同济大学第五版高等数学(下)课件D11_4函数展开成幂级数

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《同济版高数下》PPT课件

L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy

Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
对面积的曲面积分
曲
曲
线
联计
联计面
积
系算
系算积
分
分
对坐标的曲线积分
对坐标的曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0

为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向

高等数学同济五版ppt合集精编版

1. f ( x) 在 [a , b] 上有界; 2. f ( x) 在 [a , b] 上达到最大值与最小值; 3. f ( x) 在 [a , b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f ( a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) , 使 f ( ) 0.
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半开区间 [ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b 无限区间 [ a , ) x a x ( , b ] x x b
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结束
一、集合
1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
M max f ( x) , m min f ( x) y
x[ a , b ] x[ a , b ]
故 x [ a , b ] , 有 m f ( x) M ,
因此 f ( x) 在[a, b] 上有界 .
M
y f ( x)
m
o a 1 2 b x
y
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a ) f (b) 0 至少有一点
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . n a A a , a , , a 例: 有限集合 i i 1 1 2 n (2) 描述法： M x x 所具有的特征自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

新编文档-同济大学第五版高等数学(下)课件D112数项级数及审敛法-精品文档

第二节
第十一章
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法

若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1

定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n
n 1
(n1,2, )有界 .
(n
1 1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
(1)
un

1 n
,

则un 发散;
n1
(2)
unn1p
(p1),

则un
n1
收敛.
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1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1

1 n2

limn2
n

1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
考 1 虑强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1

同济第五版高数下第七章课件

2 2 2
z
（3）同理在xOz面上的投影
也为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
O
y
x
例4 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
z: b 0 b 0 b ,
令 2 ,
h 2b
( t , b
z
x a cos t y a sin t z vt v

)
则上升的高度: 称为螺距.
h

x
o
z
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
2 2
例6 求上半球面和锥面所围的立体在 xoy 面上的投影. 解所求投影是二曲面交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二曲面交线
x o
z
C
1
y
在xoy 面上的投影曲线所围区域为圆域:
x y 1, z 0.
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
( t为参数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数，动点从A点出发, 解经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )

函数展开成幂级数

函数展开成幂级数的方法
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,

第三步写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成

x

π 4

的幂级数.
解
sin x

sin

π 4

x

π 4

sin
π 4
cos

x

π 4

1 2(1
x)

1 2(3
x)

1

1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2

1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解

f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n

(1)n1 xn

函数展开成幂级数(课堂PPT)

无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明必要性设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n

Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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同济第五版高数下第七章课件

验证不定积分的计算结果
03
通过与积分表中的结果进行比对，可以验证自己计算
的不定积分是否正确。
06
定积分
定积分的概念与性质
定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
几何意义
定积分的值等于曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积。
性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分第二基本定理等性质。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行微分，将一个函数的不定积分转化为另一个函数的不定积分。
积分表的使用
查询基本初等函数的不定积分
01
积分表列出了常用基本初等函数的不定积分，方便查
询。
简化复杂函数的不定积分
02 对于一些复杂函数，可以通过积分表查询类似函数的
已知不定积分，进而求得该复杂函数的不定积分。
05
不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数或不定原函数。
不定积分的性质
不定积分具有线性性质、积分常数性质和积分区间可加性。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的性质和基本初等函数的积分公式，直接求出不定积分。
换元积分法
通过引入中间变量进行换元，将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。
02
复合函数的导数
03
隐函数的导数
如果一个函数是由多个基本初等函数复合而成，可以通过链式法则计算其导数。
对于由方程确定的隐函数，可以通过对方程两边求导来得到其导数。
微分的概念与运算
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小增量，它描述了函数值随自变量微小变化时的近似变化量。

D函数展开成幂级数

a(a 1) (a n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n a n
因此对任意常数 a,
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
第12页/共28页
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为
F(x),1 x 1
则 F(x) 1 a x a(a 1) x2 2!
区间为
利用此题可得
第17页/共28页
机动目录上页下页返回结束
例6. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
( x
)
4
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
4
)5
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2! 4!
(2下页返回结束
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中a
为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) a, f (0) a(a 1) ,
f (n) (0) a(a 1)(a 2) (a n 1) ,
于是得级数
1 ax a(a 1) x2 2!
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

word 完美格式第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高数-幂级数的展开-PPT课件

7
x sin x展成 x 例2.将函数 f 的幂级数. n n n 1 , 2 , 解 ① f x sin x 2 k 1 2 k 1 2 k sin k ② f 0 0 , f 0 1 k 0, f 0 s in 2 k 1 , 2 , ③ f x的麦克劳林级数为: 2 n 1 x3 x5 n 1 x x 1 R 3! 2 n 1 ! 5! ④ n 1 sin 2 n1 | x | n 1 x lim R x 0 Rn x 0 n n n n 1! n 1 !
5
f 0 a2 x f 2 ! a 3 2 a x n n 1 a x 2 3 2!
n 2 n
n
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法，按以下步骤进行：（展成关于x的幂级数）
n x , f x , , f x , (1).求出 f x的各阶导数: f
n f x f x 2 n 0 0 f x f x x x x x x x (3) 0 0 0 0 0 2 ! n !
为 f x 的泰勒级数。
. 显然: 当 x x0 时，级数(3)收敛于 f x0
2 n 0 f x a a x a x a x a 0 f 0 1 2 n 2 n 1 f 0 f x a 2 a x 3 a x na x a 1 1 2 3 n
即
f n 0 n ! a n 1 n n 1 2 a x f x an n n 1 n! n f 0 f 0 2 n f x f 0 f 0 x x x 得证 2 ! n !

同济大学第五高数PPT课件

N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx N 2 px
q
;
第20页/共45页
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x2
x3 5x 6
x3 ( x 2)( x 3)
数或反三角函数为 u.
第6页/共45页
例5 求积分 sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
第26页/共45页
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1
t
2
dt
6ln t 3ln(1 t) 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
f ( x)dx ex2 C ,

D11-4-函数展开成幂级数市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

n
0
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x
2n1
x ( , )
泰勒多项式逼近 sin x 旳几何表达
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
x2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
yx
y
x0
)n
,
x (x0 )
令
S n 1 ( x)
n k 0
f
(k) (x0 )(x k!
x0
)k
f (x) Sn1(x) Rn (x)
lim
n
Rn (x)
lim
n
f
(x)
Sn1(x)
0
,
x (x0 )
定理2. 若 f (x) 能展成 x 旳幂级数, 则这种展开式是
唯一旳 , 且与它旳麦克劳林级数相同.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
11 2(1 x) 2(3 x)
4 1
1
x1 2
8
1
1
x1 4
( x 1 2)
1 4
1
x 1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x 1)n 2n
1 8
1
x 1 4
(x 1)2 42
(1)n
(x 1)n 4n

同济高等数学第五版教材

同济高等数学第五版教材同济高等数学第五版教材是一本经典的数学教材，在国内外享有很高的声誉。

本教材全面系统地介绍了高等数学的基本概念、定理、公式及其应用，极大地方便了学生对数学知识的学习与掌握。

下面我将从教材的结构、内容特点以及应用示例三个方面来进行介绍。

一、教材结构同济高等数学第五版教材共分为五个主要部分，分别为微积分、无穷级数、多元函数微分学、重积分与坐标系、曲线与曲面积分。

1. 微积分部分主要介绍导数与微分、定积分、微分方程等内容，着重培养学生对函数与曲线的分析与计算的能力。

2. 无穷级数部分介绍幂级数、傅里叶级数等，通过学习这些级数的性质和应用，拓宽了学生的数学视野。

3. 多元函数微分学部分主要介绍多元函数的连续、可导、偏导数以及方向导数等，为进一步学习多元函数的积分奠定了基础。

4. 重积分与坐标系部分介绍了重积分、坐标系的转化以及重积分的应用，培养学生解决实际问题的能力。

5. 曲线与曲面积分部分介绍了曲线积分、曲面积分以及格林公式、高斯公式等，为学生理解与应用这些数学工具提供了充足的素材。

二、内容特点同济高等数学第五版教材具有以下几个内容特点：1. 具有逻辑性与体系性：教材内容从基础概念出发，逐步展开，层层深入，构建起完整的数学体系。

2. 理论与实践相结合：教材不仅介绍了基本概念和定理，还给出了大量的例题和应用示例，使学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中去。

3. 严谨而精炼：教材的表述准确简练，每一章节内容都经过精心编排，使学生能够快速抓住重点，深入理解。

4. 强调数学思想与方法：教材注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，通过大量例题和应用示例的训练，帮助学生掌握数学的基本思想和方法。

三、应用示例同济高等数学第五版教材以应用示例为特色，充分展示了数学在各个领域的应用。

比如在微积分部分，教材通过应用示例讲解了如何求函数的最大值和最小值，解决实际中的优化问题；在多元函数微分学部分，教材使用应用示例介绍了如何求函数在给定点的方向导数，以及如何利用多元函数求解约束问题等。