一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
初中数学知识点各个击破专项练习：一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”(解析版)
一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y =4kx +5k +132k ≠0 ．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132的图象交x 轴，y 轴于A 、B 两点，点Q 是直线l 2：y =x +1上一点，若S △ABQ =6，求Q 点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，直线l 2：y =x +1交AB 于点P ，C 点在x 轴负半轴上，且S △ABC =203，动点M 的坐标为a ,a ，求CM +MP 的最小值．【答案】(1)-54,132(2)3,4 或-1,0(3)1093【分析】(1)整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ，根据题意，得当4x +5=0，求解得函数图象必过定点-54,132 ；(2)确定解析式y =4kx +5k +132为y =-2x +4，点A 坐标为2,0 ，点B 坐标为0,4 ；设点Q 坐标为m ,m +1 ，分情况讨论：①当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ，列方程解得m =3，点Q 坐标为3,4 ；②当点Q 位于AB 左侧时，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，点N 的纵坐标为(m +1)，QN =-32(m -1)，于是S △ABQ =S △AQN +S △BQN =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，Q 坐标为-1,0 ；(3)联立得y =-2x +4y =x +1，得P 1,2 ，设C c ,0 ，由S △ABC =203，求得C 的坐标为-43,0 ，点M 在直线y =x 上，点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =1093，所以CM +MD 的最小值为1093．【详解】(1)解：整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ∵不论k 取何值时，上式都成立∴当4x +5=0，即x =-54时，y =132∴无论k 为何值，函数图象必过定点-54,132；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0 ；点B 坐标为0,4 ；∵点Q 在直线l 2：y =x +1上，∴设点Q 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ．∴12×2m +1 +12×4m =12×2×4+6．解得m =3．点Q 坐标为3,4 ；②如图，当点Q 位于AB 左侧时，此时S △ABQ =6，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，则点N 的纵坐标为(m +1)，由y =-2x +4，得m +1=-2x +4，x =-12(m -3)，∴QN =-12(m -3)-m =-32(m -1)．∴S △ABQ =12QN ∙y B -y A =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，∴Q 恰好位于x 轴上，此时Q 坐标为-1,0 ；综上所述：若S △ABQ =6，Q 点的坐标为3,4 或-1,0 ；(3)由(2)可得直线AB ：y =-2x +4，联立得y =-2x +4y =x +1 ，解得x =1y =2 ．∴P 1,2 ∵点C 在x 轴的负半轴，设C c ,0则AC =2-c ，∵OB =4，S △ABC =203∴122-c ×4=203解得c =-43∴点C 的坐标为-43,0∵动点M 的坐标为a ,a ．∴点M 在直线y =x 上．∴点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43 ，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF则PF 为CM +MP 的最小值；作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =PG 2+FG 2=12+2+43 2=1093∴CM +MD 的最小值为1093．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．2已知一次函数y =4kx +5k +132(k ≠0)．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，该直线交x 轴，y 轴于A ，B 两点，直线l 2:y =x +1交AB 于点P ，点T 是l 2上一点，若S △ABT =9，求T 点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D 点在该直线上，横坐标为1，C 点在x 轴负半轴，∠ABC =45°，点M 是x 轴上一动点，连接BM ，并将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，①求点C 的坐标；②CQ +QD 的最小值为．【答案】(1)-54，132(2)T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)-43，0 ，5653【分析】(1)将一次函数变形4kx -y =-5k -132，根据图像过定点，得到与k 值无关，求出k ，进而求出定点坐标；(2)求出直线解析式，设点T 坐标为m ,m +1 ；分点T 在AB 两侧分类讨论即可；(3)先根据题意，求出点D 坐标，根据将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，得到点Q 所在直线解析式，求出点C 对称点C ，连接C D ，求出C D 的长即可．【详解】(1)解：一次函数y =4kx +5k +132=k 4x +5 +132，∴4x +5=0时，y =132，解得：x =-54，y =132∴无论k 为何值，函数y =4kx +5k +132k ≠0 图像必过定点-54，132 ；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0，时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0；点B 坐标为0,4 ；∵点T 在直线l 2:y =x +1上，∴设点T 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点T 位于AB 右侧时，连接OT ，根据题意得S △AOT +S △BOT =S △AOB +S △ABT∴12×2×m +1 +12×4m =12×2×4+9解得m =4，∴点T 坐标为4,5 ；②如图，当点T 位于AB 左侧时，根据题意得S △AOT +S △BOT +S △AOB =S △ABT∴12×2×-m -1 +12×4×-m +12×2×4=9解得m =-2，∴点T 坐标为-2,-1 ；综上所述：若S △ABT =9，T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)如图，将△OAB 沿直线AB 翻折，得到△NAB ，将△OCB 沿直线BC 翻折，得到△HCB ，延长HC 、NA 交于点E ，则四边形BHEN 为正方形，∴BN =BH =HE =NE =OB =4，NA =OA =2，AE =NE -AN =2，设OC =n ，则HC =n ，CE =4-n ，在Rt △ACE 中，22+4-n 2=2+n 2，解得n =43，所以点C 坐标为-43，0 ，②解：∵D 点在直线上y =-2x +4上，横坐标为1，∴y =-2×1+4=2，所以点D 坐标为(1，2)；设动点M 的坐标为a ,0 ，如图所示，过点Q 作QH ⊥x 轴，∵将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，∴BM =QM ，∠BMQ =90°，∴∠OMB +∠QMH =90°又∠BOM =∠MHQ =90°，∴∠OMB +∠MBO =90°，∴∠QMH =∠MBO ，∴△QMH ≌△∠MBO ，∴QH =OM ，MH =OB =4∴Q a +4,a∴点Q 在直线y =x -4上运动，如图所示，设直线y =x -4与x 轴交于点K ，与y 轴交与点G ，则K 4,0，∴CK=43+4=163，作C K⊥x轴，且C K=CK=16 3，则△CC K是等腰直角三角形，KG⊥CC ，∴则C ，C关于y=x-4的对称，则C Q+QD=CQ+QD≥C D，此时如图所示，则C 4,16 3∵D1,2∴C D=4-12+163+22=5653故答案为：565 3．【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大．解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确定相应的解题模型．3如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A-4,0,B0,2，∴AB=22+42=25；(2)作CF⊥x轴于点F，如图，则∠CFA=∠AOB=90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．4已知一次函数y =kx +b (k ≠0)与x 轴交于点A (3,0)，且过点7,8 ，回答下列问题．(1)求该一次函数解析式；(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y =kx +b 我们只需要将y 向右移项就可以得到kx -y +b =0，将x 前的系数k 替代为未知数A ，将y 前的系数1替代为未知数B ，将常数项b 替代为未知数C ，即可得到方程Ax +By +C =0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A 一般为非负整数，且A 、B 不能同时为0)．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：点P x 0,y 0 到直线Ax +By +C =0的距离d 公式是：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2如：求：点P 1,1 到直线y =-13x +32的距离．解：先将该解析式整理为一般方程：(I )移项-13x -y +32=0 (II )将A 化为非负整数即得一般式方程：2x +6y -9=0由点到直线的距离公式，得d =2×1+6×1-9 22+62=140=1020①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．已知(1)中的解析式代表的直线与直线2x-y+9=0平行，试求这两条直线间距离；②已知一动点P t2，t(t为未知实数)，记h为点P到直线3x-4y+7=0的距离(点P不在该直线上)，求h的最小值．【答案】(1)y=2x-6；(2)①35；②1715．【分析】(1)利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；(2)根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；(3)利用点到直线的距离公式，得到h=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出h的最小值．【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点7,8，则3k+b=07k+b=8，解得：k=2b=-6，∴该一次函数解析式为y=2x-6；(2)解：①∵一次函数解析式为y=2x-6，整理得：2x-y-6=0，∵点A(3,0)在直线y=2x-6，∴点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，将点A代入距离公式，得：d=2×3-0+922+-12=155=35，∴这两条直线间距离为35；②将点P t2，t代入距离公式，得：h=3t2-4t+732+-42=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7=3t-2 32+173，∴当t=23时，m有最小值为173>0，∴h的最小值为1735=1715．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．5如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=3x的图象交于点B，B 点的横坐标为1．(1)求一次函数y =kx +b 的解析式；(2)若点C 在y 轴上，且满足S △BOC =12S △AOB ，求点C 的坐标；(3)若点D 4,-2 ，点P 是y 轴上的一个动点，连接BD ，PB ，PD ，是否存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD 周长的最小值．【答案】(1)y =-x +4(2)C 0,6 或C 0,-6(3)存在，52+34【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；(2)设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，再根据点B 的坐标，得出x B =1，y B =3，再根据三角形的面积公式，得出S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，再根据题意，列出方程，解出即可得出答案；(3)根据两点间的距离公式，得出BD =34，再根据三角形的周长，得出要使△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值，作点B 关于y 轴的对称点M ，则M 的坐标为-1,3 ，连接DM ，根据线段最短，得出DM 为PB +PD 的最小值，再根据两点间的距离公式，计算得出DM =52，再根据三角形的周长公式，计算即可．【详解】(1)解：∵点B 是y =3x 的图象上的点，横坐标为1，∴点B 坐标为1,3 ．∵OA =4，∴点A 坐标为4,0 ．将A ，B 两点坐标分别代入y =kx +b ，得0=4k +b 3=k +b ，解得k =-1b =4 ，∴一次函数的解析式为y =-x +4；(2)解：设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，∵B 1,3 ，∴x B =1，y B =3，∵OA =4，∴S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，∵S △BOC =12S △AOB ，∴t 2=12×6，∴t =6，∴t =6或t =-6，∴C 0,6 或C 0,-6 ；(3)解：存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值，理由如下：∵B 1,3 ，D 4,-2 ，∴BD =1-4 2+3+2 2=34，∵△PBD 的周长=PB +PD +BD ，∴要求△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值．如图，作点B关于y轴的对称点M，则M的坐标为-1,3，连接DM，则PB+PD≥DM，即DM为PB+PD的最小值．∴DM=-1-42+3+22=50=52，∴△PBD周长的最小值为：PB+PD+BD=52+34．【点睛】本题考查了求一次函数解析式、坐标与图形、两点间的距离、点关于坐标轴的轴对称点、线段最短，解本题的关键在熟练掌握两点之间的距离公式．6在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上的一个动点，设点C的横坐标为t．(1)求A、B两点的坐标；(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点，且与点A、B、C构成平行四边形ABCD．①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；②在点C运动的过程中，点D的纵坐标是否发生变化，若不变，求出点D的纵坐标；若变化，说明理由；③当t为何值时，BC+BD的值最小，请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值．【答案】(1)A(-4,0),B(0,3)(2)①94；②点D的纵坐标不变，是-3；③t=2时，BC+BD最小值为9【分析】(1)根据坐标轴上点的特点直接代值求解即可；(2)①矩形可知90°，证明相似三角形后直接通过边的关系列方程求解即可；②根据平行四边形的平移规律直接写出D点纵坐标即可；③求最短路径的题，与造桥选址类似，平移后三点共线即为最小值．【详解】(1)y=34x+3中，令x=0，则y=3令y=0，则x=-4∴A(-4,0),B(0,3)(2)①若平行四边形ABCD是矩形则BC⊥AB∵AO⊥BO∴△ABO∽△BCO∴OB OA =OC OB∵A(-4,0),B(0,3)∴OA=4,OB=3∴OC=t=94；②点D的纵坐标不变，∵A、B、C构成平行四边形ABCD．A(-4,0),B(0,3),C(t,0)∴A向上平移3个单位长度得到B，则C向下平移3个单位长度得到D∴D点纵坐标为-3.③将△BCD平移至△C BA∴C (-t,6)，D(t-4,-3)∴(BC+BD)min=DC =(-t-t+4)2+(6+3)2=(2t-4)2+81，当t=2时，(BC+BD)min=81=9【点睛】此题考查一次函数与相似三角形的综合题型，解题关键是找到相似的三角形，得到边长之间的数量关系，难点是判断此题为造桥选址的同类型题．7已知，一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠-1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．【答案】(1)6(2)是，6(3)t =12，△ABP 周长最小值为213+6【分析】(1)分别令x =0，求出y 值，得到A 和B 的坐标，从而可得AB 的长；(2)求出点P 坐标，利用三角形面积公式求出△ABP 的面积即可；(3)画出图形，分析得出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小，作点A 关于直线x =-2对称的点A-4,4 ，连接A B ，找到此时点P 的位置，求出直线AB 的表达式，可得点P 坐标，可得t 值，再根据点的坐标求出周长的最小值．【详解】(1)解：在y =(2-t )x +4中，令x =0，则y =4，在y =-(t +1)x -2中，令x =0，则y =-2，∴A 0,4 ，B 0,-2 ，∴AB =4--2 =6；(2)∵图像相交于点P ，∴令(2-t )x +4=-(t +1)x -2，解得：x =-2，代入y =(2-t )x +4中，y =-22-t +4=2t ，∴P -2,2t ，∴S △ABP =12×x P ×AB =12×-2 ×6=6；(3)如图，∵P -2,2t ，∴点P 在直线x =-2上，若要△ABP 的周长最小，而AB =6，∴当AP +BP 最小即可，作点A 关于直线x =-2对称的点A -4,4 ，连接A B ，与直线x =-2交于点P ，此时AP +BP ，设直线A B 的表达式为y =kx +b ，则4=-4k +b -2=b ，解得：k =-32b =-2，∴直线A B 的表达式为y =-32x -2，令x =-2，则y =1，即P -2,1 ，则2t =1，解得：t =12，此时AP =22+32=13，BP =22+32=13，∴△ABP 的周长最小值为PA +PB +AB =213+6．【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意(3)中分析出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小．8如图1，已知一次函数y =x +3与x 轴，y 轴分别交于B 点，A 点，x 正半轴上有一点C ，∠ACO =60°，以A ，B ，C 为顶点作平行四边形ABCD ．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时(DP+PQ+QE)2的值．(3)如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A ，O的对应点为O ，将△A O O绕点O顺时针旋转，旋转角为α0°≤α≤180°，在旋转过程中，直线AB与直线A O 、A O交于M，G两点，在旋转过程中，△A MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．【答案】(1)3,0(2)48+93(3)当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形【分析】(1)先求得A0，3则OA=3，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，则可得到点C的坐标；(2)由关于y轴对称点的坐标特点可得到AE的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得CD的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q，则D′E′的长为DP+PQ+QE的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；(3)先根据题意画出图形(见答图：图2、图3、图4、图5)，然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．【详解】(1)解：把x=0代入直线AB的解析式得：y=3，∴A0，3，∴OA=3，∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，∴∠CAO=90°-60°=30°，∴AC=2OC，∵AC2-OC2=OA2，∴2OC2-OC2=32，解得：OC=3或-3(舍去)，∴点C的坐标为：3,0．(2)解：∵直线AE与直线AB关于y轴对称，∴AE的解析式为y=-x+3，设直线CD的解析式为y=kx+b k≠0，∵AB∥CD，∴k=1，∴直线CD的解析式为y=x+b，将点C的坐标代入得：3+b=0，解得：b=-3，∴直线CD的解析式为y=x-3，联立y=-x+3y=x-3 ，解得：x=3+32 y=3-32，∴点E的坐标为：3+32,3-32，作点E关于x轴的对称点E ，D点关于y轴的对称点D ，连接E D 分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：则D E 的长为DP+PQ+QE的最小值，∵E3+32,3-32，点E与点E 关于x轴对称，∴E 3+32,-3+32，把y=0代入y=x+3得：x=-3，∴点B的坐标为-3,0，∴BC=3+3，∵AD =AD=BC=3+3，∴D -3-3,3，∴DP+PQ+QE2=D E 2=3+32+3+32+3+3-322=48+93．(3)解：如图2所示：当GM=GA 时，∵GM=GA ，∴∠A MG=∠MA G=30°，∴∠BGO=60°，∵OB=OA，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠BOG=180°-45°-60°=75°，∴∠BOO =75°-60°=15°，即α=15°；如图3所示：当A M=A G时，∵A M=A G，∴∠A MG=∠A GM又∵∠A MG+∠A GM=∠BA O=30°，∴∠MGA =15°，∴∠BOG=180°-∠OBG-∠BGO=120°，∵∠O OA =60°，∴∠BOO =60°，即α=60°；如图4所示：当MG=MA 时，∵MG=MA ，∴∠MGA =∠MA G=30°，∵∠MBO=45°，∴∠BOG=15°，∴∠BOA =165°，∴∠BOO =165°-60°=105°，即α=105°．如图5所示：当A G=A M时，∵A G=A M，∠GA M=30°，∴∠MGA =75°，∵∠GBO+∠BOG=∠MGA ，∴∠BOG=75°-45°=30°，∴∠A Ox=30°，∴∠O Ox=30°，∴∠BOO =150°，即α=150°；综上所述，当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理，轴对称图形的性质、关于坐标轴对称点的坐标特点、等腰三角形的性质，找出DP+PQ+QE取得最小值的条件是解答问题(2)的关键，根据题意画出符合题意的图形是解答问题(3)的关键．9(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B、C的坐标分别为、、．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0，-6)，点B坐标(8，0)，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是．【答案】(1)A(-4，0)，B(0，1)，C(-5，4)(2)①D(0，2)或163,-263；②65【分析】(1)利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；(2)①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D(m，-2m+2)，求出AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG=DF+AF=8列式计算即可；②设M(t，0)过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN=t+62+t2+ t+62+t-62=S，故S可以看作点(t，t)到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t，t)在y=x上，如图，F(-6，0)，E(-6，6)，作F关于y=x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．【详解】(1)解：对于一次函数y=14x+1，令x=0，y=1，∴B (0，1)，令y =0，则14x +1=0，∴x =-4，∴A (-4，0)，∴OA =4，OB =1，即A (-4，0)，B (0，1)，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠ADC =∠BOA =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠CAD +∠BAO =90°，∴∠ACD =∠BAO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =AB ，在△ADC 和△BOA 中，∠ADC =∠BOA∠ACD =∠BAO AC =BA，∴△ADC ≌△BOA (AAS )，∴CD =OA =4，AD =OB =1，∴OD =OA +AD =5，∴C (-5，4)；故答案为：(-4，0)，(0，1)，(-5，4)；(2)解：①如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，延长FD 交BP 于G ，∵点A 坐标(0，-6)，点B 坐标(8，0)，∴DF +DG =OB =8，∵点D 在直线y =-2x +2上，∴设点D (m ，-2m +2)，∴F (0，-2m +2)，OF =|2m -2|，AF =|2m -2-6|=|2m -8|，∵BP ⊥x 轴，B (8，0)，∴G (8，-2m +2)，同(1)的方法得，△AFD ≌△DGP (AAS )，∴AF =DG ，DF =PG ，∵DF +DG =DF +AF =8，∴m +|2m -8|=8，∴m =163或m =0，∴D (0，2)或163，-263；(3)设M (t ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴交x 轴于H ，根据旋转的性质易证△AOM ≌△MHN ，∴OM =HN ，OA =HM ，∴N (t +6，t )，∴ON +AN =t +62+t 2+t +6 2+t -6 2=S ，故S 可以看作点(t ，t )到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t ，t )在y =x 上，如图，∵D (t ，t )是y =x 上的动点，F (-6，0)，E (-6，6)，∴S =DE +DF ，∵F 关于y =x 的对称点为P (0，-6)，DF =DP ，∴当E 、D 、P 三点共线时，S 取得最小值为EP =-6-0 2+6--6 2=180=65，即ON +AN 的最小值是65．故答案为：65．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点M 的坐标为0,m ，其中0<m <32．(1)若点A (-32,0)，过点O 作OP ⊥AM ，连接BP 并延长与x 轴交于点C ，①求k 的值；②求证：BP PC =OM OC；(2)若点A -2,0 ，求2AM +BM 的最小值．【答案】(1)①1；②见解析(2)32+2【分析】(1)①将点A 的坐标代入y =kx +32可得出答案；②过点B 作BD ∥OP 交x 轴交于点D ，延长AM 交BD 于点N ，证明△OAM ≌△OBD (ASA )，得出OM =OD；证明BPPC =DOOC，则可得出结论；(2)取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，2AM+BM= 2AM+PM≥2AH，求出AH的长，则可得出答案．【详解】(1)①∵A-32,0在y=kx+32的图象上，∴(-32)k+32=0，∴k=1；②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，∵BD∥OP，OP⊥AM，∴AN⊥BD，∵∠AOB=∠BOD=90°，∴∠OAM+∠ADN=90°，∠OBD+∠ODB=90°，∴∠OAM=∠OBD，由题意，可知OA=OB=32，∠AOB=∠BOD=90°，∴△OAM≅△OBD ASA，∴OM=OD；∵BD∥OP，∴BP PC =DOOC，即BPPC=OMOC；(2)如图，取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，在Rt△BOE中，OB=OE=32，∴∠OBE=45°，∴BE=2OB=6，在Rt△MPB中，∠MPB=90°，PM=BM sin∠PBM=BM sin45°=22BM，∴2AM+BM=2AM+22BM=2(AM+PM)≥2AH，(当且仅当A，M，P三点共线时取等号，此时，点P、H重合)，∵S△ABE=12AE⋅OB=12BE⋅AH，∴AH=AE⋅OBBE =(32+2)⋅326=3+2，∴2AM+BM的最小值=2(3+2)=32+2．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11如图1，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB=PE，求证：∠BPE=2∠OAB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA=PQ，∠APQ=2∠OAB．连接OQ．①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有；(都写出来)②试求线段OQ长的最小值．【答案】(1)(-3，0)；(0，4)(2)证明见解析(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为125【分析】(1)根据题意令x=0，y=0求一次函数与坐标轴的交点；(2)由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；(3)根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB(SAS)，推出∠AEP=∠QBP，再证明OA=OT，推出直线BT的解析式为为：y=43x+4，推出点Q在直线y=-43x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】(1)解：在y=43x+4中，令y=0，得0=43x+4，解得x=-3，∴A(-3，0)，在y=43x+4中，令x=0，得y=4，∴B(0，4)；故答案为：(-3，0)，(0，4)．(2)证明：如图2中，设∠ABO=α，则∠OAB=90°-α，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB=α，∴∠BPE=180°-∠PBE-∠PEB=180°-2α=2(90°-α)，∴∠BPE=2∠OAB．(3)解：①结论：∠QPO，∠BAQ理由：如图3中，∵∠APQ=∠BPE=2∠OAB，∵∠BPE=2∠OAB，∴∠APQ=∠BPE．∴∠APQ-∠APB=∠BPE-∠APB．∴∠QPO=∠EPA．又∵PE =PB ，AP =PQ∴∠PEB =∠PBE =∠PAQ =∠AQP ．∴∠BAQ =180°-∠EAQ =180°-∠APQ =∠EPA ．∴与∠EPA 相等的角有∠QPO ，∠BAQ ．故答案为：∠QPO ，∠BAQ ．②如图3中，连接BQ 交x 轴于T ．∵AP =PQ ，PE =PB ，∠APQ =∠BPE ，∴∠APE =∠QPB ，在△APE 和△QPB 中，PA =PQ∠APE =∠QPB PE =PB，∴△APE ≌△QPB (SAS )，∴∠AEP =∠QBP ，∵∠AEP =∠EBP ，∴∠ABO =∠QBP ，∵∠ABO +∠BAO =90°，∠OBT +∠OTB =90°，∴∠BAO =∠BTO ，∴BA =BT ，∵BO ⊥AT ，∴OA =OT ，∴直线BT 的解析式为为：y =43x +4，∴点Q 在直线y =-43x +4上运动，∵B (0，4)，T (3，0)．∴BT =5．当OQ ⊥BT 时，OQ 最小．∵S △BOT =12×3×4=12×5×OQ ．∴OQ =125．∴线段OQ 长的最小值为125．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．12如图一次函数y 1=k1x +3的图象与坐标轴相交于点A -2,0 和点B ，与反比例函数y 2=k 2x (x >0)的图象相交于点C 2,m ．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，连接CP 并延长，交x 轴正半轴于点D ，若PD :CP =1:2时，求△COP 的面积；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使PQ +CQ 的值最小，若存在请直接写出PQ +CQ 的最小值，若不存在请说明理由．【答案】(1)y 2=12x(x >0)；(2)S △OPC =16；(3)45．【分析】(1)根据一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得0=-2k 1+3，解方程求出k 1=32，根据点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，可得点C (2，6)，利用待定系数法求分别列函数解析式即可；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，先证△CED ∽△PFD ，得出CP =2PD ，求出PF =2，求出点P (6，2)，利用待定系数法CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，求出点D (8,0)，利用面积差求解即可；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，可得CQ =C ′Q ，根据两点距离公式PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，利用勾股定理求出最小值即可．【详解】解：(1)∵一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得：0=-2k 1+3解得：k 1=32，∴一次函数解析式为：y 1=32x +3，点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，∴点C (2，6)，∵点C 在反比例函数y 2=k 2x(x >0)图像上，∴k 2=xy =2×6=12，∴y 2=12x(x >0)；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∴CE ∥PF ，∴∠ECD =∠FPD ，∠AED =∠PFD ,∴△CED ∽△PFD ，∴CE PF =CD PD，∵PD :CP =1:2，∴CP =2PD ，∴CD =CP +PD =2PD +PD =3PD ，∵EC =6，∴6PF =3PD PD=3，∴PF =2，∵点P 在y 2=12x (x >0)上，∴2=12x，解得x =6，∴点P (6，2)，设CP 解析式为：y 3=mx +n ，过C 、P 两点，代入坐标得：6m +n =22m +n =6 ，解得m =-1n =8 ，∴CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，∴点D (8，0)∴S △OPC =S △DOC -S △POD =12OD ⋅CE -12OD ⋅PF =12×8×6-12×8×2=16；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，∵CQ =C ′Q ，∴PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，PQ +CQ 的值最小，∴PQ +CQ 最小=PC =6+2 2+(6-2)2=45．【点睛】本题考查待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题，掌握待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题常作对称点，与对称点连线找交点解决问题．13【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l 的斜率存在时，对于一次函数y =kx +b (k ≠0)，k 即为该函数图象(直线)的斜率．当直线过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)时，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1，特别的，若两条直线l 1⊥l 2，则它们的斜率之积k 1•k 2=-1，反过来，若两条直线的斜率之积k 1•k 2=-1，则直线l 1⊥l 2【运用】请根据以上材料解答下列问题：(1)已知平面直角坐标系中，点A (1，3)、B (m ，-5)、C (3，n )在斜率为2的同一条直线上，求m 、n 的值；(2)在(1)的条件下，点P 为y 轴上一个动点，当∠APC 为直角时，求点P 的坐标；(3)在平面直角坐标系中另有两点D (3，2)、E (-1，-6)，连接DA 并延长至点G ，使DA =AG ，连接GE 交直线AB 于点F ，M 为线段FA 上的一个动点，求DM +55MF 的最小值．【答案】(1)-3；7；(2)(0，4)或(0，6)；(3)4【分析】(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入求出b =1，得到函数解析式，再将点B 、C 分别代入求出m 、n 的值；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，根据K PA •K PC =-1，得到y -30-1⋅y -70-3=-1，求解即可；(3)连接DE ，证得AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，求出AD 、DE 、DG ，利用勾股定理求出EG ，及sin ∠GFA 的值，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值，由DH •GE =DG •DE 得到DH =4．【详解】解：(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入得b =1，∴直线的解析式为y =2x +1，将B (m ，-5)、C (3，n )两点分别代入解析式，得m =-3，n =7；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，有K PA •K PC =-1，由(1)知，A (1，3)、C (3，7)，∴y -30-1⋅y -70-3=-1，解得y =4或y =6，∴点P 的坐标为(0，4)或(0，6)．(3)如图，连接DE ，由题意知，K AB =2，K DE =2-(-6)3-(-1)=2,K DA =3-21-3=-12，∵K AB =K DE ，K AB ⋅K DA =2×-12=-1，∴AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，∴AD =(1-3)2+(3-2)2=5,DE =45,DG =2AD =25，∴EG =DG 2+DE 2=10，∴sin ∠GFA =sin ∠GED =2510=55，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，∴DM +55MF =DM +MN ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值．由DH •GE =DG •DE ，得DH =4，即DM+55MF的最小值为4．【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键．14如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(23,4)，一次函数y= -33x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30°，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．(1)求b的值；(2)连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；(3)求OM+12MF的最小值．【答案】(1)b=3；(2)M233,73；(3)92【分析】(1)利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；(2)首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题；(3)过点M作MN⊥x轴交于点N，则OM+12MF=OM+MN，即可转化为求OM+MN的最小值，作点O关于一次函数的对称点O ，过点O 作x轴的垂线交x轴于点N ，交一次函数于点M，即OM+MN的最小值为O N ，算出长度即可．【详解】(1)在y=-33x+b中，令x=0，则y=b，∴点D的坐标为(0,b)，∵OD=BE，B(23,4)，∴E(23,4-b)，把E(23,4-b)代入y=-33x+b中得：4-b=-33×23+b，解得：b=3；(2)由(1)得一次函数为y=-33x+3，D(0,3)，E(23,1)，∴OD=3，AE=1，OA=23，∴S四边形OADE =12(OD+AE)⋅OA=12×(3+1)×23=43，∵ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ΔODM的面积与四边形OADE的面积之比为1:4，∴S△ODM=14S四边形OADE=3，设点M 的横坐标为a ，则12×3a =3，解得：a =233，把x =233代入y =-33x +3中得：y =73，∴M 233,73；(3)如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30°，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ，且OO '与直线DF 交于Q 点，过点O 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，∴OM =O M ，∴OM +12MF =OM +MN =O M +MN ，当O 、M 、N 在同一直线时O M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O M +MN 的最小值为O N ，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ON =90°-30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×32=332，∴OO =2OQ =33，在Rt △ON O 中．O N =OO sin60°=33×32=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．15如图1，一次函数y =34x -6的图象与坐标轴交于点A ，B ，BC 平分∠OBA 交x 轴与点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求CD 所在直线的解析式；(3)如图2，点E 是线段OB 上的一点，点F 是线段BC 上的一点，求EF +OF 的最小值．。
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)
题目：一次函数的最值和区间练习题(绝对经典全面)一次函数是高中数学中的重要概念之一，掌握一次函数的最值和区间对于解题非常有帮助。
本文将提供一些绝对经典且全面的一次函数最值和区间练题，帮助读者巩固这一知识点。
最值问题一次函数的最值问题，主要考虑函数在定义域内的最大值和最小值。
下面是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x + 3$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 5$，求函数 $g(x)$ 在定义域内的最大值和最小值。
3. 对于函数 $h(x) = ax + b$，当 $a>0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？4. 对于函数 $k(x) = cx + d$，当 $c<0$ 时，函数的最大值和最小值分别出现在函数图像的哪个位置？区间问题一次函数的区间问题，涉及函数在某个区间上的取值范围。
以下是几个相关的练题：1. 已知函数 $f(x) = 2x - 4$，求函数 $f(x)$ 在 $[-3, 5]$ 区间上的取值范围。
2. 已知函数 $g(x) = -3x + 2$，求函数 $g(x)$ 在 $[0, 5]$ 区间上的取值范围。
3. 已知函数 $h(x) = 2x + 1$，求函数 $h(x)$ 在 $(-\infty, 3]$ 区间上的取值范围。
4. 对于函数 $k(x) = -x + 5$，求函数 $k(x)$ 在 $[1, \infty)$ 区间上的取值范围。
以上是一些一次函数最值和区间的练习题，希望能对读者的学习有所帮助。
通过练习这些经典题目，读者可以更好地理解和掌握一次函数的最值和区间的概念。
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
初中数学微课 一次函数的应用——最值问题
一次函数的应用——最值问题1．某校团委为鼓励学生开展读书活动，计划购买A、B两类图书共500本，其中A类图书每本10元，B类图书每本20元．设购买A类图书的数量为x（本），购买A、B两类图书的总费用为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若购买A类图书的数量不超过B类图书的数量且购买A类图书不少于100本，请设计出一种购买两类图书总费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．2．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．3．双十一期间，合肥百大电器公司新进了一批空调机和电冰箱共100台，电冰箱是空调机数量的2倍多10台．计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中60台给甲连锁店，40台给乙连锁店，两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150设公司调配给甲连锁店x台空调机，公司卖出这100台电器的总利润为y（元）．（1）求新进空调机和电冰箱各多少台？（2）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）为了促销，公司决定仅对甲连锁店的空调机每台让利m元（m＞0）销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该公司应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？。
一次函数最值问题
一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
对于一次函数，其斜率为 k。
1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。
因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。
因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。
在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。
利用一次函数的性质解最值问题
利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。
一次函数应用最值专题
利用一次函数求最值1.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果以13元/千克的价格销售，每天可获取利润750元。
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系。
（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】2.市阜城县西瓜产地组织20辆车装运完A 、B 、C 三种西瓜共120吨到外地销售，按计划，20辆汽车都装运，每辆汽车只能装运同（1） 设装运A 种西瓜的车辆数为x 辆，装运B 种西瓜的车辆数为y 辆，求y 与x 的函数关系式。
（2） 如果装运每种西瓜的车辆数都不少于三辆，车辆的安排方案有那几种，求出来。
（3） 要使此次利润最大，应采取哪套方案?并求出最大利润。
3. 种植草莓大户张华现有25吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售25吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x （吨）之间的函数关系式；（１） 怎样安排这25吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．一次函数方案设计问题1.某种子商店销售一种小麦种子，为促销，推出了两种销售方案供采购者选择。
方案一：小麦种子的价格为4元/千克，无论购买多少均不打折。
方案二：购买3kg 以内（含3kg ），价格为5元/千克；若一次性购买超过3kg ，则超过3kh 的部分价格打七折。
一次函数最值问题
利润最值问题1. 某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？2.今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机分别为4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩．现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩．（1）设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台．①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；②求出y与x的函数关系式；（2）已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？3. 某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y （个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？4.一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．5.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．6.（2010四川眉山）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？7.为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？8. 某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．（1）求这两种商品的进价．（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？9. 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？。
专题14 一次函数中的最值问题(解析版)
考点一 坐标系中两点之间的距离最值问题
【方法点拨】①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。 1．如图，点 P 的坐标为（2，0），点 B 在直线 y＝x+m 上运动，当线段 PB 最短时，PB 的长度是
m．
【思路点拨】当线段 PB 最短时，PB 与直线 y＝x+m 垂直，根据解析式即可求得 C、D 的坐标，然后根 据勾股定理求得 CD，然后根据三角形相似即可求得 PB 的最短长度． 【解析】解：当线段 PB 最短时，PB⊥CD，如图所示： 由直线 y＝﹣x+m 可知，直线与坐标轴的交点为 C（﹣m，0），D（0，m）， ∴OC＝m，OD＝m， ∴CD m， ∵点 P 的坐标为（2，0）， ∴PC＝2+m， ∵∠PCB＝∠DCO，∠PBC＝∠DOC＝90°， ∴△PBC∽△DOC，
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考点二 坐标内的线段和（差）最值问题
【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大 1．如图，已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（ ，﹣2），点 P 在直线 y＝﹣x 上运动，当|PA﹣PB|
最大时点 P 的坐标为（ ）
A．（2，﹣2）
B．（4，﹣4）
C．（ ， ）
变，根据 22+22
，得到∠PBA＝90°，由勾股定理求出 PM 即可
【解析】解：取 AB 的中点 M，连 OM，PM，
，另两边长度不
在 Rt△ABO 中，OM
1，在等边三角形 ABP 中，PM ，
无论△ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，
∵O 到 AB 的最大值是 AB＝1，
∴点 D 的坐标为（ ， ），即 D（﹣3，3），
中考数学最值问题总结
中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。
如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
4个一次函数最值问题
1、某蒜薹（tai ）生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。
经市场调查，可采用批发、若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y （元），蒜薹零售x （吨）且零售量是批发量的1/3（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。
解：（1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x ）·（5500-1200） =-6800x+860000，（2）由题意得 200-4x≤80 解之得 x≥30 ∵y=-6800x+860000 k=6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小当x=30时，y 最大值=-6800×30+860000=656000元2、某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A 和B 共8吨，已知生产每吨A ，B 产品所需的甲、乙两种原料如下表：销售A ，B 两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨．若设化工厂生产A 产品x 吨，且销售这两种产品所获得的总利润为y 万元． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）问化工厂生产A 产品多少吨时，所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）据题意得： y=0.45x+（8-x ）×0.5 =-0.05x+4又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x ）， 所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x ）则可得不等式组⎩⎨⎧≤-+≤-+5)8(4.08.07)8(1.16.0x x x x 解3.6≤x ≤4.5（2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.05＜0，所以y随x的增大而减小．则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元．答：化工厂生产A产品3.6吨时，所获得的利润最大，最大利润是3.82万元3、宏志中学八年级300位同学给灾区90名同学捐赠一批学习用品，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒，书包和文具盒的单价分别是54元和12元。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
人教版初中数学八下 小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题
（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量 不超过A型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自 行车售出后获利最多？ 解：（2）设购进A型车m辆，总利润为w元. 根据题意，得60－m≤2m，解得m≥20. w＝（1 600－1 100）m＋（2 000－1 400）（60－m）＝－100m＋36 000. ∵－100＜0，∴w随着m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最大值，此时购进A型车20辆，B型车40辆. 答：购进A型车20辆，B型车40辆时，才能使这批自行车售出后获利最多.
2.某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400
元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20％.
（注：下表是A，B两种型号车今年的进货价和销售价）
型号
A型车
B型车
进货价
1 100元/辆
1 400元/辆
销售价
x元/辆
2 000元/辆
（1）设今年A型车每辆销售价为x元，求x的值；
65
20
成套售价/ （元·套－1）
78
已知该家纺专卖店计划购进此款枕芯和枕套的总数量不超过70个，且枕芯的数量 比枕套数量的2倍多10个.若将一半的枕套配上枕芯成套（一个枕套配一个枕芯） 销售，其余均以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是 多少元？
答：当购进枕套20个，枕芯50个时，才能获得最大利润，最大利润是1 030元.
小专题（十九） 一次函数的应 用——最值问题
1.某小区对广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与 1棵乙景观树的种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树的种植费用为390 元. （1）甲、乙两种景观树每棵的种植费用分别为多少元？
一次函数求最值问题
归纳总结
一、一次函数最值在数学问题中的 确定方法：
1.有确定的一次函数关系式；
2.有自变量的取值范围；
3.根据一次函数的增减性确定它的最值。
学习目标：
1.会用一次函数解决数学中的最值问题 2.掌握用一次函数最值在实际问题中的解答思 路和方法
快乐导学： 二、一次函数最值在实际问题中的确定方法
1.某汽车停车场预计五一这天将停放大小汽车1000 辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车 每辆次5元。 （1）写出这天停车场的收费总额P（元）与大车停 放辆次x（辆）之间的函数关系式。 解：（ 1）P=10x+5(1000-x)=5x+5000 （2）这天停车场的收费总额最多为多少元？ （3）如果这天停放的大汽车不低于停车总辆次的 解：（ 2）∵P随x的增大而增大，0≤x≤1000 60%，那么，这天停车场的收费总额最少为多少元？ ∴当x=1000时，P最大。 当x=1000时，P=5×1000+5000=10000
所以这天停车场的收费总额最多为10000元。
解：（3）根据题意得： x≥ 1000×60% 0≤x≤1000 解得 600≤x≤1000 ∵ P随x的增大而增大， 故当x=600时，P最小。 当x=600 时 ，P=5×600＋5000=8000 所以，五一这天停车场的收费总额最少为8000元。
归纳与总结 二、一次函数最值在实际问题中的解答 思路：
回顾与反思
1、本课内容所运用的知识点 2、学习本课的收获、体会
3、对于本节课的内容你还有哪些疑惑？
作 业
学练优84页
1、求一次函数解析式。 2、结合题意列出不等式（组），确定自变量的取值 范围。
3、根据一次函数的增减性，计算函数的最大（小）值。
初中数学几何模型与最值问题10专题-一次函数在实际应用中的最值问题(含答案)
初中数学几何模型与最值问题专题10 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.3、有A B、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发多少度电？（2）A B、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求A，B两种奖品的单价；（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．专题10 一次函数在实际应用中的最值问题答案【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和【分析】，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行【分析】，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？【分析】(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x ＋20，解得x＝4(h)．【解析】(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？【分析】本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.【解析】观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处函数值相等3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中速度.【分析】考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km，则500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.【小结】有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【解析】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则 300260(90)4023400y x x x =+-=+①2(90)x x ≤-①60x ≤①y 随x 的增大而增大①当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元， 根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，3015x y =⎧∴⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元； （2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3z z ≥-，152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【解析】（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买文化衫件数t（件）函数关系式（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【解析】（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，①有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．①W=8t+900中W随x的增大而增大，①当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，①为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【解析】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．①2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，①，解得：5≤m≤7，①有三种不同方案．①w=200m+4000中，200＞0，①w值随m值的增大而增大，①当m=5时，总费用最小，最小值为5000元答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【解析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，①y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．①x取整数，①x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．①在y=5x+1200中，k=5＞0，①y随x的增大而增大，①当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）①当x≤10时，y与x的关系式为：；①当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【解析】(1)①由题意得：y=300x﹣600；①由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，①当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，①x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【解析】（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，①18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，① 185≤n≤6，①n非负整数，①n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；①购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∴所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∴购进A 品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．。
一次函数最小值
一次函数最小值一次函数，也称为一次方程，是指仅包含一次幂的方程。
其一般形式可以表示为y = mx + c，其中m和c是常数，且m不等于0。
一次函数最小值即为在给定定义域范围内，函数取得的最小值。
一次函数最小值的求解方法主要有两种：图像法和求导法。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 图像法图像法是通过观察一次函数的图像来确定最小值。
一次函数的图像是一条直线，其斜率m表示直线的倾斜程度，而常数项c表示直线与y轴的交点。
在图像上，最小值对应直线的最低点。
首先，我们需要计算一次函数的斜率m和常数项c。
然后，根据斜率的正负来确定函数的上升或下降趋势。
当斜率为正时，函数递增；当斜率为负时，函数递减。
如果函数的斜率为正，最小值将位于定义域的最小值处。
如果函数的斜率为负，最小值将位于定义域的最大值处。
在这两种情况下，我们可以通过绘制一条直线来观察最小值的位置。
2. 求导法求导法是通过对一次函数进行求导来找到最小值的方法。
求导是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化率。
对于一次函数，求导后得到的是常数，表示函数的斜率。
假设给定的一次函数为y = mx + c。
我们对其进行求导，得到的导函数为f'(x)= m。
导函数表示了原函数的斜率。
在一次函数中，斜率是恒定的，即导函数为常数。
当导函数为正时，函数呈现上升趋势；当导函数为负时，函数呈现下降趋势。
函数的最小值对应导函数的零点，即f'(x) = 0。
解方程f'(x) = 0可以得到函数的最小值的横坐标。
通过求导法，我们可以精确地找到一次函数的最小值的横坐标。
然后，将横坐标代入原函数，即可计算出最小值的纵坐标。
综上所述，一次函数最小值的求解可以通过图像法和求导法两种方法来进行。
图像法适用于直观观察函数的趋势和最小值的位置，而求导法适用于精确计算最小值的横坐标。
选择合适的方法取决于具体的问题和求解的要求。
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（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村， 设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱， 请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费 用．
2、某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定 从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆， 则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力 分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： A村（元/辆） 大货车 小货车 800 400 B村（元/辆） 900 600
一次函数的最优问题
1、种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一 是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调 查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表： 销售渠道 省城批发 本地零售
每日销量 每吨所获纯 （吨） 利润（元）
４ １ 1200 2000
受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必 须在10日内售出． （１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市 场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省 城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式； (2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最 大？并求出最大纯利润．