一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
初中数学一次函数的最值问题
初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。
但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。
图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。
图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。
图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。
（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。
解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。
②当时，，此时y的值大于4400。
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。
（2）设取奶站建在距A楼xm处。
①当时，，解得（舍去）。
②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。
（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。
②当时，，解得，当a增大时，x增大。
例析一次函数最值问题
—
彩 电
１
— —
冰 箱
１
— —
１
—
—
２
３
４
产值 （ 元１
４ ０ ０ ０
３０ ０ ０
２０ ０ ０
问 ： 周 生 产 空 调 器 、 电 、 箱 各 多 少 台 ， 能 使 总 产 值 最 高 ？ 高 每 彩 冰 才 最
总产值 是 多少 ？ 解 析 ： 据 表 中 提 供 的 关 系 ， 没 出 未 知 数 ， 出 相 应 的 式 子 ， 寻 根 先 列 再
备 每 周 （ １ ０个 Ｔ 时 计 算 ） 产 空 调 器 、 电 、 箱 共 ３ ０ 台 ， 冰 箱 至 按 ２ 生 彩 冰 ６ 且
少 生 产 ６ 台 ．已 知 生 产 这 些 家 电产 品 每 台 所 需 的 Ｔ 时 和 每 台 家 电 的 产 ０
值 如下 表所示 ．
表 ２
空 调 器
的 运 费 分 别 为 ４０ ０元 和 ５ ０元 ． ０
没从 Ａ 市 、 市 各 调 运 台 机 器 到 Ｄ 市 ． ２ Ｂ 当 ８台 机 器 全 部 调 运 完 毕 后 ， 求 总 运 费 （ Ｊ 于 （ Ｊ 函数 关 系式 ， 求 元 关 台 的 并 朗化． 也是解 这类 问题 的常用方法 之一． 这
，
一
引
口河
南
张 瑞 红
在 一 次 函 数 的 应 用 题 中 ， 一 类 是 和 一 次 函 数 的 最 大 值 最 小 值 有 关 有 的 ． 际 上 ， 次 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 在 做 决 策 时 用 处 很 大 ． 关 键 是 实 一 其
对 问 题 的 原 始 形 态 进 行 分 析 、 想 、 象 、 括 ， 而 构 建 相 应 的 函数 关 联 抽 概 进 系． 面举几个 较典 型的例 子． 下 例 １ 市 、 市 和 Ｃ 市 分 别 有 某 种 机 器 １ 台 、 ０ 台 和 ８台 ． 决 定 曰 ０ １ 现
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题
方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题1.某学校为积极响应政府“三城同创”的号召,绿化校园,计划购买A,B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)y与x的函数解析式为y= (其中0≤x≤21);(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.2.某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用当地盛产的甲.乙两种原料开发A,B两种商品.为了科学决策,他们试生产A,B两种商品共100千克.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克,生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示.设生产A种商品x千克,生产A,B两种商品共100千克的总成本为y元,解答下列问题: (1)求y与x的函数解析式,并求出x的取值范围;(2)当x= 时,总成本y最小.2.为了落实党的“精准扶贫”政策,A,B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A,B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C 乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元，求总运费的最少值;(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?答案：1(1)y=20x+1470 (2) A11,B10费用1690元 2 (1) 24≤x≤86 (2) 863 (1) A,200 B,300 (2)10040 (3)A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,.y=(20-a)x十25(200- . x)+15(240- x)十24(60+x)=(4-a)x十10040.当0<a<4时,4-a>0,..当x=0时,运费最少是10 040元;当a=4时,运费是10040元;当4<a<6时,4-a<0, .x=200时,运费最少. .当0<a<4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C乡240吨,运往D乡60吨,运费最少;当a=4时,不管A城化肥运往D 乡多少吨,运费都是10 040元;当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C乡40吨,运往D乡260吨,运费最少.。
专题训练7：一次函数中的最值问题
专题训练7：一次函数中的最值问题
问题1：在燃气管道l上修建泵站，分别向A、B两城镇供气。
要使所用的输气管线最短，泵站应该修建在什么地方？
问题2：已知点A（4，3）和点B（0，1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC+BC的值最小时，求C点的坐标。
问题3：已知点A（4，3）和点B（0，-1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC-BC的值最大时，求C点的坐标。
问题4：已知点A（4，3），点B在直线x=5上，点C在直线y=-x+4上。
当△ABC的周长最小时，求点B和点C的坐标。
问题5：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C在y 轴上，点D在x轴上，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题6：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C、D 是x轴上的两点，且CD=1，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题7：已知点A（4，3）和点B（-1，-2）。
若点C在直线y=2上，点D在x轴上，且CD⊥x轴，当四边形
AC+CD+BD最小时，求点C和点D的坐标。
一次函数最值问题
一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
对于一次函数，其斜率为 k。
1. 当 k > 0 时，函数 y = kx + b 是增函数，即随着 x 的增加，y 也增加。
因此，函数的最大值出现在 x 的正无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
2. 当 k < 0 时，函数 y = kx + b 是减函数，即随着 x 的增加，y 减小。
因此，函数的最大值出现在 x 的负无穷大处，此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处，此时 y 的值为 -b。
需要注意的是，由于一次函数的定义域是全体实数，因此其最值是相对于定义域而言的。
在实际情况中，我们可能需要考虑函数的定义域和值域，以及函数的实际应用背景来求解最值问题。
利用一次函数的性质解最值问题
利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质:：(1)当k时,y随x的增大而增大；(2)当k时,y随x的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1)．2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日)．我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2)．设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩．表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117．2470．4438．26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0．151200棉花0．35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式．(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解：（1）由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24－70.44)×20＋(117.24－38．26)×20=2515．6(元)．(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20－x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x＋1200(20－x)＋15x=－400x＋24000．(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0．15x人,种植棉花所需劳力为0．35(20－x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0．15x＋0．35(20－x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20．又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=－400×15＋24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。
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A
7
A B C型3款手机购买60部，每款至少购买8部 且 正好用 购机款61000元，设购A机x，B机y 售价 如下：
型号 进价 售价
A
900 1200
B
1200 1600
C
1100 1300
(1)用含x、y的式子表示购进C机的数量
(2）求y与x的函数关系式
(3）另外支付费用1500元
费的多少？
起点 终点 A
B
M
60 100
AN
35
70 6
种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是 运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查 分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：
销售渠道
每日销量 （吨）
每吨所获纯 利润（元）
省城批发
４
1200
本地零售
１
2000
的利润y 1 与x的函数关系式和每天捕捞获得 的利润y2与x的关系式；（2）如果每天精加 工的水产品和未来得及精加工得水产品全部
出售，那么如何安排生产可使一天所或利润 最解大:(1？).y 最=7大20x是多少？(2).y=210800-xx≥+060000
x≥0 50(200-x)-40x≥0 所以：0≤x≤111 因为函A 数y随x的增大而增大，所以当 9 x=111时，y有最最大值，y=79980元
（1）求一天中加工面条所获利润y1 (元)； （2）求一天中剩余面粉所获利y (元)；
（3）当x为何值时，该厂一天中所获总利润 y(元)最大？最大利润为多少？
A
10
答案：解：（1）y =240x
• （2）y =2400-200x
(3) x≥0
20-x≥0
12000-1000x≥0 所以：0≤x≤12 因为：y=y +y =240x+(2400-200x) 即： y＝40x+2400
y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)
化简得：y=4x+10040(0≤x≤200)
∵ k=4＞0 ∴ y随x的增大而增大 ∴当x=0时，y有最小值10040 答：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨; 从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨,此 时总运费最少，总大型电子计算机若干台， 北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现决 定给重庆8台，汉口6台， 假定每台计算机的运费如下 表所示：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？ （2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？
⑶ 在（2）的条件下，哪一种调运方案运费最省？ 请说明理由。
A
5
1、 预防“非典”期间，某种消毒液A市需 要6吨，B市需要8吨，正好M市储备有10吨， N市储备有4吨，预防“非典”领导小组决定 将这14吨消毒液调往A市和B市，消毒液每吨 的运费价格如下表。设从M市调运x吨到A市。 （1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的
函数关系式； （2）求出总运费最低的调运方案，最低运
• 例2.某面粉厂有20名工人，为获得更多利润， 增设加工面条项目，用本 厂生产的面粉加 工成面条（生产1千克面条需用面粉1千 克）。每人每天平均生产面粉600千克，或 生产面条400千克，将面粉直接出售每千克 可获利0.2元，加工成面条后出售每千克面 条可获利0.6元，若每个工人一天只能做一 项工作，且不计其他因素，设安排x名工人 加工面条。
某工程要招聘甲、乙两种工种的工人共150人， 甲种工每月的工资为600元，乙种工每月工资 1000元，要求乙种工的人数不少于甲种工的2 倍，如果设招聘甲种工人x人每月所付的总工 资额为y元， （1）求y与x的函数关系式 （2）问甲乙两种工种的工人各招聘多少名时， 每月所付的工资总额最少？
A
1
A
2
解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥 料量为x吨，则----------------
汉口 重庆
北京厂 400元 800元
上海厂 300元 500元
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某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计 划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80 套，已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6m， B种布料0.9m，可获利润45元，做一套N型号的 时装需用A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利 润50元，若设生产N型号的时装套数为x，用这批 布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y 元．（1）求y（元）与x（套）的函数关系式， 并求出自变量的取值范围；（2）该服装厂在生 产这批时装中，当N型号的时装为多少套时，所 获利润最大？最大利润是多少？
当x=12时，y有最大值y=2880 所以:当x=12时，该厂一天获得的利润 最大，最大为2880元。
A
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①：求利润P与x之间的函数关系
②：求利润最大值，并且写出此时购进三款手机的数量
A
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3.某水产品养殖加工厂有200名工人，每名工
人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日所捕
捞的水产品40kg进行精加工。已知每千克水
产品直接可获利6元，精加工后再出售，可获
利18元。设每天安排x名工人进行水产品的
精加工。（1）求每天做水产品精加工所获得
受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须 在10日内售出． （１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售， 请写出销售22吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零
售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式； (2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并