圆的有关概念与性质_1

圆的有关概念与性质

◆课前热身

1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误

．．的是（）

D．OD＝DE

2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（）

A． B． C． D．

3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

3，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm

的长为（）

A ．3cm 2

B ．3cm

C ．

D ．9cm 【参考答案】

1. D

2. D

3. A

4. A

5. B

◆考点聚焦

1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一．

2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周

角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是

本节难点．

3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中

考热点．

◆备考兵法

“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”

来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者

之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线

段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．

常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理

结合起来常以计算题出现.

◆考点链接

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又

是 对称图形， 是它的对称中心.

3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .

4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一

组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .

5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .

6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .

◆典例精析

例1（山西太原）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，

CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A

． B ．5 C

． D ．6

【答案】A 【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD ＝12

AB ＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC

＝，故选A ． 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长

为 ．

【答案】8

【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA ，根据垂径定理可知AM ＝4，又OA ＝5，则根据勾

股定理可得：OM ＝3。又OD ＝5，则DM ＝8.

例3（贵州贵阳）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，

且AB=13，BC=5．

（1）求sin∠BAC 的值；

（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴sin∠BAC=

5

13 BC

AB

=．

（2）在Rt△ABC中，=．又∵OD⊥AC于点D，

∴AD=1

2

AC=6．

（3）∵S半圆=1

2

π×（

2

AB

）2=

1

2

π×169

4

=

169

8

π．

S△ABC=1

2

AC×BC=

1

2

×12×5=30，

∴S阴影=S半圆－S△ABC =169

8

π－30≈36.3

点评“直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．

◆迎考精练

一、选择题

1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )

A．15° B．30° C．45° D．60°

2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为（）

A.30°

B.60°

C.30°或150°

D.60°或120°

3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．

若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．6

D ．9

4.（天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）

A ．28°

B ．56°

C ．60°

D ．62°

5.（安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6.(浙江温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )

A ．40°

B ．45°

C ．50°

D ．80°

7.（四川遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o

，

那么sin ∠AEB 的值为( ) A. 21 B. 33 C.22 D. 23