决。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.8图形的相似
北师大版九年级数学上册说课稿：4.8 图形的相似一. 教材分析北师大版九年级数学上册4.8节“图形的相似”是学生在学习了图形的性质、相交线、平行线等基础知识后，进一步探究图形之间的关系。
本节内容主要介绍了相似图形的定义、性质和判定方法，以及相似图形在实际问题中的应用。
通过学习本节内容，学生能够理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法，提高观察、分析、解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对图形的性质和关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对相似图形的概念和性质理解不深，难以运用相似图形解决实际问题。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生直观感受相似图形的特点，通过实例让学生体会相似图形在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法，能运用相似图形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似图形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：相似图形的性质和判定方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的相似图形，引导学生观察、思考，引出相似图形的概念。
2.探究相似图形的性质：让学生通过观察、操作、交流，发现相似图形之间的内在联系，归纳出相似图形的性质。
3.学习相似图形的判定方法：引导学生通过实例，探讨相似图形的判定方法，总结出判定相似图形的方法。
4.应用拓展：让学生运用相似图形的性质和判定方法解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.总结反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的自主学习能力。
九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似教学
12/11/2021
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判断(pànduàn)下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？
（1）五边形ABCDE与五 边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形 ABCD中，△ABO与 △CDO 12/11/2021
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（3）正方形ABCD与正 方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等 边三角形A′B′C′
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练一练
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来(yuánlái)的一 半.
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小结(xiǎojié)
今天你学会了什么？ 位似图形的定义(dìngyì)，位似图形的性质.
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图中每组中的两个(liǎnɡ ɡè)多边形也是位似多边形。
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应用位似图形(túxíng)概念作图 例：如图已知△ABC以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC相似 (xiānɡ sì)，且相似(xiānɡ sì)比为2.
解：1、画射线(shèxiàn)OA,OB,OC. 2、在射线OA，OB,OC上取点D,E,F使OD=2OA,OE=2OB, OF=2OC
教学 课件 (jiāo xué)
数学(shùxué) 九年级上册 北师大版
12/11/2021
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第四章 图形 的相似 (túxíng)
4.8 图形的位似
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A B
C
观察下列(xiàliè)图形的特 点
P
D
九年级数学上册知识归纳 图形的相似
作品编号：578912354698310.2567 学 校： 星宿市龟卜镇殷商小学* 教 师： 大鹏金翅鸟* 班 级： 螭吻玖班*图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：C ABDCABDE E D BACDE ∥BC∠B =∠AED∠B =∠ACDADBCDO B ACO DCBAX 型 母子型AC ∥BD∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31．2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．ADBC②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第八节图形的位似
解：根据题意，得SS△△AA′BB′CC′ =
AC A′C′
2= 14，
即S△A7′B′C′ = 14. ∴ S△A′B′C′=7×4=28.
知2－练
感悟新知
知2－练
3-1. 如图， 以点O为位似中心， 将△ABC放大得到△DEF，
若AD=OA， △ABC的面积为4， 则△DEF的面积为
( C) A．2
感悟新知
知1－练
例 1 判断如图4-8-2的各图中的两个图形是否是位似图形， 如果是，请指出其位似中心.
感悟新知
解题秘方：紧扣定义进行判断. 解：(1)是位似图形，位似中心为点A；
(2)不是位似图形； (3)是位似图形，位似中心为点O.
知1－练
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知1－练
1-1. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部 分，图中的类似“E”的图形均是相似图形，下面不是 位似图形的是( B ) A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
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知4－讲
2. 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别 (1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式， 它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形 变换是全等变换，而位似变换是相似变换. (2)在直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋 转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律： ①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离；
△OB′C′； 解：如图4-8-10，延长BO到点B′，使OB′=2OB；延长
CO 到点C′，使OC′=2OC，连接
B′C′，则△OB′C′就是要画的图形.
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(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； 解：点B′，C′的坐标分别为 (－6，2)，(－4，－2).
九年级数学上册 第四章 图形的相似 8 图形的位似 用物理知识来研究位似图形素材 北师大版(202
九年级数学上册第四章图形的相似8 图形的位似用物理知识来研究位似图形素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似8 图形的位似用物理知识来研究位似图形素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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用物理知识来研究位似图形我们知道,要想学好物理知识,就必须有一定的数学基础；然而反过来，要学好数学，有时又必须运用物理知识,才能更好地解决数学问题，特别地是运用物理知识来帮助我们解决数学中的位似图形问题.为了帮助同学们及时地掌握这些知识，现分类举例说明，供参考.一、幻灯机例1 小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1所示,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30cm ，幻灯片到屏幕的距离是150cm ，幻灯片上小树的高度是10cm,则屏幕上小树的高度是（ ）A.50cmB.500cm C 。
60cm D.600cm简析 由于幻灯片与屏幕平行，则光源与幻灯片的上下两个端点所组成的三角形和光源与屏幕上小树的上下两个端点所组成的三角形相似，于是有10小树高度＝3030150，所以小树高度＝60（cm ）.故应选C .说明 幻灯机是物理中常用的教具之一,它能把精制的画片投到银幕上，能够在一定的程度上激发同学们的学习兴趣，然而它的工作原理就利用的是位似图形的性质.对应高之比等于它的位似比.二、杠杆问题例2 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目。
跷跷板支柱AB 的高度为1。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 8 图形的位似 相似三角形中的创新题型素材 北师大版(2021
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相似三角形中的创新题型 相似知识，是近几年中考命题中的一个重要内容之一,试题设计新颖，除了考察相似图形的叛定、计算之外,开放型、探索型、动态型等创新题备受宠爱,它们能从不同的角度，多层次的考查学生的能力,下面举几例加以说明.一、开放型例1 已知△ABC 中，Ｐ是ＡＢ边上一点,连接CP ,要使△AＰC∽△ACB,则应添加的条件是 .分析：开放型问题分为条件开放型、结论开放型.本题是一个条件开放型问题问题.注意该题中隐含的条件的使用，既公共角∠A，因此根据三角形相似的判定方法:“有两个角对应相等的两个三角形相似"和“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”两条思路进行思考,这是一个开放型题。
解：(１)∠APC=∠ACＢ，或∠AＣP=∠B 时，可得三角形相似。
（2)AB AP AC ACAB AP AC ⋅==2既时，可得三角形相似. 二、分类讨论型例2 △ABC 中,A Ｂ=12,AC=8,P 是AC 中点,过点P 的直线交AB 于点Q ，若以A ，Ｐ，Q 为顶点的三角形和△AＢC 相似,则AQ 的长为（ )分析:由于以A ，Ｐ,Q 为顶点的三角形和△ABC 有公共角,由相似的判定方法,可使用两角对应相等的三角形相似，可构造另一组角相等,在此,应该分类讨论,既过P 点的直线有两条:(1）过点Ｐ做ＰQ∥ＢC,由相似三角形的性质可得：68412=∴=AQ AQ AC AP AB AQ 既。
201x届九年级数学上册 第四章 图形的相似 8 图形的位似(新版)北师大版
2．如图，正五边形 FGHMN 是由正五边形 ABCDE 经过位似变换得到的， 若 AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( B )
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
3．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A′B′O′是以点 P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交 点)上，则点 P 的坐标为( C )
5. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为位似中心， 相似比为 1∶ 2，点 A 的坐标为(0，1)，则点 E 的坐标是_(__2_，____2)___．
6．如图，△ABC 与△DOE 是位似图形，A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)， E(6，0)，△ABC 与△DOE 的位似中心为点 M.
1．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一 个点，那么，这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是( A ) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
2．坐标系中的位似变换 规 律：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都 乘同一个数 k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是_坐__标___原__点__，它 们的相(位)似比为_|_k_| _． 性 质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
归类探究
类型之一 位似图形的概念 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( D )
理由：∵△A′B′C′与△ABC 是位似图形，
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明 拓展资源 相似三角形的古老应用素
九年级数学上册第四章图形的相似5 相似三角形判定定理的证明拓展资源相似三角形的古老应用素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（九年级数学上册第四章图形的相似5 相似三角形判定定理的证明拓展资源相似三角形的古老应用素材（新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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相似三角形的古老应用“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容.从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识。
在巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题;公元前6世纪,古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯(Eupaｌinoｓ)在负责隧道开掘时已经运用了相似三角形的性质;泰勒斯已经会运用相似三角形来进行测量。
欧几里得、海伦的有关著作中都有利用相似三角形性质进行测量的问题.我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。
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用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。
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1 古代文献中的相似三角形问题
古塔测高 有一座古塔，不知有多高，测得影长为11.3米。
现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重
合，测得竹竿的影长为0.2米。
求塔高。
（图2）
这个例子源于古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说
以及欧几里得《光学》中对物体高度的测量。
隔河测距 在A 和B 之间有一条河。
在BA 延长线上取一点
C ，作BC 的垂线A
D 和C
E ，点D 位于BE 上。
测得AC=5米，CE=3.3
米，AD=3米。
求AB 之间的距离。
这个问题源于古希腊海伦《Dioptra 》中的间接测量问题。
推求邑方 今有邑
方不知大小，各开
中门。
出北门三十步有木。
出西门七百五十步见木。
问：邑方几何？。