7-4 能量均分定理 理想气体内能
理想气体内能 平均自由程
推广：在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度
上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。
能量按自由度均分定理：
在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度 的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是能量 按自由度均分定理，简称能量均分定理。
k
i 2
k=3kT/2
说明：
kT
•是统计规律，只适用于大量分 子组成的系统。 •统计物理可给出严格证明。
b A(x,y,z) a
y
x
说明：一般来说，n≥3个原子组成的分子，共有3n个自由度，
其中3个平动自由度，3个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。当 气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。
二、能量均分定理：
一个分子的平均平动能为
k
2 x
kt
2 y
3 2
kT
1 2
mv
2
1 2
E＝ m i M 2 RT
E E 2 E1
m i M 2
R (T 2 T1 )
在相同的t时间内，分子由A到 B的位移大小比它的路程小得多
A
B
(路程/时间) (位移量/时间)
扩散速率 平均速率 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
分子自由程: 分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
y
q
x
z
自由刚体
三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点 两个独立的a， b 决定转轴空间位置
一个坐标q 决定刚体转过的角度
i=6 3个平动 3个转动
b A(x,y,z) a
y
刚性杆：
x,y,z,α,β i=5
z
大学物理 7.3 能量均分定理
U 总 N 0 i 总 kT 2 kN0 R
i U RT 2
M i U RT M mol 2
理想气体的内能是 温度的单值函数！
例1.
将水蒸汽分解成相同温度的氢气和氧气，求 内能增加的百分比 。 解
2H 2 2 H H O O 2O 22 22
2 mol 水
UH2O 6RT UH2 5RT
U O2 5 RT 2
2 mol 氢气
1 mol 氧气
U
H2
U O 2 U H 2O U H 2O
7. 5 6 25 % 6
单原子 分子平均 总动能
总
i kT 2
双原子
多原子
3 总 kT 2 5 总 kT 2
z
y
C ( x, y, z )
x
单原子分子 平动自由度t=3
y
转动自由度r=2
x 双原子分子
平动自由度t=3
i tr3
i tr5
z
C ( x, y, z )
三原子分子 平动自由度t=3 转动自由度r=3
x
y
itr 6
1 2 m v 平衡态理想气体分子平均平动动能 3 kT 2 3 kT 3 1 2 2 2 2 2 2 2 v m v v x vv v z v x m 2 3 1 1 1 1 2 m v ix m kT kT 温度为T 的平衡态理想气体 2 2 2 2
i1 3 i2 1
2
z
y
cos cos cos 1
i3 2
6.4X 能量均分定理 理想气体的内能
刚性近似下, s = 0, i = t + r, 分子的平均总能量：
3 2 kT（单原子分子） i tr 5 E Ek kT kT kT（双原子分子） 2 2 2 6 2 kT 3kT（多原子分子）
当温度极低时，转动自由度 r 也被“冻结”， 任何气体分子都可视为只有平动自由度 , 就如 同单原子分子。这时, r = 0, s = 0, i = t, i t 分子的平均总能量 E Ek kT kT 2 2
1.52102 ( J / m3 )
(4) 0.3 mol气体的内能
i 5 E RT 0.3 8.31 273 1.7 10 3 J 2 2
例2：贮存有氮气的容器以速度100米/秒运动。若该容 器突然停止，问容器中温度将升多少？
已知：u
100m / s, i 5, 28 10 kg / mol
常温下热运动能kt为0026ev故转动状态很容易被激发而振动状态很少被激发因此故转动状态很容易被激发而振动状态很少被激发因此在常温下理想气体分子可近似看成是刚性的在常温下理想气体分子可近似看成是刚性的只需考虑其平动和转动自由度而不必考虑其振动自由度
6.4 能量均分定理 理想气体的内能
引言：前面我们研究气体动能时，把分子看作弹性 小球的集合，人们发现用这一模型去研究单原子气体问 题时，理论与实际符合得很好，但是用这一模型去研究 多原子分子时，理论值与实验值相差甚远。 1857年克劳修斯提出：将理想气体模型稍作修改。 即不能将所有分子都看成质点，对结构复杂的多原子 分子，考虑分子的能量时，要考虑分子各种运动的能 量。即不但要考虑分子的平动，还要考虑其转动和分 子内原子之间的振动。 下面我们来考察包括平动、转动、及振动在内的理 想气体能量。
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• 单原子分子只有三个平动自由度，而没有转动自由 度。
• 双原子分子的自由度数最多可以有6个。
• 由此可估计到，N 个原子组成的多原子分子，其自 由度数最多为 3N 个。
在这 3N 自由度中，有三个（整体）平动、三个 （整体）转动及 3N – 6 个振动自由度。
理杜想隆气 -珀体蒂的定总律动: 固能体就摩是位尔内热能置容U 。所需独立坐标数也就不同。
由于固体处于静止状态，它的平动、转动运动不必考虑， 则物体在该过程中的热容C 定义为 粗略地考虑，可不必区分定压热容还是定体热容，而以 C m 表示晶体的摩尔热容。
• 若要解释单原子、双原子、多原子理想气体热容的
• 双原子分子、多原子分子及单原子分子之间的差
别在于它们的分子结构各不相同 大家知道，确定一个质点的空间位置需 x、y、z 三个独立坐标，故自由度数是3个。 ，描述它们的空间
由于分子中的原子所进行的振动都是振幅非常小的微振动，可把它看作简谐振动。 本节将在此基础上，通过与实验测量值的比较，得到能量均分定理,
• 因为转动惯量与回转半径平方成正比，，所以转动惯 量之比为 10-10 倍。转动角速度相同时的转动能量之 比也是 10-10 倍。
故双原子分子绕中心轴转动自由度不必考虑,
刚性双原子分子的自由度数为三个平动自由度两个转 动自由度。
• 非刚性双原子分子有一个沿两质心联线振动的振动自 由度，其总自由度数为六个。
一个刚性多原子分子既在空间平动又作转动，确定
空间位置就需 x、y、z 及α、β、γ 六个独立坐
标，它的自由度数是六个。 • 而双原子分子本身很像一个哑铃，每个原子的质量
能量均分定理名词解释
能量均分定理名词解释
答案解析
答:在平衡态,物质分子能量分配的统计规律.在温度为T的平衡态,物质(气体、液体或固体)分子的每一个运动自由度都具有相同的平均动能,其中k是玻耳兹曼常量.用它可确定物质的内能和热容量.
如果气体分子的平动、转动、振动自由度分别为t、r、s,则相应的平均动能分别为,因分子内原子的振动除动能外还有势能,且两者在一个周期内的平均值相等,故对于每一个振动自由度,还有的平均势能.于是,分子的平均总能量为,对于理想气体,因分子间无相互作用,其内能就是上述分子平均能量与总分子数的乘积,只与温度有关,其热容量则与温度无关.
气体分子能量按自由度的均分通过分子间的频繁碰撞得以建立和维持.外界供给气体的能量,通过器壁与气体分子以及气体分子之间的碰撞分配到各自由度上.对于液体和固体,能量按自由度均分是通过分子间很强的相互作用而实现的.能量均分定理在经典物理范围内适用,要求能量可以连续地变化,它的困难也正源于此.。
§2.7 能量均分定理
Nt、Nr、Nv分别为对平动、转动与振动自由度贡献
的平均分子数。
注意:对平动自由度做贡献的平均分子数就是气体的 总分子数。
但是对转动自由度和振动自由度做贡献的平均分子 数可以小于气体的总分子数。
几点说明:质上是关于热运动的统计规律， 是对大量分子统计平均所得的结果，这可以利用统计物 理严格证明。
能量均分定理讨论了气体的摩尔内能， 在所有的自由度都做贡献的情况下,
NA个原子所组成的多原子分子气体的摩尔内能为
Um NA [3 3 (NA 6) 2] kT / 2
• 如果把固体类比为由 N 个“原子”所组成的“大
分子”，这时能量均分定理也能被用来讨论固体的热 容。
• 由于固体处于静止状态，它的平动、转动运动不必考 虑，
§2.7 能量均分定理
•在§1.6.4中已得到处于平衡态的理想气体每个分 子的平均平动动能为
t 3kT / 2
• 本节将在此基础上，通过与实验测量值的比较，得到 能量均分定理,
• 并指出这一定理的局限性。
§2.7.1 理想气体的热容
（一）热容
•热容是物体升高或降低单位温度所吸收或 放出的热量。
• 若以 Q 表示物体在升高 T 温度的某过程中吸收
•大家知道，确定一个质点的空间位置需 x、y、z
三个独立坐标，故自由度数是3个。
刚体的转动自由度
一个刚体做定点转动时的自由度数为 3 。
一个刚性多原子分子既在空间平动又做转动，确定
空间位置就需 x、y、z 及α、β、γ 六个独立坐
标，它的自由度数是6个。 • 而双原子分子本身很像一个哑铃，每个原子的质量
平动动能都均分 kT / 2 。
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高中物理奥林匹克竞赛高分辅导专题 能量均分定理(共16张PPT)
引出：前面我们研究气体动能时把分子看作弹性小球的集合，我 们发现当我们用这一模型去研究单原子气体的比热时，理论与实 际吻合得很好，但当我们用这一模型去研究多原子分子时，理论 值与实验值相差甚远。
1857年克劳修斯提出：要修改模型。而不能将所有分子都看 成质点，对结构复杂的分子，我们不但要考察其平动，而且还要 考虑分子的转动、振动等。
下面我们来考察包括平动、转动、乃至包括振动在内 的理想气体能量。
一、自由度
1、何谓自由度
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
自由度
确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
A
(1) 质点的自由度
质点在三维空间运动。
Y C
三个独立坐标： i = t =3 (2) 刚体的自由度 -- 平动+转动
摩尔数
1
M1 M mol1
22.1 28
0.789
O2质量 M2 28.9103 23% 6.65103 kg
摩尔数
2
M2 M mol 2
6.65 32
0.208
Ar质量 M3 28.9103 1% 0.289103 kg
摩尔数
3
M3 M mol3
二、气体能量按自由度均分原理 －能量均分定理
先来分析一下单原子分子的平均平动动能
大量气体分子无规则运动，向各个方向运动的机会均等。
Et
1 mv2 2
3 kT 2
vx2
vy2
vz2
1 3
v2
1 2
mvx2
简述能量均分定理的内容
简述能量均分定理的内容
能量均分定理是热力学的一个基本原理，也称作理想气体的能量均分定理。
它描述了理想气体中分子的能量分布情况，并指出分子的平均能量与温度成正比。
能量均分定理的内容可以总结为以下几点：
1.分子的自由度：根据经典热力学，每个分子具有三个平动自由度（沿着三个坐标轴的运动）以及额外的转动和振动自由度。
在能量均分定理中，假设理想气体分子只能在简单的平动自由度上运动。
2.能量分布均匀：能量均分定理认为，在给定的温度下，每个分子的平均动能（即能量）是相等的，不论分子的质量或性质如何。
这意味着具有相同温度的两个气体样品中，分子的平均动能是相等的。
3.平动动能与温度关系：能量均分定理指出，每个平动自由度贡献的能量与温度成正比。
对于一个二维平动自由度（x和y方向），每个分子的平均动能为(1/2)kT，其中k表示玻尔兹曼常数，T表示温度。
4.总能量与平动自由度相关：对于具有平动自由度的分子，总能量是平动自由度个数的倍数。
例如，对于一个具有三个平动自由度的分子（如单原子分子），总能量是(kT)×3。
5.高温近似有效性：能量均分定理的有效性在高温下更为明显。
在低温下，分子的能量分布可能会受到量子效应的影响，因此能量均分定理的简单形式可能不再适用。
能量均分定理描述了理想气体中分子能量的分布情况，并提供了一个简化的模型来理解分子的能量和温度之间的关系。