8-8最值_6

又 fx (x0 , y0 ) = 0, f y ( x0, y0 ) = 0,
令 fxx( x0 , y0 ) = A, fxy( x0, y0 ) = B, f yy ( x0, y0 ) = C,
是极值, 则 (1) AC − B2 > 0时 f ( x0 , y0 ) 是极值, 0时 , 为极大值, 为极小值; A 当 < 0时 为极大值, 当 > 0时为极小值; A (2) AC − B2 < 0 , f ( x0 , y0 ) 不是极值; 时 不是极值; 可能是极值, 时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值, (3) AC − B2 = 0 也可能不是极值. 也可能不是极值.
定理8.8 导 , 定理8.8 设z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有 偏 数 且在点( x0 , y0 )处 有 值 则 极 ,
fx ( x0, y0 ) = 0, f y ( x0, y0 ) = 0.
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处 有极大值, 有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意 ( x , y ) ≠ ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ),
根号中的极大值为4, 当x = 1, y = −1时, 根号中的极大值为4,
∴ z = 2 ± 4 为极值. 为极值.
为极大值, 为极小值. z = 6 为极大值, z = −2 为极小值.
说明
偏导数不存在的点，也可能是极值点. 偏导数不存在的点，也可能是极值点. 不存在的点 极值点
2 2
例 z=− x + y
z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )
成为平行于xOy坐标面的平面 z − z0 = 0. 坐标面的平面 成为平行于
二元函数极值的充分条件
有二阶连续偏导数, 定理8.9 定理8.9 设z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )有二阶连续偏导数,
将P (1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z 2 = 6 代入原方程,
将上方程组再分别 求偏导数, 求偏导数 对x, y求偏导数
2z′ ⋅ z′ + 2z ⋅ z′′ − 4z′′ = 0 2 + 2( z′ ) + 2 z ⋅ z′′ − 4 z′′ = 0
x y xy xy
极值的一般步骤: 求函数 z = f ( x, y) 极值的一般步骤:
f x ( x, y) = 0 求出实数解, 得驻点. ①解方程组 f ( x , y ) = 0 求出实数解, 得驻点. y
②对于每一个驻点( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C .
AC − B 2 的符号, 判定是否是极值. 的符号, 判定是否是极值. ③定出
求函数 z = 1 − x + x 2 + 2 y在x = 0, y = 0与 例 围成的三角形闭域D上的 直线 x + y = 1 围成的三角形闭域 上的
最大( 最大(小)值. 解 (1)求函数在 内的驻点（嫌疑点） 求函数在D内的驻点（嫌疑点） 求函数在 y z x = −1 + 2 x 由于 zy = 2 ≠0 所以函数在D内无极值点. 所以函数在 内无极值点. 内无极值点 (2) 求函数在 D边界上的嫌疑点 边界上的 (最值只能在边界上) 最值只能在边界上) 最值只能在边界上
10
求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 10 = 0
确定的函数 z = f ( x , y )的极值 .
解 法1 将方程两边分别对x, 求偏导数 求偏导数, 将方程两边分别对 y求偏导数
2 x + 2 z ⋅ z′ − 2 − 4 z′ = 0 x x 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0 z ′x = 0 由函数取极值的必要条件 必要条件, 由函数取极值的必要条件,令 z ′y = 0 驻点为 得驻点为 P (1,−1),
且A = −6a
>0
是极大值。 < 0 ∴ f (a , a ) = a 3 是极大值。
考研数学二, 选择题, 分 考研数学二 选择题 4分
设函数 z = f ( x , y )的全微分为 dz = xdx + ydy ,
则点(0,0) ( D )
(A) 不是 (x, y)的连续点 (B) 不是 (x, y)的极值点 不是f 的连续点. 不是f 的极值点. 的连续点 的极值点 的极小值点. 的极小值点 (C) 是f (x, y)的极大值点 (D) 是f (x, y)的极小值点 的极大值点. 的极大值点
P
1 >0 AC − B = 2 (2 − z )
2
A = z′′ |P = xx
1 2− z
f (1,－1)是极值. 是极值. － 是极值
′ B = z′xy |P = 0
′ C = z ′yy | P = 1 2− z
1 , 当z1 = −2时 A = > 0, 4 z = f (1,−1) = −2 为极小值; 为极小值; 1 , 当z2 = 6时 A = − < 0, 4 为极大值. z = f (1,−1) = 6 为极大值.
z
在点(0,0)处的偏导数不存在, 处的偏导数不存在, 在点 处的偏导数不存在 但(0,0)是函数的极大值点. 是函数的极大值点. 是函数的极大值点
O•
x
y
所以，在研究函数的极值时, 所以，在研究函数的极值时,除讨论偏 导数为0的点外,还应研究偏导数不存在的点. 导数为0的点外,还应研究偏导数不存在的点.
求二元连续函数在有界闭域D 求二元连续函数在有界闭域D内的 最值的一般步骤: 最值的一般步骤: 求函数在D内的所有嫌疑点 ①求函数在 内的所有嫌疑点 ②求函数在 的边界上的嫌疑点 求函数在D的边界上的 将所有嫌疑点的函数值相互比较, ③将所有嫌疑点的函数值相互比较, 最小值. 最大者即为最大值, 最小者即为最小值 最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 最大值
函数 容易判断的. 容易判断的
存在极值, 存在极值 在简单的情形下是
z
2 2 例 函数 z = 3 x + 4 y
椭圆抛物面
• O x z
点取极小值. 也是最小值). 在(0,0)点取极小值 (也是最小值 点取极小值 也是最小值
y
z = − x2 + y2 例 函数
例 函数 z = xy 点无极值. 在(0,0)点无极值 点无极值
当y = y0 , x ≠ x0时,
也有 f ( x, y0 ) < f (x0 , y0 ),
⇒ x0 是一元函数 f ( x , y0 ) 的极大值点, 的极大值点,
∴ fx (x0 , y0 ) = 0; 同理可证
f y ( x0, y0 ) = 0.
推广 如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数, 有极值的必要条件 必要条件: 具有偏导数,则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件:
8.8 多元函数的极值与最值
一、 多元函数的极值 二、 多元函数的条件极值 三、 Lagrang(拉格朗日)乘数法 (拉格朗日) 四、 小结 思考题
一、 多元函数的极值
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念 和一元函数一样，极值是局部概念 设在点P 的某个去心邻域, 定义 设在点 0的某个去心邻域, f ( P ) < f ( P0 ), 则称 点P0为函数的极大值点. f (P0 )为极大值. 为函数的极大值点 ( P 极大值点. 极大值. 类似可定义极小值点和极小值. 类似可定义极小值点和极小值. 极小值点 极值. 函数的极大值与极小值统称为 极值. 极值点. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
fx ( x0, y0, z0 ) = 0, f y ( x0, y0, z0 ) = 0, fz ( x0, y0, z0) = 0.
同时为零的点, 类似一元函数, 一阶偏导数同时为零的点 类似一元函数,使一阶偏导数同时为零的点, 驻点. 称为函数的 驻点. 说明 1、驻点 具有偏导的极值点 驻点, 但不是极值点. 如, (0,0)是函数 z = xy的 驻点, 但不是极值点. 点 在点(x 在点 2、从几何上看,此时如曲面 = f (x, y)在点 0, y0, z0) 从几何上看,此时如曲面z 处有切平面, 处有切平面 则
代入方程组， z′ = 0, z′ = 0 代入方程组，得 x y
1 ( AC − B ) P = ( 2 − z )2
2
1 1 ′′ | P = A = z xx , B = z ′′ | P = 0, C = z ′yy | P = ′ , xy 2− z 2− z
>0
f (1,－1)是极值. 是极值. － 是极值
f x = x = 0 ⇒ 驻点( 0,0). 解 fy = y = 0 又 A = f xx = 1, B = f xy = 0, C = f yy = 1
在点(0,0)处, AC − B 2 = 1 > 0 且A = 1 > 0 处 在点 故点(0,0)为函数 = f (x,y)的一个极小值点 为函数z 的一个极小值点. 故点 为函数 的一个极小值点
2 y yy yy
2 ′x） + 2 z ⋅ z ′′ − 4 z ′xx = 0 ′ 2 + （z 2 xx
2 x + 2 z ⋅ z′ − 2 − 4 z′ = 0 x x 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
z1 = −2, z2 = 6
在驻点 P (1,−1)处 ,
回忆
求一元连续函数 f (x)在闭区间[a, b] )在闭区间[ ] 上的最值的一般步骤 ①求函数在 (a, b)内的嫌疑点 ) ②将嫌疑点的函数值与区间端点的函 数值 f (a), f (b)相互比较, 相互比较, 最小值. 最大者即为最大值, 最小者即为最小值 最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 最大值
下半个圆锥面
x
点取极大值. 也是最大值). 在(0,0)点取极大值 (也是最大值 点取极大值 也是最大值 马鞍面
z
O•
y
• O
x
y
回忆
一元函数极值的必要条件
可导, 如果函数 f ( x )在x0处 可导,且f ( x )在x0 处取得极值, 处取得极值, 那么 f ′( x0 ) = 0.
二元函数极值的必要条件
z1 = −2, z2 = 6
求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 10 = 0
确定的函数 z = f ( x , y )的极值 .
解 法2
初等配方法
方程可变形为
( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = 16
∴ z = 2 ± 16 − ( x − 1) 2 − ( y + 1) 2
例 求函数 f ( x , y ) = 3axy − x 3 − y 3 (a > 0) 的极值. 的极值. f x = 3ay − 3 x 2 = 0 解 ①解方程组 驻 (0,0), (a, a). 点 2 f y = 3ax − 3 y = 0
B C ②求 A、 、
A = f xx = −6x ,
D
O
x
x + y =1
①在边界线 x = 0, 0 ≤ y ≤ 1上,
z = 1+ 2y
z = 1− x + x + 2y
2
y
x + y =1
dz D 单调上升. Q = 2 > 0, z = 1 + 2 y 单调上升. O dy
x
∴z(0,0) = 1 最小, z(0,1) = 3最大. 最小, 最大.
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B = f xy = 3a , C = f yy = −6 y .
2
③定出 AC − B2 的符号
在点(0,0)处, AC − B = ( 36 xy − 9a ) ( 0 , 0 ) = −9a 处 在点
2
<0
∴ f (0,0) 不是极值 不是极值; 在点(a,a)处, AC − B 2 = ( 36 xy − 9a 2 ) ( a ,a )= 27a 2 在点 处