2012高考总复习《走向清华北大》精品课件20三角函数的图象

第二十讲三角函数的图象回归课本1.作y=Asin(ωx+φ)的图象主要有以下两种方法:(1)用“五点法”作图.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换, z=ωx+φ,z 0, π π, 3π ,2π设由取, 来求出2 2相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.方法一:先平移后伸缩y=sinx −向−左(−ϕ>0−)或向−右−(ϕ<0−)→y=sin(x+φ) 平移|ϕ|个单位横坐标变为原来的 1 倍−−−−−−ω−→y=sin(ωx+φ)纵坐标不变 −纵−坐−标变−为原−来的−A 倍−→y=Asin(ωx+φ).横坐标不变方法二:先伸缩后平移 y=sinx 横坐标变为原来的 1 倍 y=sinωx −−−−−−ω−→ 纵坐标不变−向−左(−ϕ>0−)或向−右−(ϕ<0−)→平移 ϕ 个单位 y=sin(ωx+φ) ω−纵−坐−标变−为原−来的−A 倍−→y=Asin(ωx+φ).横坐标不变2.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时,A 2π 1 叫做振幅,T= 叫做周期, f = T ϕ叫做相位,x=0时的相位φ称为初相. = ω 叫做频率,ωx+φ 2π3.对称问题 y=sinx 图象的对称中心是(kπ,0),(k ∈Z). 对称轴方程是x= π2 +kπ,(k ∈Z). y=cosx 图象的对称中心是 ⎛ π + k π, 0 ⎫ , (k ∈Z). ⎪ ⎝ 2 ⎭ 对称轴方程是x=kπ,(k ∈Z).考点陪练⎛2x- π ⎫ ⎡-π ⎤的简图1.如图所示,函数y=sin ⎪ 在区间⎢ ,π⎥⎝ 3 ⎭ ⎣ 2 ⎦ 是( )解析 : x = - π 时, y = 3 , 排除B ､D; x= -π时, y = - 3, 2 2 6 2排除C.答案:A2.若f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是()A.ω = 1, ϕ = πB.ω = 1,ϕ = - π33C.ω = 1 ,ϕ = πD.ω = 1 ,ϕ = - π2 62 6解析 :T = 2 π - ⎛ - π ⎫ = π ,∴T = 4π , 又T=2π ,⎪43 3 ω⎝ ⎭1 ⎛ 1 ⎫⎛ π⎫∴ω =. ∴y = sinx +ϕ ⎪. ∴0= sin -+ϕ ⎪ ,2 ⎝ 2 ⎭⎝ 6 ⎭∴- π +ϕ = k π.由图知k = 0,∴ϕ = π . 6 6答案:C⎛ 2x +π ⎫3.将函数y = sin ⎪的图象按向量a 平移后所得的图⎝3 ⎭⎛ π象关于点 -12⎝ ⎛ π ⎫ A . -, 0 ⎪⎝ 12 ⎭ ⎛ π ⎫ C ., 0 ⎪12⎝ ⎭⎫ , 0 ⎪中心对称,则向量a 的坐标可能为()⎭⎛ π ⎫ B . - 6 , 0 ⎪⎝⎭ ⎛ π ⎫ D . , 0 ⎪ ⎝ 6 ⎭解析 :⎛ 2 x + π ⎫ ⎛ - π , 0 ⎫, 按向 y = sin ⎪的一个对称中心为⎪⎝3 ⎭ ⎝6 ⎭⎛ π量a 平移后得相应的对称中心-12⎝π ⎛ π ⎫ π∴---⎪ =.1212⎝ 6 ⎭∴ a = ⎛ π , 0 ⎫⎪.⎝ 12 ⎭答案:C⎫ , 0 ⎪,⎭4.(2010·四川)将函数y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的210倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()A . yC . y⎛π ⎫= sin2 x -⎪10⎝ ⎭⎛ 1π ⎫= sinx -⎪⎝ 210 ⎭⎛ 2x - π ⎫B . y = sin⎪ ⎝ 5 ⎭ ⎛ 1π ⎫ D . y = sinx -⎪⎝ 220 ⎭解析:将函数y=sinx的图象向右平移π个单位长度得到10⎛ π ⎫函数y=sin x- ⎪的图象,然后将所得各点的横坐标伸⎝ 10 ⎭⎛ 1 π ⎫长到原来的2倍(纵坐标不变)得y=sin x - ⎪的图象,选C.⎝ 2 10 ⎭答案:C5.(2010 江西)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数y=sin2x, ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫y = sin x + ⎪ ,y=sin x- ⎪的图象如下,结果发现恰有⎝ 6 ⎭ ⎝ 3 ⎭一位同学作出的图象有错误,那么有错误的图象是()解析:当x=2kπ(k∈Z)时, y=sin2x = sin[2(2k π )] = 0, ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 1 ⎛ π ⎫ y = sin x+ ⎪ = sin 2 kπ+ ⎪ = > 0, y=sin x- ⎪2⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎛ π ⎫ 3 < 0,显然周期最小的函数为= sin 2 kπ- ⎪ = -⎝ 3 ⎭ 2y = sin2x, 过函数y = sin2x的图象上的点(2kπ , 0)(k ∈Z)作一直线x=2kπ(k∈Z),则此直线与另外两条曲线的两个交点的纵坐标分别为12, 23,结合各选项可知有错误的图象为C. 答案:C类型一“五点法”作图解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点､最低点及与x轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个函数的图象.其一般步骤是:π 3π(1)令ωx+φ分别等于0,π,,2π,求出对应的x2 2值和y值,即求出对应的五点;(2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的函数图象;(3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.y = sin x+ cosx【典例1】作出函数 3 的一个周期2 2内的图象.[分析]考查:“五点法”作图.[解]先选点再列表, 最后描点连线.x x ⎛ xπ ⎫2π由y = sin+3cos, 得y = 2sin+⎪ , 其周期T =122⎝ 23 ⎭2= 4π , 振幅A = 2, 令 x + π= 0, π,π ,3π , 2π.列表 :2 3 2 2⎛ x π ⎫ ⎡ 2π 10π⎤描点连线,可得函数y=2si n + ⎪ 在一个周期⎢- , ⎥⎝ 2 3 ⎭ ⎣ 3 3 ⎦ 内的图象如图.[反思感悟]用“五点法”作正､余弦函数的图象要注意以下几点:①先将解析式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)= 2π的形式;②周期;③振幅A(A>T0);④列出一个周期的| ω |五个特殊点;⑤描点､用平滑曲线连线.类型二三角函数的图象变换解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具体有以下三种变换:(1)相位变换:y=sinx的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位得到y=sin(x+φ)的图象.(2)周期变换:y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长(0<ω<1)1或缩短(ω>1)到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sinωx的图象.(3)振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变),得到y=Asinx的图象.【典例2】1 如何由y = sinx 得到y = cos ⎛ - 1 x + π ⎫的图象?( )2⎪⎝ 4 ⎭1 ⎛π ⎫ (2 ) 如何由y =sin 2x +⎪的图象得到y = sinx 的图象?3⎝ 3 ⎭[分析]先化异名为同名,后作变换.[解] (1)=cos ⎛1⎝2⎛ 1y = cos -2⎝x +π-π ⎫=4⎪2 ⎭π ⎫ ⎛ 1x + ⎪ = cos4 ⎭ ⎝ 2⎛ 1π ⎫sin x + ⎪.⎝ 2 4 ⎭x -π⎫⎪4 ⎭所以可由y=sinx向左平移π ⎛ π ⎫;得到y=si n x+ ⎪ 4 ⎝ 4 ⎭再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), ⎛ 1π ⎫ ⎛ 1 π ⎫ 得到y=sin x + ⎪ ,即可得到y=cos - x + ⎪的图象.⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 2 4 ⎭1⎛π ⎫(2)由y =sin 2x +⎪的图象上各点的纵坐标伸长到原来3⎝3 ⎭⎛ 2x + π ⎫ 的3倍, 得y = sin 3 ⎪的图象;再把图象上各点的横坐标⎝⎭⎛ π ⎫⎛ π 伸长到原来的2倍, 得y = sin x +⎪的图象; 再把y = s in x +⎝ 3 ⎭⎝3的图象向右平移 π个单位, 即得到y = sinx 的图象.3⎫⎪⎭[反思感悟]对于y=f(x)的图象,若将图象平移a(a>0)个单位,当向左平移则把x换成x+a,当向右平移则把x换成x-a,其他任何数值和符号不变,若将图上各点的横坐标伸长到原来的ω倍(ω>1),则只需将x换成1,若将图象上各点的横坐标缩短到原来的ωx1(ω>1),则只需将x换成ωx即可. ω类型三三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式解题准备:给出图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B的难点在于φ的确定,本质为待定系数法.基本方法是:①“五点法”,运用“五点”中的一点确定.②图象变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值⎛ - ϕ , 0 ⎫ 点确定φ,有时从找“五点法”中的第一零值点 ω⎪⎝⎭ 作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.【典例3】下图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段,求其解析式.[分析]确定A.若以N 为五点法作图中的第一零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx 的图象)所以A<0;若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx 的图象)所以A>0.而ω=2,φ可由相位来确定.T[解]解法一 :以N 为第一个零点,则A = -⎛ 5ππ ⎫3,T = 2 - = π ,⎪⎝ 6 3 ⎭∴ω = 2, 此时解析式为y = -3sin (2x +ϕ ).⎛ - π ⎫ π ⨯ 2 +ϕ = 0⇒ ϕ = π . 点N 6 , 0 ⎪在图象上,∴- 63 ⎝ ⎭⎛ 2x + π ⎫.①∴所求解析式为y = - 3sin ⎪ ⎝ 3 ⎭⎛ π ⎫ 2π 解法二:以点M , 0 ⎪为第一个零点,则A= 3, ω= =3 T⎝ ⎭解析式为y =⎛ π ⎫3sin (2x +ϕ), 将点M , 0 ⎪代入得 :⎝ 3 ⎭π 2π,∴所求解析式为y= ⎛2 ⨯ +ϕ= 0 ⇒ ϕ = - 3sin 2x-3 3 ⎝ 2,2π⎫.⎪ ②3 ⎭[反思感悟](1)本例中①与②这两个解析式是一致的,由①可得②.⎛ π ⎫ ⎛ 2 ⎫y = - 3sin 2x+ ⎪ = - 3sin 2x+π- π ⎪⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭⎛ 2π⎫.同样由②也可得①.= 3sin 2x- ⎪⎝ 3 ⎭(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点”的确定是很重要的,尽量使A取正值,由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图象,求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:①如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标,那么由2ω= T即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.②代入点的坐标.利用一些已知点(最高点､最低点或零点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.(3)利用图象特征确定函数解析式y=Asin(ω+φ)+k或根据代数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法:①振幅A= 1(y max-y min). 2②相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长度为T, 由此推出ω的值.2③确定φ值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.类型四三角函数图象的对称性解题准备:函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称问题(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=x k(其中ωx k+φ=kπ+,k∈Z)成轴对称图形,也就是说波峰或波2谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(x j,0)(其中ωx j+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形,也就是说函数图象与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心.⎛ 3x + π ⎫【典例4】求函数y = 2 sin ⎪的对称轴和对称中心.⎝ 4 ⎭[分析]观察y = sinx 的图象, x = k π + π(k ∈ Z )是其对称轴,2(k π ,0)k ∈ Z 是其对称中心(即: 对称轴过最值点且垂直于x 轴, 对称中心是图象与x 轴的交点).[解]由3x+ π = kπ+ π (k ∈ Z), 3x +π= k π(k ∈ Z ) .4 2 4k π π ⎛ kπ π ⎫知x= + (k ∈ Z)为对称轴, - , 0 ⎪ (k ∈ Z)为3 12 ⎝ 3 12 ⎭对称中心.类型五三角函数模型的常见应用解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常见类型有:(1)航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正､余弦定理.(2)与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题正是此类应用题.(3)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最优化问题,即求最值.(4)三角函数在物理学中的应用.【典例5】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T､振幅A及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?[解](1)由表中数据,知周期T=12.∴ω=2π 2π π T = 12 =6 .由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①由t=3,y=1.0,得b=1.②1 由①②得A=0.5,b=1,∴振幅为2 ,∴y =12 cosπ6 t +1.。