傅里叶变换(周期和非周期信号)

周系数期： 冲激序列频谱
Fn
1 T
T 2
T 2
f (t )e jn1t dt
1
T 2
(t)e jn1t dt
T
T 2
1 T
周则期：f冲(t)激 序 列Fne频jn1t谱 n
T (t)
F e jn1t n
n
1 e jn1t T n
1 e jn1t
T n
1
2
T
傅里叶变换的几个重要性质
(a) 振幅频谱
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
Next
傅里叶级数指数形式 推导
利用欧拉公式 e jn0 cos n0 j sin n0
cos n0
1 (e jn0 2
e jn0
)
s in n0
1 2j
(e
jn0
e jn0
)
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
f (t ) a0 (an cos 0t bn sin0t )
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fne jn0t n
式中，
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
f (t) Fne jn0t n
式中，
1
Fn T
2
1
jn1
e jn1t
2
2
1 T1
2
2 2
A
Ae
e j
jn1t
n1
2-
dt
e
j
n1 2
n1T1
2j
AA sSina( n1 )
nT1
2
f (t) A Sa( n1 )e jn1t
T n 1
2
3.频谱及其特点
Fn
A
T1
Sa( n周1 )期矩形脉冲
2
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；
2
T1
2
A c osn1t
dt
2
2A sin n1 2AA1SSaa((nn11))
n 2
T1
22
2
bn T1
T1
2 T1
f (t)sin n1t dt
2
2
T1
2
Asin n1t
dt
0
2
1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n 1
2
4
6
n1
有效频带：
在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，
而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称
为有效频带。
有效频带的f 带宽以——下点规图之定为间为的由例频坐带标。原点至2频谱包或络第一f个零1
B B f
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
6
4
2
1 21
2
4
1. 线性性质
若 f1( t ) F1( ), f2( t ) F2( ) 则 a1 f ( t ) a2 f ( t ) a1F1( ) a2F2( )
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
sgn( t ) 2U( t ) 1
U( t ) 1
a0 (an cosn0t bn sin n0t)
n1
式中,
1
a0 T
T
2 -T
f (t) dt
2
2
an T
T
2 T
f (t) cosn0t
dt
2
bn
2 T
T
2 T
f (t)sin n0t dt
2
式中，ω0=2π/T
利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角
形式化为标准的三角形式
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
12（a-n - jb-n） 12（an jbn） 即
*
F n F-n n=1,2,3, …
*
F n F-n
*
f (t) F0 Fne jn0t F e n jn0t
n1
n1
n=1,2,3, …
F0 Fne jn0t n0
F e jn0t -n
n1
=
f (t)
Fne jn0t
1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲
f (t ) a0 (an cos n1t bn sinn1t ) n1
1
a0 T1
T1
2 -T1
2
f (t) dt
1 T1
A
2 -
A dt
2
T1
an
2 T1 2
T T1 12 2A
T1n1
f (t) cosn1t
sinn1t
2
2
dt
j
1 2
sgn( t )
1
-1
t
sgn( t ) 2
1
j
2
2
j
2．尺度压、扩性质
若 f (t ) F( ) 则 f ( at ) 1 F( )
aa 式中，a为正实常数。
例：
A
f ( t ) AG ( t )
0
| t |
2
| t |
2
F( ) ASa( )
2
f ( 2t )
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
Ne xt
Fn还可以表示成模和幅角的形式
式中，
Fn Fn e jn Fn e jn
a b Fn
1 2
2 2
n
n
n
arctan
bn an
n
Fn 12（an - jbn）
三角形式与指数形式系数之间的关系
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t)
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－0 －0 －0 0 0 0 0
双边频(谱a) 幅（度D频o谱uble Side Band)
－
π 4
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
单边频谱（Single Side Band)
三角函数 形式的频 谱图
cn 2
1
11
2
0
0 0 0
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
n0
Fne jn0t
n1
1
Fne jn0t
n
f (t)
Fn e jn0t
n
Fn
12（an
-
jbn）
1 T
T
2 T
f (t )e jn0t dt
2
例：周期矩形脉冲
…
T1
f (t)
A
O
2
2
…
T1
t
脉宽为 脉冲高度为 A 周期为 T1
1. 三角函数形式的傅里叶级数 2.指数形式的傅里叶级数 3.频谱特点
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
或2f 、(t)指 a数0 形n式1 的(a傅n c里os叶0t级数bn sin 0t)
f (t) c0 cn cos(n0t n )
或
n1
f (t) c0 cn cos(n0t n )
n1
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t)e jn0t dt
2
F0
a0
c0
1 T
T
2 -T
2
f (t) dt
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
1 2
cne
jn
a b Fn
1 2
2
n
2 n
1 2
cn
1例 的指数形式频谱图如下图所示。
1 ASa( )
2
4
3．时延特性
若 f (t ) F( ) 则 f ( t - t0 ) F( )e jt0
4．频移特性
若 f (t ) F( ) 则 f ( t )e j0t F( 0 )
)
c
os(20t
5
4
)
1 2
c
os
(30t
2
)
1
2
c
os(0t
4
)
c os (20t
4
)
1 2
c
os(30t
2
)
振幅谱与相位谱如下图所示。
f
(t)
1
2
cos(0t
4
)
cos(20t
4
)
1 2
c
os(30t
2
)
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
0 0 0 0
－
π 2
(a) 振幅频谱图
(b) 相位频谱图
Fn
12（an
-
jbn），
*
F
n
12（an
jbn）
Fn
12（an
-
jbn），
*
Fn
12（an
jbn）
由三角形式的傅里叶系数定义式
an
2 T
T
2 T
f (t) cosn0t dt
2
bn
2 T
T
2 T
f (t)sin n0t dt
2
可知：
an是 n0 的偶函数，bn是 n0 的奇函数
当n换为-n时，有a-n= an, b-n=- bn，从而
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
2k
(k 1,2,3...)
每条谱线只出现在n1 处
(3)各谐波分量的振幅(绝对值）随着n的增大而逐渐减小：
图中 T1 4
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
2
4
6
n1
3.频谱及其特点
周期矩形脉冲
周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性
图中 T1 4
有效频带
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
6
n1
有效频带：
以下图为例 2 或 f 1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
1 21
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
2
傅里叶变换关系对常简记为：
f (t ) F( )
例：求矩形脉冲f(t)的频谱。
A
f ( t ) AG ( t )
0
| t |
2
| t |
2
f (t)
A
O
2
2
t
F( )
f ( t )e jt dt
2
Ae jt dt
-
A
j
e
j
2
e
j
2
2
2 A sin ASa( )
n1
a0
n1
an2 bn2
an an2 bn2
c os0t
bn an2
bn2
s in 0t
a0 cn (cosn cosn0t sinn sin n0t)
n1
c0 cn cos(n0t n )
n1
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
cn
a
2 n
bn2
,n
arctan
bn an
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t) 正、余弦级数形式 n1
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
1例 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
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非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
2
2
F( ) ASa( )
2
f (t)
A
F( ) A
O
2
2
t
2
2
4
非周期信号频谱的特点：
① 是连续频谱; ② 脉宽与频宽成反比。
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例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数 表示式
周期冲激序列频谱
T(t) (t nT ) n=0, 1, 2, ….
n
δT(t)
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
t0T f (t) dt
t0
可以展开为三角形式的傅里叶级数，为
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos20t b1 sin 0t b2 sin 20t
(2)频谱包络线过零点的横坐标是：
n1
2k
(k 1,2,3...)
每条谱线只出现在 n1 处
图中 T1 4
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
2
4
6
n1
3.频谱及其特点
Fn
A
T1
Sa( n周1 )期矩形脉冲
2
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点；
(2)频谱包络线过零点的横坐标是：n1