高一数学必修4课件 1.2 任意角的三角函数 1 人教版

π cos 250° 2） tan( −672°（3） sin − ) ） （1） ） （ ） 4
练习 确定下列三角函数值的符号
16 cos π 5
−
4π ) sin( − 3
tan( −
+
−
17 π) 8
18
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
求下列三角函数值： 例5 求下列三角函数值： 9π 11 π （1） cos 4 ） （2） tan( − 6 ) ）
2 若lg(sinα⋅ α)有意义，则α是（ C ） α⋅tanα 有意义 有意义， α⋅ A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 第一或第四象限角或 轴的正半轴 3 已知α的终边过点(3a-9,a+2),且cosα<0, 已知α的终边过点 且 α -2<a<3 sinα>0,则a的取值范围是 。 α 则 的取值范围是
r = x2 + y2 > 0 点 P 与原点的距离 y y 那么① 那么① 叫做 α 的正弦，即 sin α = 的正弦， r r
x x 的余弦， ② r 叫做 α 的余弦，即 cosα = r y α 的正弦，即 tanα = y (x ≠ 0) ③ x 叫做 的正弦， x
任意角 α的三角函数值仅与 边上的位置无关. 边上的位置无关
金太阳教育网
新课引入
品质来自专业 信赖源于诚信
1.在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐标表示锐角 在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐标表示锐角 三角函数？ 三角函数？
P
a
O y
α
b
M
x
3
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
1
金太阳教育网
复习回顾
品质来自专业 信赖源于诚信
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
sin α =
cos α =
tan α =
O
α
b
M
a c b c a b
2
9π π π 2 = cos( + 2π ) = cos = ：（1） 解：（ ）cos 4 4 4 2 11 π π π π 3 tan( ) = tan( − 2π ) = tan = tan = （2） − ） 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值
19π tan = 3
3
31 π tan( − )= 4
7
实例剖析 金太阳教育网

品质来自专业 信赖源于诚信
例1：如图已知角 的终边与单位圆的交点是 ， P ( − 1 , 3 ) ：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 2 2 求角α的正弦 余弦和正切值。 的正弦、 求角 的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义： 根据任意角的三角函数定义
16
金太阳教育网
如果两个角的终边相同， 如果两个角的终边相同，那么这两个角的
品质来自专业 信赖源于诚信
同一三角函数值有何关系？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( α + k ⋅ 2π ) = sin α cos(α + k ⋅ 2π ) = cosα tan(α + k ⋅ 2π ) = tanα
5
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？ 取特殊值将表达式简化呢？ 能否通过 取特殊值将表达式简化呢
若 OP = r = 1，则以原点为圆心,以单位 以原点为圆心,
Y
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
长度为半径的圆叫做单 位圆. 位圆.
P(a,b)
MP sin α = OP
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
sin α = y；
y α 的正切，记作 tan α ，即 tanα = y (x ≠ 0) 。 （3） 叫做 的正切， ） x x α的终边 α的终边
y
的余弦， （2）x 叫做 α 的余弦，记作 cos α 即 ） ，
cosα = x ；
如果改变点Ｐ在终边上的位置， 三个比值会改变吗 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
∆ OMP ∽ ∆ O M ′P ′
P′
P(a,b)
﹒
M
MP sin α = OP
OM cos α = OP
x
α
O
M ′P ′ = OP′ ′ OM = OP′
M′
MP = M ′P′ tan α = OM ′ OM
品质来自专业 信赖源于诚信
② 证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式 sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或 第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角 θ 的终边可能位于第 一或第三象限. 一或第三象限 因为①②式都成立， ①②式都成立 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角 θ 的终边只能位于第三象限 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
例2
求
π 的正弦、余弦和正切值 的正弦、余弦和正切值.
3
1 − 3 ) ( , 2 2
品质来自专业 信赖源于诚信
3 5π ，易知 ∠ AOB 在直角坐标系中， 解：在直角坐标系中，作 ∠AOB =
，
的终边与单位圆的交点坐标为 5π − 3 5π 1 cos = = 所以 sin 3 2 3 2 y
5 π 3
y
1 3 P (− , ) 2 2
3 sin α = 2
tan α = − 3
1 cos α = − 2
O
x
点评：若已知角 的终边与单位圆的交点坐标 的终边与单位圆的交点坐标， 点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。 定义求三角函数值。
8
金太阳教育网 5
(−12)
2
+ 52 =13
x 12 cosθ = = − r 13
13
探究： 探究：
sin α cos α tan α
（ （
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信 定义域 值域
1.三角函数的定义域和值域 三角函数的定义域和值域
三角函数
α α ≠ kπ + , k ∈Z 2
10
金太阳教育网
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标， 点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 可根据三角形相似将问题化归到单位圆上， 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
品质来自专业 信赖源于诚信
定义推广： 定义推广：
是一个任意角， 是终边上的任意一点， 设角 α 是一个任意角，P(x, y)是终边上的任意一点，
α有关，而与点 P 有关， 在角的终
11
金太阳教育网
巩固提高
品质来自专业 信赖源于诚信
2 2 , ) 求角α的 练习1 已知角α 练习1：已知角α的终边经过点 P (− ，求角α 2 2 正弦、余弦和正切值。 正弦、余弦和正切值。
7π 2.利用三角函数的定义求 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值 6 7π 1 si n =− , 6 2 7π − 3 cos = , 6 2 7π 3 tan = 6 3
P(x, y) ﹒
O
所以，正弦，余弦， 所以，正弦，余弦，正切都是 角为自变量， 单位圆上点的 上点的坐 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数 为函数值的函数， 标或坐标的比值为函数值的函数， x 我们将他们称为三角函数 三角函数. A(1,0) 我们将他们称为三角函数
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. 即为三角函数的定义域
金太阳教育网
α
品质来自专业 信赖源于诚信 的正弦、 的正弦、余弦
y
设角 α 的终边与单位圆交于 P ( x , y ) ， P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
M0P = 4 0
OM0 = 3 ∆ OMP ∽ ∆ OM 0 P0
OM = − x MP = − y
R Rπ
[−1,1] [−1,1] R
（ （
+） +
o
y
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号 y
（
x
−） （ +）
o
−）
o
y
（
+）
x
−）（ −）
sin α
（
−） （ +） cos α
x
） +tan （ −） α
14
金太阳教育网
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角
12
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
练习3. 练习 已知角 θ 的终边过点 P(−12,5) ， 求
θ 的三个三角函数值 的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得： 由已知可得：
r= x +y =
y 5 于是， sin θ = = r 13
y 5 tanθ = = − x 12