一次函数中的最值问题

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初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。

但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。

一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。

图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。

图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。

图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。

凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。

下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。

解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。

①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。

②当时，，此时y的值大于4400。

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。

（2）设取奶站建在距A楼xm处。

①当时，，解得（舍去）。

②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。

②当时，，解得，当a增大时，x增大。

专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)

专题73 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【答案】（1）焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）当60x =时，y 取最大值25800度.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∵60x ≤∵y 随x 的增大而增大∵当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少【详解】解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩， 3015x y =⎧∴⎨=⎩， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，1(30)3z z ≥-， 152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【详解】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∵y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．∵x取整数，∵x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∵y随x的增大而增大，∵当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当x≤10时，y与x的关系式为：；∵当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y=300x﹣600；∵y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，∵当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∵x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元；（2）购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；其中购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．【详解】解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∵ 185≤n≤6，∵n非负整数，∵n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；∵购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∵所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∵购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．11。

一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =，即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：116144y x =-+，当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解：（1）对于直线122y x =+，令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =，则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-，此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+，当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)．【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

例析一次函数最值问题

Ｔ时
—
彩电
１
— —
冰箱
１
— —
１
—
—
２
３
４
产值（元１
４０００
３０００
２０００
问：周生产空调器、电、箱各多少台，能使总产值最高？高每彩冰才最
总产值是多少？解析：据表中提供的关系，没出未知数，出相应的式子，寻根先列再
备每周（１０个Ｔ时计算）产空调器、电、箱共３０台，冰箱至按２生彩冰６且
少生产６台．已知生产这些家电产品每台所需的Ｔ时和每台家电的产０
值如下表所示．
表２
空调器
的运费分别为４００元和５０元．０
没从Ａ市、市各调运台机器到Ｄ市．２Ｂ当８台机器全部调运完毕后，求总运费（Ｊ于（Ｊ函数关系式，求元关台的并朗化．也是解这类问题的常用方法之一．这
，
一
引
口河
南
张瑞红
在一次函数的应用题中，一类是和一次函数的最大值最小值有关有的．际上，次函数的最大值与最小值在做决策时用处很大．关键是实一其
对问题的原始形态进行分析、想、象、括，而构建相应的函数关联抽概进系．面举几个较典型的例子．下例１市、市和Ｃ市分别有某种机器１台、０台和８台．决定曰０１现

方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题

方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题1.某学校为积极响应政府“三城同创”的号召,绿化校园,计划购买A,B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)y与x的函数解析式为y= (其中0≤x≤21);(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.2.某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用当地盛产的甲.乙两种原料开发A,B两种商品.为了科学决策,他们试生产A,B两种商品共100千克.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克,生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示.设生产A种商品x千克,生产A,B两种商品共100千克的总成本为y元,解答下列问题: (1)求y与x的函数解析式,并求出x的取值范围;(2)当x= 时,总成本y最小.2.为了落实党的“精准扶贫”政策,A,B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A,B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C 乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元，求总运费的最少值;(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?答案：1(1)y=20x+1470 (2) A11,B10费用1690元 2 (1) 24≤x≤86 (2) 863 (1) A,200 B,300 (2)10040 (3)A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,.y=(20-a)x十25(200- . x)+15(240- x)十24(60+x)=(4-a)x十10040.当0<a<4时,4-a>0,..当x=0时,运费最少是10 040元;当a=4时,运费是10040元;当4<a<6时,4-a<0, .x=200时,运费最少. .当0<a<4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C乡240吨,运往D乡60吨,运费最少;当a=4时,不管A城化肥运往D 乡多少吨,运费都是10 040元;当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C乡40吨,运往D乡260吨,运费最少.。

中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)

中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。

一次函数绝对值和最值问题

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。

（2）函数()||||f x x m x n =---：当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +；当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像；在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +；（3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。

一次函数最值问题

一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

对于一次函数，其斜率为 k。

1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。

因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。

函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。

2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。

因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。

函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。

需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。

在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。

利用一次函数的性质解最值问题

利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。

人教版八年级下册数学一次函数与动点最值问题

一次函数与动点最值问题知识导航1.关于x 的一次函数y ＝k (x －m )＋n 或y ＝kx －km ＋n 一定过定点(m ，n ).2.直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.3.利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值.4.利用平方数，绝对值，算术平方根的非负性求最值.【板块一】过定点的直线题型一定点动直线【例1】(1)一次函数y ＝kx 一定经过点_________；若一次函数的图象经过原点，那么该一次函数的解析式可设为_________.(2)一次函数y ＝kx ＋2一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(0，－4)，那么该一次函数的解析式可设为_________；(3)一次函数y ＝kx －2k ＋1一定经过点_________；若一次函数的图象经过点(－2，4)，该一次函数的解析式可设为_________. 题型二动点定直线【例2】利用坐标判断点在定直线上. (1)点P (m ，m ＋2)一定在直线_________上； (2)点P (m ＋1，2m －3)一定在直线_________上.针对练习11.过定点的动直线的应用: 已知一次函数y ＝2kx －k ＋2. (1)其图象过定点_________；(2)直线y ＝2kx －k ＋2和直线y ＝4x 的交点是_________； (3)若0＜k ＜2，不等式2kx －k ＋2≤4x 的解集是_________； (4)当x ＝1时，y ＜0，则k 的取值范围是_________；(5)若A (32，3)，B (4，－3)，该一次函数的图象与线段AB 有交点，则k 的取值范围是_________.2.动点在定直线上的应用:直线AB：y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C 顺时针旋转90°，得CQ.(1)若点P横坐标为－1时，求点Q坐标；(2)若点P横坐标为m，试用含m的式子表示点Q的坐标；(3)当点P在直线AB上运动时，则点Q总在直线l上运动，求直线l的解析式.【板块二】直线型动点最值问题题型三点到直线的距离最短方法技巧利用垂线段最短，可求定点到直线型动点的最小值问题.【例1】点P是x轴上一点，A(0，4)，将线段P A绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，求OQ的最小值.【例2】如图，A(4，0)，△OAB为等边三角形，点C为x轴上一动点，以BC为边在直线BC的右侧作等边△BCD，连接OD.(1)点D在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；(2)OD的最小值为_________.题型四两线段或多线段的和差最值问题方法技巧利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求两线段或多线段的和差最大值或最小值；在平面直角坐标系中，常作一个定点的对称点，然后连接这一对称点与另一定点，求最值.这一方法也叫化折为直.【例3】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使△P AB的周长最小，求这个最小值及点P的坐标.【例4】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使|P A－PB|的值最大，并求此时点P的坐标.针对练习21.一次函数y＝k(x－1)＋3k－4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点O到该直线的距离的最大值是_________；2.如图，B(0，3)，点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连接OC.(1)设A(a，0)，用含a的式子表示点C坐标_________；(2)点C在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；(3)OC长度的最小值为_________.3.如图，A(0，23)，点B为x轴上一动点，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得线段AC，线段OC的最小值是_________.第2题第3题第4题第5题4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M为AB的中点，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ME，点D在运动的过程中，ME的最小值为()A.2B.2 2C.4D.4 25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE的最小值为_________.6.如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB上，在y轴上找一点P，使P A＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐标.【板块三】动点的运动路径(轨迹)问题方法技巧动点的运动路径问题解题方法:1.选取三个或多个特殊点探索三个或多个特殊位置，一般选取起点，终点，和另外的特殊点探索；2.根据这些特殊点的位置猜想运动路径，然后验证.现阶段多用全等转换求值.【例1】如图，直线AB：y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，C(1，0)，点P为直线AB上一点，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得CQ.(1)当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_________；(2)线段OQ的最小值为_________.【例2】如图，A(4，0)，B(0，4)，点P在线段AB上运动，PQ⊥PO且PQ＝PO.(1)试说明点Q在某一确定的直线上；(2)点M是OQ的中点，当点P从点A运动到点B时，求点M运动的路径长.针对练习31.在平面直角坐标系中，A(0，4)，点B沿着某条路径运动，以点B为旋转中心，将点A逆时针旋转60°到点C(m，2).若－5≤m≤5，则点B运动的路径长为_________.2.在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，C(0，b)，且a，b满足(a＋1)2＋b＋3＝0.(1)直接写出：a＝_________，b＝_________；(2)如图1，点B为x轴正半轴上的一点，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE.若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M为直线BE上的一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为N，当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.图1图23.如图1，直线y＝－3x＋33分别与y轴、x轴交于点A，B，点C的坐标为(－3，0)，点D为直线AB 上的一动点，连接CD交y轴于点E.(1)点B的坐标为_________，不等式－3x＋33＞0的解集为_________；(2)若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标；(3)如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°，当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.图1图2一次函数大综合——数形结合1.已知点A(a，3)，点B(b，6)，点C(5，c)，AC⊥x轴，CB⊥y轴，点B在第二象限且到两坐标轴的距离相等.(1)写出A，B，C三点的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)若点P为线段OB上的动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P的横坐标的取值范围.2. 在平面直角坐标系中，A(a，b)，B(c，d)，且a－c＋4＋|b－d－6|＝0.(1)直接写出a与c，b与d的关系式；(2)如果b＝c＝0，点P(m，32m＋6)，且m＞0，S△P AB＝4S△AOB，求点P的坐标；(3)如果b＝3，连接AB交x轴于点Q.①直接写出点Q的坐标(用含a的式子表示)；②若S△AOB≤24，求a的取值范围.3. (2019黄陂区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B.AC⊥y轴于点C，点A(4a，3a)，且四边形ABOC的面积为48.(1)如图1，直接写出点A的坐标为_________；(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴正半轴运动，同时，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于点F，设运动的时间为t秒，当S△AEF＜S△CDF 时，求t的取值范围；(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标.4. 在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(a，6)，C(a－2，2).(1)若a＝2，则△ABC的面积为_________；(2)将线段BC向右平移m个单位，若△ABC的面积小于4，求m的取值范围；(3)若点D(a＋8，8)，连结AD，将线段BC向右平移n个单位，若线段BC与线段AD有公共点，请直接写出n的取值范围_________.5.在平面直角坐标系中，点A(a，b)，B(c，d)，且a－c＋3＋|b－d－4|＝0.(1)如果a＝－1，b＝－3，求A，B两点的坐标；(2)如果a＝－1，b＝－3，求直线AB与x轴的交点M以及与y轴的交点N的坐标；(3)如果点A在x轴上方平行于x轴，且在到x轴距离等于2的直线上运动，若△ABO的面积不超过21，求a的取值范围.6.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P(x，y)的取值情况:(1)直线l上的点P(x，y)的横、纵坐标之间的数量关系是_________(直接写出结果)；(2)若点P(－2，2)，点Q(q，0)，若以P，Q，O，B为顶点的四边形的面积大于5，求q的取值范围；(3)已知坐标平面内第一象限的点M(m，n)，N(m＋4，n＋4)，若△PMN的面积是12，求m，n的数量关系.。

4个一次函数最值问题

1、某蒜薹（tai ）生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。

经市场调查，可采用批发、若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y （元），蒜薹零售x （吨）且零售量是批发量的1/3（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。

解：（1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x ）·（5500-1200） =-6800x+860000，（2）由题意得 200-4x≤80 解之得 x≥30 ∵y=-6800x+860000 k=6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小当x=30时，y 最大值=-6800×30+860000=656000元2、某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A 和B 共8吨，已知生产每吨A ，B 产品所需的甲、乙两种原料如下表：销售A ，B 两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨．若设化工厂生产A 产品x 吨，且销售这两种产品所获得的总利润为y 万元．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）问化工厂生产A 产品多少吨时，所获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）据题意得： y=0.45x+（8-x ）×0.5 =-0.05x+4又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x ），所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x ）则可得不等式组⎩⎨⎧≤-+≤-+5)8(4.08.07)8(1.16.0x x x x 解3.6≤x ≤4.5（2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.05＜0，所以y随x的增大而减小．则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元．答：化工厂生产A产品3.6吨时，所获得的利润最大，最大利润是3.82万元3、宏志中学八年级300位同学给灾区90名同学捐赠一批学习用品，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒，书包和文具盒的单价分别是54元和12元。

人教版初中数学八下小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题

（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多？解：（2）设购进A型车m辆，总利润为w元. 根据题意，得60－m≤2m，解得m≥20. w＝（1 600－1 100）m＋（2 000－1 400）（60－m）＝－100m＋36 000. ∵－100＜0，∴w随着m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最大值，此时购进A型车20辆，B型车40辆. 答：购进A型车20辆，B型车40辆时，才能使这批自行车售出后获利最多.
2.某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400
元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20％.
（注：下表是A，B两种型号车今年的进货价和销售价）
型号
A型车
B型车
进货价
1 100元/辆
1 400元/辆
销售价
x元/辆
2 000元/辆
（1）设今年A型车每辆销售价为x元，求x的值；
65
20
成套售价/ （元·套－1）
78
已知该家纺专卖店计划购进此款枕芯和枕套的总数量不超过70个，且枕芯的数量比枕套数量的2倍多10个.若将一半的枕套配上枕芯成套（一个枕套配一个枕芯）销售，其余均以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
答：当购进枕套20个，枕芯50个时，才能获得最大利润，最大利润是1 030元.
小专题（十九）一次函数的应用——最值问题
1.某小区对广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与 1棵乙景观树的种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树的种植费用为390 元. （1）甲、乙两种景观树每棵的种植费用分别为多少元？

一次函数中的最值问题

学校北师大三附中教师习富云时间课题一次函数中的最值问题教学目标知识与技能由实际问题中的最值问题建立数学模型引入，然后利用图形变换和一次函数在直角坐标系中确定最值点，巩固一次函数的知识并进一步体会数形结合思想.过程与方法体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直线的交点，增强数学的应用意识.情感价值观在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的喜悦.教学重点图形变换和一次函数的应用.教学难点如何通过图形变换进行转化，确定对称点坐标然后求解析式进而求得最值点教学过程活动内容师生活动设计意图一、问题探究1.提出问题问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?2.实际问题数学化如图,已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使P A+PB最小.提问：1）.线段和的最小值的理论依据是什么2）.如何将两条线段的和转化到一条线段上3.几何问题代数化学生独立思考,教师巡视.观察学生是否作数学化,同时对转化正确的同学给予肯定,并指出实际问题转化为数学问题是解决实际问题的第一步...学生会回答：利用两点之间线段最短;利用图形变换实现问题的转化选用“西气东输”作为背景，引导学生了解数学来源于生活.让学生明确用数学方法解决实际问题，BAlBB C B'二、拓展问题2 如图，已知点A （4，3）。

若点C 是直线y=-x+4上一点，B 是直线x=5上一点，当△ABC 的周长最小时，求C 、B 两点的坐标.分析：先找点A 关于两条直线的对称点1A （1，0）、2A （6，3）,连接 1A 2A 分别较两条直线于B 、C从而将△ABC 的周长转化为线段1A 2A 的长设1A 2A 所在直线的解析式为y=kx+b ，将1A （1，0）、2A （6，3）两点坐标代入⎩⎨⎧=+=+360b k b k 求得，k=53，b=-53∴'AB 所在直线的解析式为y=53x-53∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=53534x y x y∴点C 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛89,823，B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,5。

专题14 一次函数中的最值问题(解析版)

2 m 2 专题十四一次函数中的最值问题考点一坐标系中两点之间的距离最值问题【方法点拨】①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。

1.如图，点 P 的坐标为（2，0），点 B 在直线 y ＝x +m 上运动，当线段 PB 最短时，PB 的长度是 2 + 2．【思路点拨】当线段 PB 最短时，PB 与直线 y ＝x +m 垂直，根据解析式即可求得 C 、D 的坐标，然后根据勾股定理求得 CD ，然后根据三角形相似即可求得 PB 的最短长度．【解析】解：当线段 PB 最短时，PB ⊥CD ，如图所示：由直线 y ＝﹣x +m 可知，直线与坐标轴的交点为 C （﹣m ，0），D （0，m ），∴OC ＝m ，OD ＝m ，∴CD = 2m ，∵点 P 的坐标为（2，0），∴PC ＝2+m ，∵∠PCB ＝∠DCO ，∠PBC ＝∠DOC ＝90°，∴△PBC ∽△DOC ，PB ∴OD = PC PB ，即 = 2+n ， CD n ∴PB = 2 + 2 ． 2 m故答案为： 2 + 2m ．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似2n3 5 2 的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．2.如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是 1+ ；若将△ABP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为 1+ ．1【思路点拨】根据当 O 到 AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到 O 到 AB 的最大值是2AB ＝1，此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理求出 PM ，即可求出答案；将△ABP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，根据 22+22= (2 2)2，得到∠PBA ＝90°，由勾股定理求出 PM 即可【解析】解：取 AB 的中点 M ，连 OM ，PM ，在 Rt △ABO 中，OM = AB=1，在等边三角形 ABP 中，PM = 3，无论△ABP 如何运动，OM 和 PM 的大小不变，当 OM ，PM 在一直线上时，P 距 O 最远，1 ∵O 到 AB 的最大值是2 AB ＝1，此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理得：PM = 22 — 12 = 3，∴OP ＝1+ 3，将△AOP 的 PA 边长改为 2 2，另两边长度不变，∵22+22= (2 2)2，∴∠PBA ＝90°，由勾股定理得：PM = 12 + 22 = 5，∴此时 OP ＝OM +PM ＝1+5．故答案为：1+ 3，1+ 5．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出 PO 的值是解此题的关键．2 ，考点二坐标内的线段和（差）最值问题【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大31. 如图，已知点 A 的坐标为（0，1），点 B 的坐标为（2，﹣2），点 P 在直线 y ＝﹣x 上运动，当|PA ﹣PB | 最大时点 P 的坐标为（）A ．（2，﹣2）B ．（4，﹣4）C ．（ 5 — 5）D ．（5，﹣5）2 【思路点拨】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．【解析】解：作 A 关于直线 y ＝﹣x 对称点 C ，易得 C 的坐标为（﹣1，0）；连接 BC ，可得直线 BC 的方程为 y =— 4x — 4；5 5求 BC 与直线 y ＝﹣x 的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB |＝|PC ﹣PB |＝BC 取得最大值，其他 BCP 不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC ﹣PB |＜BC ；故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．2. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， 3），点 C 的13 31 3+ 19 22 1坐标为（2，0）点 P 的斜边 OB 上一个动点，则 PC +PA 的最小值为（）A. 2 B ． 2 C ． 2 D ．2 7【思路点拨】作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA 于 N ，则此时PA +PC 的值最小，求出 AM ，求出 AD ，求出 DN 、CN ，根据勾股定理求出 CD ，即可得出答案．【解析】解：作 A 关于 OB 的对称点 D ，连接 CD 交 OB 于 P ，连接 AP ，过 D 作 DN ⊥OA 于 N ，则此时 PA +PC 的值最小，∵DP ＝PA ，∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，∵B （3， 3），∴AB = 3，OA ＝3，∵tan ∠AOB = AB = 3，OA 3∴∠AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝2 3，由三角形面积公式得：1 ×OA ×AB = 1×OB ×AM ， 2 2∴AM = 3， ∴AD ＝2× 3 =3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，31 2 3 ∴AN = 1AD = 3，由勾股定理得：DN =3 3， 22 21 ∵C （2，0）， ∴CN ＝3— 1 — 3=1， 2 2在 Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC = 31 2 ，即 PA +PC 的最小值是．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．3. 如图所示的平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（﹣4，4）、点 B 的坐标是（2，5），在 x 轴上有一动点 P ，要使 PA +PB 的距离最短，则点 P 的坐标是 ( — 4 ，O) ．【思路点拨】先作出点 A 关于 x 轴的对称点 A 1，再连接 A 1B ，求出直线 A 1B 的函数解析式，再把 y ＝0 代入即可得．【解析】解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A 1（﹣4，﹣4），连接 A 1B 交 x 轴于 P ，12 + ( 323 )2 =∵B的坐标是（2，5），3．3∴直线A1B 的函数解析式为y＝1.5x+2，把P 点的坐标（n，0）代入解析式可得n=—4∴点P 的坐标是( —4 ，O)．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．4.如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是21O．【思路点拨】作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解．【解析】解：作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．则OD′＝2，因而AD′=O Dะ2+O A2=4+36=21O．则PD+PA 和的最小值是21O．故答案是：2 1O．22【点睛】本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出 P 的位置是关键．5. 如图，一次函数 y = 1x +2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，以线段 AB 为边在第二象限内作等腰 Rt △ABC ，∠BAC ＝90°．（可能用到的公式：若 A （ x 1 ， y 1 ）， Bx 2 ， y 2 ）， ①AB 中点坐标为（x 1+x 2 ， y 1+y 2 ）； 2 2②AB = (x 1 — x 2)2 + (y 1 — y 2)2）（1）求线段 AB 的长；（2）过 B 、C 两点的直线对应的函数表达式．（3）点 D 是 BC 中点，在直线 AB 上是否存在一点 P ，使得 PC +PD 有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【思路点拨】（1）求出一次函数图象与 x 轴交点坐标，再利用勾股定理求出 AB 的长即可；（2）过 C 作 CE 垂直于 x 轴，可得出三角形 ACE 与三角形 AOB 全等，进而确定出 C 坐标，利用待定系数法求出直线 BC 解析式即可；（3）根据中点坐标公式，可得 D 点坐标，根据轴对称的性质，可得 D ′点，两点之间线段最短，可得 P点，根据解方程组，可得 E 点坐标，根据中点坐标公式，可得 D ′，根据两点间的距离，可得答案．【解析】解：（1）对于一次函数 y = 1x +2，令 x ＝0，得到 y ＝2，令 y ＝0，得到 x ＝﹣4，即 A （﹣4，0），B （0，2），∴OA ＝4，OB ＝2，则 AB = OA 2 + OB 2 =2 5；（2）过 C 作 CE ⊥x 轴，可得∠ECA +∠CAE ＝90°，3 3 ∵△BAC 为等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，且∠BAC ＝90°，∴∠CAE +∠OAB ＝90°，∴∠ECA ＝∠OAB ，在△ECA 和△OAB 中，²ECA = ²OAB ²CEA = ²AOB = 9O° CA = AB∴△ACE ≌△BAO （AAS ），∴CE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝2，即 OE ＝OA +AE ＝6，∴点 C 的坐标为（﹣6，4）．设直线 BC 解析式为 y ＝kx +b ，把 B （0，2）与 C （﹣6，4）代入得： b = 2 ， — 6k + b = 4解得： k =— 1，b = 2 则直线 BC 解析式为 y =— 1x +2；（3），作出 D 关于直线 AB 的对称点 D ′，连接 CD ′，交直线 AB 于点 P ，此时 CP +DP 最小，∵点 D 为 BC 的中点，O —6 2+4∴点 D 的坐标为（ 2 ，2 ），即 D （﹣3，3）， ∵直线 AB 解析式为 y = 1x +2，k = 1，2 2∴直线 DD ′的 k ＝﹣2，设直线 DD ′的解析式为 y ＝kx +b ，将 k ＝﹣2，D （﹣3，3）代入，解得 b ＝﹣3，∴直线 DD ′解析式为 y ＝﹣2x ﹣3，( — 6 + 1)2 + (4 + 1)2 2与直线 AB 解析式联立得：解得： x =— 2， y = 1y =— 2x — 3 y = 1 x + 2 ，即两直线交点 E 坐标为（﹣2，1）．设D ′（x ，y ），由中点坐标公式，得x —3y+3 2=—2， 2 =1，解得 x ＝﹣1，y ＝﹣1，∴D ′（﹣1，﹣1），则最小值为 CD ′==5 2．【点睛】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用两点间的距离公式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出 C 点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用轴对称的性质得出 P 点坐标，又利用了对称点的中点在对称轴上得出 D ′点坐标．6. 在平面直角坐标系上，已知点 A （8，4），AB ⊥y 轴于 B ，AC ⊥x 轴于 C ，直线 y ＝x 交 AB 于 D ．（1）直接写出 B 、C 、D 三点坐标；（2）若 E 为 OD 延长线上一动点，记点 E 横坐标为 a ，△BCE 的面积为 S ，求 S 与 a 的关系式；（3）当 S ＝20 时，过点 E 作 EF ⊥AB 于 F ，G 、H 分别为 AC 、CB 上动点，求 FG +GH 的最小值．【思路点拨】（1）首先证明四边形 ABOC 是矩形，再根据直线 y ＝x 是第一象限的角平分线，可得 OB ＝BD ，延长即可解决问题；（2）根据 S ＝S △OBE +S △OEC ﹣S △OBC 计算即可解决问题；（3）首先确定点 E 坐标，如图二中，作点 F 关于直线 AC 的对称点 F ′，作 F ′H ⊥BC 于 H ，交 AC 于G ．此时 FG +GH 的值最小；【解析】解：（1）∵AB ⊥y 轴于 B ，AC ⊥x 轴于 C ，∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC 是矩形，∵A（8，4），∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，∴B（0，4），C（8，0），∵直线y＝x 交AB 于D，∴∠BOD＝45°，∴OB＝DB＝4，∴D（4，4）．（2）由题意E（a，a），1 ×4×a+ 1 ×8×a—1 ×4×8＝6a﹣16．∴S＝S OBE+S OEC﹣S OBC=△△△ 2 2 2（3）当S＝20 时，20＝6a﹣16，解得a＝6，∴E（6，6），∵EF⊥AB 于F，∴F（6，4），如图二中，作点F 关于直线AC 的对称点F′，作F′H⊥BC 于H，交AC 于G．此时FG+GH 的值最小．∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，∴△ABC∽△HBF′，AC BC∴=，4 51O ∵AC ＝4，BC = 42 + 82 =4 5，BF ′＝AB +AF ′＝8+2＝10，4∴F ะะ = ，∴F ′H ＝2 5，∴FG +GH 的最小值＝F ′H ＝2 5．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．考点三坐标系中三角形周长最小问题【方法点拨】通常已知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小1. 如图，在直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（0，3）．【思路点拨】根据轴对称做最短路线得出 AE ＝B ′E ，进而得出 B ′O ＝C ′O ，即可得出△ABC 的周长最小时 C 点坐标．【解析】解：作 B 点关于 y 轴对称点 B ′点，连接 AB ′，交 y 轴于点 C ′，此时△ABC 的周长最小，∵点 A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B ′点坐标为：（﹣3，0），AE ＝4，则 B ′E ＝4，即 B ′E ＝AE ，∵C ′O ∥AE ，∴B ′O ＝C ′O ＝3，∴点 C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小．故答案为（0，3）．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C 点位置是解题关键．2.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴y 轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D 为OB 的中点，点E 为边OA 上的一个动点．（1）求线段CD 所在直线的解析式；（2）当△CDE 的周长最小时，求此时点E 的坐标；（3）当点E 为OA 中点时，坐标平面内，是否存在点F，使以D、E、C、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出C、D 的坐标，再用待定系数法即可求出线段CD 所在直线的解析式；（2）当△CDE 的周长最小时，DE+CE 最小；作点D 关于OA 的对称点D′，连接CD′交OA 于E，DE+CE 最小，证明△OED′∽△AEC，得出比例式求出OE 即可；（3）分三种情况：①CE 为对角线时，作FM⊥x 轴于M；证明△EMF≌△CBD，得出OM＝BC＝3，FM ＝DB＝2，OM＝1.5+3＝4.5，即可得出F 的坐标；②DE 为对角线时，作FN⊥x 轴于N，则F1N∥FM，根据平行线分线段成比例定理得出NE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，ON＝1.5，即可得出结果；③DC 为对角线时，作F1Q⊥y 轴于Q，作F2P⊥y 轴于P；同②，即可得出结果．【解析】解：（1）∵四边形OACB是矩形，∴AC＝OB＝4，∠OBC＝90°，332∵D 为 OB 的中点，∴OD ＝BD ＝2，∴C （3，4），D （0，2），设线段 CD 所在直线的解析式为 y ＝kx +b ，代入 C （3，0），D （0，2）得： 3k + b = 4， b = 2解得：k = 2，b ＝2， ∴线段 CD 所在直线的解析式为：y = 2x +2；（2）当△CDE 的周长最小时，DE +CE 最小；作点 D 关于 OA 的对称点 D ′，连接 CD ′交 OA 于 E ，如图 1 所示：则 D ′（0，﹣2），DE ＝DE ′，∴DE +CE ＝D ′E +CE ═CD ′，∵∠OBC ＝90°，BD ′＝6，∵AC ∥OB ，∴△OED ′∽△AEC ，O EO D ะ2 1 ∴AE = AC = 4 = ， ∴AE ＝2AE ，∵OA ＝3，∴OE ＝1，∴E （1，0）；（3）存在；分三种情况：①CE 为对角线时，作 FM ⊥x 轴于 M ；如图 2 所示：∵BC ∥OA ，∴∠MEC ＝∠BCE ，∵四边形 DEFC 是平行四边形，∴CD ∥EF ，∴∠FEC ＝∠DCE ，∴∠MEF ＝∠BCD ，在△EMF 和△CBD 中，²FะE = ²DBC = 9O°²ะEF = ²BCD ，EF = CD∴△EMF≌△CBD（AAS），∴OM＝BC＝3，FM＝DB＝2，∴OM＝1.5+3＝4.5，∴F（4.5，2）；②DE 为对角线时，作F1N⊥x 轴于N，则F1N∥FM，如图2 所示：∵EF1＝CD＝EF1，∴NE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，∴ON＝1.5，∴F1（﹣1.5，﹣2）；③DC 为对角线时，作F1Q⊥y 轴于Q，作F2P⊥y 轴于P，如图所示：同②得：PF2＝F1Q＝ON＝，1.5，PD＝DQ＝4，∴OP＝6，∴F2（1.5，6）；综上所述：F点的坐标为（4.5，2），或（1.5，6），或（﹣1.5，2）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质、用待定系数法确定一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）、（3）中，需要证明三角形相似或三角形全等才能得出结果．3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D 为边OB 的中点．（1）点D 的坐标为（0，2）；（2）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标．【思路点拨】由于C、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE+CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．【解析】解：（1）∵OB＝4，D为边OB的中点，∴OD＝2，∴D（0，2），故答案为：（0，2）；（2）如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E，连接DE．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′+CE′＝D′E′+CE′＞CD′＝D′E+CE＝DE+CE，可知△CDE 的周长最小．∵在矩形 OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为 OB 的中点，∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6，∵OE ∥BC ， O E D ะO ∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，有B C = D ะB ，∴OE ＝1，∴点 E 的坐标为（1，0）．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点四坐标系中四边形周长最小问题【方法点拨】已知两线段为定值，通过平移的方法，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小 71. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a 的值为． 4【思路点拨】作 B 关于 x 轴的对称点 C ，连结 CN ，作平行四边形 PNCD ，因为 AB 、PN 为定值所以 PA +BN 最小即可因为 BN ＝CN ＝PD 所以只要 AP +PD 最小作直线 AD 交 x 轴于 Q ，当 P 与 Q 重合时，AP +PD ＝AD 最小．【解析】解：作 B 关于 x 轴的对称点 C ，连结 CN ，作平行四边形 PNCD ，44∵AB 、PN 为定值∴PA +BN 最小即可∵BN ＝CN ＝PD∴只要 AP +PD 最小作直线 AD 交 x 轴于 Q ，当 P 与 Q 重合时，AP +PD ＝AD 最小∵A （1，3）、D （2，﹣1）∴直线 AD 为：y ＝﹣4x +7 当 y ＝0 时，x = 7， 7 ∴Q 为（4，0） ∵P 、Q 重合∴a = 7．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，平行四边形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平行四边形，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．2. 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边 OB 的中点．若 E 、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF ＝2，当四边形 CDEF 的周长 1 最小时，求点 E 、F 的坐标分别为（ 3 7 ，0），（ 3，0），并在图中画出示意图．【思路点拨】由于 DC 、EF 的长为定值，如果四边形 CDEF 的周长最小，即 DE +FC 有最小值．为此，作点 D 关于 x 轴的对称点 D '，在 CB 边上截取 CG ＝2，当点 E 在线段 D ′G 上时，四边形 CDEF 的周长最小．【解析】解：如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D '，在 CB 边上截取 CG ＝2，连接 D 'G 与 x 轴交于点 E ，在 EA 上截取 EF ＝2，∵GC ∥EF ，GC ＝EF ，∴四边形 GEFC 为平行四边形，有 GE ＝CF ．又∵DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点 E 、F 使四边形 CDEF 的周长最小，∵OE ∥BC ， O E D ะO ∴Rt △D 'OE ∽Rt △D 'BG ，有B G = D ะB ．∴OE = D ะO ·B G = D ะO ·(B C —C G ) = 2×1 = 1 D ะB D ะB 6 3 ∴OF ＝OE +EF = 1 +2= 7．3 317 ∴点 E 的坐标为（ 3 1，0），点 F 的坐标为（ 3 7 ，0）．故答案为：（3，0），（3，0）．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点五其它最值问题【方法点拨】根据具体题型求最值 1．若一次函数 y ＝kx +b ，当﹣2≤x ≤6 时，函数值的范围为﹣11≤y ≤9，则此一次函数的解析式为 y = 5 x — 6 或 y =— 5 x + 4 ．2 2【思路点拨】根据函数自变量的取值范围用待定系数法求函数解析式．【解析】解：∵y 是 x 的一次函数，当﹣2≤x ≤6 时，﹣11≤y ≤9．2 2 2 2 设所求的解析式为 y ＝kx +b ，分两种情况考虑：（1）将 x ＝﹣2，y ＝﹣11 代入得：﹣11＝﹣2k +b ，将 x ＝6，y ＝9 代入得：9＝6k +b ，联立解得：k = 5，b ＝﹣6，则函数的解析式是 y = 5x ﹣6；（2）将 x ＝6，y ＝﹣11 代入得：﹣11＝6k +b ，将 x ＝﹣2，y ＝9 代入得：9＝﹣2k +b ，联立解得：k =— 5，b ＝4，则函数的解析式是 y =— 5x +4．综上，函数的解析式是 y = 5x ﹣6 或 y =— 5x +4． 2 2 故答案为：y = 5x ﹣6 或 y =— 5x +4 2 2【点睛】本题要注意利用一次函数自变量的取值范围，来列出方程组，求出未知数，写出解析式．2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 M （2，﹣3）、N （6，﹣3），连接 MN ，如果点 P 在直线 y ＝﹣x +1上，且点 P 到直线 MN 的距离不小于 1，那么称点 P 是线段 MN 的“疏远点”．（1）判断点 A （2，﹣1）是否是线段 MN 的“疏远点”，并说明理由；（2）若点 P （a ，b ）是线段 MN 的“疏远点”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的前提下，用含 a 的代数式表示△MNP 的面积 S △MNP ，并求 S △MNP 的最小值．【思路点拨】（1）求出 A 到 MN 的距离，再判断即可；（2）根据“疏远点”的意义求出 b 的范围，再代入求出 a 的范围即可；（3）根据“疏远点”的意义得出 S MNP = 1 ×4×|﹣a +1﹣（﹣3）|，再去掉绝对值符号即可． △ 2【解析】解：（1）点A（2，﹣1）是线段MN的“疏远点”，并说明理由理由是：∵M（2，﹣3）、N（6，﹣3），A（2，﹣1），∴A 到直线MN 的距离为﹣1﹣（﹣3）＝2＞1，∵点P到直线MN的距离不小于1，那么称点P是线段MN的“疏远点”，∴点A（2，﹣1）是线段MN的“疏远点”；（2）∵点P（a，b）是线段MN的“疏远点”，M（2，﹣3）、N（6，﹣3），∴|b﹣（﹣3）|≥1，∴b≥﹣2 或b≤﹣4，代入y＝﹣x+1 得：﹣a+1≥﹣2 或﹣a+1≤﹣4，解得：a≤3 或a≥5，即 a 的取值范围是a≤3 或a≥5；（3）∵M（2，﹣3）、N（6，﹣3），∴MN＝6﹣2＝4，∴S =1 ×4×|﹣a+1﹣（﹣3）|= — 2a + 8(a＜4)△MNP 2，2a — 8(a＞4)∵a≤3 或a≥5，∴S△MNP的最小值是2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，一次函数的性质等知识点，能根据“疏远点”的意义列出算式是解此题的关键．3.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围．(x — O)2 + (O — 1)2【思路点拨】（1）根据有界函数的定义即可得出函数 y ＝x +1（﹣4≤x ≤2）是有界函数，再代入 x ＝﹣4和 x ＝2 即可得出其边界值；（2）根据一次函数的性质可得出函数 y ＝﹣x +1 是单减函数，结合函数的最大值为 2 即可得出 a 的值，再代入 b 的值结合有界函数的定义以及该函数的边界值即可得出关于 b 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 b 的取值范围；【解析】解：（1）根据有界函数的定义知，函数 y ＝x +1（﹣4≤x ≤2）是有界函数．∵﹣4+1＝﹣3，2+1＝3，∴y ＝x +1（﹣4＜x ≤2）边界值为 3．（2）∵k ＝﹣1＜0，∴函数 y ＝﹣x +1 的图象是 y 随 x 的增大而减小，∴当 x ＝a 时，y ＝﹣a +1＝2，解得：a ＝﹣1；当 x ＝b 时，y ＝﹣b +1，— 2 ≤— b + 1 ≤ 2∴ b ＞a ，a =— 1∴﹣1＜b ≤3；【点睛】本题考查了一次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据有界函数的定义判断一个函数是否为有界函数；（2）找出关于 b 的一元一次不等式组．4. 请阅读下述材料，并解答问题例：说明代数式 x 2 + 1 + (x — 3)2 + 4的几何意义，并求它的最小值．解：在平面直角坐标系中，已知两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）则这两点间的距离公式为：P 1P 2=所以原式= +如图建立直角坐标系，点 P （x ，0）是 x 轴上一点，则 (x — O)2 + (O — 1)2可以看成点 P 与点 A （0，1） (x 1 — x 2)2 + (y 1 — y 2)2(x — 3)2 + (O — 2)2(x — 1)2 + 1 的距离， (x — 3)2 + (O — 2)2可以看成点 P 与点 B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 的长度之和，它的最小值就是 PA +PB 的最小值．设点 A 关于 x 轴的对称点为 A ′，则 PA ＝PA ′，因此，求 PA +PB 的最小值，只需求 PA ′+PB 的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA ′+PB 的最小值为线段 A ′B 的长度．为求 A ′B 我们可以构造直角三角形 A ′CB ，因为 A ′C ＝3，CB ＝3，所以 A ′ B ＝3 2，即原式的最小值为 3 2解答问题：（1）代数式 + (x — 2)2 + 9的值可以看成平面直角坐标系中点 P （x ，0）与点 A （1，1）、点 B （2，3）的距离之和（填写点 B 的坐标）；（2）代数式 x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37的最小值为 10 ．【思路点拨】（1）模仿例题即可解决问题；（2）用转化的思想思考问题即可；【解析】解：（1）由题意可知，点 B 坐标为（2，3）；故答案为（2，3）．（2） x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37 = x 2 + 72 + (x — 6)2 + 12，求 x 2 + 49 + x 2 — 12x + 37的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P （x ，0），使得 P 到 A （0，7），B （6，1）的距离之和的最小值，设点 A 关于 x 轴的对称点为 A ′，则 PA ＝PA ′，因此，求 PA +PB 的最小值，只需求 PA ′+PB 的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA ′+PB 的最小值为线段 A ′B 的长度．为求 A ′B 我们可以构造直角三角形 A ′CB ，因为 A ′C ＝6，CB ＝8，所以 A ′B ＝10，即原式的最小值为 10．故答案为 10．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．5.如图1，在平面直角坐标系中，点D 的横坐标为4，直线l1：y＝x+2 经过点D，分别与x、y 轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．（1）求出直线l2 的解析式．（2）在直线l2 上是否存在点E，使△ABE 与△ABO 的面积相等，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2 个单位的速度运动到P，再沿线段PD 以每秒2 2个单位的速度运动到D 后停止，求P 点在整个运动过程的最少用时．【思路点拨】（1）利用C，D 两点坐标代入y＝kx+b，解方程组即可解决问题；（2）存在．如图1 中，作OE∥AB 交CD 于E．由AB∥OE，可得S△ABE＝S△ABO，构建方程组求出点E 坐标即可；（3）如图2 中，作DM∥AC，PH⊥DM 于H，CH′⊥DM 于H′交AD 于P′．由题意P 点在整个运2 2 2动过程的时间t = PC+ PD = 1 PC + PD MDA ＝∠BAO ＝45°，推出PH = P D t = 1PC +PH ）， 2 2（ 2 ），易知∠ 2，推出 2（根据此线段最短可知，当点 P 与 P ′，点 H 与 H ′共线时，t 的值最小，最小值= 1CH ′；【解析】解：（1）由题意 A （﹣2，0），B （0，2），D （4，6），C （1，0），则有 k + b = O ，4k + b = 6解得 k = 2 ，b =— 2∴直线 l 2 的解析式为 y ＝2x ﹣2．（ 2 ）存在． ① 当点 E 在线段 CD 上时，如图 1 中，作 OE ∥ AB 交 CD 于E ．∵AB ∥OE ，∴S △ABE ＝S △ABO ，∵直线 OE 的解析式为 y ＝x ，y = x 由 y = 2x — 2 ∴E （2，2）．，解得 x = 2， y = 2②当点 E ′在线段 CD 的延长线上时，由 y = x + 4 ，解得 x = 6 ，∴E ′（6，10）．y = 2x — 2y = 1O 综上所述，满足条件的点 E 坐标为（2，2）或（6，10）．（3）如图 2 中，作 DM ∥AC ，PH ⊥DM 于 H ，CH ′⊥DM 于 H ′交 AD 于 P ′．2 2 2 22由题意 P 点在整个运动过程的时间 t =PC + PD = 1（PC + PD 2 2 2∵A （﹣2，0），B （0，2），∴OA ＝OB ，∴∠MDA ＝∠BAO ＝45°，∴PH =PD ∴t = 1（PC +PH ），根据此线段最短可知，当点 P 与 P ′，点 H 与 H ′共线时，t 的值最小，最小值= 1CH ′＝3s∴P 点在整个运动过程的最少用时为 3s ．【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、等高模型、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．，），。

一次函数求最值问题

1、求一次函数解析式。 2、结合题意列出不等式（组），确定自变量的取值范围。
3、根据一次函数的增减性，计算函数的最大（小）值。
Hale Waihona Puke 某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买者两种笔记本共30本． (1) 如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本? (2) 两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的三分之二，但又不少于B种笔记本数量的三分之一，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元． ① 请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围； ② 请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？
回顾与反思
1、本课内容所运用的知识点 2、学习本课的收获、体会
3、对于本节课的内容你还有哪些疑惑？
作业
学练优84页
两位老师根据演讲比赛的设奖情况决定所购买的a种笔记本的数量要少于b种笔记本数量的三分之二但又不少于b种笔记本数量的三分之一如果设他们买a种笔记本n本买这两种笔记本共花费w元
智慧导入：
一、一次函数最值在数学问题中的确定方法 y=2x+3
1、完成下面的练习：如图，已知一次函数y=2x+3 （1）函数y有最大值吗?有最小值吗？（2）当x≥1时，y有最大值吗?有最小值吗？（3）当1＜x≤3时，y有最大值吗?有最小值吗？ 2、请添加适当的条件：（1）使函数y=－x+3有最大值，并求出这个值；（2）使函数y=－x+3有最小值，并求出这个值。
北川（升/吨） 0.8 0.4

一次函数中的最值问题

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一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

例析一次函数最值问题

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中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)

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利用一次函数的性质解最值问题

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