面包问题数学模型

面包店问题
摘要：
烤箱烘烤面包问题是生活中常见的问题，也是比较典型的数学模型。

本文解决的是烤箱烘烤面包所用时间要尽可能短的问题。

现面包所需烘烤时间长短不一、烤箱容量又有限，而需在保证面包质量的情况下使烘烤完所有面包用的时间最短。

为解决此问题，我们建立了线性规划模型。

针对问题一，我们先对所给数据进行初步分析，由此我们采取线性规划进行最优化处理，由于面包种类繁多，不宜人工进行简单组合，所以我们运用matlab 软件建立数学模型，进行优化计算得出最优组合。

当有二台烘烤箱同时工作时，我们对只有一台烘烤箱所得结果作处理之后，同样采取线性规划思想进行分析求解，应用matlab处理软件优化处理之后得出每台烤箱的工作分配情况。

在此，我们建立了两个最优化模型，一为同一烤箱烘烤同种面包。

二为混合烘烤，即同一烤箱中同时烘烤多种面包，则烘烤时间以最后烘烤完成的面包时间计算。

根据这两个模型设计出一个最优烘烤方案，并得出了烤箱工作的时间。

评价方案性能的优劣指标为烤箱工作的时间的长短。

在考虑烤箱工作的时间的短的基础上，我们根据现有的条件算出各样式的面包的利润，算出总的利润。

针对问题二，在不考虑产品需求预测估计值的误差，也不考虑产品各项成本费用在此阶段时间的变化的前提下，时间和产量分别处理。

在问题一的基础上增加零售产量、零售量、零售单价（元）等变量，重新根据现有的条件算出各样式的面包的利润，算出总的利润。

关键词： matlab软件工作时间线性规划
一、问题重述
某个面包店有两个烤箱，每个烤箱有数个烤盘。

该店可以烤制数十种样式的面包。

不同种类的面包的烤制时间不一样，但可以在同一个烤箱中烤制。

当天烤制的面包只能当天销售，过期销毁。

（1）如果该面包店只为某些宾馆服务，宾馆每天分四批来取货，每次取货的面包样式及数量提前一天告知面包店，则面包店应该如何安排，才能使每天的收益最大？
（2）如果面包店同时还面向大众零售服务，则应该如何安排生产计划才能使预期的收益最大？
请为面包店建立模型安排每天的生产计划，并自己给出数据检验模型的效果。

说明你的数据产生的方式，评价模型的优缺点。

二、问题的背景及分析
2.1问题的背景
2.1.1问题一：
本问题研究的是面包房烘烤面包最优效率问题。

每个面包烘烤所需时间以及他们所占用的烤箱容量不尽相同，如果随机组合烘烤，不但不能提高烤箱利用率反而会降低总效率而且浪费很多资源，也有可能把面包烤坏。

如何设计一个烘烤方案组合，充分利用烤箱容量，使得烤箱的工作时间尽可能短。

根据所给数据，面包种类繁多，不宜人工进行简单组合，所以我们采用线性规划思想，运用matlab软件建立数学模型，进行优化计算得出最优组合。

2.1.2问题二：
根据市场分析，目前消费市场竞争日趋激烈，面包店的整体布局也应该随着由于每一天市场的不稳定性以及一些问题的不确定性，我们对求解的模型作一些合理化的假设：
1、不考虑产品需求预测估计值的误差，也不考虑产品各项成本费用在此阶段时间的变化。

2、为方便起见，时间和产量都分别处理。

固定的认为该天该产品的数量
3、面包的种类要配合地点和顾客阶层，才会有理想的销售量。

代替点人的甜面包、填饱肚子的调理面包、吐司之类的主食面包等等，会因位于商业区、办公区或住宅区而有不同的销路。

另外，供应薪水阶级、职业妇女或孩子的面包种类也有不同。

4、面包的市场需求量与时间成如下正态分布曲线图：
2.2 问题总体分析
2.2.1问题一：
这个优化问题的目标就是要使面包店的收益最大，要做的决策就是生产计划，而宾馆所需面包的样式和总类已经提前知道，所以只需考虑面包烘烤的时间，建立模型从而求出的时间最小值，即为利润最高的最优解。

2.2.2问题二：
本问题考虑到了面包烘烤前还需要一定的准备时间（制作，发酵），这样就使得问题变得更加的复杂和多元化，模型的建立将受到多重因素的制约。

据此，我们采用层次分析法，我们将此问题分为了三个阶段来解决，首先，面包只准备不烘烤阶段；然后，边准备边烘烤阶段；最后，所有面包都已准备好即进入了只烘烤阶段。

对三个阶段逐一分析，最终求出最优化模型，得出最优组合。

三、模型假设
1、假设两个烤箱的规格是一样的，有相同的烤盘数（烤盘规格也一样）。

2、假设所需温度和所需条件相同时，烤箱预热时间忽略不计。

3、在保证每次烘烤拿出、放入面包的次数少的前提下，其时间可忽略不计。

4、假设每个烤盘所能烤的面包数量是一样的。

5、面包准备好以后，停放时间不影响其烘烤时间。

6、烤箱的烘烤效率不随时间变化，烤箱的烘烤效率与面包所占烤箱容量无关。

7、对于问题二，不考虑节假日等特殊情况。

四、符号说明
n:每个烤箱烤盘数量
m: 该店可以烤制的面包样式总数（m>=10）. Ai: 各种样式的面包数量 i=1,2,3,…,m
tj: 各种样式的面包烤制所需的时间 j=1,2,3,…,m Ai: 第一、二、三、四批宾馆所需面包数量 f=1,2,3,4 Te: 第一、二、三、四批面包烤制所需的时间e=1,2,3,4
ni: 宾馆每批面包面包中A1,A2,…,Am 各样式所需的数量i=1,2,3,…,m Qk: 各种样式的面包成本 k=1,2,3,…,m
Cg: 各种样式的面包销售后的不同利润 g=1,2,3,…,m
Bq: 零售服务时，各种样式的面包各户所需的数量。

q=1,2,3,…,m w: 每个烤盘所能容纳的面包数量
X ：每个烤箱一次可以烘烤的面包数量：x=nw
S :当天除面包成本外，其他费用总和（如：水电费、职工工资、房租等）。

五、模型的建立与求解
5.1生产优化模型的建立
5.1.1生产模型一
（同一烤箱烘烤同种面包）
假设总利润最大时，第一批面包生产所需时间（当烘烤时间最小时，收益最大）
(1112)
11....212222....313233. (4142)
44a a a A
m a a a A m a a a A m a a a A m +++>=⎧⎪+++>=⎪⎪⎨+++>=⎪⎪
+++>=⎪⎩
1+n 11121/2/2+t 111212b n n T t n nw t n nw =++⎧⎪⎨
=++⎪⎩…1m …n /2nw m 1m
同理，第二、三、四批时间计算一样，时间分别为T2,T3,T4；
面包样式 烘烤时间（分钟） 所需的数量 成本（元/个） 利润(元/
个) 所需数量（/
个） A1
t1 n1 Q1 C1 B1 A2 t2 n2 Q2 C2 B2 A3 t3 N3 Q3 C3 B3 … … … … … … Am tm nm Qm
Cm
Bm
1
112/2/2+t 2122223/2/2+t 3123234/2/2+t 412424T t n nw t n nw T t n nw t n nw T t n nw t n nw ⎧=++⎪
⎪
=++⎨⎪
=++⎪⎩…n /2nw
m m …n /2nw m m …n /2nw m m
因此烘烤宾馆胡四批面包花费总时间为
4i=11
T=T1+T2+T3+T41 =*2nw m
j tj ni j =∑∑
Min T=T1+T2+T3+T4
s.t 11112121212122223131232341412424t /2/2/2t /2/2/2t /2/2/2t /2/2/20,1,2,...,m m m m m m m m j T n nw t n nw t n nw T n nw t n nw t n nw T n nw t n nw t n nw
T n nw t n nw t n nw t j m
⎧=+++⎪
=+++⎪⎪
=+++⎨⎪=+++⎪⎪>==⎩
利用matlab 程序如下：
f = [1；1；1；1];
Aeq=[11/2n nw 12/2n nw ... 1/2m n nw ; 21/2n nw 22/2n nw ... 2/2m n nw 31/2n nw 32/2n nw ... 3/2m n nw 41/2n nw 42/2n nw ... 4/2m n nw ];
Beq=[T1 T2 T3 T4]; vlb=zeros(m,1); vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],vlb,vub)
5.1.2生产模型二
(混合烘烤，即同一烤箱中同时烘烤多种面包，则烘烤时间以最后烘烤完成的面包时间计算)
当需要比较短时间烤制的烤熟时，再次放进去烤的面包烤制时间比之前所需烤制时间最大的要小,并且一次可以全部烤完每一批所需的该种类面包。

第一批面包生产所需时间:
i T(1)=t （1<=i<=m ）(第一批面包中烤制时间最长的)
第二批面包生产所需时间:
(2)j T t =（1<=j<=m ）第二批面包中烤制时间最长的)
第三批面包生产所需时间:
(3)T t p
=（1<=p<=m ）(第三批面包中烤制时间最长的)
第四批面包生产所需时间:
q T(4)=t （1<=q<=m ）(第四批面包中烤制时间最长的)
因此烘烤宾馆胡四批面包花费总时间为
'T =T(1)+T(2)+T(3)+T(4)
=t +t +t +t
i j p q
本题是一个在最小的时间里达到最大的利润的问题，由题目可以看出，利润最大化是我们的目的，数学模型如下： Max 1m
i i C C S ==-∑
s.t (1112)
11....212222....313233....4142440,1,2,3,4,1,2,...,ij a a a A
m a a a
A m a a a A m a a a A m a i j m
⎧+++>=⎪+++>=⎪⎪⎪
+++>=⎨⎪
+++>=⎪⎪>===⎪⎩
s.t 111112222233333m m m m m
C H Y S Q C H Y S Q C H Y S Q C H Y S Q =-⎧⎪=-⎪⎪
=-⎨⎪⎪=-⎪⎩
这里我们可以根据上面的公式求解。

根据分析，我们可以选择求利润最大化的思路求解。

5.1.3模型比较
生产模型一与生产模型二原料生产成本是一样的，只需比较T 与T ’时间的长短即可，时间长的生产模型消耗的成本更高，故时间较短的为较优模型 问题一：
由上表所设可求出每种样式的面包的利润C1,C2,C3,…,Cm ，以及总利润C 1、每种样式利润 11111
22222
33333
m m m m m
C H Y S Q C H Y S Q C H Y S Q C H Y S Q =-=-=-=-
2、总利润
123m C C C C C S =++++- 即
()112233112233()m m m m C H Y H Y H Y H Y S Q S Q S Q S Q S =++++-++++-
问题二：
由上表所设可求出每种样式的面包的利润C1,C2,C3,…,Cm ，以及总利润C
1、每种样式利润
111111111222222222333333333()()()()
()m m m m m m m m m C H Y S Q PL R Q C H Y S Q P L R Q C H Y S Q P L R Q C H Y S Q P L R Q =-+-=-+-=-+-=-+-
样式 日生产量 日销售量 单价（元） 成本（个/
元）
利润（个/
元） A1 S1 H1 Y1 Q1 C1 A2 S2 H2 Y2 Q2 C2 A3 S3 H3 Y3 Q3 C3 … … … … … … Am
Sm Hm Ym Qm Cm
样式 宾馆产量 零售产量 宾馆售量 零售量 宾馆单价（元） 零售单价（元） 成本（个/元） 利润（个/
元）
A1 S1 R1 H1 P1 Y1 L1 Q1 C1 A2 S2 R2 H2 P2 Y2 L2 Q2 C2 A3 S3 R3 H3 P3 Y3 L3 Q3 C3 … … … … … … … … … Am
Sm
Rm
Hm
Pm Ym Lm Qm Cm
2、总利润 123max
m C C C C C S =++++- 即
()
max
()112233112233()(+++)112233112332
C H Y H Y H Y H Y S Q S Q S Q S Q
m m m m
P L P L P L P L R Q R Q R Q R Q S m m m m
=++++-+++++++++-+-
六、模型的检验
数学模型一般是实际事物的一种数学简化。

它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。

要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。

为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行的相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的紧密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅猛发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从经济和科技的后备走到了前沿。

经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。

培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要组成部分。

本论文采用了线性规划的方式将实际生活中的问题转化为数学模型，模型的建立具有一定的实用价值，但是此论文中考虑的因素相对于实际而言较少，因此， 模型的说服力有待考证。

对于模型一：论文中考虑了两种情况，方式一两个烤箱中可以烤同种面包，这种方式可以减少频繁拿出面包所消耗的时间，但是这样会面临其它的问题，比如说可能宾馆需要的面包种类比较多，这样烤制好满足需要的面包所需要等待的时间将会被延长；方式二两个烤箱中可以烤制不同种类的面包，由于各种面包需要烤制的时间不一样，所以不可避免要频繁拿出烤好的面包，这样就会花费大量时间，但是它的优点也比较明确,可以尽量满足需要，不会出现供不应求的状况。

对于模型二：在模型一的基础上加上了零售服务，此时要考虑的因素比较多，宾馆的数量提前知道，这一部分产量必须保证，在此前提下，必须协调好零售和批发销售两方面的关系，满足两方面的需求，同时必须使产量和销售量达到一定的平衡，保证利润，尽量减少成本。

七、模型的优缺点分析
7.1 模型优点：
1、模型是由简单到复杂一步步建立的，增强可读性、理解性，逻辑性强；
2、0-1规划较能直观的体现出变量与系数之间的关系，将原始的离散数据紧密联系在一起。

3、层次分析法能够使复杂多变的问题，变得更有调理更明确。

4、适合多种复杂多变的问题求解。

5、在建模过程中将一些给定的条件参数化，使得模型更具一般性，可应用范围广；
7.2 模型缺点：
1、零售和批发的利润不一样，但烤制时间一样，我们的模型则是把零售与批发的利润等同考虑
2、烤的时间，视面包的大小而定。

一般体积大的面包，为了完全成熟应该用小火，烤的时间长一点；体积小的面包，温度可以适当的高一点，快速烤熟，保持水分使面包松软。

3、各种不同的产品，烤焙时需要不同的温度及湿度，一般的适用温度为190.5℃~232℃；烤炉湿度有高有低。

假如只单靠面包于烤焙时水分蒸发，则温度增加不大，某种特殊产品如硬式面包，而要湿度较大的烤炉。

因此在烤炉内通入蒸汽管，喷入蒸汽增加烤炉湿度，一般的烤焙时间依温度高低由25到35分，温度高烤焙时间短，温度低烤焙时间长。

所以烤焙必须考虑三种因素，温度、湿度及时间。

八、模型的推广与改进
此模型是针对生产规模比较小的情况下建立的，这里考虑的因素还是太少，而现实中的影响因素可能会远远多于上述列出的因素，所以建立的模型过于简单，在这种情况下模型的可信度（即接近实际情况的程度）是一个值得注意的问题，其适用性相对来说比较差。

总之，模型考虑的因素越多就越接近于实际情况，但是，它的指导意义和可模拟性也就越差。

所以，模型可以适当地改进，但是不应该过多地考虑不太必要的因素。

随着消费市场的不断改革，生产技术的先进，人们对面包品种的喜爱呈现多样化追求，此模型必须随之更加复杂化。

针对模型一：影响收益的因素不止来源于面包的利润，而且和生产者的经营方式，经营理念有着莫大的联系，所以此模型考虑的均是客观因素，而忽略了主观因素。

若使模型更有说服力，可以将这些因素考虑在内。

针对模型二：零销售量可能随着人们生活水平的提高，其在收益中所占的比例可能会超过提供给宾馆的，提供给宾馆的数目是提前知道的，如何协调好两方面的需求，巩固市场，模型的建立需要更加高效，才能有说服力。

九、参考文献
[1]常巍，谢光军，黄朝峰，MATLABR2007基础与提高；北京：电子工业出版社；2008.
[2]韩中庚，数学建模的方法及应用，北京：高等教育出版社； 2007年.
[3]方世昌，离散数学，西安：西安电子科技大学出版社，2009年.
[4]谢金星，薛毅，优化建模与LINGO软件，北京：清华大学出版社， 2007
附录：
附录一（问题二）： 面包的生产和销售数据
日时间段（小时） 销售数量（个） 日生产能力（个）
成本（元） 6：00～10：00 150 180 270 10：00～14：00 100 110 165 14：00～18：00 80 90 135 18：00～22：00 60 50 75 合计 390
430 645
平均每个面包的成本是1.5元 利用matlab ，写出程序如下： max 122 1.5f x x =-
12121212012000390
500600
x x x x x x x x -<=⎧⎪+<=⎪⎪>=⎪⎨
>=⎪⎪<=⎪<=⎪⎩
f = [-2;1.5]; A = [1 -1; 1 1]; b = [0 1200]; vlb=[0 390]; vub=[500 600];
[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],vlb,vub) 得到结果如下： x =
500.0000 500.0000
fval =
-250.0000
所以，最大的利润的生产方案为（500,500），最大利润为250。