6-函数的奇偶性

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函数的奇偶性及奇偶函数的图象.ppt

y
o 若利用对称法作图：
x
先作出 x ≥ 0 的图象
可知函数是偶函数再用对称法作出另一半的图象；
例5、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时， f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。解：∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f (－ x ) = － f ( x ) 即 f ( x ) = － f (－ x ) y
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促
进中国社会发展。
(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压
中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。
(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和
定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；
反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是奇（偶）函数。
此定理的作用：简化函数图象的画法。
例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象： y y
o
x
oxΒιβλιοθήκη 1）若函数是奇函数2）若函数是偶函数
例4、作出函数 y = x 2 － | x | －6 的图象
[典题例析] [例2] (2010· 福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事业是 A．电报业 C．铁路交通业 ( )
B．大众报业 D．轮船航运业

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．【答案】－1【解析】∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.3.若的图像是中心对称图形,则( )A．4B．C．2D．【答案】B【解析】，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．故选B.【考点】奇函数4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选A.5.已知函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝()A．－20B．－18C．－15D．17【答案】C【解析】由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.6.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.7.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.8.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.9.函数y＝sin22x是()．A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】D【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，则周期为：＝，且为偶函数．10.已知，其中是常数．（1））当时，是奇函数；（2）当时，的图像上不存在两点、，使得直线平行于轴．【答案】证明见解析．【解析】(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，当然如果你代数式变形的能力较强，可以直接求然后化简变形为，从而获得证明；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，，，因此原方程最多只有一解，或者用反证法证明，设存在，即有两个，且，使，然后推理得到矛盾的结论，从而完成证明．试题解析：（1）由题意，函数定义域， 1分对定义域任意，有：4分所以，即是奇函数. 6分（2）假设存在不同的两点，使得平行轴，则9分化简得：，即，与不同矛盾。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解6---函数的奇偶性、周期性与对称性

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.(×)(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．(×)(3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．(√)(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(√)教材改编题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2023)＝______.答案1 2解析∵f(x)的周期为2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝1 2.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋(－x)2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )() A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 答案－1解析∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1，∴g (－1)＝1，∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是() A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案B解析f(x)＝1－x1＋x＝2－(x＋1)1＋x＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f(x－1)＋1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.题型二函数的周期性例3(1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132等于() A ．－94B ．－14C.14D.94答案A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，且f (1)＝2，则f (2023)＝________.答案－2解析f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝－f (1)＝－2.教师备选若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2023)＝________.答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339答案B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)的周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．答案①③④解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．答案x＝1 2解析内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝12，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是x ＝12.教师备选已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．跟踪训练3(1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2025)＝________.答案1解析∵f (x )的周期为6，则f (2025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2025)＝1.(2)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的图象关于点(π，0)对称．答案②③④解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故④正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上()A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.2．若函数f (x )＝12x －1＋a 为奇函数，则a 的值为() A ．－2B ．－12C.12D ．2答案C解析方法一(定义法)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴12－x －1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ， ∴2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x －1＝1， ∴a ＝12.方法二(特值法)f (x )为奇函数，且x ≠0，∴f (－1)＝－f (1)，∴a －2＝－(a ＋1)，∴a ＝12.3．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案B解析f(x)＝32x＋13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案1 3解析因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝13，同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0.则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝12，则m ＝______. 答案12解析由f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12，∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于()A ．－7B ．－3C ．3D ．7答案B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x ＋a ，则g (1)等于()A ．a ＋54B.54C.34D ．a ＋34答案C解析依题意⎩⎨⎧ f (1)＋g (1)＝2＋a ①f (－1)＋g (－1)＝12＋a ，②又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴②式可化为f (1)－g (1)＝12＋a ，③由①③可得g (1)＝34. 13．已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于点(2,0)对称；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )的周期为4；④f (x )的周期为8.答案①④解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，f (－x )＝f (x )，又∵f (x ＋2)是奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，∴f (x )的图象关于(2,0)对称，又∵f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )为周期函数且周期为8.14．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (－x )＋f (x )＝2，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝x ＋1有三个交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则y 1＋y 2＋y 3＝________.答案3解析因为f (－x )＋f (x )＝2，则f (x )的图象关于点(0,1)对称，又直线y ＝x ＋1也关于点(0,1)对称，因为y ＝f (x )与y ＝x ＋1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y 1＋y 2＋y 3＝2＋1＝3.15．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝________. 答案11011解析因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 4＋2·4x 4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝m ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＝m ，② ①＋②得2022＝2m ，即m ＝1011，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝1011. 16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P .(1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解(1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P .(2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)，所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)，得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝12.。

函数单调性、奇偶性、周期性

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理（一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法。

1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数围，一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题，接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。

4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减，增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数：)(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域的单调性。

（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

2、三角函数的周期①π==T x y :tan ，||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值围是 .变式1、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、函数1()f x x x=-的图像关于（）A ．y 轴对称B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称（二）考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性（1）22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ （2）24()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1）21()log 1x f x x -=+ （2）1,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数（B ）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数（D ）f(x)+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y xf y yf x +=+，求证()f x 是偶函数。

数学函数的奇偶性与周期性课件

数学知识点：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧1－x≠01＋x1－x ≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用例3.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2， ∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，② ①＋②得f (a )＋f (－a )＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1，∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)， ∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)．二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2. 答案：－2 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． ②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )． ③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0，即x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2. 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点，由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12.答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图象关于x ＝1对称； ④f (x )的图象关于x ＝2对称．解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确．又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确，又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误．答案：①②③ 三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a≥－12，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.综上得，当－12≤a≤12时，函数f(x)的最小值为a2＋1.。

高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2第1课时奇偶性的概念a高一第一册数学

①当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)3+3(-x)21=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x). ②当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1= -(x3+3x2-1)=-f(x). 由①②知,当 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.
C.关于原点对称
D.关于直线 y=x 对称
解析:因为 f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称.
答案:B
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3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( )
A
B
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C
D
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解析:选项 A 中的函数图象关于原点或 y 轴均不对称,故排除;选项 C,D 中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项 B 中的图象关于 y 轴对称,其表示的函数是偶函数.故选 B.
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方法规律
判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:
(2)图象法:即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数的图象关于 y 轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择题和填空题中.
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方法规律 (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 注:对于分段函数奇偶性的判断方法是对每一段定义域内的任意自变量 x,检验 f(-x)与 f(x)的关系.

人教版高一数学必修第三节函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．5．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12解析：选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________．解析：由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e2＝－2，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2. 答案：ln 28．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2. 所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4. 法二：由已知得f (a )＝a ＋1a－1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________．解析：当x >0时，lg x >0，所以x >1，当x <0时，由奇函数的对称性得－1<x <0，故填(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.B 级1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，∴2a ＝－1，解得a ＝－12.法二：(特殊值法)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)， ∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，∴a ＝－12.答案：－123．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。

函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

2019新版高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质第6节函数的奇偶性(1)

x2 x＋1 解析：选 D ∵函数 y＝ x＋1 的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， ∴此函数既不是奇函数又不是偶函数．
例 2：若 f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b 是偶函数，其定义域为[a－3,2a]，则 a＝________， b＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称，即有 2a＋a－3＝0，∴a＝1. 又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，故有 b＝－3.答案：1 －3
解：令 g（x）=ax3﹣bx，则由奇函数的定义可得函数 g（x）为 R 上的奇函数， ∴由 f（﹣3）=g（﹣3）+1=1 得，g（﹣3）=0， ∴f（3）=g（3）+1=﹣g（﹣3）+1=1．
4.已知函数
是奇函数，则 a= ．
解：∵y=f（x）=
的定义域为（﹣1，1），且函数为奇函数,∴f（0）=|2+0|+a=0，解
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
解：因为 f（x）为定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）=20+2×0+b=0，解得 b=﹣1，所以当 x≥0 时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为 f（x）为定义在 R 上的奇函数，所以 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选 A．
例 6：已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x) 的解析式．
8.定义域为 R 的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 成立，且当 x＞0 时，f(x)＜0 恒成立，判断函数 f(x)的奇偶性。
解：f(x)为奇函数，

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

高一数学函数奇偶性知识点归纳

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

人教版高中数学必修一第6讲：函数的奇偶性(教师版)

人教版高中数学函数的奇偶性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解函数的奇偶性及其图像特征；2、能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。

换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。

2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。

若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。

《函数奇偶性》教学设计

《函数奇偶性》教学设计《函数奇偶性》教学设计函数奇偶性是数学学习中较为难以理解的章节，教师要做好教学引导工作，下面是店铺给大家提供的函数奇偶性教学设计，大家可以参考阅读，更多内容请关注应届毕业生考生网。

整体设计教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的.教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然.值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.三维目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义.教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式.课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢?(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢?下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢?(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性?引出课题：函数的奇偶性.推进新课新知探究提出问题(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.图1(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?表1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=x2表2x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=|x|(3)请给出偶函数的定义.(4)偶函数的图象有什么特征?(5)函数f(x)=x2，x∈[-1,2]是偶函数吗?(6)偶函数的定义域有什么特征?(7)观察函数f(x)=x和f(x)=1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质?活动：教师从以下几点引导学生：(1)观察图象的对称性.(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.(3)利用函数的解析式来描述.(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称.(5)函数f(x)=x2，x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2，f(-2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称;④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法; ⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质.讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称.(2)表1x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9表2x -3 -2 -1 0 1 2 3f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(-x)=f(x).(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(4)偶函数的图象关于y轴对称.(5)不是偶函数.(6)偶函数的定义域关于原点对称.(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称.应用示例思路1例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+1x;(4)f(x)=1x2.活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数f(x)=x4是偶函数.(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)，所以函数f(x)=x5是奇函数.(3)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+1-x=-x+1x=-f(x)，所以函数f(x)=x+1x是奇函数.(4)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x)，所以函数f(x)=1x2是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.变式训练设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数解析：A中设F(x)=f(x)f(-x)，则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;C中设F(x)=f(x)-f(-x)，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f( x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D例2 已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)=__________.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞，0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0，+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞，0)上的自变量对应的函数值.解析：当x∈(0，+∞)时，则- x<0.又∵当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案：-x-x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.变式训练已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+3x，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0;当x<0时，-x>0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3-x]=-x2+3x，综上所得，f(x)=思路2例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=2x4，x∈[-1,2];(2)f(x)=x3-x2x-1;(3)f(x)=x2-4+4-x2;(4)f(x)=1+x2+x-11+x2+x+1.活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1+x2>x2=|x|≥-x，则1+x2+x>0.则函数的'定义域是R.解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)=2x4，x∈[-1,2]既不是奇函数也不是偶函数.(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)=x3-x2x-1既不是奇函数也不是偶函数.(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0，∴x=±2，即f(x)的定义域是{-2,2}.∵f(2)=0，f(-2)=0，∴f(2)=f(-2)，f(2)=-f(2).∴f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数.(4)函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=1+x2-x-11+x2-x+1+1+x2+x-11+x2+x+1=1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)=1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)=0，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等;(2)当f(-x)=f(x)时，此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时，此函数是奇函数;(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数;(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.变式训练函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)x在区间(1，+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间(-∞，1)上有最小值，所以直线x=a位于区间(-∞，1)内，即a<1.g(x)=f(x)x=x+ax-2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，+∞)上的单调性.设1<x1<x2，< p="">则g(x1)-g(x2)=(x1+ax1-2)-x2+ax2-2=(x1-x2)+ax1-ax2=(x1-x2)1-ax1x2=(x1-x2)x1x2-ax1x2.∵1<x1<x2，∴x1-x21>0.</x1<x2，∴x1-x2<x1<x2，∴x1-x2又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).< p="">∴函数g(x)在区间(1，+∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，+∞)上没有最值.答案：D例2 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1，(1)求证：f(x)是偶函数;(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数;(3)试比较f-52与f74的大小.活动：(1)转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f-52和f74转化为同一个单调区间上的函数值.(1)证明：令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)-f(x1)=fx1•x2x1-f(x1)=f(x1)+fx2x1-f(x1)=fx2x1.∵x2>x1>0，∴x2x1>1.∴fx2x1>0，即f(x2)-f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f-52=f52.由(2)知f(x)在(0，+∞)上是增函数，则f52>f74.∴f-52>f74.点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较 .其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.变式训练已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.分析：(1)利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=-1，得f(-1)的值;(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(xy)=yf(x)+xf(y)，∴令x=y=1时，有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1).∴f(1)=0.∴令x=y=-1时，有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1).∴f(-1)=0.(2)是奇函数.∵f(x)对任意x，y都有f(xy)=yf(x)+xf(y)，∴令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数.知能训练课本本节练习，1,2.【补充练习】1.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=__________.解析：∵函数 y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2)，f(-1)=-f(1).∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3.答案：-32.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1,2a]，则a=__________，b=__________.解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a-1+2a=0.∴a=13.∴f(x)=13x2+bx+1+b.又∵f(x)是偶函数，∴b=0.答案：13 03.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2解析：f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0) =-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0.∴f(6)=0.故选B.答案：B拓展提升问题：基本初等函数的奇偶性.探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;反比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数;二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.课堂小结本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.作业课本习题1.3A组6，B组 3.设计感想单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.(3)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0，f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数;如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(-b，-a)上具有相同的单调性;如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(-b，-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=f(x)-f(-x)2+f(x)+f(-x)2.(8)若f(x)是(-a，a)(a>0)上的奇函数，则f(0)=0;若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(- x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.</g(x2).<></x1<x2，∴x1-x2</x1<x2，<>【《函数奇偶性》教学设计】。

函数的奇偶性及周期性

1第3讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．()(6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( ) 定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1 已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B ．13 C ．12D ．－12(教材习题改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．(教材习题改编)函数f (x )的定义域为R ，且对于x ∈R ，恒有f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则f (2 018)＝________．判断函数的奇偶性 [典例引领]判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－2，x ＜0.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[注意] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(3)．[通关练习]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x22．设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数函数奇偶性的应用 [典例引领](1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－22．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．23．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________．函数的周期性 [典例引领](1)周期为4的奇函数f (x )在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，log 12x ＋1，1<x ≤2，则f (2 018)＋f (2 019)＝( )A ．0B ．－1C ．2D ．3(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.． (1)判断函数周期性的方法①定义法：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .②结论法：对f (x )定义域内任一自变量的值x ，i ．若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)；ii.若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)；iii.若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[通关练习]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9函数性质的综合应用(高频考点)[典例引领]角度一函数的奇偶性与单调性相结合已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)角度二函数的奇偶性与周期性相结合(2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．角度三函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)[通关练习]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23 D ．⎣⎡⎭⎫12，23 2．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (2)＝3，则f (2 018)＝________.3第3讲函数的奇偶性及周期性1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数 3．若函数f (x )＝ln(ax ＋x 2＋1)是奇函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．04．(2018·成都第一次诊断)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝( )A ．－18B ．18C ．－1258D ．12585．设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________． 7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．8．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝________. 9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 1－3x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x8.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．1．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2，2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )A ．f (π)<f (3)<f (2)B ．f (π)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (3)<f (π)D ．f (2)<f (π)<f (3)2．(2018·石家庄第一次模拟)若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得f (－x )＝f (x )，则称f (x )为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x3．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( ) A ．(1，3) B ．(－1，1) C ．(－1，0)∪(1，3) D ．(－1，0)∪(0，1) 4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________. 5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．。

函数奇偶性与单调性

一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,那么称函数()y f x =为偶函数；()()f x f x =--,那么称函数()y x =为奇函数.性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,假设,x D ∈那么x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分)(3)假设0D ∈,那么()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分)(4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;假设0c =那么()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数⇔()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集)(5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 图像关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 图像关于y 轴对称.(6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =那么在D 上有:(7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数⇔偶次项系数全为0；多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数⇔奇次项系数全为0.二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 假设()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 假设()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间.性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有假设干个增减性不同的单调区间;假设函数()f x 在整个定义域上单调,那么称()f x 为单调函数.(2)函数单调性二个等价形式：①()()()121200f x f x x x -><⇔-在D 上单调递增(递减);②()()()()121200x x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦()f x 在D 上单调递增(递减).(3)假设()f x 在R 上单调递增,那么()()f a f b a b >⇔>;假设()f x 在R 上单调递减,那么________. (4)设12,,x x D ∈那么()()()()1212(0)x x f x f x f x --><⇔⎡⎤⎣⎦在D 上是增(减)函数.(5)单调性与奇偶性:假设奇函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),那么()f x 在区间[],b a --上单调递增(减);假设偶函数()f x 在区间[],a b 上单调递增(减),那么()f x 在区间[],b a --上单调递减(增); (6)复合函数单调性:两个单调函数()f x 与()g x 复合,不管复合结果是()f g x ⎡⎤⎣⎦还是()g f x ⎡⎤⎣⎦,有如下性质:假设()f x 与()g x 单调性相同,同增或同减,那么复合结果为增;假设()f x 与()g x 单调性相反,一个增一个减,那么复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减〞.单调区间的书写要求:假设函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是假设函数在区间的端点处没有定义,那么必须写成开区间.另外,假设函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都是单调增〔减〕函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上是增〔减〕函数.例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上也是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数.事实上,假设取1211x x =-<=,有(1)11(1)f f -=-<<.一、函数的奇偶性题型一判断并证明函数的奇偶性方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.假设不对称,那么为非奇非偶函数;假设对称,那么再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否认义域上的恒等式; (2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性. 说明：(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称; (3)假设判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数. 例1.判断以下函数的奇偶性:(1)x xx x f ++=1)(2； (2)()(1f x x =-(2)()0f x = (4) ()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f(5)()2212-+-=x x x f(6)函数)(x f 满足:),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++,且0)0(≠f ,那么函数)(x f 的奇偶性为________.题型二利用奇偶性求函数式或函数值例2.完成以下各题:1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数,又当0>x 时2()23f x x x =--,试求)(x f 的解析式.3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x <≤时,()f x x =,求(7.5)f 的值.4.设()f x 在R 上是偶函数,在区间(,0)-∞上递增,且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+,求a 的取值范围.5.函数53()4f x ax bx =++,假设(2)0f -=,求(2)f 的值.6.假设函数()f x 是偶函数,那么=--+)211()21(f f ________. 7.()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且()()11f xg x x +=-,试求()()f x g x 与的表达式.题型三逆用函数奇偶性求参数的值例3.1.假设函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数,求实数,m n 的值。

函数的奇偶性

奇偶性首先要判断定义域，要定义域关于原点对称才有奇偶性。

若不关于原点对称就非奇非偶。

然后算出 f（-x）等于什么，若f（-x）=f（x）则为偶函数，若f（-x）=-f（x）则为奇函数。

单调性要假设x1和x2，假设x1>x2，比较f(x1)和f（x2）的大小，可以求差，也可以求商（最难的就是这一步要看你平时的功力了）。

f（x1）大就是增函数，f（x2）大就是减函数。

这些书上都有吧，步骤别忘了。

可以多练一些熟悉基本方法。

不懂也可以问老师。

看图像，用解析几何方法函数奇偶性1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=0，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图像关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f(x)为偶函数《＝＝》f(x)的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

6函数的奇偶性

a

1
为奇函数，则实数
1
a
值
x1 xa
(4)若 f x ax2 b 1 x 3, x a2 2,a
为偶函数，则实数 a __1___,b __1___ .
注：函数的奇偶性给出了等量关系
Ex：已知 f x是R上的偶函数,当 x 0 时,
f x x2 x,则 x 0 时,f x __x_2___x______. Ex：定义在R上奇函数 f x ,在 x 0 时
f x x2 x 1 ,求函数解析式. x2 x 1 x 0
f x 2x 2x , g x 2x 2x
2 f x 1 0有五个不同的实根x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,,
则x1 x5 __0___ .可利用示意图帮助判断
问：如果是R上关于直线 x 2对称的函数呢？ 10
Ex：设 f x 是连续的偶函数，且当x 0时，
f
x是单调函数,则满足
x2 2x

x
2

2
x
x0 x0
奇
奇偶性的证明方法一般是定义法： ①.看定义域是否关于原点对称
②.若满足①，再看f(x)与f(-x)的关系
对复杂函数的奇偶性判断，不要轻易下结论，应先化简
Ex：判断下列函数的奇偶性
1
f
x

x 2

x 1 2x
2 f x log2 1 x2 x5 5
f
x
f

x3 x 4
的所有
的 x 之和___8___.
Ex：设函数 f x是定义在R上奇函数,当x 0

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第六节函数的奇偶性
一、选择题
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
，t]，则t＝________________________________.
，若当x∈[0,5]时，
f
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)
－x2，x>0，，x＝0，
2－1，x<0.
11．已知奇函数f(x)
x2＋2x(x>0)
(x＝0)
2＋mx(x<0)
.
2a
14x
____________________________．
15．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
参考答案
1．B [F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．
又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．]
2．D [∵f (－x )＝－f (x )，A 、B 显然正确，
因为f (x )·f (－x )＝－[f (x )]2≤0，故C 正确．
当x ＝0时，由题意知f (0)＝0，故D 错误．]
3．A [函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错；函数y ＝1x
是奇函数，但不过原点，故②错；函数f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
y f (x f (x )当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.
综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )为R 上的奇函数．
11．解(1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .
又f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，
∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2.
y ＝f (x )的图象如图所示．>23.14．f (72)<f (1)<f (52
)解析因y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上
是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，∴f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)．15．解(1)令a ＝b ＝0，f (0)＝0＋0＝0；
令a ＝b ＝1，f (1)＝f (1)＋f (1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．。