2020年江苏省苏州市高考数学考前指导卷含答案解析

2020年江苏省苏州市高考数学考前指导卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=．2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．19．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣qb n+1=a n﹣qb n，其中q∈R，n∈N*．（1）若{b n}是公差为2的等差数列，且a1=q=3，求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，a1=3q＜0，且对任意m，n∈N*，a n≠0，都有∈（，6），试求q的取值范围．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．2020年江苏省苏州市高考数学考前指导卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）={5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A与B的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={5}．故答案为：{5}2．已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i是虚数单位，若z1z2是实数，则a=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数定义是法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1z2=（1+ai）（3+2i）=3﹣2a+（3a+2）i是实数，∴3a+2=0，解得a=﹣．故答案为：．3．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=56．【考点】系统抽样方法．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5=12，∵编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，∴a=16，b=40，∴a+b=56，故答案为：564．等比数列{a n}的前n项和为S n，且a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2a3，化为=3=q．故答案为：3．5．执行如图所示的流程图，输出的S的值为2．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序执行的结果是什么．【解答】解：i=0＜4，s==，i=1＜4，s==﹣，i=2＜4，s==﹣3，i=3＜4，s==2，i=4，输出s=2，故答案为：2．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：8．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0，写出f（x0+），结合诱导公式求值．【解答】解：由f（x）=Asin（2x+φ）+k，∵f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，∴，解得：A=1，k=3．∴f（x）=sin（2x+φ）+3．由f（x0）=2，得sin（2x0+φ）+3=2，∴sin（2x0+φ）=﹣1，则cos（2x0+φ）=0．则f（x0+）=+3=cos（2x0+φ）+3=3．故答案为：3．9．在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥SC，SB⊥SC，SA=SB=2，则该三棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，结合已知可得SC⊥平面SAB，并求出SC，解三角形求得△ASB 的面积，代入体积公式求得三棱锥的体积．【解答】解：如图，∵SA⊥SC，SB⊥SC，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，在Rt△BSC中，由SB=2，BC=3，得SC=．在△SAB中，由取AB中点D，连接SD，则SD⊥AB，且BD=．∴．∴．故答案为：．10．已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．【解答】解：把圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．又B，D两点在圆上，并且位于直线AC的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|==．故答案为：．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．若x＞0，y＞0，则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】设=t＞0，变形=+t=+﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设=t＞0，则=+t=+﹣≥﹣=﹣，当且仅当=时取等号．故答案为：﹣．13．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B 的值．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得：sin2A ﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴解得：sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，∴解得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．14．若不等式|mx3﹣lnx|≥1对∀x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=0，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．二、解答题（每题6分，满分90分，将答案填在答题纸上）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．…16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥AM；（2）若AM∥平面BDE，试求线段AM的长．【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知及等腰梯形的性质，勾股定理可证明AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，从而可证BC⊥平面ACEF，进而可证BC⊥AM．（2）设AC与BD交于点N，由AM∥平面BDE，可得四边形ANEM是平行四边形，可得AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，解得，又CE=a，从而可求EN，进而可求AM的值．【解答】证明：（1）由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且，由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF，又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．解：（2）设AC与BD交于点N，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE=EN，所以AM∥EN，FE∥AC，故四边形ANEM是平行四边形，所以AM=EN，由CD=a，CN=DN，∠DNC=120°，所以，又CE=a，所以，所以．17．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用x万元满足p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意知，，将代入化简即可得出．（2）y′=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：．（2）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增；x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．②当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足19．已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣qb n+1=a n ﹣qb n ，其中q ∈R ，n ∈N *． （1）若{b n }是公差为2的等差数列，且a 1=q=3，求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }是首项为2，公比为q 的等比数列，a 1=3q ＜0，且对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，都有∈（，6），试求q 的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列递推式． 【分析】（1）确定{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，即可求数列{a n }的通项公式； （2）确定a n =2q n +q ，a n ＜0，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q 的取值范围． 【解答】解：（1）由a n+1﹣a n =q （b n+1﹣b n ）=2q=6，所以{a n }是首项为3，公差为6的等差数列，故{a n }的通项公式为．（2）因为，所以，当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2[（q n ﹣q n ﹣1）+（q n ﹣1﹣q n ﹣2）+…+（q 2﹣q ）]+3q=2q n +q ． 当n=1时，a 1=3q ，符合上式，所以，因为a 1=3q ＜0，且对任意，故a n ＜0，特别地2q 2+q ＜0，于是，此时对任意n ∈N *，a n ≠0．当时，，由指数函数的单调性知，{a n }的最大值为，最小值为a 1=3q ，由题意，的最大值及最小值分别为和．由及，解得．综上所述，q 的取值范围为．20．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣1﹣ax的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣1﹣a，设切点为（x0，0），依题意，，解得所以f′（x）=e x﹣1﹣1．当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．则g′（x）=e x﹣1﹣m（lnx+）﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣1﹣m（+），（ⅰ）若m≤，因为当x＞1时，e x﹣1＞1，m（+）＜1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．（ⅱ）若m＞，可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（1，x1）上单调递减，而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．2020年8月1日。