第17讲 周期信号的傅里叶变换

FT[cos1t ] lim Sa( 1 ) Sa( 1 ) 2 2 2 2
( ) lim
Sa ( )
FT[cos1t ] [ ( 1 ) ( 1 )]

周期信号不满足绝对可积条件。 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在 的。 周期信号的频谱是离散的频谱密度， 即傅立 叶变换是一系列冲激。
1.复指数、余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
因为 对于复指数 由频移特性，可知 而对于正弦和余弦信号
1 2 ( )
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 1 T1
（ 2）
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
解： 单个矩形脉冲的傅里叶变换为
jt F0 ( j ) 2 dt A Sa( T1 f (t )e 2 T1

2
)
（ 3）
（ 2）
Fn
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 T1 1
F0 ( )
Fn
1 F0 ( ) T1
n1
单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值； 周期信号的频谱 F ( ) 是离散谱，是频谱密度 的概念，它的大小用冲激表示； F ( ) 是 F ( ) 的包络的 1 。 0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
f0 (t ) g(t )cos 1t g(t )(e j1t e j1t ) / 2
F0 ( )

2
1 [G ( 1 ) G ( 1 )] 2
S a[( 1 ) 2]

2
S a[( 1 ) 2]
cos 1t lim f 0 (t )

jn1 .e
FT
F ( ) A 1
n
Sa

n1 ( n1 ) 2 1
6单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较


单脉冲的频谱 F0 ( ) 是连续谱，它的大小是有 限值； 周期信号的频谱 F ( )是离散谱，是频谱密度 的概念，它的大小用冲激表示；

1
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
例1：已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为A，脉宽为τ，周期为 T1
2
角频率 1 T 。求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。
1
解： 周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数是
f (t )
n
Fe
n

jn1t
（ 1）
其傅里叶系数为
Fn
1
0

FT[sin1 t ] j [ ( 1 ) ( 1 )]
jF ( )
1
( 1 )
1
( 1 )
0

正余弦信号的傅立叶变换:用极限方法


有限长余弦 f 0 (t ) 看成矩形g (t ) 乘 cos1t 对有限长余弦的频谱求极限，得到无限长余弦频谱
21
T (t )
t
FT
F ( )
1
T1
0

1
21 1 0
1
21

3.周期冲激序列的波形、傅里叶系数、频谱函数
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系

1 由FS Fn T1

T 1
2 T 1 2
T 1
f (t ).e jn1t dt
t
周 期 重 复
0 2


A T1
Fn

f (t )
A
FS
t
T1
F ( )
FT
A 1
T1

5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
1 Fn T1

2 T 1 2
T 1
f (t ).e jn1t dt
F0 ( )
Fn

T 1
2 2
1 T
f 0 (t ).e jt dt
F ( j ) 2
n


Fn ( n1 ) A1 Sa(
n

n1 ) ( n1 ) 2
周期信号时域表示
周期信号双边频谱
周期信号频谱密度
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
A

f 0 (t )

FT
A
2
F0 ( )
0
2

2

根据傅里叶变换的线性和频移特性
FT[ f (t )] 2
n
F ( n
n
1
)
2.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j ຫໍສະໝຸດ Baidu
n
2 Fn ( n1 ) 2

n
F ( n )
n 1

周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的冲激函数组成， 这些冲激函数位于信号的各谐波频率 n1 处，其强度为相应傅 里叶级数系数 Fn 的 2 倍。
周期信号的傅立叶变换

复指数信号的傅里叶变换 正余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的FS和FT
周期信号的FS与其单周期信号的FT的关系
周期矩形脉冲的FS和单脉冲信号FT 单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较
周期信号的傅立叶变换存在条件


取f(t)的一个周期 f 0 (t ) ，其FT为 F0 ( )
F0 ( )


2 2
1 T
f 0 (t ).e jt dt
n1
所以 Fn
1 F0 ( ) T1
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系
f (t )
f 0 (t )
Fn
1 F0 (0) T1
思考与练习

1 周期信号有几种表示形式？各是什么？ 2 周期信号既可以用傅里叶级数展开，又可以 用傅里叶变换表示，两者有何不同？
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
f 0 (t )
1
2
F0 ( )
2

2
1
1
1

( 1 )
1
F ( )
( 1 )

1
2.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t ) 的指数形式的傅里级数展开式为
f (t )
n
F

n
.e jn1t
系数：
Fn
1 T1 / 2 f (t )e jn1t dt T / 2 T1 1
F .e
n

jn1t
1 T1
n
e

jnt
1 FT[ f (t )] 2 T1
n


( n1 )
F ( ) FT[ T (t )] 1
n
( n )
1

(t )
(1)
F0 ( )
1
0
t
FS
0
1 T1

Fn
1
n1
1 F0 ( ) T1
F0 ( ) A Sa 2
由单脉冲联想FS的Fn
Fn
1 F0 ( ) T1
n1
A n Sa ( 1 ) T1 2
FS
A f (t ) T1
n 1 Sa 2 n
余弦信号和正弦信号的波形及其频谱
正余弦信号的傅立叶变换:利用频移特性
F0 ( ) FT[1] 2 ( )
FT[ f 0 (t ).e j1t ] F0 ( 1 )
j1t FT[cos1 t ] FT[ 1 e j1t )] 2 (e
[ ( 1 ) ( 1 )]
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映的是频谱密 度的概念，因此周期信号的傅里叶变换不同于其傅里叶系数 ，它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷小的频带范 围(即谐波频率点)取得了无穷大的频谱值。
3、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t )
n


(t nT 1)
n
n 1 A F0 ( j ) Sa( 1 ) T1 T1 2 n
1
比较（2）和（3），可得
Fn
（ 4）
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
解：将（4）带回（1）式，得到
f (t ) A T1
n
Sa(

n1 jn1t )e 2
所以，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为
第 17 讲
周期信号的的频谱
周期信号进行傅里叶变换的目的



将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散频谱，令 周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信号，从而由傅里叶 级数在周期趋于无穷大的极限导出傅里叶变换，由周期信号 的离散谱过渡到连续谱，引出频谱密度函数的概念。 尽管周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激函数后， 可以对周期信号进行傅里叶变换，从频谱密度的角度观察周 期信号的离散频谱。 同时将周期信号和非周期信号的分析方法用傅里叶变换工具 统一起来。
j1t 1 FT [sin 1 t ] FT [ 2 e j1t )] j (e
j [ ( 1 ) ( 1 )]
FT[cos1 t ] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1 )
1
F ( )
( 1 )
本章主要内容


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容


3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
f (t ) e j0t
1 e j0t 2 ( 0 )
f (t ) sin 0t, f (t ) cos 0t
根据线性性质并利用复指数信号频谱，得到其频谱函数分别为
cos 0t [ ( 0 ) ( 0 )] sin 0t j [ ( 0 ) ( 0 )]