Ch6_高数

= cos t ⋅ ( sin )
2
cos t −1
− ( sin t )
cos t +1
ln sin t.
⑵复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数 复合函数的中间变量既有一元函数 如果复合函数为 z = f u ( x, y ) , x, y , 其中 f 连续偏导, 连续偏导 则有
2y y z xx = 3 fu − 2 ( f u )′ x + y ( y − 1) x y − 2 f v + yx y −1 ( f v )′ x x x
2y y y y −1 = 3 fu − 2 f uu − 2 + fuv yx x x x
所以
∂z ∂z ∂z ∂z y + x = 2 xy − 2 xy ∂x ∂y ∂u ∂v
∂z ∂z −2 xy + 2 xy = 0. ∂u ∂v
g
在多元复合函数的求导法则中, 在多元复合函数的求导法则中 会遇到下面的两种特 殊情况, 分别讨论如下. 殊情况 分别讨论如下
⑴复合函数的中间变量均为一元函数
(
)
= f uu + ( x + y ) f uv + xyf vv + f v .
y y 例6.29 设 z = f , x , 其中 f 有二阶连续偏导 有二阶连续偏导, x
求 z xx , z xy , z yy .
y y 解 令 u = ,v = x , 则 x
y z x = fu u x + f v vx = − 2 f u + yx y −1 f v , x 1 z y = fu u y + f v v y = fu + x y ln xf v , x
x 1 xy x = ye sin + e cos . y y y
xy
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x u u = + = xe sin v − 2 e cos v y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
x x xy x = xe sin − 2 e cos . y y y
xy
例6.22 设 z
ຫໍສະໝຸດ Baidu
= uv ln w, u = x + y, v = y − x,
+ y ( 3x + 2 y )
2
xy 2
ln ( 3 x + 2 y ) .
z y = zu u y + zv v y = vu v −1 ⋅ 2 + u v ln u ⋅ 2 xy
= 2 xy ( 3 x + 2 y )
2 xy 2 −1
+2 xy ( 3 x + 2 y )
xy 2
ln ( 3 x + 2 y ) .
由可微条件, 由可微条件 有
固定 y , 给 x以增量 ∆x, 相应的使函数 u
= ϕ ( x, y ) ,
∂z ∂z ∆z ≈ ∆u + ∆v, ∂u ∂v
及 代入上式, 代入上式
∂u ∂v ∆u ≈ ∆x, ∆v ≈ ∆x, ∂x ∂x 并两端同除以 ∆x, 有
∆z ∂z ∂u ∂z ∂v ≈ + , ∆x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
（6.11） ） （6.12） ）
v = ψ ( x, y )有增量 ∆u , ∆v, 从而复合函数 z = f ϕ ( x, y ) ,ψ ( x, y ) 有增量 ∆z ,
= 2 ( x sin y cos y + y ) e
2
x 2 + y 2 + x 2 sin 2 y
.
有二阶连续偏导, 例6.28 设 z = f ( x + y, xy ) , 其中 f 有二阶连续偏导
∂z ∂ 2 z 求 , . ∂x ∂x∂y
解 令u
= x + y, v = xy,
则有
∂z = fu u x + f v vx = f u + yf v ∂x ∂2 z = ( fu )′ y + f v + y ( f v )′ y . ∂x∂y = fuu + fuv v y + f v + y f vu u y + xf vv
令∆x → 0 取极限即得（6.11）式. 取极限即得（ ）
x ∂z ∂z 例6.21 设 z = e sin v, u = xy , v = , 求 , . y ∂x ∂y
u
解 由公式（6.11）及（6.12）得 由公式（ ） ）
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1 u u = + = ye sin v + e cos v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + . ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
同理证明（ 同理证明（6.12）. ）
g
例6.23 设 解 令u
z = ( 3x + 2 y )
xy 2
, 求 zx , z y .
2
= 3x + 2 y, v = xy
,则 z
= uv.
z x = zu u x + zv vx = vu v −1 ⋅ 3 + u v ln u ⋅ y 2
= 3 xy ( 3 x + 2 y )
2 xy 2 −1
第四节 复合函数的求导法则
本节要点
本节讨论多元复合函数的求导法则. 本节讨论多元复合函数的求导法则
复合函数求导法则
定理6.4 如果函数 u = ϕ ( x, y ) , v = ψ ( x, y )在( x, y ) 可 定理 在对应点有连续偏导数, 微, 函数 z = f ( u , v ) 在对应点有连续偏导数 则复合函 可导, 数 z = f ϕ ( x, y ) ,ψ ( x, y ) 在( x, y ) 可导 且
+ y ( y − 1) x
y−2
f v + yx
y −1
y y −1 f vu − 2 + f vv yx . x
1 y z xy = − 2 f u − 2 ( f u )′ y + x y −1 f v + yx y −1 ln xf v x x
11 2 y y = fuu + x ln xfuv + x ( ln x ) f v x x
1 y + x f vu + x ln xf vv . x
y
定理6.4的证明 定理 的证明 证明 因函数 z
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + α∆u + β ∆v, ∂u ∂v
例6.24 设 z
= f ( x 2 − y 2 , y 2 − x 2 ) , f 有对各个变量
∂z ∂z y + x = 0. ∂x ∂y
的连续导数, 的连续导数 证明
证 令u
= x2 − y 2 , v = y 2 − x2 ,
则
∂z ∂z ∂z = 2x − 2x , ∂x ∂u ∂v
∂z ∂z ∂z = −2 y + 2 y , ∂y ∂u ∂v
求 zx .
w = 1 + xy,
解
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
uv = v ln w ⋅1 + u ln w ⋅ ( −1) + ⋅ y w y ( y 2 − x2 ) = −2 x ln (1 + xy ) + . 1 + xy
+ y +u
, 则有
∂z ∂f ∂u ∂f x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 = + =e 2u sin y + e 2x ∂x ∂u ∂x ∂x
= 2 x ( sin y + 1) e
2 x 2 + y 2 + x 2 sin 2 y
,
∂z ∂f ∂u ∂f x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 + z 2 = + =e 2ux cos y + e 2y ∂y ∂u ∂y ∂y
如果函数 u
= ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) 都在 t 可导, 函数 可导
例6.25 设z = uv 求全导数 解
2
+ arctan w, u = sin t , v = ln t , w = e ,
t
dz . dt
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = + + dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt 1 1 2 = v cos t + 2uv + et t 1 + w2 1 1 2 = cos t ln t + 2 sin t ln t + et . 1 + e 2t t
dz 例6.26 设 z = ( sin t ) , 求 . dt v 解 令 u = sin t , v = cos t , 则 z = u , 由求导公式得
cos t
dz ∂z du ∂z dv v −1 v = vu cos t + u ln u ( − sin t ) = + dt ∂u dt ∂v dt
z = f ( u, v ) 在对应点( u , v ) 具有连续偏导数 则复合函 具有连续偏导数, 可导, 数 z = f ϕ ( t ) ,ψ ( t ) 在点 t 可导 且有
dz ∂z du ∂z dv = + . dt ∂u dt ∂v dt
公式（ 全导数. 公式（6.13）中的导数称为全导数 ）中的导数称为全导数 （6.13） ）
, u都有
∂z ∂f ∂u ∂f = + , ∂x ∂u ∂x ∂x
（6.14） ） （6.15） ）
∂z ∂f ∂u ∂f = + . ∂y ∂u ∂y ∂y
例6.27 设z 解 记z
=e
x 2 + y 2 +u 2
= f ( u , x, y ) = e x
∂z ∂z , u = x sin y, 求 , . ∂x ∂y 2 2 2
+ yx
y −1
′ = − 1 f − y f 1 + f x y ln x ( fv ) y uv 2 u 2 uu x x x
y −1
+x
y −1
f v + yx
ln xf v + yx
y −1
1 y f vu + f vv x ln x . x
1 ′ + x y ( ln x )2 f + x y ( f )′ z yy = ( fu ) y v v y x
= f ( u, v )有连续偏导 有连续偏导,
即有
其中 α
→ 0, β → 0 ρ = 两端同除以 ∆x,
(
( ∆x ) + ( ∆y )
2
2
→0 ,
)
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v ∆u ∆v = + +α +β , ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x ∆x
再由已知条件: 再由已知条件
u, v为可微函数 为可微函数,
从而可导, 从而可导 即有当
∆x → 0 时, 有 ∆u ∂u ∆v ∂z → , → , ∆x ∂x ∆x ∂x 又当 ∆x → 0 时有 ∆u → 0, ∆v → 0 ⇒ ρ → 0. 从而
∆z ∂z ∂u ∂z ∂v lim = + , ∆x →0 ∆x ∂u ∂x ∂v ∂x
即（6.11）成立 且有 ）成立,