傅里叶变换(周期和非周期信号)
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傅里叶变换的意义
傅里叶变换就是对模拟信号进行数字化傅里叶处理，以便信号在处理后运算更方便。
从物理方面来讨论
傅立叶变换是一个密度函数的概念，是一个连续谱，包含了从零到无限高， 频的所有频率分量， 各频率分量的频率不成谐波 关系
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之后一百多年随着电力,电子,计算机技术的逐渐发展,傅立叶分析也得到越来越广泛的应用.
对于变换的思想我觉得根本来说是为了从不同的角度来认识信号,而对于不同的应用,也有不同的变换方法.
而与变换紧密相关的另一个就是卷积的概念.
2.傅立叶级数是以三角函数或指数函数为基对周期信号的无穷级数展开.
从滤波关点看，复立叶变换相当于等宽带的Q值不等的滤波器组对信号进行滤波，采用常数Q的滤波器组则是小波分析
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但是用时域采样样本内插的表示要简洁得多，这其实就是在频域上
对信号进行傅里叶级数分解。即时域采样对应于频域傅里叶级数分解。
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第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
−1
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的傅里叶变换
0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
傅里叶变换(周期和非周期信号)
T
(t)
n
F e jn1t n
n
1 e jn1t T
1
e jn1t
T n
1
2 T
傅里叶变换的几个重要性质
1. 线性性质
若 f1(t) F 1()f,2(t) F 2() 则 a 1f(t)a 2f(t) a 1F 1()a 2F 2()
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
以下 图 2 为 或 例 f1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图 中 T14
1 2 1
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：
n1 2k (k1,2,3...)
每条谱线只出现在 n1 处
图 中 T14
非周期信号的傅里叶变换
0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中 含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱 中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换 冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
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[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
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傅里叶变换
傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。
由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。
设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
傅里叶变换及反变换
物理意义：时域平移，对应频域相移，而幅频特性不变。
例： 求 (t - t 0 ) 的频谱。 (t t0 ) e jt0
(t-t0)
(1)
0 t0 t
|F(j)
1
0
φ()
0
7 时移特性： f (t t0 ) F ( j ) e j t0
时域平移，对应频域相移，幅频特性不变。
8 频移特性：
7 时移特性： f (t) F ( j ) 平移 f (t t0 ) F ( j ) e j t0
f (t) F ( j ) F ( j ) e j ( )
f (t t0 ) F ( j ) e jt0 F ( j ) e j ( )e jt0 F ( j ) e j ( )t0
F ( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] F *( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
关于t
关于
证：若f (t)为偶函数，则 f (t) f (t)
F ( j ) f (t )e jtdt
F ( j ) f (t)e jtdt 令t
f ( )e j d f ( )e j d F ( j )
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F ( j )d ，本身是无穷小量，
2
但F(jw)描述了各频率分量的相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
第三章傅里叶变换
E
E Fn
T1
f (t)
E
4
2
t
2T1
1
4
E Fn
8
t
1
2
频谱率线2 间只隔与1T(1 有2T1 关) 只，2与T且1 周与期T成1 反有比关；，而且谱与线T1幅成度反 与比T；1 零和值点 都有关系，且与 T1 成反比与 成正比。
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率1
2f1
2
T1
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t)
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级 数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较 简单。
（1）偶函数
f(t)f(t)
2 T1
bn
12
T1 T1T1 2
f(t)sinn
2
1tdt 0
T1
a a 0 n T T 2 11 2 T T 2 2 T 1 1 2 1ff(( tt)) dc to T n 1 1 0s t2 fd ( t)T d 4 t1t0 T 2 1f(t)co n1 s tdt
n1,3,5 n2,4,6
因此 f(t)2En1, 3,51nsinn1t
2E(sin1t13sin31t15sin51)
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
E Fn
T1
f (t)
E
4
2
t
2T1
1
4
E Fn
8
t
1
2
频谱率线2 间只隔与1T(1 有2T1 关) 只，2与T且1 周与期T成1 反有比关；，而且谱与线T1幅成度反 与比T；1 零和值点 都有关系，且与 T1 成反比与 成正比。
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为f(t),
其重复周期是T1,角频率1
2f1
2
T1
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t)
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级 数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较 简单。
（1）偶函数
f(t)f(t)
2 T1
bn
12
T1 T1T1 2
f(t)sinn
2
1tdt 0
T1
a a 0 n T T 2 11 2 T T 2 2 T 1 1 2 1ff(( tt)) dc to T n 1 1 0s t2 fd ( t)T d 4 t1t0 T 2 1f(t)co n1 s tdt
n1,3,5 n2,4,6
因此 f(t)2En1, 3,51nsinn1t
2E(sin1t13sin31t15sin51)
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
周期信号的傅立叶变换
− 2ω 1 − ω 1 o
ω 1 2ω 1
ω
− 2ω1 − ω1
o
ω1 2ω1
ω
δT (t ) 的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是 1。 ω
X
§3.6 连续时间系统的频域分析
一、频域的系统函数及频域分析
(对于LTI系统除了可以用第二章讲过的时域分析法外还可以用频域 分析法进行分析。它的基本原理是：将信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数信号之和通过系统，最后进行响应的合成得到待求的响 应。时域分析与频域分析的关系如图)
1 、理想低通滤波器的系统函数 具有如图所示幅频、 具有如图所示幅频、相 频特性的系统称为理想 低通滤波器。 称为截 低通滤波器。ωc称为截 止角频率。 止角频率。
−ωc
1 H (ω )
0
ϕ (ω ) ωc
ωc
ω
−ωc
0
ω
H ( jω) = H (ω)e
e − jωt0 = 0
jϕ (ω )
§3.5周期信号的傅立叶变换
引言
周期信号： 周期信号：
f ( t ) ↔傅里叶级数F n
•
离散谱
非周期信号： 非周期信号：
f ( t ) ↔ 傅里叶变换F ( jω ) 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？ 与傅里叶级数的关系？
X
一．一般周期信号的傅里叶变换 2π 设信号周期:T = ω1 由傅里叶级数的指数形式出发： 由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义 其傅氏变换 用定义) 用定义
如
f (t) ↔ F( jω)
− jωt0
无失真传输时，Y ( jω) = KF( jω)e
信号分析基础(非周期信号频域分析)
1 jwt x x ( t) ( t) e dt ejwt dw 2
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (
频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt
x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt
R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (
4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换
R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为
的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2
0
0 0
lim
2[
2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t
0
j t
dt e
0
t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)
周期信号的傅里叶变换
二、一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
e 一般周期信号：f (t)
F jn1t n
n
F 2 Fn n1 n
其中：
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jwtdt
2
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周 期，得到单脉冲信号。
思考题
1.正弦、余弦信号的傅里叶变换公式？ 2. 一般周期信号的傅里叶变换公式？
n
又
1 Fn T1
fT (t) T (t) FT w1 (w nw1) n
可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 21, n1, 频率处的冲激函数，其强度大 小相等，均等于1 。
例3-11
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和 傅里叶变换。
f (t)
E
…
…
T
0
T
一、正弦、余弦周期信号的傅里叶变换
e Q f (t) j0t F F( m0 ), 0 0 1F2 (t) e j0t F 2 ( m0 ), 0 0
余弦信号：cos(1t) F ( 1) ( 1) 正弦信号：sin(1t) F j ( 1) ( 1)
1 f (t) cos w1t
2
f
(t
)e
jwt
dt
wnw1
周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里 叶变换F0()在n1频率点的值乘以1/T1。
可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里 叶级数的系数。
例3-10 单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)
表示周期单位冲激序列：
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2
傅里叶变换关系对常简记为：
f (t ) F( )
例：求矩形脉冲f(t)的频谱。
A
f ( t ) AG ( t )
0
| t |
2
| t |
2
f (t)
A
O
2
2
t
F( )
f ( t )e jt dt
2
Ae jt dt
-
A
j
e
j
2
e
j
2
2
2 A sin ASa( )
2k
(k 1,2,3...)
每条谱线只出现在n1 处
(3)各谐波分量的振幅(绝对值）随着n的增大而逐渐减小：
图中 T1 4
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
2
4
6
n1
3.频谱及其特点
周期矩形脉冲
周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性
图中 T1 4
有效频带
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－0 －0 －0 0 0 0 0
双边频(谱a) 幅（度D频o谱uble Side Band)
－
π 4
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
单边频谱（Single Side Band)
三角函数 形式的频 谱图
cn 2
1
11
2
0
0 0 0
(a) 振幅频谱
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
Next
傅里叶级数指数形式 推导
利用欧拉公式 e jn0 cos n0 j sin n0
cos n0
1 (e jn0 2
e jn0
)
s in n0
1 2j
(e
jn0
e jn0
)
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
f (t ) a0 (an cos 0t bn sin0t )
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
n0
Fne jn0t
n1
1
Fne jn0t
n
f (t)
Fn e jn0t
n
Fn
12（an
-
jbn）
1 T
T
2 T
f (t )e jn0t dt
2
例：周期矩形脉冲
…
T1
f (t)
A
O
2
2
…
T1
t
脉宽为 脉冲高度为 A 周期为 T1
1. 三角函数形式的傅里叶级数 2.指数形式的傅里叶级数 3.频谱特点
1. 线性性质
若 f1( t ) F1( ), f2( t ) F2( ) 则 a1 f ( t ) a2 f ( t ) a1F1( ) a2F2( )
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
sgn( t ) 2U( t ) 1
U( t ) 1
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
cn
a
2 n
bn2
,n
arctan
bn an
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t) 正、余弦级数形式 n1
或
n1
f (t) c0 cn cos(n0t n )
n1
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t)e jn0t dt
2
F0
a0
c0
1 T
T
2 -T
2
f (t) dt
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
1 2
cne
jn
a b Fn
1 2
2
n
2 n
1 2
cn
1例 的指数形式频谱图如下图所示。
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲
f (t ) a0 (an cos n1t bn sinn1t ) n1
1
a0 T1
T1
2 -T1
2
f (t) dt
1 T1
A
2 -
A dt
2
T1
an
2 T1 2
T T1 12 2A
T1n1
f (t) cosn1t
sinn1t
2
2
dt
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
Ne xt
Fn还可以表示成模和幅角的形式
式中，
Fn Fn e jn Fn e jn
a b Fn
1 2
2 2
n
n
n
arctan
bn an
n
Fn 12（an - jbn）
三角形式与指数形式系数之间的关系
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t)
2
4
6
n1
有效频带：
在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，
而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称
为有效频带。
有效频带的f 带宽以——下点规图之定为间为的由例频坐带标。原点至2频谱包或络第一f个零1
B B f
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
6
4
2
1 21
2
4
2
2
F( ) ASa( )
2
f (t)
A
F( ) A
O
2
2
t
2
2
4
非周期信号频谱的特点：
① 是连续频谱; ② 脉宽与频宽成反比。
Back
例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数 表示式
周期冲激序列频谱
T(t) (t nT ) n=0, 1, 2, ….
n
δT(t)
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
a0 (an cosn0t bn sin n0t)
n1
式中,
1
a0 T
T
2 -T
f (t) dt
2
2
an T
T
2 T
f (t) cosn0t
dt
2
bn
2 T
T
2 T
f (t)sin n0t dt
2
式中，ω0=2π/T
利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角
形式化为标准的三角形式
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
或2f 、(t)指 a数0 形n式1 的(a傅n c里os叶0t级数bn sin 0t)
f (t) c0 cn cos(n0t n )
12（a-n - jb-n） 12（an jbn） 即
*
F n F-n n=1,2,3, …
*
F n F-n
*
f (t) F0 Fne jn0t F e n jn0t
n1
n1
n=1,2,3, …
F0 Fne jn0t n0
F e jn0t -n
n1
=
f (t)
Fne jn0t
6
n1
有效频带：
以下图为例 2 或 f 1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
1 21
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
傅里叶变换关系对常简记为：
f (t ) F( )
例：求矩形脉冲f(t)的频谱。
A
f ( t ) AG ( t )
0
| t |
2
| t |
2
f (t)
A
O
2
2
t
F( )
f ( t )e jt dt
2
Ae jt dt
-
A
j
e
j
2
e
j
2
2
2 A sin ASa( )
2k
(k 1,2,3...)
每条谱线只出现在n1 处
(3)各谐波分量的振幅(绝对值）随着n的增大而逐渐减小：
图中 T1 4
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
2
4
6
n1
3.频谱及其特点
周期矩形脉冲
周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性
图中 T1 4
有效频带
Fn
F0
A
T
6
4
2
1 21
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－0 －0 －0 0 0 0 0
双边频(谱a) 幅（度D频o谱uble Side Band)
－
π 4
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
单边频谱（Single Side Band)
三角函数 形式的频 谱图
cn 2
1
11
2
0
0 0 0
(a) 振幅频谱
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
－
π 2
(b) 相位频谱
Next
傅里叶级数指数形式 推导
利用欧拉公式 e jn0 cos n0 j sin n0
cos n0
1 (e jn0 2
e jn0
)
s in n0
1 2j
(e
jn0
e jn0
)
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
f (t ) a0 (an cos 0t bn sin0t )
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
n0
Fne jn0t
n1
1
Fne jn0t
n
f (t)
Fn e jn0t
n
Fn
12（an
-
jbn）
1 T
T
2 T
f (t )e jn0t dt
2
例：周期矩形脉冲
…
T1
f (t)
A
O
2
2
…
T1
t
脉宽为 脉冲高度为 A 周期为 T1
1. 三角函数形式的傅里叶级数 2.指数形式的傅里叶级数 3.频谱特点
1. 线性性质
若 f1( t ) F1( ), f2( t ) F2( ) 则 a1 f ( t ) a2 f ( t ) a1F1( ) a2F2( )
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
sgn( t ) 2U( t ) 1
U( t ) 1
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
cn
a
2 n
bn2
,n
arctan
bn an
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),
可以展开成如下两种形式的三角级数：
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t) 正、余弦级数形式 n1
或
n1
f (t) c0 cn cos(n0t n )
n1
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t)e jn0t dt
2
F0
a0
c0
1 T
T
2 -T
2
f (t) dt
Fn
Fn
e jn
1 2
an jbn
1 2
cne
jn
a b Fn
1 2
2
n
2 n
1 2
cn
1例 的指数形式频谱图如下图所示。
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲
f (t ) a0 (an cos n1t bn sinn1t ) n1
1
a0 T1
T1
2 -T1
2
f (t) dt
1 T1
A
2 -
A dt
2
T1
an
2 T1 2
T T1 12 2A
T1n1
f (t) cosn1t
sinn1t
2
2
dt
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
Ne xt
Fn还可以表示成模和幅角的形式
式中，
Fn Fn e jn Fn e jn
a b Fn
1 2
2 2
n
n
n
arctan
bn an
n
Fn 12（an - jbn）
三角形式与指数形式系数之间的关系
f (t) a0 (an cos0t bn sin 0t)
2
4
6
n1
有效频带：
在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，
而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称
为有效频带。
有效频带的f 带宽以——下点规图之定为间为的由例频坐带标。原点至2频谱包或络第一f个零1
B B f
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
6
4
2
1 21
2
4
2
2
F( ) ASa( )
2
f (t)
A
F( ) A
O
2
2
t
2
2
4
非周期信号频谱的特点：
① 是连续频谱; ② 脉宽与频宽成反比。
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例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数 表示式
周期冲激序列频谱
T(t) (t nT ) n=0, 1, 2, ….
n
δT(t)
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
a0 (an cosn0t bn sin n0t)
n1
式中,
1
a0 T
T
2 -T
f (t) dt
2
2
an T
T
2 T
f (t) cosn0t
dt
2
bn
2 T
T
2 T
f (t)sin n0t dt
2
式中，ω0=2π/T
利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角
形式化为标准的三角形式
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换性质
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
或2f 、(t)指 a数0 形n式1 的(a傅n c里os叶0t级数bn sin 0t)
f (t) c0 cn cos(n0t n )
12（a-n - jb-n） 12（an jbn） 即
*
F n F-n n=1,2,3, …
*
F n F-n
*
f (t) F0 Fne jn0t F e n jn0t
n1
n1
n=1,2,3, …
F0 Fne jn0t n0
F e jn0t -n
n1
=
f (t)
Fne jn0t
6
n1
有效频带：
以下图为例 2 或 f 1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图中 T1 4
1 21
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数