简单方程1.19
19解简易方程
2.表示3个连续偶数。
A.
x为最小时，x,（x＋2）,（x＋4） B. x为最大时，x,（x－2）,（x－4）
3.表示4个连续奇数。
x为最小时，x,（x＋2）,（x＋4） ，（x＋6） B. x为最大时，x,（x－2）,（x－4），（x＋6）
A.
8
有4个连续奇数，它们的和是176， 求其中最大的一个奇数。 解：设其中最大 的一个奇数是x,则另外三个奇数 分别是（x－2），（x－4），（x－6）。
5
（3
试一试
x － 10 ）÷ 5＝ x ÷ 2
6
5 ＋（2.1－8 ）÷5×8 ＝ 5 1.8 ＋（2.1－8 ）×8÷5 ＝ 5 ＋（2.1－8 ）×1.6 ＝1.8 1.8 5 ＋3.36－12.8 ＝1.8 解： 3.36 －12.8 ＋ 5 ＝1.8 3.36 －（12.8 － 5 ）＝1.8 3.36 －7.8 ＝1.8 7.8 ＝ 3.36 － 1.8 ＝ 1.56÷7.8 ＝ 0.2
x。
7
试一试 一个数的6倍加上8，等于这个数的8倍减去6。 求这个数。
一个数减去7，差再乘7，所得的结果 与它减去13的差再乘13的结果相同。
求这个数。
用含有未知数的式子
1.表示5个连续自然数。
A.
x为最小时，x,（x＋1）,（x＋2） ,（x＋3）, B. x＋ 为最大时， x,（x－1）,（x－2） ,（x－3）,（x （x 4）
1
x + 4x = 14 解： 7x = 14 x = 14÷7 x=2
3
因数=积÷另一个因数
检验：把 =2代入原方程， 左边=3×2+4×2=14 右边=14 左边=右边，所以x=2是原方程的解。
简易方程公式知识点总结
简易方程公式知识点总结一、一元一次方程1. 一元一次方程的定义：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
一般地，一元一次方程可以用ax+b=0（a≠0）来表示，其中a和b是已知数，x是未知数。
2. 方程的解：方程ax+b=0的解即为x=-b/a。
其中，如果a=0且b≠0，那么方程无解；如果a=0且b=0，那么方程有无数解。
3. 解方程的方法：解一元一次方程可以通过如下几种方法：a. 移项法：将未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。
b. 相消法：通过相等的两边增加或减少同一个量，使得方程两边的某个项相消掉。
c. 等价变形法：通过等式的加减乘除变形，使得方程的解变得更明显。
4. 例题：解方程3x+5=2x-7解：将未知数项移到左边去，得到3x-2x=-7-5，即x=-12。
二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
一般地，一元二次方程可以用ax^2+bx+c=0（a≠0）来表示，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
2. 方程的解：一元二次方程的解可以用求根公式来表示，即x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
其中，当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根。
3. 方程的图像：一元二次方程的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)。
4. 例题：解方程x^2-5x+6=0解：根据求根公式，Δ=5^2-4*1*6=1，因此方程有两个不相等的实根，即x=[5±√1]/2=3或2。
三、一元三次方程1. 一元三次方程的定义：一元三次方程是指含有一个未知数的三次方程。
一般地，一元三次方程可以用ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）来表示，其中a、b、c和d是已知数，x是未知数。
2. 方程的解：一般地，一元三次方程没有通用的求解公式，而是需要通过因式分解、配方法、换元等多种方法来求解。
小学数学《简易方程》知识点归纳
小学数学《简易方程》知识点归纳为了能帮助广大小学生朋友们及时掌握所学知识，数学网特地为大家整理了五年级上册数学简易方程知识点，希望能够切实的帮到大家，同时祝大家学业进步！五年级上册数学《简易方程》知识点（人教版）1、用字母表运算定律。
加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： a+b+c=a+(b+c)乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：abc=a(bc)乘法分配律： (ab)c=acbc2、用字母表示计算公式。
长方形的周长公式： c=(a+b)2 长方形的面积公式： s=ab正方形的周长公式： c=4a 正方形的面积公式： s=3、读作：x的平方，表示：两个x相乘。
2x表示：两个x相加，或者是2乘x。
4、①含有未知数的等式称为方程。
②使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
③求方程的'解的过程叫做解方程。
5、把下面的数量关系补充完整。
路程=(速度)(时间) 速度=(路程)(时间) 时间=(路程)(速度)总价=(单价)(数量) 单价=(总价)(数量) 数量=(总价)(单价)总产量=(单产量)(数量) 单产量=(总产量)(数量)数量=(总产量)(单价 )工作总量=(工作效率)(工作时间)工作效率=(工作总量)(工作时间)工作时间=(工作总量)(工作效率)大数-小数=相差数大数-相差数=小数小数+相差数=大数一倍量倍数=几倍量几倍量倍数=一倍量几倍量一倍量=倍数被减数=减数+差减数=被减数-差加数=和-另一个加数被除数=除数商除数=被除数商因数=积另一个因数只要大家脚踏实地的复习、一定能够提高数学成绩！希望提供的五年级上册数学简易方程知识点，能帮助大家迅速提高数学成绩！【小学数学《简易方程》知识点归纳】。
简易方程ppt课件
分类
总结词：根据未知数的个数和方程的次 数，简易方程可以分为一元一次方程、 二元一次方程、一元二次方程等类型。
3. 一元二次方程：含有一个未知数，且 未知数的次数为2的方程。例如：x^2 3x + 2 = 0。
2. 二元一次方程：含有两个未知数，且 未知数的次数都为1的方程。例如：3x + 4y = 12。
03 简易方程的应用
代数问题
01
02
03
代数方程
通过代数运算解决代数方 程，如x^2 - 3x + 2 = 0 。
代数不等式
解决代数不等式问题，如 求解x^2 - 5x + 6 > 0的 解集。
代数恒等式
证明或推导代数恒等式， 如(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
几何问题
面积问题
配方法
总结词
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过配方将方程转化为完全平方的 形式，从而简化求解过程。
详细描述
配方法是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为一个完全平 方项，右边为一个常数。然后对方程两边同时开平方，得到一个一元一次方程 ，解这个方程即可得到原方程的解。
公式法
总结词
总结词
因式分解法是解一元二次方程的一种有效方法，通过对方程 进行因式分解，将其转化为两个一元一次方程来求解。
详细描述
因式分解法是将一元二次方程左边化为两个一次式的乘积， 右边为一个常数。然后分别解这两个一元一次方程，得到原 方程的解。因式分解法适用于系数较简单的方程，可以简化 求解过程，提高解题效率。
详细描述
1. 一元一次方程：只含有一个未知数， 且未知数的次数为1的方程。例如：3x + 5 = 10。
五年级数学上册《简易方程》PPT
解方程
1．方程的解与解方程。 “方程的解”是一个数，是使等号左右两边相等的未知数的值；“解方程”是指演算过程。 2．解形如 ±a=b 和 a=b 的方程。 依据等式性质来解此类方程。解方程时要注意写清步骤，等号对齐。 3．验算。检验是不是方程的解，把解代入原方程的左边算出得数，再算出右边的得数，如果左右两边的 得数相等，那么这个解就是原方程的解。 4、解方程原理： 一、等式两边同时加或减相等的数，等式不变。 二、等式两边同时乘或除以相同的数（0 除外） ，等式不变。 5、在列方程解决问题时，我们应统一单位，在方程求值代人方程检验。
谢谢
用字母表示数
演讲人
目录
01
用字母表示数
02
方程的意义
03
解方程
04
“三看两原则”
05
稍复杂的方程
用字母表示数
1．用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“ ”，也可以省略不写。数和字母相乘时，省略乘号后， 一律将数写在字母前面。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。 2．用字母表示运算定律。 加法交换律是 a+b=b+a；加法结合律是 (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法交换律是 ab=ba； 乘法结合律是 (ab)c=a(bc)； 乘法分配律是 (a+b)c=ac+bc。 3．用字母表示常见的数量关系及计算公式。 用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值，只要在答中写出得数即可。 4、a×a可以写作aa或a2 ，a2 读作a的平方。 2a表示a+a
稍复杂的方程
1．列方程解决问题的步骤。 (1)求什么设什么（个别除外）(2)找出等量关系，列方程; (3)解方程； (4)检验，作答。 2．算术解法与方程解法的区别。 (1)列方程解决问题时，未知数用字母表示，参加列式；算术解法中未知数不参加列 式。 (2)列方程解决问题是根据题中的数量关系，列出含有未知数的等式，求未知数的过 程由解方程来完成。算术解法是根据题中已知数和未知数间的关系，确定解答步骤， 再列式计算。
简易方程的数学知识点总结
简易方程的数学知识点总结一、概念简易方程是指只含有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次幂为一。
一般形式为ax+b=0。
其中，a和b为已知数，x为未知数。
二、解一元一次方程的方法1. 直接相减法当已知数和未知数在等式两边分布时，可用直接相减法解方程。
例如：2x+3=7解：先将3移到等号右边，得2x=7-3，再相减得2x=4，最后除以2，得x=2。
2. 相反数相加法当未知数的系数为1时，可应用相反数相加法。
例如：x-5=2解：将x移到等号右边，得x=2+5，最后得x=7。
3. 等式两边加减法用等式两边的数值的交换性和对等性来解方程。
例如：3x-4=11解：先将-4移到等号右边，得3x=11+4，再相加得3x=15，最后除以3，得x=5。
4. 辗转相减法用变形公式解一元一次方程，通过等号两边的数值进行运算，将运算结果分别代入方程得到解。
例如：2x+5=11解：首先将5移到等号右边，得2x=11-5，再相减得2x=6，最后除以2，得x=3。
将解代入原方程验证。
5. 等式两边乘除法通过等式两边的乘法或除法运算解方程。
例如：3x/2-4=5解：首先将4移到等号右边，得3x/2=5+4，再相加得3x/2=9，最后乘以2/3，得x=6。
将解代入原方程验证。
6. 试算法通过适当的试算及验证得出方程的解。
例如：4x+3=19解：设计一个未知数值，代入解方程得出的结果进行验证。
设x=4，代入得4*4+3=19，验证结果正确，得出x=4。
三、实际应用1. 量的问题通过方程式的列立和解法可以解决关于量的问题，如长方形的周长、面积等问题。
2. 轻松购物通过方程式解决购物问题，如打折、满减等问题。
3. 交通问题通过方程式解决交通问题，如两车相遇、相距多远等问题。
4. 职业生涯规划通过方程式解决职业规划问题，如薪水增长、晋升等问题。
5. 金融问题通过方程式解决金融问题，如利息计算、投资回报等问题。
总结：简易方程是数学中的基本概念之一，是一种重要的计算工具。
2019-2020学年人教版九年级数学上册期末考点大串讲：一元二次方程及其一般式(含答案解析)
一元二次方程及其一般式知识网络重难突破知识点1：一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
【注意】1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。
典例1 下列属于一元二次方程的是（ ）. A ．2213y x +-= B ．2x x = C ．21120x x--= D ．3x ＋1＝0【答案】BA. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误；D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误； 故选：B.典例2（2019春 左贡县期末）2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．1p = B ．0p > C ． 0p ≠ D ． p 为任意实数【答案】C【详解】∵方程2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程， ∴二次项系数p≠0， 故选C.典例3 若22ax x x -=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．1a ≠ C ．1a ≠- D ．0a ≠【答案】B【详解】由题意得：a-1≠0 解得a≠1 故选B ．知识点二 一元二次方程的解概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
典例1（2019春 赣州市期末）关于x 的方程x 2+（m 2﹣2）x ﹣15＝0有一个根是x ＝3，则m 的值是（ ）A.0B.2C.2或﹣2D.﹣2【答案】C【详解】把x ＝3代入方程x 2+（m 2﹣2）x ﹣15＝0得9+3m 2﹣6﹣15＝0，解得m ＝±2． 故选C ．典例2（2019春 武汉市期末）已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +1=0 的一个根，则 m 的值是（ ） A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定【答案】C【详解】解：∵1是关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0的一个根， ∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0，解得：．故选择：C.典例3 （2019市 重庆市期末）已知a 是方程的一个根，则代数式的值是（ ）A.6B.5C.D.【答案】B【详解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根，∴a2-3a-1=0，整理得，a2-3a=1，∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3=2×1+3=5，故选：B．巩固训练一、选择题（共10题）1．（2019春青岛市期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（）A．12019B．2020 C．2019 D．2018【答案】B【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故选：B．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2019春青岛市期末）观察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一个近似解是（）A ．0.11B ．1.69C ．1.79D ．1.19【答案】C【详解】∵x=1.7时，x 2-x=1.19；x=1.8时，x 2-x=1.44， ∴一元二次方程x 2-x=1.2的一个解为1.7＜x ＜1.8．故选C ．【名师点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．3．（2019春 济南市期末）已知m 是方程好x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2m 2－4m ＋2019的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【答案】B【详解】∵m 是方程x 2−2x −1=0的一个根， ∴m 2−2m −1=0， ∴m 2−2m=1，∴2m 2−4m+2017=2(m 2−2m)+2017=2×1+2019=2021.故选B【名师点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则4．（2019春 桂林市期末）方程x 2+2x ﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．1，2，3B ．1，2，﹣3C ．1，﹣2，3D ．﹣1，﹣2，3【答案】B【详解】方程x 2+2x ﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3，故选：B ．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax 2+bx+c ＝0(其中a ，b ，c 为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项5．（2019春 荣成市期末）关于x 的方程221(3)60m m m x mx ----+=是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．3或－1【答案】B【详解】解：由题意得：m 2-2m-1=2，m-3≠0，解得m=-1或m=3． m=3不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（2019春 蚌埠市期末）一元二次方程(a -3)x 2-2x +a 2-9=0 的一个根是 0, 则 a 的值是( )A ．2B ．3C ．3 或-3D ．-3【答案】D【详解】把x =0代入方程（a -3）x 2-2x +a 2-9=0，得：a 2﹣9=0，解得：a =±3．∵a －3≠0，∴a =－3． 故选D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．7．（2018春 苏州市期末）若关于x 的方程（a +1）x 2-3x -2=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≠B ．1a ≠-C ．1a >-D ．1a <-【答案】B【详解】解：根据题意，得 a+1≠0， 解得，a≠-1． 故选：B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．8．（2018春 赣州市期末）将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx+c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A ．﹣4，2 B ．﹣4x ，2 C ．4x ，﹣2D ．3x 2，2【答案】B【详解】解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得：-3x 2+4x-2=0，∵a ＞0，∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2， 故选：B ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．（2018秋 重庆市期中）若()2a 1x x 10-+-=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．a 0≠B ．a 0≥C ．a 1≠D ．a 1≥【答案】C【详解】根据题意得：10a -≠，解得：1a ≠， 故选C ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．10．（2019春 北京市期中）已知2是关于x 的方程3x 2﹣2a ＝0的一个解，则a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【详解】解：把x ＝2代入方程3x 2﹣2a ＝0得3×4﹣2a ＝0，解得a ＝6． 故选：D ．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题（共5题）11．（2019春 北京市期末）如果a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，那么代数式283a a -+=__________.【答案】3【详解】解：把x=a 代入x 2-3x-5=0得a 2-3a-5=0， 所以a 2-3a=5，所以8-a 2+3a=8-（a 2-3a ）=8-5=3．故答案为：3．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．（2019春 乌兰察布市期末）方程(31)(23)1x x +-=中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.【答案】6 -7 -4【详解】方程整理得：6x 2 −7x −4=0，其中二次项系数是6，一次项系数为−7，常数项为−4， 故答案为： 6，−7，−4【名师点睛】此题考查一元二次方程的性质，解题关键在于将方程整理为一般形式13．（2019春 东营市期末）已知关于x 的一元二次方程()222340m x x m +-+-=的一根为0，则m 的值为__________． 【答案】2【详解】把x=0代入方程得 m 2-4=0∴m 1=2，m 2=-2，∵一元二次方程的二次项系数不为0， ∴m+2≠0，即m≠-2， ∴m=2． 故答案为：2．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系数的值，对不合题意的值要舍去．14．（2019春 长春市期中）如果5x =是一元二次方程230x x n -+=的一个根,则常数n 的值为______. 【答案】-10.【详解】把5x =代入230x x n -+=可得25350n -⨯+=解得：x=-10 故答案为：-10【名师点睛】考核知识点：一元二次方程的根.理解方程的根的意义.15．（2019春 温州市期末）若3x =是一元二次方程230x ax b ++=的解，则代数式+a b 的值是_______【答案】-3【详解】解：3x =是一元二次方程230x ax b ++=的一个根， 23330a b ∴++=， 3a b ∴+=-．故答案为：3-．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的解（根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题（共2题）16．（2019春 北京市期中）关于x 的方程x 2+mx ﹣1＝0的一个根是x ＝2，求m 的值．【答案】m ＝﹣32． 【详解】解：把x ＝2代入方程x 2+mx ﹣1＝0得4+2m ﹣1＝0，解得m ＝﹣．【名师点睛】本题考核一元二次方程的根的意义.17．（2018春 北京市期末）已知x ＝n 是关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0的一个根，若mn 2﹣4n+m ＝6，求m 的值． 【答案】1【详解】依题意，得2450mn n --=． ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=．∴1m =．【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
第三章波动方程
(1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t,
x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t,
x;
ti,
∆ti).
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方
程的Cauchy问题
wtt − c2wxx = 0 (t > τ ), t = τ : w = 0, wt = f (τ, x)
0
于是，再利用(1.4)可知
ut|t=0 = w(0, x; 0) = 0.
(1.8)
(1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
t
t
ut(t, x) = w(t, x; t) + wt(t, x; τ )dτ = wt(t, x; τ )dτ.
x
0,
k > 1,
其中ϕ0(0) = ψ(0)。 7. 求解下述边值问题
utt − uxx = 0, 0 < t < f (x),
u|t=x = u|t=f (x)
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
简易一元一次方程
简易一元一次方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一元一次方程是初中阶段的基础数学概念。
在代数学中，一元一次方程式是一种教学基础和最简单的形式。
本文将重点讨论一元一次方程的定义、解法和应用。
一元一次方程的定义是指一个未知数和一个常数之间的关系式。
一元一次方程的一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知常数，x 为未知数。
a不等于0。
在解一元一次方程时，首先需要将方程式转化为标准形式，即将所有未知数移到一边，将常数移到另一边，以便方便求解。
对于方程式3x + 5 = 11，我们可以逐步进行移项操作，得到3x = 11 - 5，最终得到x = 2。
解一元一次方程的基本方法有两种：直接分离法和变项合并法。
直接分离法是指将未知数移到等式的一边，将常数移到等式的另一边，然后进行计算求解。
而变项合并法则是通过对等式两边同时进行加减乘除的操作，使得未知数的系数为1，进而求得未知数的值。
在实际生活中，一元一次方程有着广泛的应用。
在商业中，我们经常会遇到类似“总售价=单价*数量+固定费用”的问题，这就是一元一次方程的应用。
还有在物理学中，根据运动方程v=at，我们可以通过解一元一次方程来计算物体的速度和时间。
一元一次方程是代数学中最基本的概念之一，掌握好一元一次方程的解法和应用，对于学生掌握数学知识和提高数学能力是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解一元一次方程的概念和解法。
第二篇示例：一元一次方程是代数学中基础的概念之一，也是解决实际问题的重要工具。
简单来说，一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
通过解一元一次方程，我们可以求解未知数的值，从而解决各种实际问题。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的常数，而x就是未知数。
解方程的过程就是找到使方程成立的未知数的值。
下面我们将详细介绍一元一次方程的解法和应用。
我们来看一个简单的例子：2x + 3 = 7。
五年级下册数学知识整理 第一单元 简易方程
五年级下册数学知识整理---## 第一单元：简易方程### 1. 什么是简易方程？在数学中，简易方程是一种含有未知数的等式，通常表示为x + 2 = 7这样的形式。
在这个方程中，x就是未知数，我们需要找到x的值使得等式成立。
简易方程是学习代数的基础，也是解决实际问题的重要数学工具。
### 2. 理解方程的含义方程的本质是一种平衡关系，左边与右边相等。
当我们解一个方程时，实际上是在寻找未知数的值，使得等式两边保持平衡。
通过解方程，我们可以解决很多实际问题，比如小明手中的糖果数量加上5等于小红手中的糖果数量，这是一个简单的方程问题。
### 3. 解简易方程的方法解简易方程有很多种方法，比如逆运算法、等式法、凑整数法等。
逆运算法是指通过逆向的运算来求解未知数，比如对方程x + 5 = 10，我们可以通过减5的逆运算来求解x的值。
等式法是指通过等式的性质来求解，比如方程x + 5 = 10可以转化为x = 10 - 5的形式来求解。
凑整数法是指通过调整方程中的系数，使得方程更容易解决，比如方程2x + 3 = 7可以通过减3再除以2来求解x的值。
### 4. 实际问题中的简易方程简易方程最大的作用之一就是解决实际问题。
比如小明手中的糖果数量加上5等于小红手中的糖果数量，这个问题可以用简易方程x + 5 = y来表示，其中x和y分别代表小明和小红手中的糖果数量。
通过解这个方程，我们就可以求解出小明和小红手中糖果的具体数量。
### 5. 总结与展望简易方程是数学中非常重要的内容，它不仅是代数学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习简易方程，我们可以培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
在未来的学习中，我们还会接触到更加复杂的方程，所以要扎实掌握简易方程的知识，为以后的学习打下坚实的基础。
### 6. 个人观点我认为简易方程是数学中非常重要且实用的一部分，它不仅帮助我们提高数学解决问题的能力，也培养了我的逻辑思维能力。
简易方程-初学者必学基础
简易方程一、方程1.等式的意义表示相等关系的式子叫做等式.2.方程的意义含有未知数的等式叫做方程.例如：3+x=9,15x=225都是方程3.方程必须满足的条件〔1〕必须是等式；〔2〕必须含有未知数.4.方程与等式的关系方程式等式,但等式不一定是方程,它们之间的关系可以用下图表示.二、解方程1.方程的解和解方程1=5使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.例如：x=20能使方程x×41=5的解.左右两边相等,所以x=20就是方程x×4求方程的过程叫做解方程2.等式的性质等式的性质,又称之为天平平衡的原理.①等式的性质〔一〕等式的左右两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立.例如：4+3=7 4+3+2=7+25+10.6=15.65+10.6－3=15.6－3②等式的性质〔二〕等式的左右两边同时乘或者除以同一个不为0的数,等式仍然成立.例如：1.5×4=6 1.5×4×3=6×31.5×4=6 1.5×4÷5=6÷53.利用等式的性质解方程因为方程式等式,所以等式具有的性质方程都具有.在解方程时,新课标中就运用了等式的性质〔即人们熟悉的能使天平两边平衡的原理〕来理解解方程的过程.〔1〕方程的左右两边同时加上或减去同一个数,方程的解不变.例如：x－3=5x+3.2=4.5解：x－3+3=5+3 解：x+3.2－3.2=4.5－3.2x=8 x=1.3〔2〕方程的左右两边同时乘一个不为0的数,方程的解不变.x÷4.2=6解：x÷4.2×4.2=6×4.2x=25.2〔3〕方程左右两边同时除以一个不为0的数,方程的解不变.1.5x=0.3解：1.5x÷1.5=0.3÷1.5x=0.24.解两步、三步运算的方程两步、三步运算的方程,可根据等式的性质进行运算,先把原方程转化为一步运算的方程,再求出方程的解.例如：解方程3x＋25=55.解此方程时,把含有未知数的项3x看作一个数,在方程的左右两边同时减去25,变成3x=30；然后把方程3x=30的左右两边同时除以3,即可求出方程的解.5.解方程的书写格式解方程前,先写一个"解〞,"解〞字后面加一个冒号〔：〕.在解方程的过程中,一般要每一行写一个方程.通常情况下,要把未知数写在等式的左边,上下方程〔同原方程〕的等号要对齐.例如：解方程3x＋25=55.3x＋25=55解：3x+25－25=55－253x=303x÷3=30÷3x=106.方程的检验检验时,先把所求出的未知数的值代入原方程,看看方程的左边、右边得数是否相等.若得数相等,则所求的值是原方程的解,否则,就不是原方程的解.例如：上面解得方程3x＋25=55的解是x=10.其检验过程如下所示：检验:把x=10代入原方程,左边3×10+25=55,右边=55,左边=右边,所以x=10是原方程的解.7.利用四则运算中各部分之间的关系解方程〔1〕根据加法中各部分之间的关系解方程在加法中,一个加数=和－领一个加数.例如,在□里填上适当的数,使方程的解是x=5.□+x=12.5分析只要将算式中的x都换成"5〞,再把"□〞看成未知数,就很容易求出解.在方程"□＋x=12.5〞中,"□〞是加数,可以根据"一个加数=和－另一加数〞来解方程.解答□+x=12.5把x=5代入原方程,可得□+5=12.5.□+5=12.5□=12.5－5□=7.52.根据减法中各部分之间的关系解方程在减法中,被减数=差+减数,减数=被减数－差.例如解方程x－8.6=12.4x－8.6=12.4解：x=12.4+8.6x=213.根据乘法中各部分之间的关系解方程在乘法中,一个因数=积÷另一个因数.一个数的3.5倍加上11.6,和是20,求这个数.列方程解文字叙述题时,首先将要求的数设为x,然后按照题目叙述的顺序列方程,再解方程.解答解：设这个数为x.3.5x+11.6=203.5x=20－11.63.5x=8.4x=8.4÷3.5x=2.4.4.根据除法中各部分之间的关系解方程.在除法中,被除数=商×除数,除数=被除数÷商.除数是未知数的方程在新课标中不要求掌握,这里不做举例说明. 例如解方程6x÷1.3=9.6x÷1.3=9解：6x=9×1.36x=11.7x=11.7÷6x=1.95。
第一章——变量可分离方程
它不包含在方程的通解中(1.则26须) 予, 以补上
.
此时称y=y0 是方程（1.18)的常数解
附注：2
上面我们在求的dy通=解g(时x)， h(y是) 假设 dx
了。 h(y但) ≠有0时往往会碰到在某些点使得 y0
h(y0 ) = 0。对于这种情形，显然也y =是y解0 ， 且称这种常函数的解为定解。下面分两种情形：
1.2 变量可分离方程
先看一些简单的例子：
dy = F (x, y) dx
1. dy = ye x+ y , dx
( ) 2.= dy x2 y2 + 1 , dx
3. dy= e x ⋅ ye y , dx
1.2.1 变量可分离方程
dy = F (x, y) dx
定义1 形如
dy = f (x)φ( y)
另外，也 y = 是±方 1 程的解，且可在通y解= 1中
取得 C =到0，即如果在通解中
y=
−
C C
+ −
cos 2 cos 2
x x
允许， C =则0已含在 y =通1解中。但不可 y = −1
在通解中取适当的得 C 到，因此原方程的解为：
通解， y =其−中C 为 + c任os意2 x常数，及C一个 C − cos2 x
,
故通解只在或x >之0一x中<有0 意义
.
此外还有解这y =个0解, 未包含在通解中应补上,
.
例6 求微分方程 dy = p(x) y 的通解其, 中是p(的x)连续x 函数
.
dx
解: 将变量分离后得 dy = p(x)dx y
∫ 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1
人教版五年级上册数学-简易方程(解基本算式)
人教版五年级上册数学-简易方程(解基本算式)1. 引言本文档旨在介绍人教版五年级上册数学中的简易方程解法，帮助学生更好地理解和应用基本算式。
2. 简易方程的概念简易方程是指由基本算式组成的等式，其中包含一个未知数。
在解简易方程时，我们需要通过推理和计算，找到未知数的值，使等式成立。
3. 解法步骤解简易方程的基本步骤如下：步骤 1: 识别方程首先，我们需要仔细阅读题目，识别出给定的简易方程。
注意方程中的未知数和已知数。
步骤 2: 设定解法根据题目要求，我们可以选择使用逆向运算、代入法、列式法等解法策略。
根据题目情况选择最适合的解法。
步骤 3: 推理和计算根据所选解法，开始进行推理和计算。
根据已知信息，逐步推导出未知数的值，直到方程两边相等。
步骤 4: 验证解答解答完毕后，我们需要再次验证结果。
将求得的未知数代入方程中，确保等号两边值相等。
4. 实例演练为了更好地理解简易方程的解法，我们提供以下示例演练：示例 1已知方程：7 + x = 12解法：使用逆向运算。
由于方程中有加法运算，我们可以通过减去7来求解。
即 x = 12 - 7 = 5。
验证：将 x = 5 代入方程，得到 7 + 5 = 12，等号两边值相等，验证通过。
示例 2已知方程：x - 9 = 3解法：使用逆向运算。
由于方程中有减法运算，我们可以通过加上9来求解。
即 x = 3 + 9 = 12。
验证：将 x = 12 代入方程，得到 12 - 9 = 3，等号两边值相等，验证通过。
5. 总结简易方程的解法基于基本算式和推理计算，通过逆向运算、代入法、列式法等解法策略，我们可以找到未知数的值，使方程成立。
解答后，务必进行结果验证。
通过不断的练和实践，我们能够掌握简易方程解法的技巧，提升数学能力。
以上便是人教版五年级上册数学-简易方程(解基本算式)文档的内容，希望能对学生们的学习有所帮助。
有括号解方程练习题
有括号解方程练习题题目一：简单括号解方程已知方程：2(3x + 5) = 18 - 4x解：首先，展开括号，得到：6x + 10 = 18 - 4x将变量项移到一边，常数项移到另一边，得到：6x + 4x = 18 - 10化简合并同类项，得到：10x = 8最后，将方程两边都除以系数，得到：x = 0.8题目二：复杂括号解方程已知方程：3(2x + 4) + 5(3x - 2) = 27解：首先，展开括号，得到：6x + 12 + 15x - 10 = 27将变量项移到一边，常数项移到另一边，得到：6x + 15x = 27 - 12 + 10化简合并同类项，得到：21x = 25最后，将方程两边都除以系数，得到：x = 1.19题目三：括号与分数解方程已知方程：2(3x + 1/2) = 5x - 3/4解：首先，展开括号，得到：6x + 1 = 5x - 3/4将变量项移到一边，常数项移到另一边，得到：6x - 5x = -3/4 - 1化简合并同类项，得到：x = -7/4题目四：括号与小数解方程已知方程：0.5(2x - 1.6) = 1.2x + 0.3解：首先，展开括号，得到：x - 0.8 = 1.2x + 0.3将变量项移到一边，常数项移到另一边，得到：x - 1.2x = 0.3 + 0.8化简合并同类项，得到：-0.2x = 1.1最后，将方程两边都除以系数，得到：x = -5.5题目五：括号与多项式解方程已知方程：(x + 3)(x - 2) = 12解：首先，将方程展开，得到：x^2 - 2x + 3x - 6 = 12化简合并同类项，得到：x^2 + x - 6 = 12将方程移项，得到：x^2 + x - 6 - 12 = 0化简，得到：x^2 + x - 18 = 0这是一个二次方程，可以使用求根公式解得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)带入方程的系数，得到：x = (-(1) ± √(1^2 - 4(1)(-18))) / (2(1))进一步计算，得到：x = (-1 ± √(1 + 72)) / 2x = (-1 ± √73) / 2所以方程的解为：x = (-1 + √73) / 2 或 x = (-1 - √73) / 2通过以上五道有括号解方程的练习题，我们可以加深对解方程的理解和运用。
偏微分方程的几种经典解法
偏微分方程的几种经典解法经过一个学期偏微分方程课程的学习,我们掌握了几种求解三种典型方程的方法,如分离变量法、行波法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhanmel 原理灯,此外,我们通过学习还掌握了求解波动方程的'D Alembert 公式,求解位势方程的Green 公式等等.这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的.本文着重总结了偏微分方程的几种经典解法,一次介绍了分离变量法、行波法、幂级数解法、Fourier 变换法以及Green 函数法,通过对典型方程的研究,深入理解集中经典方法.1.分离变量法分离变量法：基本思想是设法把偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题.1.1第一初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(非齐次0边值双曲方程)2222sin 2cos 2,u ux t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.1) (0,)(,)0,u t u t π== 0t > (1.2) (,0)sin ,u x x =0x π<< (1.3)(,0)sin 2,ux x t∂=∂ 0x π<< (1.4) 解：用分离变量法求问题(1.1)—(1.4)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.5)方程(1.1)对应的齐次方程为22220,u ut x∂∂-=∂∂0,0x t π<<> (1.6) 将(1.5)式代入方程(1.6)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.7) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.7)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.2)和(1.5)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.2)—(1.6)可以化为如下形式的两个常微分问题,即()()"()()0,1(0)()0,2X x X x X X λπ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题. 求解问题(1).根据常微分方程的理论可知,问题(1)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.8)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底.将问题(1.1)—(1.4)中的非齐次项和初值按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin 2cos 2()sin ,n n x t f t nx ∞==∑ 0,0x t π≤≤≥1sin sin ,n n x a nx ∞==∑ 0,x π≤≤1sin 2sin ,n n x b nx ∞==∑ 0,x π≤≤其中0,1()cos 2,20,0,3n n f t t n t n =⎧⎪==≥⎨⎪≥⎩ 1,10,2n n a n =⎧=⎨≥⎩,0,11,20,3n n b n n =⎧⎪==⎨⎪≥⎩设1(,)()()n n n u x t X x T t ∞==∑, 0,0x t π≤≤≥ (1.9)是问题(1.1)—(1.4)的形式解,将上式代入(1.1)—(1.4)可得,()n T t 是如下常微分方程初值问题的解,"'()()(),0(0),(0),n n n n n n n n T t T t f t t T a T b λ⎧+=>⎪=⎨⎪=⎩,其中1,2,n =.求解问题(2).当1n =时,问题(2)转化为求常微分问题"11'11()()0,(0)0,(0)1,T t T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (3) 有常微分方程理论可知,问题(3)的通解为112()cos sin T t c t c t =+.将其代入1(0)1T =,得11c =.将12()cos sin T t t c t =+代入'1(0)0T =得20c =.故1()cos T t t =. 当2n =时,问题(2)转化为常微分问题"22'22()4()cos 2,(0)1,(0)0,T t T t t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (4)对应其次方程的特征根为2i α=±,用常微分方程中的算子解法求特解.2(4)cos2,D x t +=故sin 24tx t =.所以问题(4)的通解为212()cos 2sin 2sin 2.4tT t c t c t t =++将其代入2(0)0T =得10c =,将22()sin 2sin 24t T t c t t =+代入'2(0)1T =得212c =,故22()sin 2.4t T t t +=当3n ≥时,问题(2)转化为常微分问题"2'()()0,(0)0,(0)0,n n n nT t n T t T T ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩ (5) 由常微分理论可知,问题(5)的通解为12()cos sin ,3,4,n T t c nt c nt n =+=将其代入(0)0,n T =得10c =.将2()sin n T t c nt =代入'(0)0,n T =得20c =.故()0n T t =. 综上有cos ,1,2()sin 2,2,040,3,n t n t T t t n t n =⎧⎪+⎪==≥⎨⎪≥⎪⎩(1.10)将(1.8)(1.10)代入(1.9)中,得问题(1.1)—(1.4)的形式解为2(,)sin cos sin 2sin 2,4t u x t x t x t +=+ 0,0x t π≤≤≥经检验,该形式解满足原问题及初边值条件,该形式解就是原问题的解. 例：利用分离变量法求解下述问题22220,u ut x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.11) (0,)sin ,(,)0,u t t u t π== 0t >, (1.12) (,0)0,u x = 0x π<<, (1.13)(,0),u x x t ππ∂-=∂ 0x π<<, (1.14) 解：将上述非零边值问题转化为零边值问题,用变量代换,设(,)u x t 是原问题的解,令(,)(,)sin ,xv x t u x t t ππ-=-0,0x t π≤≤≥. 则(,)v x t 是如下问题的解2222(,),v vf x t t x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<> (1.15) (0,)(,)0,v t v t π== 0t >, (1.16) (,0)0v x =, 0x π<<, (1.17)(,0)0,vx t∂=∂ 0x π<<, (1.18) 其中(,)sin ,xf x t t ππ-=0,0x t π≤≤≥. 用分离变量法求问题(1.15)—(1.18)的形式解.设该问题有如下形式的形式解(,)()()v x t X x T t =, (1.19)方程(1.15)对应的齐次方程为22220,v vt x ∂∂-=∂∂ 0,0x t π<<>, (1.20) 将(1.19)代入方程(1.20)得""()()()(),X x T t X x T t =0,0x t π<<>即""()()()()X x T t X x T t λ∆==- (1.21) 其中λ为固定常数,下面证明0λ>. 由(1.21)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,)π上积分,得"20()()()0,X x X x dx X x dx ππλ+=⎰⎰注意到由(1.16)和(1.19)有(0)()0,X X π==所以有'220()()X x dx X x dx ππλ=⎰⎰易见0λ>.所以(1.16)—(1.18)(1.20)可以化为如下形式的两个常微分问题,即"()()0,(0)()0,X x X x X X λπ⎧+=⎨==⎩ (6) 以及由"()()0T t T t λ+=和适当的定解条件确定的关于()T t 的常微分问题.(7) 求解问题(6).根据常微分方程的理论可知,问题(6)的通解为().X x A B =+将其带入(0)0,X =得0A =.再将()X x B =带入()0X π=,得2,1,2,3,n n n λ==特征值2n n λ=相应的特征函数为()sin ,1,2,n X x nx n == (1.22)注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即0,,()(),,2m n m n X x X x dx m n ππ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,))L π的一个基底. 将问题(1.15)—(1.18)的非齐次项按{}1()n n X x ∞=展开,得1sin ()sin ,n n xt f t nx ππ∞=-=∑0,0.x t π≤≤≥ 令sin n xc nx ππ-=,则在其两端同乘sin nx 再在(0,)π上积分,得 200sin sin 2nn x nxdx c nxdx c πππππ-==⎰⎰. 由分部积分,经计算可得2n c n π=.从而2()sin n f t t n π=,0t ≥,1,2,n =.设1(,)()()n n n v x t X x T t ∞==∑,0,0.x t π≤≤≥是问题(1.15)—(1.18)的形式解,将其带入(1.15)—(1.18)可得,()n T t 是如下常微分问题的解"22()()sin ,n n T t n T t t n π+=0,t > (1.23) (0)0,n T = (1.24) '(0)0,n T = (1.25)其中1,2,n=(1.23)—(1.25)对应的齐次方程的特征根为ni α=±,则通解为()cos sin n n n T t A nt B nt =+.用算子算法求特解,222()()sin n D n T t t n π+=,解得 22sin ()(1)n tT t n n π=-. 故该问题的通解为22sin ()cos sin (1)n n n tT t A nt B nt n n π=++-. (1.26)将上式代入(0)0,n T =得0n A =,将22sin ()sin (1)n n t T t B nt n n π=+-代入'(0)0,n T =得222(1)n B n n π-=-,1,2,n =.故2222sin 2sin ()(1)(1)n nt tT t n n n n ππ-=+--,0,t >1,2,n =.因此,问题(1.15)—(1.18)的形式解为22212sin 2sin (,)sin (1)(1)n nt t v x t nx n n n n ππ∞=⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭∑,0,0.x t π≤≤≥ (1.27) 考察(1.27)右端级数的收敛性.记2222sin 2sin sin (1)(1)n nt t a nx n n n n ππ⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭,0,0,x t π≤≤≥1,2,n =.容易验证下列级数均在[0,][0,)π⨯+∞上一致收敛1n n a ∞=∑,1n n a x ∞=∂∂∑,1n n a t ∞=∂∂∑,221n n a x ∞=∂∂∑,221n n a t ∞=∂∂∑,21nn a x t ∞=∂∂∂∑. 经检验,(,)v x t 满足问题(1.15)—(1.18),就是 问题(1.15)—(1.18)解.将(1.27)代入(,)(,)sin xu x t v x t t ππ-=+,0,0,x t π≤≤≥ 得22212sin 2sin (,)sin sin (1)(1)n nt t xu x t nx t n n n n ππππ∞=⎛⎫--=++ ⎪--⎝⎭∑,0,0,x t π≤≤≥ 此即为原问题(1.11)—(1.14)的解.1.2第二初边值问题例：利用分离变量法求解下述问题(抛物型)220,u ut x ∂∂-=∂∂ 01,0x t <<> (1.28) (0,)(1,)0,u u t t x x ∂∂==∂∂ 0,t > (1.29) (,0)cos ,u x x π= 01,x << (1.30)解：用分离变量法求解问题(1.28)—(1.30)的形式解.设该问题有如下形式的非零解(,)()()u x t X x T t = (1.31)将其代入(1.28)有"'()()()()X x T t X x T t λ∆==-,01,0x t <<> (1.32) 其中λ为某一常数,且0λ≥. 由(1.32)有"()()0,X x X x λ+=上式两端同乘()X x ,并在(0,1)上积分,得11"20()()()0,X x X x dx X x dx λ+=⎰⎰注意到由(1.29)和(1.31)有''(0)(1)0,X X ==所以有11'220()()X x dx X x dx λ=⎰⎰易见0λ≥.故(1.28)—(1.30)可化为如下形式的两个常微分问题,即"''()()0,01,(0)(1)0,X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ (8) 和'()()0,0T t T t t λ+=> (9)求解问题(8),当0λ=时,有"()0X x =,''(0)(1)0,X X ==由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12()X x c c x =+,01x ≤≤.将其代入'(0)0X =,有20c =,故1()X x c =,其中1c 为任意常数. 当0λ>时,由常微分方程的理论可知,问题(8)的通解为12(),X x c c =+ 01x ≤≤将其代入'(0)0X =,则20c =,将1()X x c =代入'(1)0X =,得2()n n λπ=, 1,2,n=特征值n λ对应的特征函数为()cos n X x n x π=,1,2,n =,01x ≤≤.所以,对于0λ≥,有()cos n X x n x π=,01x ≤≤, 0,1,2,n=注意到{}1()n n X x ∞=是一个直交系统,即100,,()(),,2m nm n X x X x dx m n π≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰ 这表明{}1()n n X x ∞=正规化后是2((0,1))L 的一个基底. 下面求解问题(9),将2()n n λπ=代入,可有'22()()0,n n T t n T t π+=0,1,2,n =,0t ≥.有常微分方程理论可知其通解为223()n t n T t c e π-=, 0,1,2,n =, 0t ≥.此时,形式解为2230(,)()()cos n t n n n n u x t X x T t c n xe ππ∞∞-====∑∑, 01x ≤≤,0t ≥.将其代入(1.30)中,得30(,0)cos cos n u x c n x x ππ∞===∑,01,x <<由比较系数法,可得31,10,1n c n =⎧=⎨≠⎩ 故问题(1.28)—(1.30)的形式解为2(,)cos t u x t xe ππ-=,01x ≤≤,0t ≥.经检验,该形式解满足原问题(1.28)—(1.30),此即为原问题的解.1.3 Poisson 方程的边值问题分离变量法还适用于某些特殊形状区域上的二维Poisson 方程的各种边值问题,如果所考虑的定解区域是矩形域,那么可以完全仿照前面的方法来求解,只是此时x,y 之一要扮演t 的角色；如果定解区域是圆域或环形域,则应先做极坐标变换将定解问题化为矩形区域上的定解问题,然后利用分离变量法求解. 例:利用分离变量法求解下述问题22222212(),u u x y x y∂∂+=-∂∂ 12,<< (1.33)(,)0,u x y =1,= (1.34)(,)0,ux y υ∂=∂2,= (1.35)其中υ为2{(,):2}x y R ∂∈<上的单位外法向量.解：用分离变量法求解问题(1.33)—(1.35)的形式解.首先,通过极坐标变换将环形域上的定解问题化为矩形域上的定解问题,做极 坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 12,02ρθπ≤≤≤≤, 则(1.33)—(1.35)化为2222221112cos 2,v v vρθρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.36) (1,)0,(2,)0,vv θθρ∂==∂ 02θπ<<, (1.37) 其中(,)(cos ,sin )v u ρθρθρθ=,12,02ρθπ≤≤≤≤.注意到在极坐标条件下(,0)ρ与(,2)ρπ表示同一点,故(,)v ρθ还满足如下周期性条件(,0)(,2),(,0)(,2),v v v v ρρπρρπθθ∂∂==∂∂ 12,ρ<< (1.38) 问题(1.36)—(1.38)是一个定解问题. 方程(1.36)对应的齐次方程为22222110,v v vρρρρθ∂∂∂++=∂∂∂ 12,02ρθπ<<<<, (1.39) 设问题对应的形式解为(,)()()v R ρθρθ=ψ,12,02ρθπ≤≤≤≤. (1.40)将(1.40)代入(1.37)中,得"'"211()()()()()()0,R R R ρθρθρθρρψ+ψ+ψ= 12,02ρθπ<<<<即"2"'()()(),()()R R R θρρρρλθρ∆ψ+=-=-ψ12,02ρθπ<<<<, (1.41) 其中λ为固定常数,下面证明0λ≥.由(1.41)有"()()0,θλθψ+ψ= 02θπ<<,在上式两端同乘()θψ,并在(0,2)π上积分,由(1.38)和(1.40)可知''(0)(2),(0)(2),ππψ=ψψ=ψ所以有22'220()(),d d ππθθλθθψ=ψ⎰⎰易见0λ≥.所以问题(1.37)(1.38)(1.40)可化为两个常微分问题,即"''()()0,(0)(2),(0)(2),θλθππ⎧ψ+ψ=⎪⎨ψ=ψψ=ψ⎪⎩ 02θπ<<, (10) 以及2"'()()()0R R R ρρρρλρ+-=和适当定解条件的常微分问题(11)求解问题(10).当0λ=时,有"''()0,(0)(2),(0)(2),θππψ=ψ=ψψ=ψ由常微分方程的理论可知,问题(10)的通解为()A B θθψ=+,02θπ≤≤,代入(0)(2)πψ=ψ得()A θψ=,其中A 为任意实数. 当0λ>时,通解为(),A B θψ=+02θπ≤≤, 将其代入''(0)(2),(0)(2)ππψ=ψψ=ψ有sin ,A A B =+=-+, 故2,1,2,n n n λ==特征值n λ对应的特征函数为()cos sin ,02,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=.其中n A 和n B 是任意不同时为零的实数,综上可知()cos sin ,02,0,1,2,n n n A n B n n θθθθπψ=+≤≤=,其中0A 是任意不为零的实数,n A 和n B 是任意不同时为零的实数. 注意到1{cos sin }n n n θθ∞=+是一个直交系统,即20()()0,,,0,1,2,m n m n m n πθθψψ=≠=⎰,这表明1{cos sin }n n n θθ∞=+正规化后是2((0,2))L π的一个基底.设1(,)()()()cos ()sin ,n n n n n n n v R A n B n ρθρθρθρθ∞∞∞====ψ=+∑∑∑12,02ρθπ≤≤≤≤,将非齐次项按1{cos sin }n n n θθ∞=+展开,有2n =时,2212A ρ=代入(1.4)—(1.6)有"'22222'2214()()()12,(1)(2)0,A A A A A ρρρρρρ⎧+-=⎪⎨⎪==⎩ 12,ρ<< 2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n A A A A A ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 0,1,3,4,n =,和2"'2'1()()()0,12,(1)(2)0,n n n nn n B B B B B ρρρρρρ⎧+-=<<⎪⎨⎪==⎩ 1,2,3,n =.解得2242129112(),1717A ρρρρ-=-++ 12ρ≤≤, ()0n A ρ=, 12ρ≤≤,0,1,3,4,n =, ()0n B ρ=, 12ρ≤≤,1,2,3,n =.故224129112(,)()cos 21717v ρθρρρθ-=-++, 12,02ρθπ≤≤≤≤ 因此,原问题的形式解为2222222112(,)[12917()],17()x y u x y x y x y -=-++++12≤. 经检验,该形式解满足原问题,即为原问题的解.二．行波法行波法：求解一维波动方程的常用解法,利用这种方法得到波动方程的一个重要求解公式（'d Alembert 公式）1.齐次波动方程cauchy 问题定理2.1（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,则函数 ()()()()()x+atx-at11u x t =x-at +x+at +d 22a ϕϕψξζ⎰，,[)()2u C R 0+∈⨯∞，是cauchy 问题22222u u-a =0t x∂∂∂∂, x R t>0∈， ()(),0u x x ϕ=, x R ∈()(),0ux x tψ∂=∂, x R ∈的解.例：求解下述波动方程的cauchy 问题()()2222120,,0,0cos ,,0cos ,u u uu x R t t x t u x x x R ux e x x R t -⎧∂∂∂-++=∈>⎪∂∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=-∈⎪∂⎩解：首先将方程化为标准形式.设u 是原问题的解,令()(),,,,0t v x t e u x t x R t =∈≥则v 是如下问题的解()()222210,,0,cos ,,0,v vx R t t x v x t x x Rvx e x R t-⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩ 由定理2.1可知()()()()1111,cos cos 22cos cos ,,0x t x tv x t x t x t e d x t te x R t ζ+---=-+++=+∈≥⎰ 因此()()()1,cos cos t u x t e x t t e -+=+, ,0x R t ∈≥为原问题的解.利用一维齐次波动方程cauchy 问题的通解表达式,还可以求解其他定解问题.在此不再赘述.2.非齐次波动方程的cauchy 问题定理2.2（'d Alembert 公式）设2C R ϕ∈（）,1C R ψ∈（）,[)()10,f C R ∈⨯+∞, 则函数()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d af d d x R t aττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++∈≥⎰⎰⎰属于[)()20,C R ⨯+∞,是cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a f x t x R t t x u x x x R ux x x R t ϕψ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪=∈∂⎪⎩的解,其中0a >.注2.1上述问题解得光滑程度本质上取决于初值和非齐次项的光滑程度. 注2.2 如果()(),x x ϕψ和(),f x t 都是x 的奇（偶,周期）函数,则上述问题的解也是x 的奇（偶,周期）函数. 例：求解下述波动方程的定解问题()()()()()()22222,,00,0,0,0,0,0,0u u a f x t x t x u t t u x x x ux x x tϕψ∂∂-=>∂∂=>=>∂=>∂其中0a >,[)()[)()[)[)()2110,,0,,0,0,C C f C ϕψ∈+∞∈+∞∈+∞⨯+∞,且满足相容性条件()()()()2''000,00,0a f ϕψϕ==-=解：注意到如果u 是x 的奇函数,则u 自然满足边值条件.因此,根据注2.2,我们可以采用奇延拓方法来求解上述问题.将()(),x x ϕψ和(),f x t 关于0x =做奇延拓,即令()()(),0,0x x x x x ϕϕ≥⎧⎪Φ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0x x x x x ψψ≥⎧⎪ψ=⎨-<⎪⎩ ()()(),,0,0,,,0,0f x t x t F x t f x t x t ≥≥⎧⎪=⎨-<≥⎪⎩考虑cauchy 问题()()()()()22222,,,0,0,,0,u u a F x t x R t t x u x x x R ux x x R t⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=Φ∈⎨⎪∂⎪=ψ∈∂⎪⎩ 按'd Alembert 公式形式地写出其解()()()()()()()()011,221,,,02x atx at t x a t x a t u x t x at x at d F d d x R t aττξζζτζτ+-+---=Φ-+Φ++ψ+∈≥⎰⎰⎰回到原来的初值,ϕψ和非齐次项f ,就可以得到原问题的形式解如下：当0x at ≥≥时,()()()()()()()()011,221,2x atx att x a t x a t u x t x at x at d a f d d a ττϕϕψξζζτζτ+-+---=-++++⎰⎰⎰ ()1而当0x at ≤≤时,()()()()()()()()()()())/0/11,221(,,2x atat x t x a x a t t x a t a t x t x a x a t u x t at x x at d af d d f d d aττττϕϕψξζζτζτζτζτ+--+-+------=--+++++⎰⎰⎰⎰⎰ ()2可以直接验证由()1和()2确定的形式解[)[)()20,0,u C ∈+∞⨯+∞就是定解问题的解.三．幂级数解法幂级数解法：是求解偏微分方程的经典解法之一,不仅可以求解一维问题,还可以求解高维问题.我们先来求解如下的常微分方程初值问题()()()()2''0,00,'00,u t a u t t u A u +=>== ()()()3.13.23.3其中0a >方程()3.1的通解是()12cos sin ,0u t C at C at t =+≥其中1C 和2C 是任意实数.由边值条件()3.2和()3.3,可得12,0C A C ==.于是,问题()()3.1 3.3-的解为()cos ,0u t A at t =≥注意到()()()201cos ,02!nnn at at t n ∞=-=≥∑因此,问题()()3.1 3.3-的解可写为如下的级数形式()()()()()()222001,02!2!nn nnn n at tu x A a A t n n ∞∞==-==-≥∑∑. ()3.4定理3.1 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数()202!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()()()2222200,,,0,2!2!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑ 就是波动方程Cauchy 问题()()()22220,,0,0,,0=0,u ux R t t x u x x x R u x x Rt ϕ⎧∂∂-=∈>⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪∂⎪∈∂⎪⎩的级数形式的形式解.定理3.2 假设()C R ϕ∞∈,并且对任意的0R >,都存在非负数列{}0n n a ∞=,满足级数0!nn n t a n ∞=∑在[)0,+∞上收敛,且()2,,0,1,2,n n D x a x R n ϕ≤≤=则函数()()()22200,,,0,!!nnn nn n t t u x t x D x x R t n x n ϕϕ∞∞==⎛⎫∂==∈≥ ⎪∂⎝⎭∑∑就是热传导方程Cauchy 问题220,,0u u x R t t x∂∂-=∈>∂∂()(),0,u x x x R ϕ=∈的级数形式地形式解.幂级数方法求解问题的一大优点就是空间维数不限,下面的例子是一个高维问题.例：求解三维波动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()232330,,,,0, 3.5,,,0,,,,,, 3.6,,,00,,,,3.7uu x y z R t t u x y z x y z x y z R ux y z x y z R tϕ∂-∆=∈>∂=∈∂=∈∂ 其中222222,x y z∂∂∂∆=++∂∂∂()()2223,,,,,x y z x y z x y z R ϕ=++∈解：令2,a A ϕ=-∆=,则由()3.4可得到问题()()3.5 3.7-的级数形式的形式解()()()()230,,,,,,,,,02!n nn t u x y z t x y z x y z R t n ϕ∞==∆∈≥∑ ()3.8将ϕ的表达式代入()3.8,得()()22223,,,3,,,,0u x y z t x y z t x y z R t =+++∈≥容易验证,这个形式解的确是定解问题的解.四.Fourier 变换方法1.()R ε,()D R 和()R ϕ空间（i ）()R ε空间：对于{}()1n n u C R ∞∞=⊂和()u C R ∞∈,如果对任何a b <及任何非负整数k ,都有[]()()()(),0sup limk knn x a b u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()C R ∞,称为基本空间()R ε.(ii ）()D R 空间：对于{}()01n n u C R ∞∞=⊂和()0u C R ∞∈,如果存在a b <,使得[],n u a b ⊂supp 且对任何非负整数k ,都有()()()()0sup lim k knn x Ru x u x →∞∈-=则称()n u x 在()0C R ∞中收敛于()u x ,赋予上述收敛性的函数空间()0C R ∞,称为基本空间()D R .(iii ）()R ϕ空间：如果()u C R ∞∈,且对任何非负整数k 和m ,都有()()sup k mx Rxu x ∈<+∞,则称()u R ϕ∈.()R ϕ中序列收敛的概念：对于{}()1n n u R ϕ∞=⊂和()u R ϕ∈,如果对任何非负整数m 和k ,都有()()()()()0sup limkkmnn x Rx u x u x →∞∈-= 则称()n u x 在()R ϕ中收敛于()u x .2．速降函数空间上的Fourier 变换(i ）定义：设(),R ϕϕ∈称函数[]()(),ix Rx e dx R ξϕξϕξ-=∈⎰F为ϕ的Fourier 变换,也记为();ϕξ∧称函数[]()-11x (),2ix Re d x R ξϕϕξξπ=∈⎰F为ϕ的Fourier 逆变换,也记为()x ϕ∨. (ii ）性质：a ）设()R ϕϕ∈,对任意正整数m 有()()()[]()()()()[]()11,;m m m m i x ix x ϕξξϕξϕϕ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F F F F[]()()()()()[]()()()()()11,.m m mm ix x i x ϕξϕξϕξϕ--⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦F F FFb) 设()R ϕϕ∈,对任意正整数0a R b R ∈≠∈和,有[]()[]()()()[]()11(),;ia iaxx a e a x e x ξϕξϕξϕξϕ----=-=⎡⎤⎣⎦F F FF[]()[]()()()[]()1111(),.x bx b x b b bbξϕξϕϕξϕ--==⎡⎤⎣⎦F F FFc) 设()12,R ϕϕϕ∈,则[][][][][][]11112121212,2ϕϕϕϕϕϕπϕϕ---*=*=；F F F FF F [][][][][][]111121212121,.2ϕϕϕϕϕϕϕϕπ---=*=*F F F F FF其中12ϕϕ*表示1ϕ与2ϕ的卷积,即()()()()1212,.R x x y y dy x R ϕϕϕϕ*=-∈⎰d ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()R ϕ上的连续线性变换.e ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换. (iii)在速降函数空间中求解热传导方程 考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.1,0,,4.2u u x t R t xu x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈ 其中()g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.1,4.2的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.1和初值问题()4.2关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥关于ξ作Fourier 逆变换,并利用()R ϕ上Fourier 逆变换的线性性质,得(),u x t ()212t ix Rg ee d ξξξξπ∧-=⎰()()22241()21()2().iy t ix R R t i x y R R x y tR g y e dye e d g y e d dy g y e dy ξξξξξξπξπ---+---===⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.1,4.2的解u 具有如下表达式的形式解()()24,(),,0.x y tRu x t g y edy x R t --=∈>特别地,若()22,xg x ex R -=∈,则问题()()4.1,4.2的解u 的形式解为()()()2222442,,,0.x x y y t tRu x t eedy x R t ----+==∈≥⎰且容易验证这个形式解满足方程（4.1）和初值问题（4.2）,从而是问题（4.1）,（4.2）的解.(iv)在速降函数空间中求解弦振动方程考虑弦振动方程的Cauchy 问题()()()()()()()()()22220,,0,,4.3,0,, 4.4,0,,4.5u ux t R t x u x x x R ux x x R tϕψ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈∂=∈∂其中()()(),x x R ϕψϕ∈.由于()()(),x x R ϕψϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.3 4.5-的解u 满足(),u t •∈()()0.R t ϕ≥将方程()4.3和初值问题()()4.4,4.5关于x 作Fourier 变换,并利用Fourier 变换的微分性质,得()()()()()()()2220,0,4.6,0, 4.7,0, 4.8u u t t u ut ξξϕξξψξ∧∧∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎪⎪=⎨⎪⎪∂=⎪∂⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程,方程()4.6的通解为()()()12,.i t i t u t C e C e ξξξξξ∧-=+由()()4.7 4.8和,得()()()()()()12121==,.C C C C R i ξξϕξξξψξξξ∧∧+-∈，因此()()()()()()1211=,.22C C R i i ψξψξξϕξξϕξξξξ∧∧∧∧⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()()()()()11,22i t i t u t e e i i ξξψξψξξϕξϕξξξ∧∧∧∧∧-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()1,,0.(4.9)22i t i t i t i t e e e e R t i ξξξξψξϕξξξ∧∧--=++-∈≥将())i t i t e e i ξξξ--改写为()1,,0.t i t i t i t e e e d R t i ξξξττξξ---=∈≥⎰ 对()4.9两端同时关于ξ作Fourier 变换,结合上式可得(),u x t ()()()()11222i t i t i t i t ix R e e e e e d i ξξξξξψξϕξξπξ∧∧--⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1144111222112211,,0.22t i x t i x t i i xR Rt t i x t t R ttx tx te e d e d e d x t x t e d d x t x t x d x t x t d x R t ξξξτξξϕξξψξτξππϕϕψξξτπϕϕψττϕϕψξξ∧∧+--∧+--+-=++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭=++-++=++-+∈≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即问题()()4.3 4.5-的解u 具有如下表达式的形式解()()()()()11,,,0.22x t x t u x t x t x t d x R t ϕϕψξξ+-==++-+∈≥⎰3.广义函数（i ）定义：(),D R ()R ε和()R ϕ上的连续线性泛函分别称为()',D R ()'R ε和()'R ϕ广义函数，它们统称为广义函数；(),D R ()R ε和()R ϕ上的全体连续线性泛函分别记为()',D R ()'R ε和()'.R ϕ(ii)判定：a ）设F 为()D R 上的线性泛函，则()'F D R ∈的充分必要条件是对任何闭区间[],ab ,存在非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()[]~,0,,.sup k x a b k kF u M u x u D R a b ∈≤≤≤∈⊂且supp ub ）设F 为()R ε上的线性泛函，则()'F R ε∈的充分必要条件是存在闭区间[],a b 以及非负整数~k 和正实数,M 使得()[]()()()~,0,.sup k x a b k kF u M u x u R ε∈≤≤≤∈c ）设F 为()R ϕ上的线性泛函，则()'F R ϕ∈的充分必要条件是存在非负整数~~,m k 和正实数,M 使得()()()()~~0,0,.supk m x Rm m k kF u Mx u x u R ϕ∈≤≤≤≤≤∈4.广义函数空间上的Fourier 变换（i ）定义：设()[]()',f R f Fourier f R ϕϕ∈定义的变换为如下的上的泛函F[][](),,,f f R ϕϕϕϕ=∈，FF也记为;f ∧[]()-1f Fourier f R ϕ定义的逆变换为如下的上的泛函F[][]()-1-1,,,f f R ϕϕϕϕ=∈，F F也记为f ∨. (ii ）性质：a ）设()'f R ϕ∈,有()[]()[]()'1'1,;f i f f x ix f x ξξ--⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦F FFF[]()()()()[]()()()()'11,'.f ixf x f x i f x ξξξξ--=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F FFF这里,导数指广义导数,乘积是指广义函数与其乘子的乘积.b ）Fourier 变换与Fourier 逆变换都是()'R ϕ上的连续线性变换.c ）Fourier 变换与Fourier 逆变换互为逆变换.（iii ）()'R Fourier ϕ上的变换方法考虑热传导方程的Cauchy 问题()()()()()()220,,0,,4.10,0,,4.11u u x t R t x u x g x x R ∂∂-=∈⨯+∞∂∂=∈其中()'g R ϕ∈.由于()g R ϕ∈,因此,我们猜想Cauchy 问题()()4.10,4.11的解u 满足(),u t •∈()()'0.R t ϕ≥将方程()4.10和初值问题()4.11关于x 作Fourier 变换,并利用()'R ϕ上Fourier 变换的微分性质,得()()20,0,,0,u u t tu g ξξξ∧∧∧∧⎧∂⎪+=>⎪∂⎨⎪=⎪⎩其中R ξ∈.求解这个常微分方程的初值问题,得()()2,,,0.t u t g e R t ξξξξ∧∧-=∈≥()()()2'',0t g R e t R ξϕϕ∧-∈≥这里是的乘子.关于ξ作Fourier 逆变换,就可以得到问题()()4.10,4.11的形式解. 例：求解问题()()()()()()220,,0,,4.12,0,,4.13u ux t R t xu x x x R δ⎧∂∂-=∈⨯+∞⎪∂∂⎨⎪=∈⎩解：由于初值不是一个普通函数,所以问题()()4.12,4.13的解不可能在 0t =处连续,因此我们需要重新定义u 满足初值条件()4.13的含义.既然g 是一个不是普通函数的()'R ϕ广义函数,因此我们可以把初值条件()4.13定义为：作为()'R ϕ广义函数,(),u t •在0t =处等于g ,即()()'0lim ,.t u t g R ϕ+→•=于下面我们来求解问题()()()4.12,4.13.1, 5.3g ∧=注意到于是由，得()()22,=,,0.ttu t g eeR t ξξξξξ∧∧--=∈≥0t >因此当时，有()()224-14,,.x t tu x t e x R ξ--⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦F()()4.12,4.13于是我们得到问题的形式解()()24,,0.xt u x t x R t -=∈>，()()()0, 5.1.u C R ∞∈⨯+∞容易验证这个形式解满足方程最后验证它还满足初值条件()5.2,即()()()0lim ,,,,.t u x t x R ϕδϕϕϕ+→=∈事实上,对任意的()R ϕϕ∈,有()()()()()()2244,,,xxt t Ru x t x x ex dx ϕϕϕ--==⎰(22,0.yRe dy t ϕ-=>由控制收敛定理可知()()(200lim ,,lim 2y Rt t u x t x edyϕϕ++-→→=(()200,yRe dy ϕϕδϕ-===五．Laplace 方程的基本解和Green 函数place 方程的基本解求解全空间上的N （≥2）维Poisson 方程()(), 5.1Nu f x x R -∆=∈的解的表达式,先寻找其次Poisson 方程,即Laplace 方程()0, 5.2Nu x R -∆=∈的径向解,设()(||),N u x w x x R =∈是方程（5.2）的一个解,将u 的表达式代入方程（5.2）,得1''(||)'()0,\{0}N N w x w r x R r---=∈也就是说,w 满足方程1''()'()0,0N w r w r r r-+=>即1('())'0,0N r w r r -=>因此1'(),0,N A w r r r-=>其中A 是任意实数.从而2ln ,2(),3N B r C N w r BC N r-+=⎧⎪⎨+≥⎪⎩当，当， 其中B 和C 是任意实数, 定义：称N R 上的函数211ln 22||()1,3(2)||N N N x x N N x πω-⎧=⎪⎪Γ=⎨⎪≥⎪-⎩，当当 为Laplace 方程（5.2）的基本解,也成为Newton 位势,其中N ω是N 维单位球的表面积,Laplace 方程的基本解具有的性质：(1) (\{0})N C R ∞Γ∈,且对任意的\{0}N x R ∈,有()0x ∆Γ=；(2) Γ,1()()Nloc x L R ∇Γ∈,且在广义函数意义下()(),N x x x R δ-∆Γ=∈,即对任意的0()N C R ϕ∞∈,有()()(0)NR x x dx ϕϕ∇Γ⋅∇=⎰或者()()(0)NR x x dx ϕϕΓ⋅∇=-⎰2.Green 函数考虑Poisson 方程的第一边值问题()(),, 5.3u f x x -∆=∈Ω()()(),,5.4u x g x x =∈∂Ω其中Ω是(2)N R N ≥中具有光滑边界的有界区域,设21()()u C C ∈Ω⋂Ω是为题（5.3）,（5.4）的解,可以得到对任意的ξ∈Ω,()()()()()(()()),u x x x u x dx u x x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-Γ-∆=-+Γ--∂∂⎰⎰ 即()()()()()()(()()), 5.5u x x u x x u x dx x u x dS v vξξξΩ∂Ω∂∂Γ-=Γ-∆+Γ--∂∂⎰⎰其中v 表示∂Ω的单位外法向量,因此,问题（5.3）,(5.4)属于21()()C C Ω⋂Ω的解可用（5.5）右侧积分值表示出来,但第二个积分式子中含未知数u 沿外法向量的导数,这是我们所不知道的,注意到由Green 公式可以推出：对任意的21()()v C C ∈Ω⋂Ω,有()()(()()()())(()()),v x u x u x v x v x u x dx u x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰ 即()()()(()()()())(()()). 5.6v x u x u x v x v x f x dx g x v x dS v vΩ∂Ω∂∂∆+=-∂∂⎰⎰由（5.5）和（5.6）得()()()()()[(()())()()()][(()())()()].5.7u u x v x x x v x f x u x v x dx x v x g x dS v v v ξξξξΩ∂Ω=∂∂∂Γ-Γ-++∆+Γ-+-+∂∂∂⎰⎰ 如果21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω是问题()(,)0,,5.8x v x x ξ-∆=∈Ω()(,)(), 5.9v x x x ξξ=-Γ-∈∂Ω的解,那么根据（5.7）有()()()(,)()(),, 5.10G x u G x f x dx g x dS vξξξΩ∂Ω∂=-∈Ω∂⎰⎰其中(,)()(,),(,),.G x x v x x x ξξξξξ=Γ-+∈Ω⨯Ω≠这样我们得到了问题（5.3）,（5.4）一个解的表达式（5.10）定义：如果对任意固定的21(,)()()()v C C ξξ⋅∈Ω⋂Ω∈Ω满足方程（5.8）和边值条件（5.9）,则我们称定义于{(,):}x x ξξ∈Ω⨯Ω≠上的函数(,)()(,)G x x v x ξξξ=Γ-+为Laplace 算子关于区域Ω的Green 函数,称()x ξΓ-为Green 函数(,)G x ξ的奇异部分,而称(,)v x ξ为Green 函数(,)G x ξ的正则部分,注：如果Green 函数(,)G x ξ的正则部分(,)v x ξ存在,则根据第一边值问题（5.8）（5.9）解的唯一性,可知(,)(,),(,).v x v x x ξξξ=∈Ω⨯Ω因此21()().v C C ∈Ω⨯Ω⋂Ω⨯ΩLaplace 算子关于区域Ω的Green 函数(,)G x ξ具有以下性质： （1） 对任意的(,)x ξ∈Ω⨯Ω,x ξ≠,都有(,)(,);G x G x ξξ=（2） 对任意的ξ∈Ω,有21(,)(\{})(\{}),(,)|0,G C C G ξξξξ∂Ω⋅∈Ω⋂Ω⋅=且对任意的\{}x ξ∈Ω,(,)0x G x ξ∆=；（3） 对任意的ξ∈Ω,有1(,),(,)(),x G G x L ξξ⋅∇∈Ω且在广义函数意义下(,)(),x G x x x ξδξ-∆=-∈Ω.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。
人教版五年级数学上册解简易方程
一个加数= 被减数 = 减数 = 一个因数=
被除数 = 除数 =
和－另一个加数 减 数 ＋差 被减数 － 差
积÷另一个因数 除 数×商 被除数÷商
程方解
100+x＝250
100＋x－100=250-100
x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的 解。
像上面，x=150就是方程100+x=250 的解。 求方程的解的过程叫做 解方程。
答：共有8块黑色皮。
妈妈买了苹果和香蕉各2kg，总共花了15.6元， 其中香蕉每千克2.8元，问苹果每千克要多少元？
解：设苹果每千克x元。
苹果的总价＋香蕉的总价＝总钱数
2x＋2.8×2＝15.6 2x＋5.6＝15.6
2x＝10 x＝5
也可以这样想： 两种水果的单价总和×2＝总钱数 （2.8＋x）×2＝15.6
X=75÷5 X=15 答每平方米草地每天制造15克氧气。
①弄清题意，找出未知数，用x表示。 ②分析、找出数量之间的相等关系，列方程。 ③解方程。 ④检验，写出答案。
1、只列方程不解答。
（1）图书室有文艺书180本，比科技书的2倍多20本，科 技书x本。
2x＋20＝180 或 180－20x = 20 或 …… （2）养鸡厂养母鸡400只，比公鸡的2倍少40只，公鸡x只。
解方程：3x=18 3x÷（3）=18÷（3）
方程两边同时除以一 个不等于 0的数，左 右两边仍然相等。
x xx
解方程：3x=18 解：3x÷3=18÷3 x=6
检验：方程左边=3x
3x=18 解：x=18÷3
x=6
小朋友，请注意 格式哟
=3? 6
简易方程的所有知识点总结
简易方程的所有知识点总结一、方程的定义方程是指数学表达式中出现一个或多个未知数的等式，它通常用来描述某种数学关系。
方程通常表示为A(x) = B(x)，其中A(x)和B(x)是关于未知数x的表达式。
方程的解就是满足方程的所有符合条件的x的值。
二、一元一次方程一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的方程。
例如：2x+3=7就是一个一元一次方程。
解一元一次方程的方法包括整理方程、移项、通分、两边加减同一个数等步骤，最终得到未知数的值。
三、一元二次方程一元二次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程。
例如：x^2 + 3x + 2 = 0 就是一个一元二次方程。
解一元二次方程的方法包括配方法、公式法、直接代入求解等。
四、线性方程组线性方程组是指包含两个或两个以上一元一次方程的方程组。
例如：{2x + y = 7; x - 3y = 5}就是一个线性方程组。
解线性方程组的方法包括代入法、消元法、加减法等。
五、二元二次方程二元二次方程是指包含两个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程。
例如：x^2 + y^2 = 25 就是一个二元二次方程。
解二元二次方程通常需要用到代入法等方法。
六、方程的性质（1）等式性质：如果一个等式的两边都加（减）同一个数（或者两个式子相加，或者相减）仍相等；（2）应用分配率：即对于任意的实数a、b、c，有a(b+c) = ab + ac；（3）等式乘法：如果两个实数相等，那么它们的平方也相等，即a = b，则a^2 = b^2。
同理，如果两个实数不等，那么它们的平方也不等，即a ≠ b，则a^2 ≠ b^2。
七、方程的解法（1）代入法：将解得的值代入原方程，验证是否成立；（2）消元法：通过加减或者乘除操作，使未知数相消或抵消，从而求解出一个未知数的值；（3）配方法：将方程转化为完全平方形式，再利用平方公式求解；（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式来求解方程；（5）逆运算：利用减法逆运算来消去未知数的系数，从而求解出未知数的值；（6）图解法：将方程转化为图形，通过图形求解。
五年级上册数学《简易方程》知识点人教版【DOC范文整理】
五年级上册数学《简易方程》知识点人教版
用字母表运算定律。
加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+
乘法交换律：ab=ba乘法结合律：abc=a
乘法分配律：c=acbc
用字母表示计算公式。
长方形的周长公式：c=2长方形的面积公式：s=ab
正方形的周长公式：c=4a正方形的面积公式：s=
读作：x的平方，表示：两个x相乘。
x表示：两个x相加，或者是2乘x。
①含有未知数的等式称为方程。
②使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
③求方程的解的过程叫做解方程。
把下面的数量关系补充完整。
路程=速度=时间=
总价=单价=数量=
总产量=单产量=
数量=
工作总量=
工作效率=
工作时间=
大数-小数=相差数大数-相差数=小数小数+相差数=大数
一倍量倍数=几倍量几倍量倍数=一倍量
几倍量一倍量=倍数
被减数=减数+差减数=被减数-差加数=和-另一个加数
被除数=除数商除数=被除数商因数=积另一个因数。
数学五年级上简易方程知识点总结
简易方程※用字母表示数在数学中，经常用字母来表示数。
加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交换律：a×b＝b×a乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。
乘法交换律：a×b＝b×a→a·b＝b·a或ab＝ba乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）→（a·b）·c＝a·（b·c）或（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c→（a＋b）·c＝a·c＋b·c或（a＋b）·c＝ac＋bc人们常用字母表示计量单位。
长度单位面积单位质量单位千米km 平方千米吨t米m 平方米千克kg分米dm 平方分米克g厘米cm平方厘米毫米mm平方毫米用字母表示正方形的面积和周长用S表示面积，用C表示周长。
（1）如果用a表示正方形的边长，那么这个正方形的周长：C=a·4=4a（省略乘号时，一般把数写在字母前面）这个正方形的面积：S=a·a=（读作：a的平方，表示2个a相乘）（2）如果用a表示长方形的长，b表示宽，那么这个长方形的周长：C=（a+b）·2=2（a+b）这个长方形的面积：S=a·b=ab※解简易方程概念：含有未知数的等式，叫做方程。
（等式不一定是方程，方程一定是等式。
）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程，叫做解方程。
性质：方程两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
方程两边同时乘以同一个数，左右两边仍然相等。
wps表格求解二元一次方程
wps表格求解二元一次方程
Excel表格的基本使用对我们工作来讲很重要，那么怎么用Excel解二元一次方程呢？我们有以下的方式来解决问题。
工具/原料
•联想E480
•window10
•WPS11.0.1.19
方法/步骤
首先在单元格里分别输入所求的二元一次方程式，如下图：
3. 3
把第二个二元一次方程转换一下形式，变成等号左边是变量，等号右边是一个确定的数值，如下图：
4. 4
下面建季轿立一个表格，C4单元格输入的是“X 2Y”由D4“X 2Y=5”演变过来的,如下图：
5. 5
从第一个二元一次方程来看，把A5当做变量X，匠闲B5代表Y,C5代表值，那么B5就是9 A5，但是在B5单元格中要填“=9 A5”：
6. 6
找到工具栏里的【√】，如下图：
7.7
点击一个【√】，如下图：
8.8
从第一、二方程式来看，C5=A5 2*B5。
在C5单元格中填入=A5 2*B5 ：
9.9
然后点√，如下图：
10.10
到了最关键的一步了，在工具栏找到【数据】，然后找到【模拟分析】，如下图：。
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• 移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边； 移项： 移项规则： 移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最 后去小括号。 加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+” 加去括号规则： 号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是 “－”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的 数前没有“+”或“－”的，都按有“+”处理。 移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。 移项关键问题：
• 实际上加入的是浓度为 5/(20+5)×100%=20%的糖水，即用40%的 糖水与20%的糖水混合得到30%的糖水。 由此可知，原来40%的糖水也有25千克， 所以原来含糖25×40%=10千克。
• 在下面的“□”中填上合适的运算符号， 使等式成立： （1□9□9□2）×（1□9□9□2）× （19□9□2）=1992
• 解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2） =83×3×8 =1992 或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2） =83×2×12 =1992 （本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立， 都是正确的）
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• 乘法分配率：a(b+c)=ab+ac 乘法分配率： 解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项； 解方程步骤 ④合并同类项；⑤求解； 方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。 方程组： 解方程组的步骤： 解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方 程步骤。 消元的方法： 消元的方法：①加减消元；②代入消元。
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2、两城相距930千米，客货两车同时从 两城相向开出，经过6小时两车相遇．客车 平均每小时行80千米，货车平均每小时行 多少千米？
• 解：设货车平均每小时行x千米． （80＋x）×6＝930 x＝75 答：货车平均每小时行75千米．
• 一容器内有浓度为40%的糖水，若再加入 20千克水与5千克糖，则糖水的浓度变为 30%。这个容器内原来含有糖多少千克？
简单方程
代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或 代数式 者数字。 方程： 方程：含有未知数的等式叫方程。 列方程： 列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。 列方程关键问题： 列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一 个数。 等式性质： 等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不 变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。
• 1、某商品按25%的利润定价，后来九折出 售，结果每天售出的件数增加了1.5倍，那 么每天这种商品的总利润比降价前增加了 百分之几？
• 解答 解答：把降价前每天销售的件数的总成本 看作：“1”，那么降价前每天获得的总利润 为25%，降价后每天获得的总利润为 （1+1.5）×[（1+25%）×90%]-(11.5)=31.25%,所以降价后每天经营这种商 品的总利润比降价前增加了 31.25%÷25%-1=25%。