西安交大复变函数课件2-1解析函数的概念
合集下载
复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数西安交大版
所以
lim
z0
f (z0 z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
[证毕]
例3 问f (z) x 2 yi是否连续？是否可导？
解 由上章知识易知，f(z)是连续的.
lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
特别地, 当 f (z) z 时,
dw dz f (z0 ) z
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
2z
(z2 ) 2z
Hale Waihona Puke 例2 讨论f (z) Im z的可导性.
解 f f (z z) f (z)
z
z
Im z Im z Im z Im z
z
z
Im(x iy) y , x iy x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在. 因此，连续不一定可导.
x 0 y
z o
y 0 x
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
复变函数2 解析函数
⎧ ⎪Δu = ux Δx + uy Δy + o ( ρ ) = ⎡ ⎣( aΔx − bΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⇒⎨ ⎪ ⎣( bΔx + aΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⎩ Δv = vx Δx + vy Δy + o ( ρ ) = ⎡
⎧ ux = vy = a , ⇒ f ′(z) = ux +ivx = vy −iuy . ⇒⎨ ⎩ v x = −u y = b .
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
u ( x, y ) = C1 , v( x, y ) = C2 ( C1 , C2为任意常数 )
( ⇐ ) 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)∈ D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是
Δu = u x Δx + u y Δy + ε1Δx + ε 2 Δy Δv = vx Δx + v y Δy + ε 3Δx + ε 4 Δy
（Δx,Δy→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)）
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料
| x| 1 , z
| y z| 1 x z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
f'(z)lim f(zz)f(z)
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim(z)0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
f(z)limf(zz) f(z)
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，
复变函数第二单元复数解析函数
44
第二章解析函数
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim (z z0 )(zn1
zz0
zn2z0 z z0
f (z) ' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
g(z)
g2(z)
, (g(z) 0)
由 以 上 讨 论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面上处处可导； R(z) P(z) 在复平面上（除分母为0外）处处可导.
Q(z)
11 June 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
11 June 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
1010
(3)可导与连续
第二章解析函数
若 w=f (z) 在点 z0 处可导w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证 明: 若f (z)在z0可 导,则 0, 0,
使 得 当0
z
,时,有
f (z0
66
第二章解析函数
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z).
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.
11 June 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
2-1复变函数课件 西安交通大学
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证
复变函数解析函数
(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。
(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
z0
z
[u(xx,y)iv(xx,y)][u(x,y)iv(x,y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u v ixຫໍສະໝຸດ x若沿平行于虚轴z的 z方 式 z(x0)
f(z)limf(zz) f(z)
z0
z
[u(x, yy)iv(x, yy)][u(x, y)iv(x, y)]
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3x4y
其 lx 中 i m 0k0,(k1， 2,3,4)
y 0
u ex siny u v
y v
ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e x cy o is x e siy n f(z ) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
复变函数课件2-1解析函数的概念
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
复变函数 第二章 解析函数
例4 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2)w x3 y3 i(2x2 y 2 )
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x u 0 u v y v x y 1 y
故 w z在 全 平 面 不 可 导 ， 不 析 。 解
形如w u( x, y) iv( x, y)的解析函数，写成 f ( z)的形式时， w
w y 3x y i( x 3xy )
3 2 3
作业： P66 2, 4,8
(2) z 2, z 4 2
4
2k 2k z r cos i sin n n (k 0,1,...,n 1)
n 1 n
§2 函数解析的充要条件
1. 函数解析的充要条件
2. 例题
一. 函数解析的充要条件
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
2
f ( z) | xy |
例5 设函数f ( z ) x axy by i(cx dxy y )
2 2 2 2
,当常数a, b, c, d取何值时函数在复平面 处处解析？
解：
u x axy by , v cx dxy y
2 2 2
2
u u 2 x ay, ax 2by, x y v v 2cx dy, dx 2 y x y
第二章 解析函数
第一节
解析函数的概念
第二节 函数解析的充要条件
西安交大复变函数课件2-1解析函数的概念
解析函数在实际应用中的重要性
解析函数在许多学科和领域中都具有重要的应用价 值，是深入研究的必备基础。
1 黎曼条件
2 洛朗级数
解析函数需满足黎曼条件， 即在其定义域内处处可导。
复变函数可用洛朗级数展 开，表达为无穷级数的形 式。
3 解析函数的充要条件
解析函数需满足黎曼条件， 并且在其定义域内的每一 点处都有洛朗级数收敛。
解析函数的基本性质
与实变函数的关系
复变函数可以看作是实变函数 在复平面上的拓展和推广。
3
积分表示法
解析函数可以通过积分得到，有时可以使用积分表示法构造解析函数。
应用举例
解析函数在物理学中的应用
解析函数在物理学中的应用涉及电磁学、流体力学 和声析函数在数学中的应用包括复变函数论和数学建 模等方面。
总结
解析函数的定义、性质和构造方法
解析函数是复变函数的一种特殊类型，具有一些独 特的性质和构造方法。
复变函数的连续性、 可导性与光滑性
解析函数既连续又可导，且具 有无穷次可导的特性。
最大模定理
如果解析函数在某个区域内取 得了最大值，那么它必须是一 个常数。
解析函数的构造方法
1
利用初等函数构造解析函数
通过使用初等函数，如指数函数和三角函数的组合，可以构造解析函数。
2
利用幂级数构造解析函数
通过展开幂级数，可以得到无穷个项的解析函数。
西安交大复变函数课件21解析函数的概念
在这个课件中，我们将学习复变函数的基本概念和性质，以及解析函数的构 造方法和应用领域。
前置知识复习
复数的定义与运算
复数是由实部和虚部构成的数，可以进行加减乘除等运算。
复变函数的定义与基本性质
《复变函数》(西安交大 第四版)第三讲
(3)
2i
2
称为z的正弦与余弦函数
正弦与余弦函数的性质
1)sin z及cos z是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
sin( z 2 ) sin z
当x 0时, eiy cos y i sin y , 从而得到: eiy cos y i sin y
e iy e iy
eiy eiy
sin y
cos y
2i
2
推广到复变数情形
y R (2)
定义
e zi ezi sinz
e zi ezi cos z
若沿平行于实轴的方式z z z(y 0)
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
[u( x x, y) iv( x x, y)] [u( x, y) iv( x, y)]
lim
x0
x
u( x x, y) u( x, y)
u x
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
u y
v x
2xy ( x2 y2 )2
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
dw u i v dz x x
y2 x2
2 xy
( x2 y2 )2 i ( x2 y2 )2
ii) 验证C-R条件.
iii) 求导数：
f '(z) u i v 1 u v x x i y y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
例4
研究函数
2
f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和
2
h ( z ) z 的解析性 .
解
由本节例1和例3知:
f ( z ) z 在复平面内是解析的
2
;
g ( z ) x 2 yi 处处不解析
下面讨论
2
;
,
2 2
h ( z ) z 的解析性
h( z0 z ) h( z0 ) z
lim
20
所以
z 0
lim
f (z z) f (z) z
不存在 .
即当 z 0 时 , f ( z ) 不可导 ,
因此 f ( z ) 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都不 可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
课堂练习 研究函数 w 的解析性 .
z
1
答案
其中 w g ( z )
(7 )
( w )
,
其中 w f ( z ) 与 z ( w ) 是 函数 , 且 ( w ) 0
10
两个互为反函数的单值
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则
x
6
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
h( z0 z ) h( z0 ) z
2
不存在 .
因此 h ( z ) z 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都 不可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
17
例5 研究函数 w 的解析性 .
z
1
解
因为 w 且 dw dz
1 z
在复平面内除 1 z
2
z 0 处处可导 ,
处处不可导,处处不解析.
21
定理
( 1 ) 在区域 D 内解析的两个函数 和、差、积、商 f (z) 与 g(z)的 ) 在 D 内解析 .
D 内解析 ,
(除去分母为零的点
( 2 ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 函数 w f ( h ) 在 h 平面上的区域 对 D 内的每一个点 于 G , 那末复合函数
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
13
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
第一节
解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 点 , 点 z 0 z 不出 D 的范围 , D , z 0 为 D 中的一
如果极限
那末就称 的导数 ,
记作
z 0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
24
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z 0 可导与在 z 0 解析有无区别 ?
25
思考题答案
f ( z ) 在点 z 0 解析必在
例如 f ( z ) z
2
z 0 可导 ,
反之 0 0 处不解析 .
放映结束，按Esc退出.
26
y y 0 k ( x x 0 ) 趋于 z 0 ,
1 ik x 1 ik x i y 1 i y z x
z
x i y
16
1 i
y
由于 k 的任意性 ,
z z
1 ki 1 ki
不趋于一个确定的值
.
z 0
lim
w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z , 式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分.
0,
故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导 .
(2) z 0,
f (z z) f (z) z
( z z ) Re( z z ) z Re( z ) z
19
z z
[Re( z z ) Re( z )] Re( z z )
令 z x i y ,
f (z z) f (z) z
因为 lim
z
x x i y
x x ,
f (z z) f (z) z f (z z) f (z) z
x 0 y 0
x, z x,
y0 x 0
z 0
z 0
lim
( x x ) 2 ( y y ) i x 2 yi z
x 2 yi x yi
z
o
z 0
y
lim
y 0
x
z 0
设 z z 沿着平行于
x 轴的直线趋向于
z，
5
z 0
lim
x 2 yi x yi
z0 z z0 z
15
( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0
(1 ) z 0 0 , (2 ) z0 0,
z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. z 0 z
z0 z z0
z z
,
令 z 0 z 沿直线
,
z 0 外处处解析 ,
所以 w 在复平面内除
z 0 为它的奇点 .
18
例6 研究函数
f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性
.
解
(1 ) z 0 ,
z 0
lim
f (0 z ) f (0) z
lim
z Re( z ) z
z 0
23
三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数
的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求
导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
lim
x x
x 0
1,
z，
x 0
设 z z 沿着平行于
y 轴的直线趋向于
z 0
lim
x 2 yi x yi
lim
2 yi yi
y 0
2,
y
所以 f ( z ) x 2 yi 的导数 不存在 .
o
z
y 0
f ( z ) g ( z )
(5)
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) . 2 g(z) g (z)
( g(z) 0)
(6)
f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ).
f ( z ) 1
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z , 即
f ( z 0 )
dw dz
z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
12
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 导 , 那末称 f ( z ) 在 z 0 及 z 0 的邻域内处处可
f ( z ) 在 z 0 解析 .
例4
研究函数
2
f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和
2
h ( z ) z 的解析性 .
解
由本节例1和例3知:
f ( z ) z 在复平面内是解析的
2
;
g ( z ) x 2 yi 处处不解析
下面讨论
2
;
,
2 2
h ( z ) z 的解析性
h( z0 z ) h( z0 ) z
lim
20
所以
z 0
lim
f (z z) f (z) z
不存在 .
即当 z 0 时 , f ( z ) 不可导 ,
因此 f ( z ) 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都不 可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
课堂练习 研究函数 w 的解析性 .
z
1
答案
其中 w g ( z )
(7 )
( w )
,
其中 w f ( z ) 与 z ( w ) 是 函数 , 且 ( w ) 0
10
两个互为反函数的单值
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 定义 设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则
x
6
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
h( z0 z ) h( z0 ) z
2
不存在 .
因此 h ( z ) z 仅在 z 0 处可导 , 而在其他点都 不可导 , 根据定义 , 它在复平面内处处不解 析.
17
例5 研究函数 w 的解析性 .
z
1
解
因为 w 且 dw dz
1 z
在复平面内除 1 z
2
z 0 处处可导 ,
处处不可导,处处不解析.
21
定理
( 1 ) 在区域 D 内解析的两个函数 和、差、积、商 f (z) 与 g(z)的 ) 在 D 内解析 .
D 内解析 ,
(除去分母为零的点
( 2 ) 设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 函数 w f ( h ) 在 h 平面上的区域 对 D 内的每一个点 于 G , 那末复合函数
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
13
2. 奇点的定义
如果函数 f ( z ) 的奇点 . f ( z ) 在 z 0 不解析 , 那末称 z 0 为
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
第一节
解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 点 , 点 z 0 z 不出 D 的范围 , D , z 0 为 D 中的一
如果极限
那末就称 的导数 ,
记作
z 0
lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
24
思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z 0 可导与在 z 0 解析有无区别 ?
25
思考题答案
f ( z ) 在点 z 0 解析必在
例如 f ( z ) z
2
z 0 可导 ,
反之 0 0 处不解析 .
放映结束，按Esc退出.
26
y y 0 k ( x x 0 ) 趋于 z 0 ,
1 ik x 1 ik x i y 1 i y z x
z
x i y
16
1 i
y
由于 k 的任意性 ,
z z
1 ki 1 ki
不趋于一个确定的值
.
z 0
lim
w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z , 式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分.
0,
故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导 .
(2) z 0,
f (z z) f (z) z
( z z ) Re( z z ) z Re( z ) z
19
z z
[Re( z z ) Re( z )] Re( z z )
令 z x i y ,
f (z z) f (z) z
因为 lim
z
x x i y
x x ,
f (z z) f (z) z f (z z) f (z) z
x 0 y 0
x, z x,
y0 x 0
z 0
z 0
lim
( x x ) 2 ( y y ) i x 2 yi z
x 2 yi x yi
z
o
z 0
y
lim
y 0
x
z 0
设 z z 沿着平行于
x 轴的直线趋向于
z，
5
z 0
lim
x 2 yi x yi
z0 z z0 z
15
( z 0 z )( z 0 z ) z 0 z 0
(1 ) z 0 0 , (2 ) z0 0,
z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. z 0 z
z0 z z0
z z
,
令 z 0 z 沿直线
,
z 0 外处处解析 ,
所以 w 在复平面内除
z 0 为它的奇点 .
18
例6 研究函数
f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性
.
解
(1 ) z 0 ,
z 0
lim
f (0 z ) f (0) z
lim
z Re( z ) z
z 0
23
三、小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数
的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求
导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多.
lim
x x
x 0
1,
z，
x 0
设 z z 沿着平行于
y 轴的直线趋向于
z 0
lim
x 2 yi x yi
lim
2 yi yi
y 0
2,
y
所以 f ( z ) x 2 yi 的导数 不存在 .
o
z
y 0
f ( z ) g ( z )
(5)
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) . 2 g(z) g (z)
( g(z) 0)
(6)
f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ).
f ( z ) 1
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z , 即
f ( z 0 )
dw dz
z z0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
12
二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 导 , 那末称 f ( z ) 在 z 0 及 z 0 的邻域内处处可
f ( z ) 在 z 0 解析 .