第2章 静态电磁场-静电场1-5

第 二 章
静 电 场
由E求 ϕ 的关系式 求 如取Q点为电位参考点， 点的电位定义为： 如取 点为电位参考点，则P点的电位定义为： 点为电位参考点 点的电位定义为
ϕ P = ∫ E dl
P
Q
工程应用中，常取大地表面为电位参考点， 工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在 理论分析时，任意点P的电位可设为 的电位可设为： 理论分析时，任意点 的电位可设为：
[
]
代入前式， 代入前式，得
1 E (r ) = 4 πε 0
V′
∫
ρ (r ′)
R
2
e R dV ′
点电荷： 线电荷： 线电荷： 面电荷： 面电荷： 体电荷： 体电荷：
1 q (r ' ) E (r ) = eR 2 4 πε 0 R
E (r ) =
E (r ) =
τ (r ′) 1 ' ∫' R 2 e R dl 4 πε 0 l
第 二 章
静 电 场
求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。 例2-6 求电偶极子产生的空间电场强度与电位分布。 [解]：定义电偶极矩p(简称电矩，即p = qd，d为正负电荷间的距离，且规定 解 ：定义电偶极矩 简称电矩， ， 为正负电荷间的距离， 简称电矩 为正负电荷间的距离 d的方向由负电荷指向正电荷 表征其特性。在电介质中的场与电磁波辐射 的方向由负电荷指向正电荷)表征其特性。 的方向由负电荷指向正电荷 表征其特性 场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。 场等问题的分析中，电偶极子作为基本激励单元具有实际应用价值。仅考 虑r >> d的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心，z轴与 相重。 的情况，现采用球坐标系，设原点在电偶极子的中心， 轴与d相重。 的情况 轴与 相重 应用叠加原理，任意点的电位为 应用叠加原理，
体电荷： 体电荷：
1 ρ (r ′) ϕ (r ) = ∫′ R dV ′ 4 πε 0 V
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静 电 场
3．电场强度的表达式 ρ (r ′) ρ (r ′) 1 ∇ dV Leabharlann Baidu E (r ) = −∇ϕ = −∇ ∫ dV ′ = − ∫ 4 πε 0 R 4 πε 0 R 因为 V′ V′
ϕ=
qd cos θ 1 p • er = 4 πε 0 r 2 4 πε 0 r 2
图 电偶极子
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静 电 场
导体和电介质
1．导体 ． 0，是一个等位体， 导体内部E = 0，是一个等位体，导体表面必与其外侧的电 力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面， 力线正交，电荷以面电荷密度的形式分布在导体表面，且其分 布密度取决于导体表面的曲率。 布密度取决于导体表面的曲率。
∫ E • dS = E ∫ dS = E (4 πr ) = 1 E= e (r ≤ a ) 2ε
2 r r S S
∫ ρdV
ε0
V
1 2 2πr 2 = ∫ ∫ ∫ r r sin θdrdθdφ = ε 0 ε0 0 0 0 1
2π π r
r
0
当 r > a时 ，
E r 4π r
E=
(
2
)=
2π a 2
qk ϕ (r ) = ∑ 4πε 0 k =1 Rk 1
n
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静 电 场
设真空中电荷在半径为a的圆盘形平面域中均匀分布， 例2-5 设真空中电荷在半径为a的圆盘形平面域中均匀分布，其 电荷面密度分布函数为σ 试求： 电荷面密度分布函数为σ。试求： 与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布； （1）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布； （2）轴线上的电场强度 解：典型的圆环状电荷上的元电荷 σ dS 在轴线上任一场点P处引起的元电位为： 在轴线上任一场点P处引起的元电位为：
ϕ P = ∫ E dl
P
∞
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静 电 场
2、电位函数的表达式
点电荷： 点电荷：
1 q (r ' ) ϕ (r ) = 4 πε 0 R
1 τ (r ′) ' ϕ (r ) = ∫' R dl 4 πε 0 l
线电荷： 线电荷：
面电荷： 面电荷：
1 σ (r ′) ' ϕ (r ) = ∫' R dS 4 πε 0 S
第 二 章
静 电 场
静电场
基本内容： 基本内容： 1、静电场基本方程及其物理意义 、 2、真空中的电场，导体中的电场及电介质的电场 、真空中的电场， 3、静电场的求解 、 4、电容、静电能量及静电力的求解 、电容、
静电场：由相对于观察者静止的且电量不随时间变化的电荷产 静电场：由相对于观察者静止的且电量不随时间变化的电荷产 电荷 生的电场
静 电 场
采用圆柱坐标系， 轴与线电荷重合， 的中点。 [解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段 l 的中点。
1 τdz ′ 1 dE ρ = dE cos α = cos α = 4 πε 0 R 2 4 πε 0
τ E ρ (ρ , 0, 0 ) = ∫ dE ρ = 2 ⋅ 4 πε 0 l
式中， 式中，
α0
α 0 = tg -1
l 2ρ 。
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l
静 电 场
讨论： <<1， 很大， 讨论：如果 2 ρ <<1，这意味着或者l很小或者 ρ 很大，此时
sin α 0 ≈
l ，则 2ρ Eρ =
l 的点电荷产生的电场。 >>1， 相当于电量为τ l的点电荷产生的电场。如果 的点电荷产生的电场 >>1，这可以视 2ρ
= σρ dφ d ρ
σ dS σ dϕ = = ρ dφ d ρ 4πε 0 R 4πε 0 R
所以： 所以：
z P(0,0,z) R
ϕ = ∫ dϕ
=∫
a 2π
S
0 0
∫ 4πε
σ
0
ρ 2 + z2
ρ dφ d ρ
a
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静 电 场
σ = 2ε 0
∫
0
a
σ ( a2 + z 2 − z) 2ε ρ dρ = 0 2 2 ρ +z σ ( a2 + z 2 + z) 2ε 0
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静 电 场
静电场的无旋性 静电场的无旋性
∇× E = 0 这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场， 这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其 电力线不是闭合曲线。 电力线不是闭合曲线。
对右图闭合曲线作曲线积分， 对右图闭合曲线作曲线积分， 并应用斯托克斯定理， 并应用斯托克斯定理，得：
− 2 l 2
τρdz ′
(ρ
)
2
+ z′
3 2 2
)
∫
0
l 2
ρdz ′
(ρ
2
+ z′
3 2 2
利用变量代换z′ = ρ tgα，dz′ = ρ sec2α dα，代入上式，最终解得 代入上式， 利用变量代换 ′ ′
τ τ E ρ (ρ , 0, 0 ) = 2 ⋅ ∫ cosαdα eρ = 2πε 0 ρ sin α 0 eρ 4 πε 0 ρ 0
图2-1 散度与场源的关系
上图表明：静电场是有散 有源 有源)场 上图表明：静电场是有散(有源 场。若场中某点 ▽•E>0， ， 正电荷)， 则 ρ >0 (正电荷 ，该点电力线向外发散，且为“源”的所在 正电荷 该点电力线向外发散，且为“ 负电荷)， 处；若某点 ▽•E<0，则 ρ <0 (负电荷 ，电力线从周围向该点 负电荷 汇集， 的所在处； 汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽•E=0，则 ρ =0 (无电 无电 荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该 ，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集， 因此该点不存在场源。 点，因此该点不存在场源。
∞ a ∞ a ∞
(r ≤ a )
当 r > a时 ，
a2 a2 dr = ϕ (r ) = ∫ E • e r dr = ∫ 2 2 ε0 r 2ε 0 r r r
∞ ∞
(r > a )
基于位函数的分析 若场源为n个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)处的电位为： 若场源为n个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)处的电位为： (r)处的电位为
q 1 1 q r2 − r1 − = ϕ= r r 4πε r r 4πε 0 1 2 0 1 2
很大时， 三者将近乎平行， 当r很大时，r1、r2和r三者将近乎平行，此时 2 − r1 ≈ dcosθ， 很大时 三者将近乎平行 此时r r1r2 ≈ r2代入上式，得 代入上式，
e ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 1 R 1 ∇ = e x + e y + e z = − 3 (x − x ′)e x + ( y − y ′)e y + (z − z ′)e z = − 3 = − R ∂y R ∂z R ∂x R R R R2 R
a
2
ε0
2ε 0 r 2
er
(r > a )
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静 电 场
设无限远处为电位参考点，当r ≤ a时 设无限远处为电位参考点，
1 a2 a r ϕ (r ) = ∫ E • e r dr = ∫ E • e r dr + ∫ E • e r dr = ∫ dr + ∫ dr = − 2ε 0 2 ε0 r 2 ε 0 2ε 0 r r a r a
ϕ p (r ) = ∫ E • dl ，求电位。 求电位。
p
∞
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静 电 场
例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为τ 的 电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。 电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
图 有限长直线电荷沿ρ方向的电场
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z>0 z<0
（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为： 应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为： ），可得电场强度为
∂ϕ σ z E = −∇ϕ = − ez = [1 − ]ez z>0 2 2 ∂z 2ε 0 a +z
（ 2） 可得电场强度为： a → ∞时： 可得电场强度为： σ E= ez z>0 2ε 0
为无限长直的线电荷， 为无限长直的线电荷，此时 α 0 = tg -1
τl e 2 ρ 4 πε 0 ρ
Eρ =
τ eρ 2πε 0 ρ
l π ，则 ≈ 2ρ 2
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静 电 场
求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布， 例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布， 设电荷体密度为 1 (0 < r ≤ a ) ρ= r ρ = 0 (r > a ) 由高斯定理， [解]：由高斯定理，当r ≤ a时
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静 电 场
电位函数的引入
∇×E=0， ∇×( )=0 可以表示为: 因为 ∇×E=0，由矢量恒等式 ∇×(∇ϕ)=0，E(r) 可以表示为:
E (r ) = −∇ϕ (r )
式中， 为静电场的标量电位函数， 式中，称为标量函数 ϕ(r) 为静电场的标量电位函数，简 称电位。上式表明， 称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度 E 等 于该点电位梯度的负值。 于该点电位梯度的负值。
∫ E • dl = ∫ E • dl + ∫ E • dl = ∫ ∇ × E • dS =0
AmBnA AmB BnA S
即
∫ E • dl = − ∫ E • dl = ∫ E • dl
AmB BnA AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关， 表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅 取决于起点和终点的位置。 取决于起点和终点的位置。
1 σ (r ′) e R dS ' ∫ 4 πε 0 S ' R 2
E (r ) =
1 4 πε 0
V′
∫
ρ (r ′)
R
2
e R dV ′
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静 电 场
4．电位和电场强度的求解思路 ．
求电场强度。 思路一：先求电位， 思路一：先求电位，再利用 E (r ) = −∇ϕ (r ) ，求电场强度。 思路二：先求电场强度， 思路二：先求电场强度，再利用
静 电 场
静电场的有散性(高斯定理 高斯定理) 真空中 静电场的有散性 高斯定理
在真空中，高斯定理: 在真空中，高斯定理:
∫ E • dS =
S
∫ ρdV
V
ε0
=
q
ε0
其微分形式为： 其微分形式为：
ρ ∇• E = ε0
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静 电 场
▽• E > 0，ρ > 0
▽• E < 0，ρ < 0
▽• E = 0，ρ = 0
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静 电 场
一、静电场的基本方程和场的特性
微分形式: 积分形式: 积分形式
∇× E = 0
∇•D=ρ 其媒质的构成方程为: 其媒质的构成方程为 D=εE
∫ E • dl = 0
l
∫ D • dS = ∫ ρdV
S V
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。 显然，静电场是有散(有源)
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