一次函数最值问题

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专题：一次函数最值问题

专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。

初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。

但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。

一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。

图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。

图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。

图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。

凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。

下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。

解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。

①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。

②当时，，此时y的值大于4400。

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。

（2）设取奶站建在距A楼xm处。

①当时，，解得（舍去）。

②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。

②当时，，解得，当a增大时，x增大。

例析一次函数最值问题

Ｔ时
—
彩电
１
— —
冰箱
１
— —
１
—
—
２
３
４
产值（元１
４０００
３０００
２０００
问：周生产空调器、电、箱各多少台，能使总产值最高？高每彩冰才最
总产值是多少？解析：据表中提供的关系，没出未知数，出相应的式子，寻根先列再
备每周（１０个Ｔ时计算）产空调器、电、箱共３０台，冰箱至按２生彩冰６且
少生产６台．已知生产这些家电产品每台所需的Ｔ时和每台家电的产０
值如下表所示．
表２
空调器
的运费分别为４００元和５０元．０
没从Ａ市、市各调运台机器到Ｄ市．２Ｂ当８台机器全部调运完毕后，求总运费（Ｊ于（Ｊ函数关系式，求元关台的并朗化．也是解这类问题的常用方法之一．这
，
一
引
口河
南
张瑞红
在一次函数的应用题中，一类是和一次函数的最大值最小值有关有的．际上，次函数的最大值与最小值在做决策时用处很大．关键是实一其
对问题的原始形态进行分析、想、象、括，而构建相应的函数关联抽概进系．面举几个较典型的例子．下例１市、市和Ｃ市分别有某种机器１台、０台和８台．决定曰０１现

【数学中考一轮复习】一次函数的最值应用(含答案)

专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；（2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000，因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500，因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元），答:小刚购买苹果40千克，应付400元；（2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100，即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ）＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ，（200≤x ≤600）；（2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）；（2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。

方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题

方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题1.某学校为积极响应政府“三城同创”的号召,绿化校园,计划购买A,B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)y与x的函数解析式为y= (其中0≤x≤21);(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.2.某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用当地盛产的甲.乙两种原料开发A,B两种商品.为了科学决策,他们试生产A,B两种商品共100千克.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克,生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示.设生产A种商品x千克,生产A,B两种商品共100千克的总成本为y元,解答下列问题: (1)求y与x的函数解析式,并求出x的取值范围;(2)当x= 时,总成本y最小.2.为了落实党的“精准扶贫”政策,A,B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A,B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C 乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元，求总运费的最少值;(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?答案：1(1)y=20x+1470 (2) A11,B10费用1690元 2 (1) 24≤x≤86 (2) 863 (1) A,200 B,300 (2)10040 (3)A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,.y=(20-a)x十25(200- . x)+15(240- x)十24(60+x)=(4-a)x十10040.当0<a<4时,4-a>0,..当x=0时,运费最少是10 040元;当a=4时,运费是10040元;当4<a<6时,4-a<0, .x=200时,运费最少. .当0<a<4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C乡240吨,运往D乡60吨,运费最少;当a=4时,不管A城化肥运往D 乡多少吨,运费都是10 040元;当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C乡40吨,运往D乡260吨,运费最少.。

专题训练7：一次函数中的最值问题

专题训练7：一次函数中的最值问题
问题1：在燃气管道l上修建泵站，分别向A、B两城镇供气。

要使所用的输气管线最短，泵站应该修建在什么地方？
问题2：已知点A（4，3）和点B（0，1）。

若点C是x 轴上的动点，当AC+BC的值最小时，求C点的坐标。

问题3：已知点A（4，3）和点B（0，-1）。

若点C是x 轴上的动点，当AC-BC的值最大时，求C点的坐标。

问题4：已知点A（4，3），点B在直线x=5上，点C在直线y=-x+4上。

当△ABC的周长最小时，求点B和点C的坐标。

问题5：已知点A（4，3）和点B（1，2）。

若点C在y 轴上，点D在x轴上，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。

问题6：已知点A（4，3）和点B（1，2）。

若点C、D 是x轴上的两点，且CD=1，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。

问题7：已知点A（4，3）和点B（-1，-2）。

若点C在直线y=2上，点D在x轴上，且CD⊥x轴，当四边形
AC+CD+BD最小时，求点C和点D的坐标。

一次函数最值问题

一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

对于一次函数，其斜率为 k。

1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。

因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。

函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。

2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。

因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。

函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。

需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。

在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。

利用一次函数的性质解最值问题

利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。

一次函数应用最值专题

利用一次函数求最值1.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。

小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。

小强：如果以13元/千克的价格销售，每天可获取利润750元。

小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系。

（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】2.市阜城县西瓜产地组织20辆车装运完A 、B 、C 三种西瓜共120吨到外地销售，按计划，20辆汽车都装运，每辆汽车只能装运同（1）设装运A 种西瓜的车辆数为x 辆，装运B 种西瓜的车辆数为y 辆，求y 与x 的函数关系式。

（2）如果装运每种西瓜的车辆数都不少于三辆，车辆的安排方案有那几种，求出来。

（3）要使此次利润最大，应采取哪套方案?并求出最大利润。

3. 种植草莓大户张华现有25吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售25吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x （吨）之间的函数关系式；（１）怎样安排这25吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．一次函数方案设计问题1.某种子商店销售一种小麦种子，为促销，推出了两种销售方案供采购者选择。

方案一：小麦种子的价格为4元/千克，无论购买多少均不打折。

方案二：购买3kg 以内（含3kg ），价格为5元/千克；若一次性购买超过3kg ，则超过3kh 的部分价格打七折。

一次函数知识点最值

一次函数最值的求法“一次函数最值问题”既是一次函数的应用,又是中考的热点问题。

其中利润问题的“何时费用最低？何时利润最高？”等问题是一个现实生活中的最值问题。

也是考试的高频题目。

在解题过程中，需要将实际问题转化为数学问题，构造数学模型，构建目标函数，通过一次函数的y随着x的变化趋势，可使问题得以解决。

一次函数y=kx+b中，x、y的取值范围是一切实数．如果缩小x的取值范围，一次函数值就会有最大值或最小值一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与函数解析是中k值的大小以及x的范围相关。

⑴k＞0时，y随x增大而增大．因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值．⑵k＜0时，y随x增大而减小．因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值．k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：求一次函数的最大值与最小值，采用“极端值法”．即用x的端点值，根据函数的k 值，对应求出函数的最值。

例题：某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分）1010 350 30 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？解：（1）设生产一件甲种产品需x 分钟，生产一件乙种产品需y 分钟，由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：1520x y =⎧⎨=⎩所以生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟．（2）设生产甲种产品共用了x 分钟，生产乙种产品需用(25860)x ⨯⨯-分钟，则生产甲种产品15x 件，生产乙种产品2586020x ⨯⨯-件． 258601.5 2.81520x x w ⨯⨯-∴=⨯+⨯总额120000.1 2.820x x -=+⨯ 0.116800.14x x =+-0.041680x =-+∵6015x ≥， ∴900x ≥∵-0.04<0∴当x 取最小值900时w 取得最大值为0.0490016801644w =-⨯+=（元）甲生产了9006015=（件），乙生产了25860900120009005552020⨯⨯--==（件）所以小王该月最多能得到1644元,此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件.。

中考数学最值问题总结

中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点，通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。

以下是一些常见的最值问题及解决方法：1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。

如果二次函数的开口向上，那么在顶点处取得最小值（当x<0时），在x轴上取得最大值（当x>0时）。

如果二次函数的开口向下，那么在顶点处取得最大值（当x<0时），在x轴上取得最小值（当x>0时）。

2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。

如果一次函数是递增的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值，最小值是当x取最小值时的函数值。

如果一次函数是递减的，那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值，最小值是当x取最大值时的函数值。

3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先确定不等式的取值范围，然后利用不等式的性质来求最值。

如果是不等式左边是一个定值，右边是一个变量的形式，那么当变量取最大或最小值时，不等式取得最值。

如果是不等式两边都是变量，那么需要利用不等式的性质来求解。

4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。

解决这类问题的一般步骤是：首先将代数式进行化简，然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。

如果代数式中包含有二次项，那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。

如果代数式中包含有绝对值，那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。

解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法，包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等，同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。

一次函数利润最值问题

一次函数利润最值问题一、某公司生产一种产品，每件的成本为10元，售价为x元，每月可销售(1000 - 10x)件。

为了最大化月利润，售价应定为多少元？A. 50元B. 40元C. 30元D. 20元（答案：C）二、一家餐厅每天能准备500份套餐，每份套餐的成本为8元，售价为y元，每天未售出的套餐会损失成本。

若希望日利润最大，每份套餐的售价应设为多少元？A. 12元B. 10元C. 16元D. 8元（答案：C）三、某书店购进一批图书，每本进价15元，售价为z元，预计销售量与售价成反比，当售价为20元时，预计销售量为400本。

为了实现最大利润，每本书的售价应定为多少元？A. 25元B. 22.5元C. 20元D. 17.5元（答案：A）四、一家服装店以每件20元的价格购进一批服装，售价为a元，每月可销售(800 - 20a)件。

为了最大化月利润，每件服装的售价应定为多少元？A. 30元B. 40元C. 25元D. 35元（答案：A）五、某工厂生产一种零件，每件的成本为5元，售价为b元，每天能生产1000件，但销售量与售价成反比。

为了实现最大日利润，每件零件的售价应设为多少元？A. 7.5元B. 10元C. 5元D. 12.5元（答案：B）六、一家咖啡店每杯咖啡的成本为3元，售价为c元，每天能卖出(500 - 5c)杯。

为了实现最大日利润，每杯咖啡的售价应定为多少元？A. 6元B. 9元C. 12元D. 15元（答案：A）七、某花店购进一批鲜花，每束进价10元，售价为d元，预计每天的销售量与售价的关系为：销售量 = 200 - 10d。

为了实现最大日利润，每束鲜花的售价应定为多少元？A. 15元B. 12元C. 18元D. 10元（答案：A）八、一家电子产品店以每台80元的价格购进一批电子产品，售价为e元，每月可销售(1000 - 5e)台。

为了最大化月利润，每台电子产品的售价应定为多少元？A. 120元B. 160元C. 100元D. 140元（答案：D）。

4个一次函数最值问题

1、某蒜薹（tai ）生产基地喜获丰收收蒜薹200吨。

经市场调查，可采用批发、若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y （元），蒜薹零售x （吨）且零售量是批发量的1/3（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80吨，求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。

解：（1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则y=3x(3000-700)+x·（4500-1000）+（200-4x ）·（5500-1200） =-6800x+860000，（2）由题意得 200-4x≤80 解之得 x≥30 ∵y=-6800x+860000 k=6800＜0 ∴y 的值随x 的值增大而减小当x=30时，y 最大值=-6800×30+860000=656000元2、某化工厂现有甲种原料7吨，乙种原料5吨，现计划用这两种原料生产两种不同的化工产品A 和B 共8吨，已知生产每吨A ，B 产品所需的甲、乙两种原料如下表：销售A ，B 两种产品获得的利润分别为0.45万元/吨、0.5万元/吨．若设化工厂生产A 产品x 吨，且销售这两种产品所获得的总利润为y 万元．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）问化工厂生产A 产品多少吨时，所获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）据题意得： y=0.45x+（8-x ）×0.5 =-0.05x+4又生产两种产品所需的甲种原料为：0.6x+1.1×（8-x ），所需的乙种原料为：0.8x+0.4×（8-x ）则可得不等式组⎩⎨⎧≤-+≤-+5)8(4.08.07)8(1.16.0x x x x 解3.6≤x ≤4.5（2）因为函数关系式y=-0.05x+4中的k=-0.05＜0，所以y随x的增大而减小．则由（1）可知当x=3.6时，y取最大值，且为3.82万元．答：化工厂生产A产品3.6吨时，所获得的利润最大，最大利润是3.82万元3、宏志中学八年级300位同学给灾区90名同学捐赠一批学习用品，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒，书包和文具盒的单价分别是54元和12元。

专题14 一次函数中的最值问题(解析版)

∴
，即
，
∴PB
m．
故答案为：
m．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似
第 1页（共 25页）
的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．
2．如图，点 P 在第一象限，△ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之
第 5页（共 25页）
∴直线 A1B 的函数解析式为 y＝1.5x+2，把 P 点的坐标（n，0）代入解析式可得 n ． ∴点 P 的坐标是，．
【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
4．如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 6，点 A、C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，
【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大． 2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，），点 C 的
第 3页（共 25页）
坐标为（，0）点 P 的斜边 OB 上一个动点，则 PC+PA 的最小值为（）
A．
B．
C．
D．2
【思路点拨】作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N，则此时
△ABC，∠BAC＝90°．
（可能用到的公式：若 A （ x1 ， y1 ）， Bx2 ， y2 ）， ①AB 中点坐标为（
，
）；
②AB
）
（1）求线段 AB 的长；
（2）过 B、C 两点的直线对应的函数表达式．

一次函数的最值问题

一次函数的最值问题★最值型函数应用题在一次函数应用题中, 求最值应用题综合性较强，难度较大。

此类题要注意将复杂问题转化为几个简单问题，步步深入，由易到难地寻求解答，建立正确的函数解析式，并注意自变量的的范围，这是解题的关键。

1、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（1）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；（2）如何配制这两种饮料，使成本最低？最低成本是多少？2、种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式；(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．3、为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗。

某树苗公司提供如下信息：信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。

信息二：如下表设购买杨树、柳树分别为x株、y株。

（1）写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：（2）当每株柳树的批发价P等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？（3）当每株柳树批发价P（元）与购买数量y（株）之间存在关系P＝3－0.005y时，求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。

最值问题19种题型

最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。

在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。

下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。

1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。

解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。

4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。

解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。

5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。

解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。

9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。

解法一般是使用线性规划的方法进行求解。

10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。

解法一般是使用几何知识和公式进行计算。

11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。

解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。

12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。

解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。

13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。

人教版初中数学八下小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题

（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多？解：（2）设购进A型车m辆，总利润为w元. 根据题意，得60－m≤2m，解得m≥20. w＝（1 600－1 100）m＋（2 000－1 400）（60－m）＝－100m＋36 000. ∵－100＜0，∴w随着m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最大值，此时购进A型车20辆，B型车40辆. 答：购进A型车20辆，B型车40辆时，才能使这批自行车售出后获利最多.
2.某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400
元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20％.
（注：下表是A，B两种型号车今年的进货价和销售价）
型号
A型车
B型车
进货价
1 100元/辆
1 400元/辆
销售价
x元/辆
2 000元/辆
（1）设今年A型车每辆销售价为x元，求x的值；
65
20
成套售价/ （元·套－1）
78
已知该家纺专卖店计划购进此款枕芯和枕套的总数量不超过70个，且枕芯的数量比枕套数量的2倍多10个.若将一半的枕套配上枕芯成套（一个枕套配一个枕芯）销售，其余均以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
答：当购进枕套20个，枕芯50个时，才能获得最大利润，最大利润是1 030元.
小专题（十九）一次函数的应用——最值问题
1.某小区对广场进行改造，在广场周边种植景观树，通过市场调查，3棵甲景观树与 1棵乙景观树的种植费用为570元；1棵甲景观树与2棵乙景观树的种植费用为390 元. （1）甲、乙两种景观树每棵的种植费用分别为多少元？

一次函数最值问题

专题：一次函数最值问题

初中数学一次函数的最值问题

例析一次函数最值问题

【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)

方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题

专题训练7：一次函数中的最值问题

一次函数最值问题

利用一次函数的性质解最值问题

一次函数应用最值专题

一次函数知识点 最值

中考数学最值问题总结

一次函数利润最值问题

4个一次函数最值问题

专题14 一次函数中的最值问题(解析版)

一次函数的最值问题

最值问题19种题型

人教版初中数学八下 小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题

【数学中考一轮复习】一次函数的最值应用(含答案)

一次函数知识点最值

人教版初中数学八下小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题