第17讲 周期信号的傅里叶变换
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周期信号和抽样信号的傅里叶变换
p样 yn à(nEcɡTsh)ōSua(
ns
2
),
Fs ()
E
Ts
n Sa( ns
n
2
) F (
ns )
f (t)
1 F ()
o p(t) E
τ
o
Ts
fs (t)
o
Ts
t 相t 卷 乘积
t
mom
t
p()
E s
2
s o
s
Fs () E
Ts
2
s
om s
第十五页，共27页。
③冲激抽样(chōu yànɡ)(理想抽样
第二十三页，共27页。
3.频域抽样(chōu yànɡ)及频域抽样(chōu yànɡ)定理
①频域抽样 (chōu yànɡ)
连续 F ()
f (t) 单脉冲
()抽样
重复?
离散 F1()
f1(t) 周期性脉冲(màichōn
F1() F () () 其中 () ( n1)
n
F [ (t nT1)] 1 ( n1)
Sa( 2
)
2
G
()
Sa(100t)
2
200
G200 ()
m 100, 2m 200
f (t) 1
F ()
2 200
o 2
200
t
100 o 100 (m )
第二十一页，共27页。
解： ②
F
[Sa(100t) cos(1000t)]
1[
2 100
G200 (
1000)
100
G200 (
----时域抽样定理
第十三页，共27页。
周期信号的傅里叶变换
信号与系统
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
周期信号的傅立叶变换
可以看出，周期信号的傅里叶变换是一个由冲 激函数所组成的离散冲激序列，冲激的频率间 隔等于周期信号的频率 0 ，即冲激位于周期 信号的谐频处，冲激强度等于傅里叶系数 ck 的 2π 倍。
第3章
3.5
周期信号的傅立叶变换
周期信号的频谱特点
FT [ xT (t )] 2
k
c ( k )
jk0t
1 dt T
T O T
t
1 jk0t 即，p(t ) e T k
其中0 2π / T，上式表明： 周期冲激串的傅里叶级数中， 包含0整数倍的各频率分量， 每个频率分量的大小ck
0 O 0
(0 )
P( )
则，P( ) 0
k 0
由一些冲激组成离散频谱；
位于信号的谐频处 (0,0 ,20 , ) ；
大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的
频谱值。各谱线之间的区别不是其长短而是冲激
的强度。
第3章
3.5
周期信号的傅立叶变换
傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系
xT (t )
ck
1 X (0) T
xT (t ).e
jk0t
dt
取xT (t )的一个周期为x(t ), 其FT为
所以
X ( )
T
2 2
T
x(t ).e
jt
dt
1 ck X ( ) T
k0
第3章
3.5
周期信号的傅立叶变换
求周期信号的频谱: 可先求傅里叶系数
然后再代入,
1 ck xT (t )e jk0t dt T T
2 ( 0 )
周期信号的傅里叶变换
n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t )e jn1t dt
其中n为所有的整数
函数f(t)的对称性与FS系数关系
(1)
f
(t )为偶函数
:
f
(t )
a0 2
an
n1
cos n1t
an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
(2) f (t)为奇函数 : f (t) bn sin( n1t) n 1
2
一般周期信号的FT
FT[ f (t)] Fn FT[e jn1t ] n
2 Fn ( n1) n
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
周期信号的FS与其单周期信号的FT之间的关系
Fn
1 T1
F0 ( )
n1
时域抽样信号的FT
Fs ( ) Pn F ( ns ) n
|a| a
时移 : f (t t0 ) F ( )e jt0 频移 : f (t)e j0t F ( 0 )
时域微分 : f (n) (t) ( j)n F () 频域微分 : ( jt)n f (t) F (n) ()
时域积分 : t f ( )d F () F (0) ()
j
是其本身,这意味着f (t)所有频率分量都
在低通滤波器的通带内.
f (t)是周期信号,其高次谐波可表示为
12n.因此有 | | 100 |12n | 100
| n | 8
即对于 | n | 8的n值, an将恒为0.
例题4 :已知f (t)为周期信号(如图),求F().
傅里叶变换(周期和非周期信号)
T
(t)
n
F e jn1t n
n
1 e jn1t T
1
e jn1t
T n
1
2 T
傅里叶变换的几个重要性质
1. 线性性质
若 f1(t) F 1()f,2(t) F 2() 则 a 1f(t)a 2f(t) a 1F 1()a 2F 2()
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
以下 图 2 为 或 例 f1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图 中 T14
1 2 1
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：
n1 2k (k1,2,3...)
每条谱线只出现在 n1 处
图 中 T14
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
周期信号的傅里叶变换.
同理
频谱图
二．一般周期信号的傅里叶变换
由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义)
几点认识
三．如何由 求
比较式(1),(2)
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换
频谱
五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换
方法1
方法2
利用时域卷积定理，周期T1
利用冲激函数的抽样性质
§3.9 周期信号的傅里叶变换
主要内容
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(ω)求F(nω1) •单位冲激序列的傅氏变换 •周பைடு நூலகம்矩形脉冲序列的傅氏变换
引言
周期信号：
非周期信号：
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
一．正弦信号的傅里叶变换
由欧拉公式
已知 由频移性质
频谱图
二．一般周期信号的傅里叶变换
由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义)
几点认识
三．如何由 求
比较式(1),(2)
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换
频谱
五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换
方法1
方法2
利用时域卷积定理，周期T1
利用冲激函数的抽样性质
§3.9 周期信号的傅里叶变换
主要内容
•正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(ω)求F(nω1) •单位冲激序列的傅氏变换 •周பைடு நூலகம்矩形脉冲序列的傅氏变换
引言
周期信号：
非周期信号：
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
一．正弦信号的傅里叶变换
由欧拉公式
已知 由频移性质
信号傅里叶变换
信号傅里叶变换引言信号傅里叶变换是一种在信号处理中常用的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解成若干不同频率分量的叠加，从而能够更加深入地理解信号的特性和结构。
本文将对信号傅里叶变换的原理、应用以及算法进行介绍，并对其进行详细解析。
信号傅里叶变换的原理信号傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将一个周期信号分解成一系列谐波分量的叠加。
而对于非周期信号，傅里叶变换则将其看作一个无穷长的周期信号，并将其分解成一系列频率连续的谐波分量的叠加。
傅里叶变换的核心思想是将一个信号转换成其频谱表示，即将信号在频域上的幅度和相位信息提取出来。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率上的能量分布情况，进而对信号进行分析和处理。
信号傅里叶变换的数学表达式对于一个信号f(t)，其傅里叶变换可以表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)在频率为ω上的复振幅。
可以看出，傅里叶变换将信号f(t)从时域表示转换到频域表示。
逆傅里叶变换则将频域表示的信号恢复到时域，可以表示为：f(t)=12π∫F∞−∞(ω)e jωt dω信号傅里叶变换的应用信号傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：频谱分析频谱分析是傅里叶变换的主要应用之一。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的能量分布情况，从而分析信号中不同频率分量的贡献程度。
频谱分析对于音频处理、图像处理等领域具有重要意义。
滤波器设计傅里叶变换可以用于滤波器的设计。
通过在频域上对信号进行滤波操作，我们可以选择性地增强或抑制信号中的某些频率分量，从而达到滤波的效果。
傅里叶变换为滤波器设计提供了有效的理论和工具。
图像处理信号傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以提取图像的频域特征，进行频域滤波、图像增强、图像压缩等操作。
图像傅里叶变换也常用于图像压缩编码和图像识别等领域。
周期信号的傅里叶变换
x( t )
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n
x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1
T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号 量化编码 载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期 信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频 点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。 这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特 例。 三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X
n
2 ( n 1 )
n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn
2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是 周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱 密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即 求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶 变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在 频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不 同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先 求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再 求任意周期信号的傅里叶变换。
1 Xn T
n T1 2 T 1 1 2 jn 1 t X e n
x( t )e jn 1t dt
4
单周期信号的傅里叶变换
X d ( ) xd ( t )e j tdt Nhomakorabeadt
1 Xn T1
T1 2 T 1 2
x( t )e jn 1t dt
x(t)
xs(t) x( t ) T xs(t)
0
t
0
T
2T
3T
t
11
调制信号x(t)
抽样
xs(t)
数字信号 量化编码 载波信号
这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期 信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频 点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。 这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特 例。 三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号 xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：
X ( )
n
0
T1
t
jn1t e
X
n
2 ( n 1 )
n 1 E 1 Sa ( n 1 ) 2 n
9
x0(t) E
E
X0() 2/
0
t E/T1 x(t) E Xn
2/
2.3.4 周期信号的傅里叶变换
前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是 周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱 密度函数的概念。 本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数 ,即 求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶 变换的特例的结论。 周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在 频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。 因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不 同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先 求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再 求任意周期信号的傅里叶变换。
周期信号的傅里叶变换
Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连 续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周 期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽 样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数 取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致 频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过 程,必然导致时域中的周期函数。
第17讲 周期信号的傅里叶变换
第 17 讲
周期信号的的频谱
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令 周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶 级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号 的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。 尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后， 可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周 期信号的离散频谱。 同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具 统一起来。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
21
T (t )
t
FT
F ( )
1
T1
0
1
21 1 0
§4.7 周期信号的傅里叶变换
…
4
t
F(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω) F0 ( jn) ( n) n
本题 f0(t) = g2(t)←→ 2Sa() 2
T2
4.7-17
F(jω)
2Sa(n) ( n)
Sa( n ) ( n )
n
n
2
2
■
第6页
三、傅里叶系数与傅里叶变换关系
推导：第一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(jω)与周期信
例
2
▲
■
第4页
周期信号傅氏变换例2
例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
f(t) 1 … -4 -1 0 1
…
4
t
■
第5页
周期信号傅氏变换例2
例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
解：周期信号f(t)也可看作 一时限非周期信号f0(t)的周 期拓展。即
f(t) = T(t)* f0(t)
… -4
f(t) 1 -1 0 1
▲
■
第2页
频谱图
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
F j
cos0t 频谱图:
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
sin0t 频谱图:
F j
π
π
0 o
0
2 0
0
o
2
▲
■
第3页
二、一般周期信号的傅里叶变换
fT (t) Fn e jn t n
Fn
1 T
T
2 T
fT (t) e jn t d t
2
fT (t) Fn e jn t FT ( j) 2 Fn ( n) (4.7-8)
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本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
j1t 1 FT [sin 1 t ] FT [ 2 e j1t )] j (e
j [ ( 1 ) ( 1 )]
FT[cos1 t ] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1 )
1
F ( )
( 1 )
周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在 的。 周期信号的频谱是离散的频谱密度， 即傅立 叶变换是一系列冲激。
1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
因为 对于复指数 由频移特性，可知 而对于正弦和余弦信号
1 2 ( )
f 0 (t )
1
2
F0 ( )
2
2
1
1
1
( 1 )
1
F ( )
( 1 )
1
2.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t ) 的指数形式的傅里级数展开式为
f (t )
n
F
n
.e jn1t
系数：
Fn
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 T1 1
t
周 期 重 复
0 2
A T1
Fn
f (t )
A
FS
t
T1
F ( )
FT
A 1
T1
5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
1 Fn T1
2 T 1 2
T 1
f (t ).e jn1t dt
F0 ( )
Fn
T 1
2 2
1 T
f 0 (t ).e jt dt
F ( j ) 2
n
Fn ( n1 ) A1 Sa(
n
n1 ) ( n1 ) 2
周期信号时域表示
周期信号双边频谱
周期信号频谱密度
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
A
f 0 (t )
FT
A
2
F0 ( )
0
2
2
第 17 讲
周期信号的的频谱
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令 周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶 级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号 的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。 尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后， 可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周 期信号的离散频谱。 同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具 统一起来。
n 1 A F0 ( j ) Sa( 1 ) T1 T1 2 n
1
比较（2）和（3），可得
Fn
（ 4）
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
解：将（4）带回（1）式，得到
f (t ) A T1
n
Sa(
n1 jn1t )e 2
所以，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为
余弦信号和正弦信号的波形及其频谱
正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性
F0 ( ) FT[1] 2 ( )
FT[ f 0 (t ).e j1t ] F0 ( 1 )
j1t FT[cos1 t ] FT[ 1 e j1t )] 2 (e
[ ( 1 ) ( 1 )]
jn1 .e
FT
F ( ) A 1
n
Sa
n1 ( n1 ) 2 1
6单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值； 周期信号的频谱 F ( )是离散谱，是频谱密度 的概念，它的大小用冲激表示；
F0 ( )
Fn
1 F0 ( ) T1
n1
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值； 周期信号的频谱 F ( ) 是离散谱，是频谱密度 的概念，它的大小用冲激表示； F ( ) 是 F ( ) 的包络的 1 。 0
f0 (t ) g(t )cos 1t g(t )(e j1t e j1t ) / 2
F0 ( )
2
1 [G ( 1 ) G ( 1 )] 2
S a[( 1 ) 2]
2
S a[( 1 ) 2]
cos 1t lim f 0 (t )
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
1
0
FT[sin1 t ] j [ ( 1 ) ( 1 )]
jF ( )
1
( 1 )
1
( 1 )
0
正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法
有限长余弦 f 0 (t ) 看成矩形g (t ) 乘 cos1t 对有限长余弦的频谱求极限，得到无限长余弦频谱
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密 度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数 ，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范 围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。
3、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t )
n
(t nT 1)
n
f (t ) e j0t
1 e j0t 2 ( 0 )
f (t ) sin 0t, f (t ) cos 0t
根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为
cos 0t [ ( 0 ) ( 0 )] sin 0t j [ ( 0 ) ( 0 )]
思考与练习
1 周期信号有几种表示形式？各是什么？ 2 周期信号既可以用傅里叶级数展开，又可以 用傅里叶变换表示，两者有何不同？
21
T (t )
t
FT
F ( )
1
T1
0
1
21 1 0
1
21
3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函数
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系
1 由FS Fn T1
T 1
2 T 1 2
T 1
f (t ).e jn1t dt
FT[cos1t ] lim Sa( 1 ) Sa( 1 ) 2 2 2 2
( ) lim
Sa ( )
FT[cos1t ] [ ( 1 ) ( 1 )]
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 1 T1
（ 2）
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
解： 单个矩形脉冲的傅里叶变换为
jt F0 ( j ) 2 dt A Sa( T1 f (t )e 2 T1
2
)
（ 3）
（ 2）
Fn
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 T1 1
根据傅里叶变换的线性和频移特性
FT[ f (t )] 2
n
F ( n
n
1
)
2.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j )
n
2 Fn ( n1 ) 2
n
F ( n )
n 1
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成， 这些冲激函数位于信号的各谐波频率 n1 处，其强度为相应傅 里叶级数系数 Fn 的 2 倍。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
n1
1 F0 ( ) T1
F0 ( ) A Sa 2
由单脉冲联想FS的Fn
Fn
1 F0 ( ) T1
n1
A n Sa ( 1 ) T1 2
FS
A f (t ) T1
n 1 Sa 2 n
取f(t)的一个周期 f 0 (t ) ，其FT为 F0 ( )