第四章 频域特性3最后补充

对数相频特性
补充. 非最小相位环节
与对应最小相位环节相比，对数幅频特性相同， 对数相频特性关于实轴对称（-K除外）
G(s)=-K -180o
G(s)=1/(-Ts+1) 0 ~ 90o
G(s)=-Ts+1
0 ~ -90o
0 ~ 180o
1 G (s) 2 s 2 s 1 2 wn wn
j 2 ( w )
Ar ( w)e
j r ( w )
A1 ( w) A2 ( w) Ar ( w)e Ai ( w) [e
i 1 r j
j [1 ( w ) 2 ( w ) r ( w )]
]
即开环系统的幅频特性与相频特性为：
A( w) Ai ( w)
s 2 2 G( s) 2 s 1 wn wn
0 ~ -180o
§5-7 系统开环对数频率特性(Bode图)的绘制
一、系统开环对数频特性
系统开环传函由多个典型环节相串联：
G(s) H (s) G1 (s)G2 (s)Gr (s)
G ( jw) H ( jw) G1 ( jw)G2 ( jw) Gr ( jw) Ai ( w) [e
2
3
-40dB/dec
1
10
0
-10
-20
-30
-40 0 10
10
1
10
2
30
K G( s) s (Ts 1)
-20dB/dec 20
2
， 转角频率为
2
斜率为
10
40 dB / dec 的直线
， 与/或其延长线与0分 贝线的交点为 3 由此得到 K K 1 1 K 2 2 3 T T
下图所示为II型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种 不同情况： (1)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与横轴相交， 则交点 处的频率 =K1/2；(2)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lg K
dB
II型系统
40dB/ dec
斜率为 40 dB / dec 的起始线段/或其 延长线，与 1 的直线的交点具 有的幅值为
证明 在1型系统中 G ( j ) K , 1 j 斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或
20 log K j 20 log K
1 1
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 证明 设交点上的频率为 K 1 1 j1
K
K 1
2
30 -20dB/dec 20
K、T1、T2、T3 0
例2 某单位反馈系统的开环传函为：
K (T4 s 1) G( s) (T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
试概略绘制系统开环幅相图。
K、T1、T2、T3、T4 0
例3 某单位反馈系统的开环传函为：
K G( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
对右下图I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情 况： （1） 低频段或低频段延长线与横轴相交，则交点处的频率 =K ；
（2） 低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg K 。
I型系统
斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 1 的直线的交点具有的幅值为 20log K
二、系统开环对数频特性曲线的绘制
控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时， 应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘 制。
b0 s b1s bm 1s bm G ( s) H ( s) s n a1s n 1 an 1s an
的起始线段/或其延长线与 0分贝线的交点的频率为
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
0
a 在数值上等于
的平方根 证明
( 对数坐标 )
a Ka
K
1
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
K 20log1 0 2 ( ja )
20log
a K
2 绘制步骤概括如下: (1) 将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式 ,确定各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注 到半对数坐标纸上（不妨设为：w1、w2、w3、w4 ……）； (2) 绘制L()的低频段渐近线；
(3) 按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基 础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜 率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。 (4)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以 修正。
cf1_dB=23.5218252
-20dB/dec
10
0
cf2_dB=9.5424251
-40dB/dec
-10
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
10
0
-40 -1 10
10
1
15 G( s) ( s 1)(0.2s 1)
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
G (2). I型系统的低频起始段的绘制 ( s) H ( s) K / s
2 12 3
0
2
-40dB/dec
-10
3
1
-20
-30
-40 0 10
10
1
10
2
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
1 3 3 2
在伯德图上 log1 log3 log3 log2
3 点恰好是 2 点与 1 点的中点
(3).
II型系统的低频起始段的绘制 (s) H (s) K / s 2 G
对数幅频特性记为
对数相频特性记为
单位为分贝（dB)
单位为弧度（rad)
L(w) (dB) . . . 40 20
0 －20 －40 . . . . . . 90o 0.01 0. 1 1
10
w lgw
对数幅频特性
(w)
45o 0o
－45o －90o . . . 0.01 0. 1 1 10 w lgw
第四章 频率特性分析
上两节课内容回顾
一、频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。
（一）解析表示 系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) ： 三角函数形式：
实频-虚频形式：
（二）系统频率特性常用的图解形式 1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式 当在0～变化时,相量G(j)H (j)的幅值和相角随而变化,与此对应 的相量G(j) H (j)的端点在复平面 G(j)H (j)上的运动轨迹就称为幅相 频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。
试概略绘制系统开环幅相图。
K、T1、T2 0
§5-6 典型环节的对数频率特性:伯德图(Bode图)
如将系统频率特性G(j ) 的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上, 分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝数后进行分度；横 轴：对频率取以10为底的对数后进行分度）和相频特性曲线（纵轴： 对相角进行线性分度；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度） ，合称为伯德图(Bode图)。
§5-4 系统开环频率特性的绘制
二、典型环节的开环传函幅频特性 三、一般系统的开环传函幅频特性
一般系统开环传函的一般形式为：
m
b0 s b1s bm 1s bm G ( s) H ( s) s n a1s n 1 an 1s an
2 K ( 1s 1)( 2 s 2 2 2 2 s 1) s (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1)
0
60dB/ dec 20dB/ dec
( 对数坐标 )
a Ka
1
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20log K
证明
G( j ) K , 1 2 ( j )
K 20log 20log K 2 ( j ) 1
dB
斜率为 40 dB / dec
因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联环节 对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。
典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或 折线，故叠加后的开环渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线 段组成的折线。 因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确 定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化， 那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲 线。
1 v
20 lgK
-20 dB/de的低频起始段的绘制 G(s) H (s) K 对类似右图所示的0型系统的Bode图，通过低频 段高度H=20lgK（dB）。
G ( j ) 在低频段等于 K ，即
0
lim G( j ) K
30 20logK 20
i 1 r j
k ( w )
k 1
r
]
那麽，系统对数幅频和对数相频特性曲线为：
L( w) 20 lg[ Ai ( w)]
i 1
r
[20 lg A ( w)]
i 1 i
r
( w) k ( w)
k 1
r
系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等 于各环节的相位之和。
m 2 K ( 1s 1)( 2 s 2 2 2 2 s 1) s (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1)
m 1
将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式后,确定 各环节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数 坐标纸上（不妨设为：w1、w2、w3、w4 ……）