2.4抛物线的简单几何性质导学案
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
高二数学组 抛物线的简单几何性质导学案(林祖成)
2.3.2《抛物线的简单几何性质》导学案高二数学组 林祖成编制教学目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质；2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题；3.培养学生分析、归纳、推理等能力.教学过程(一)情景引入抛物线在光学、物理学和建筑学等领域的应用，引出学习抛物线知识的必要性.(二)课前自主回顾1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .2、抛物线的标准方程： 22y px（三）探索新知1、类比探索结合抛物线22(0)y px p =>的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率(5)焦半径(6)通径通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
2、拓展探索探究p 到抛物线图象有怎样的影响 在同一个直角坐标系中画出22221,,2,4.2y x y x y x y x ====图象，并观察.结论：_______________________________________________3、形成知识特点：(请同学们归纳总结)1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线；2．____________________________________________________________；3．____________________________________________________________；4．____________________________________________________________；5．____________________________________________________________；（四）理论迁移例1.顶点在坐标原点,对称轴是x 轴,并且过点(2,M -,求它的标准方程.【变式1】顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点(2,M -,满足条件的抛物线有几条，求它的标准方程.例2.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长.解这题,你有什么方法呢?【变式2】（抛物线的弦点弦的性质探究）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、两点 问题1:若l 的倾斜角α，则22||sin p AB α=问题2:焦点弦中，通径最短.问题3:求证221212,4p x x y y p ==-归纳：抛物线的焦点弦的常用性质（1）焦点弦公式：12||AB x x p =++；（2）___________________________________________；（3）___________________________________________；（4）___________________________________________；（5）___________________________________________；（五）随堂检测1.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )A.x 2＝±3yB.y 2＝±6xC. x 2＝±12yD.y 2＝±6y2.设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( ) A. 2p B.p C.2p D.无法确定3.过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为___.4 .直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________________.5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ∙ 的值是( )A. 12B. 12-C. 3D. 3-（六）课堂小结、布置作业教材P72 练习1，3教材P73 A 组 2，4，6。
学案11：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课堂导学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例1】在抛物线x 2=8y 上求一点P ，使得P 点到焦点的距离与P 点到定点A （1，3）的距离之和最小，并求出这个最小距离.解析：过A 作直线l 与准线垂直交于点A′，与抛物线交于点P ，则P 点即为所求. 将P （1，y ）代入x 2=8y 中，则y=81. 且最小距离d=5.温馨提示要充分利用抛物线的定义和几何知识.二、焦点弦问题【例2】已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.分析:弦所在的直线经过焦点（1，0），只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.解析:由题意可设弦所在的直线的斜率为k ，且与抛物线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点.∵抛物线y 2=4x 的焦点F （1，0），∴直线方程为y=k （x-1）.由⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 整理得k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0.∴x 1+x 2=2242kk +. ∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=2242k k ++2. 又|AB|=36， ∴2242kk ++2=36， 解得k 2=81，即k=±42. ∴所求直线方程为y=42（x-1）或y=-42（x-1）. 温馨提示（1）此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k ，但是计算复杂，一般不采用.（2）也可以利用弦长公式|AB|=21k +|x 1-x 2|来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.（3）因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到|AB|=x 1+x 2+p ，解起来更简捷.三、直线与抛物线的位置关系【例3】直线l ：y=kx+1，抛物线C ：y 2=4x ，当k 为何值时l 与C 有（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.解析:将l 和C 的方程联立⎩⎨⎧=+=,4,12x y kx y 消去y ，得k 2x 2+（2k-4）x+1=0.（*） 当k=0时，方程（*）只有一个解x=41， ∴y=1.∴直线l 与C 只有一个公共点（41，1），此时直线l 平行于对称轴. 当k≠0时，方程（*）是一个一元二次方程.（1）当Δ＞0，即k ＜1，且k≠0时，l 与C 有两个公共点，此时称直线l 与C 相交；（2）当Δ=0，即k=1时，l 与C 有一个公共点，此时称直线l 与C 相切；（3）当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时称直线l 与C 相离.综上所述，可知：当k=1或k=0时，直线l 和C 有一个公共点；当k ＜1，且k≠0时，直线l 和C 有两个公共点；当k ＞1时，直线l 和C 没有公共点.温馨提示一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的（如右图）.因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件.各个击破类题演练 1给定抛物线y 2=2x,设A(a,0)（a ＞０），P 是抛物线上的一点，且｜PA ｜=d,试求d 的最小值.解:设P(x 0,y 0)（x 0≥0），则y 02=2x 0. ∴d=|PA|2020)(y a x +- =.12)]1([2)(20020-+-+=+-a a x x a x∵a＞０,x 0≥0，∴(1)当0＜a ＜1时，1-a ＞0，此时当x 0=0时，d min =12)1(2-+-a a =a. （2）当a≥1时，1-a≤0，此时当x 0=a-1时，d min =12-a .变式提升 1抛物线y 2=2px 动弦AB 长为a （a≥2p），弦AB 中点到y 轴最短距离是（ ） A.2a B.2p C.2a +2p D.2a -2p 答案：D类题演练 2过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点.求证：p FB FA 2||1||1=+. 证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|FA|=x 1+2p ，|FB|=x 2+2p ，|AB|=x 1+x 2+p ，当AB⊥x 轴时，结论显然成立；当AB 不垂直于x 轴时，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2),2(2px y p x k y .消去y 得k 2x 2-p （k 2+2）x+422p k =0， 则x 1+x 2=22)2(kk p +，x 1x 2=42p ， ||1||1FB FA +=||||||||FB FA FB FA +=)2)(2(2121p x p x p x x ++++ =p p x x p x x p x x 24)(22212121=+++++. 变式提升 2A 、B 是抛物线y 2=2px(p ＞0)上的两点，满足OA⊥OB（O 为坐标原点）.求证：（1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB 经过一个定点.证明:（1）设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 12=2px 1，y 22=2px 2.∵OA⊥OB,∴x 1·x 2+y 1·y 2=0,∴y 12·y 22=4p 2x 1·x 2=4p 2·（-y 1y 2).∴y 1·y 2=-4p 2,∴而x 1·x 2=4p 2.结论成立.（2）∵y 12-y 22=（y 1-y 2）（y 1+y 2）=2p(x 1-x 2), ∴2121212y y p x x y y +=--. 则直线AB 的方程为y-y 1=212y y p +(x-x 1), ∴y=212y y p +x-212y y p +·py 221+y 1 =212y y p +x+2121y y y y +∙, 又∵y 1·y 2=-4p 2. ∴y=212y y p +x-2124y y p +=212y y p +(x-2p). ∴直线AB 过定点(2p,0).类题演练 3 设双曲线22ax -y 2=1（a ＞0）与直线x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，求a 的取值范围. 解析：由C 与l 相交于两个不同的点， 知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得(1-a 2)x 2+2a 2x-2a 2=0.①所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0)1(84,012242a a a a . 解得0＜a ＜2且a≠1.故a 的取值范围是（0，1）∪（1，2）.变式提升 3设抛物线y 2=2px （p ＞0）上各点到直线3x+4y+12=0的距离的最小值为1，求p 的值.解法一：设M （x 0，y 0）为抛物线y 2=2px 上任意一点，则M 到直线3x+4y+12=0距离为d=|5|1243|00++y x =p103|（y 0+34p ）2+8p-9162p |. 因为d min =1，所以8p-9162p ＞0，即0＜p ＜29且p 103（8p 9102p -）=1， 所以p=821. 解法二：由题意可知，抛物线必在直线3x+4y+12=0的上方.则直线3x+4y+12=0上方且和它相距为1的直线方程为3x+4y+7=0. 由题意⎩⎨⎧=++=.0743,22y x px y .只有一解.消去x 得：p y 232+4y+7=0.由Δ=16-4×p 23×7=0，所以p=821.。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
高中数学 2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 学案
2。
4.2抛物线的简单几何性质(一)教学目标1。
知识与技能：（1）通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题.2。
过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质,理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3。
情感、态度与价值观：（1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.(三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线22(0)=>有那些的几何性质？通过它的形状，你能y px p从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊?活动二：师生交流、进入新知，（20分钟)一、抛物线的简单几何性质1．范围：0x≥,y R∈2．对称性:抛物线关于x轴对称。
3．顶点:坐标原点（0，0）4．离心率:=1e问题3：说出当e满足下列条件时,曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2)当e＞1时，（3)当e=1时。
5。
焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离（即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．6。
由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),若A（x1，y1)、B(x2,y2），则有|AB｜=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时,抛物线的通径|AB｜=2p练习：完成下列表格例3:已知:抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-，求它的标准方程，并用描点法画出图形．问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点2M （，-的抛物线有几条？求出它的标准方程。
抛物线几何性质导学案
§2.4.2抛物线的简单几何性质（导学案）学习目标：1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。
2．能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题。
3．能在对抛物线几何性质的讨论中，体会数形结合的思想与转化。
学习重点：抛物线的简单几何性质及初步运用。
学习难点：抛物线的简单几何性质及初步运用。
预学案1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做_______．定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_______．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程相同点：(1)_______________；(2)____________；(3)________________，垂足与焦点在对称轴上关于_____对称.探究案探究点一、求抛物线标准方程例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点且开口向右，并且经过点)3M，2,4(求它的标准方程，并画出其大致图形．变式1：已知抛物线的顶点在坐标原点，并且经过点)2M，求它的标准方程，并画,2(-2出其大致图形．例2、已知A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的交点为（4,0），动点P 满足,平行于求P点的轨迹方程，并说明轨迹形状。
AP⊥轴，且OPOAx变式2、已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的一点A的横坐标为2，且16FA,求此抛物线的方程。
.=OA探究点二、抛物线性质的应用例3、已知正三角形AOB 的顶点A,B 在抛物线x y 62=上，O 是坐标原点，求三角形AOB 的边长。
变式3：垂直于x 轴的直线与抛物线x y 42=交于A,B 两点，且|AB|=34，求直线AB 的方程。
我的收获你在这堂课学到了什么？训练案1.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.102.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x3.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为( ）A.相交B.相离C.相切D.不确定4．经过抛物线y2=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定5.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .。
抛物线的简单几何性质导学案
宣威九中高二数学选修2-1§§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）导学案编制人：李娇审核人：高二数学组编制时间：2014年11月20日学习目标1．弄懂抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程3. 注意学习中的细节，举一反三的思维。
重点难点1.根据几何性质确定抛物线的标准方程学习方法类比思想，和前面学习的椭圆和双曲线联系。
一、自主学习：（预习教材理P68~ P70找出疑惑之处探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？试试：画出抛物线8=的图形，y x顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程、对称轴、离心率．二、合作探究:例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M-，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M-的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。
已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置。
例3、斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．三、展示提升：练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .2、已知点A （-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P= 。
3.过抛物线x y 82=的焦点,作倾斜角为045的直线,则被抛物线截得的弦长为_________4.垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于A 、B,且|AB|=4,求直线AB 的方程.（四）课后反思小结：（五）作业：P72 第1题 第3题本节课我最大的收获是： .45我存在的疑惑有：达标检测1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．A ．212y x = B ．2y x = C ．22y x = D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．A ．220y x =B ．220x y =C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB = ．。
人教版高中数学选修(2-1)-2.4《抛物线的简单几何性质》参考教案2
2.3.2抛物线的简单几何性质一、教材分析《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学选修系列中的内容。
本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容。
本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法。
另外本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，对于训练学生用坐标法解题起着相当重要的作用。
对于抛物线的几何性质的应用是学生学习的重点，在教学过程中应予以特别关注，本节内容的学习，既是前面所需知识的深化和拓展，优势提高学生解决现实问题能力的一种途径。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标①理解抛物线的几何性质②与抛物线有关的轨迹的求法；直线与抛物线的位置关系2.能力目标①灵活运用抛物线的性质②养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力3.情感目标①训练学生分析问题、解决问题的能力②培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力三、重难点分析根据学生对已有知识的掌握和对学生认识能力的分析，根据以上目标和大纲需求确定重难点：重点：①掌握抛物线的几何性质②根据给出的条件求出抛物线的标准方程难点：抛物线各个几何性质的灵活应用四、教法、学法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
学法上：教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心。
抛物线的简单几何性质 学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的简单几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标O (0,0)离心率 e ＝1 通径长2p直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三 焦点弦的性质已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AF |＝x 1＋p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(1)抛物线没有渐近线．(√)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .(×)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)类型一 抛物线方程及其几何性质例1 (1)顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 D解析 顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .(2)顶点在原点，经过点(3，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________． 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 y 2＝123x 或x 2＝－12y解析 若x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝123，故所求抛物线的标准方程为y 2＝123x .若y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①定义法：根据定义求p ，最后写标准方程． ②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．跟踪训练1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 解 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，准线l ：x ＝－a 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪a 2·2|a |＝4，∴a ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x . 类型二 焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0， 解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．跟踪训练2 如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长解 (1)由焦点F (1,0)，得p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线l 的方程为y ＝43(x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254，所以线段AB 的长为254.类型三 直线与抛物线位置关系例3 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k ＞1时，l 与C 没有公共点． 引申探究求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解 (1)若直线斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点． (2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或x －2y ＋2＝0.反思与感悟 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k 2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练3 (1)已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点 C ．直线和抛物线有一个或两个公共点 D ．直线和抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．(2)(2017·牌头中学期中)抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为____．答案 (－2,4) (1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 答案 C解析 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上， 故－p2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列也成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3. 因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 易知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即(2p )2－4×(－p 2)＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案41解析 圆心C (－3，－4)，由抛物线的定义知，m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即(－3－2)2＋(－4)2＝41.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1.(2017·嘉兴一中期末)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B ．2C ．4D ．8 答案 B2．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，∴p ＝8. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3 考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义，得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．(2017·牌头中学期中)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10 答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积为12m |a －b |＝|a －b |＝⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和为⎪⎪⎪⎪9a 8＋⎪⎪⎪⎪2a ≥29|a |8×2|a |＝3，当且仅当9|a |8＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B. 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.二、填空题8．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是____________．考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．9．(2017·嘉兴一中期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案 32210．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k . 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内，∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14. 三、解答题11．(2017·嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2.∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ， 得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， ∴|AB |＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的值；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得x 2－3x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5×32－4×1＝5.方法二 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4ky －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，∴OA →·OB →是一个定值．四、探究与拓展14．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p 8 解析 由题意，知直线l 过⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )，所以直线l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.设另一交点坐标为(x 1，y 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p 8. 15．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|P A |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|P A |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0,0)，最短距离是23. (2)同(1)求得|P A |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x ＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，|P A |2min ＝2a －1，解得|P A |min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，|P A |2min ＝a 2，解得|P A |min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1，a ≥1，|a |，a ＜1.。
《2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)》导学案(新部编)5
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）》导学案5一．学习目标：1、会类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的几何性质；2、会解决与抛物线几何性质有关的问题。
二.重点、难点：抛物线几何性质的应用三.自学指导：导读：阅读课本6968P P -导思：据抛物线()022>=x px y 研究其几何性质：1.由方程()022>=p px y 可知，其上任一点M （x,y ）中，x 0,所以这条抛物线在 ，当x 增大时，这说明抛物线向右上方和左下方 .2.以-y 代y ，方程()022>=p px y ，说明抛物线以 为对称轴.3. 叫做抛物线的顶点，在方程()022>=p px y 中，其顶点坐标为 .4. 叫做抛物线的离心率，离心率e= .5.抛物线()022>=p px y 的开口大小受 的影响，如何影响？6.完成下列表格：（可在笔记本仿此表归纳总结）四、导练展示：1.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M ()22,2-的抛物线有几条，求出它们的标准方程.2.求证：抛物线()022>=p px y 上，任意一点()00,y x P 到焦点F 的距离为20p x PF +=.3. P 为抛物线x y 22=上的动点，Q 为⊙C ：()1322=+-y x 上的动点，则PQ的最小值为 .A 、1B 、2C 、15-D 、54.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长等于32，求这条抛物线的方程.五、达标检测：1.72P 1，22.若抛物线()022>=p px y 上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别是（ ）A 、9,2B 、1,18C 、9,2或1,18D 、9,18或1,2六、反思小结：。
《2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)》导学案1
《抛物线的简单几何性质(1)》导学案学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习重难点重点：掌握抛物线的几何性质；难点：根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程问题：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程______、对称轴______、离心率e =_____合作探究例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长，可用弦长公式求解，也可利用抛物线的定义求解．目标检测1．抛物线2y ax =的准线方程是2y = ， 则a 的值为( ) A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )A 、10B 、8C 、6D 、4 3．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =(0p >)则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没公共点4．已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2211612x y +=的左焦点，则p =______。
高中数学 2.4.3抛物线的简单几何性质导学案 理新人教A版选修2-1
§2.4.3抛物线的简单几何性质学习目标 ：1.提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题．学习重点：抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性.学习难点：直线与抛物线相交问题的综合问题．课内探究案一、新课导学：探究点一 抛物线的标准方程例1: 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．探究点二 抛物线的几何性质例2：:过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．探究点三 抛物线中的定值、定点问题例3：如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．三、当堂检测1．教材73页6,7题,教材74页3题2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32四、课后反思课后训练案1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该点的轨迹是 ( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线2．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________．3．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这条抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．4．求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程．5．A 、B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证直线AB 过定点．。
《抛物线的简单性质》导学案
《抛物线的简单性质》导学案
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2.2抛物线的简单性质
授课
时间
第
周
星期
第
节
课型
讲授新课
主备课人
张梅
学习
目标
依据抛物线图形及标准方程，概括出抛物线的简单性质.掌握性质与图形的对应关系，能依据性质画抛物线简图重点难点
重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及
转化是难点
学习
过程
与方
法
自主学习
【回顾】抛物线的标准方程有：
阅读课本P74至75例5前，回答：标准方程中
①抛物线关于
对称，其对称轴叫作抛物线的轴，抛物线只有
对称轴
②抛物线的范围为
③抛物线的顶点
④抛物线的离心率是指
，即e=
⑤抛物线的通径
2．阅读例5，完成表格：
抛物线方程
焦
点
顶
点
精讲互动：
⑴阅读P75《思考交流》自主完成
⑵自主完成课本P75练习
达标训练：
⑴抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（
）
⑵抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点是椭圆的左焦点，求抛物线的方程
布置
求顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上的抛物线方程
2过抛物线的焦点F作垂直于轴的直线，交抛物线于A、B两点，求以F为圆心，AB为直径的圆的方程
学习小结/教学
反思
课
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高二数学 (新课标人教A版)选修2-1《2.4.2 抛物线的简单几何性质》导学案
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？二、新课导学※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点 (0,)2p -准线2p y =-顶点(0,0)(0,0) 对称轴x 轴离心率试试：画出抛物线28y x =的图形，顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、对称轴 、离心率 ．※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =．三、总结提升※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ；2．求过一点的抛物线方程；3．求抛物线的弦长．※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．A ．212y x = B ．2y x = C ．22y x = D ．24y x = 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．A ．220y x =B ．220x y =C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB= ．1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)P--．2 M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。
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2.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.
【问题讨论】
过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,l为准线，设A（x1,y1）,
2.4.2抛物线的简单几何性质
【学习要求】
知识与技能：掌握抛物线的几何性质及推导过程，掌握抛物线的几何性质的简单应用。
过程与方法：通过抛物线几何性质的探究，让学生掌握数型结合的解题方法
情感态度价值观：通过分析实际问题，培养学生科学的学习态度及严谨的逻辑思维
1.你还记得椭圆和双曲线的几何性质么？
对于y2= 2px（p>0）
1）范围2）对称性
3）顶点4）离心率
其他三种情况性质相应的发生怎样的变化？
【热身练习】：
抛物线y2= 2px（p>0）上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则
（1）这点到准线的距离为，
（2）焦点到准线的距离为，（3）抛物Biblioteka 方程为，（4）这点的坐标是，
（5）此抛物线过焦点的最短的弦长为。
[提升练习]：
的焦点，求BC所在的直线方程。
2.已知抛物线x2=2y,过点Q（0，-2）做一直线交抛物线于A,B两点，试求弦AB中点的轨迹方程。
3.若直线y=kx+b与抛物线x2=4y相交于A,B两点，且|AB|=4，
（1）试用k表示b
（2）求弦AB中点M离x轴的最短距离。
自我挑战
学后反思：
B（x2，y2），弦AB的中点P(x0,y0）,则：
1.AB为直径的圆与准线相切
（1）以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
（2）PP1与抛物线交于Q点，则Q为PP1的中点
1．直线和抛物线的交点情况有几种？
2.抛物线的焦点弦有哪些性质？
例1.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1）l与抛物线有且仅有一个公共点；
2）l与抛物线恰有两个公共点；
3）l与抛物线没有公共点.
例2.已知抛物线：y2=4x,直线l:2x–y+4=0,求抛物线上的点P到直线l的最短距离.
例3.已知正方形ABCD的一边CD在直线y=x+4上,顶点A、B在抛物线y2=x上，求正方形的边长.
1．已知△ABC的三个顶点都在抛物线的y2=32x上，顶点A（2,8），三角形的重心恰好是抛物线