电磁波与天线---矩形波导

mπ 当x=0时，A2=0.当x=a时, k x = a 同理可得， nπ 当y=0时，B2=0,当y=b时， y = k b
最后得： 最后得
mπ x nπ y − j β z H z = H 0 cos e cos a b
ˆ ax ∂ ∂x Hx ˆ ay ∂ ∂y Hy
(9) ( n = 0 ,1, 2 , L )
（1） TE10 模的场结构
• 在（10）式中，令 m=1, n=0, 并注意到 ）式中， • 那么， 那么，
mπ 2 nπ 2 π 2 kc = ( ) +( ) =( ) a b a
2
H z = H 0 cos( x)e− j β z a π a H x = j β H 0 sin( x)e − j β z π a a π E y = − jωµ H 0 sin( x)e − j β z π a
−
∂H
y
= jω ε E
x
同理，可得 在直角坐标系中展开可得 在直角坐标系中展开可得： 同理，可得E在直角坐标系中展开可得：
解式中的变量Z因 解式中的变量 因 − jβ z 为e ，所以上面 的两式可以对Z的偏 的两式可以对 的偏 导数化解。 导数化解。我们仅 对其中的4个式子进 对其中的 个式子进 行化解
2 2
∇ H =0
利用公式：∇×(∇×H) =∇∇•H)−∇ H (
2
• 得：
∇ H + ω µε H = ∇ H + k H = 0
2
2
2
2
• 式中： • 同理
k = ω µε
2
∇ E+k E =0
2 2
• 导波系统中，我们用直角坐标系，在 直角坐标系中，我们以E为例分解：
ˆ ˆ ˆ E = xEx + yE y + zEz
2 2 2
(1)
(2)
∂ HZ ∂ HZ ∂ HZ 2 + 2 + 2 + k HZ = 0 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2
对于E 的解， 正弦时变的假定 对于 Z和HZ.的解，根据正弦时变的假定， 的解 根据正弦时变的假定， jωt 因子，它们沿波导轴线 解式中应该含有e 因子，它们沿波导轴线 方向传输波， 不考虑衰减的情况下 的情况下， 方向传输波，在不考虑衰减的情况下，解式 − jβ z 因子， 是相移常数。 中应含有e 因子，其中 β 是相移常数 的解式是： 所以我们可设定 EZ和HZ 的解式是
下图表示某一瞬间E 的幅值沿x方向 下图表示某一瞬间 y的幅值沿 方向 的分布， 方向的波动瞬间值。 的分布，及Ey沿z方向的波动瞬间值。 方向的波动瞬间值
E y值的幅值沿 方向无变化，若用电力线 值的幅值沿Y方向无变化 方向无变化， 的疏密来表示E 方向的幅值变化和沿z 的疏密来表示 y沿x方向的幅值变化和沿 方向的幅值变化和沿 方向的波动瞬间值分布，如下图： 方向的波动瞬间值分布，如下图：
ω vp = = β
1
λ 2 / 1− ( ) λc µε
v λ 2 λ 2 λp = = / 1− ( ) = λ / 1− ( ) f f λc λc vp
λ 2 vg = v 1 − ( ) λc
• 波导动画传输
5、波导的主模 、波导的主模—TE10模 主模
• TE10 模式矩形截面波导中截止波长最长的 模式，称为主模。 模式，称为主模。它的截止波长 λ c = 2 a 。 • 波导作为传输线要单模传输，这样可以使 波导作为传输线要单模传输 单模传输， 信号能量集中 减小损耗， 能量集中， 信号能量集中，减小损耗，而且可以避免 模式间的干扰和因多模式而引起的附加色 干扰和因多模式而引起的附加 模式间的干扰和因多模式而引起的附加色 散。 • 从图中可以看出利用 10 最为 从图中可以看出利用TE • 有利。1.它最容易和其他的高 有利。 它最容易和其他的高 • 次模分离；2.它的可用波长范 次模分离； 它的可用波长范 • 围最宽；3.它的场结构简单。 围最宽； 它的场结构简单。 它的场结构简单
TE10场有 Z和Hx两个分量，Hz沿x方向的幅值 场有H 两个分量， 方向的幅值 分布为余弦律，用磁力线表示则是宽壁两边最 分布为余弦律，用磁力线表示则是宽壁两边最 密集，而在宽壁中央则稀疏至零。 中央则稀疏至零 密集，而在宽壁中央则稀疏至零。Hx的幅值沿 x方向的分布是正弦律，用磁力线则是中央比 方向的分布是正弦律，用磁力线则是中央比 方向的分布是正弦律 较密集， 两边逐渐稀疏。 较密集，向两边逐渐稀疏
4、导波的传输特性
• 截止频率及截止波长
v v m 2 n 2 fc = kc = ( ) +( ) 2π 2 a b
2π λc = = kc
2 m2 n2 ( ) +( ) a b
• 导行条件
λ < λc
截止波长的分布图——BJ-100型波导 型波导 截止波长的分布图
• 相速度和群速度（相波长） 相速度和群速度（相波长）
∂E y ∂E z − = − jω µ H ∂y ∂z ∂E x ∂E z − = − jω µ H ∂z ∂x ∂E y ∂E x − = − jω µ H ∂x ∂y
x
y
z
四个式子： 四个式子：
∂H z + j β H y = jωε Ex ∂y ∂H z − jβ H x − = jωε E y ∂x ∂Ez + j β E y = − jωµ H x ∂y ∂Ez − j β Ex − = − jωµ H y ∂x
先求场的纵向分量： 先求场的纵向分量 从边界条件定解方便考虑， 从边界条件定解方便考虑，我们这里选择求 解场的两个纵向分量E 解场的两个纵向分量 Z和HZ.把EZ和HZ的方 把 程在直角坐标系中展开得： 程在直角坐标系中展开得
∂ EZ ∂ EZ ∂ EZ 2 + 2 + 2 + k EZ = 0 2 ∂x ∂y ∂z
( m = 0 ,1, 2 L )
再求场的横向分量： 再求场的横向分量： ∇ × H = jωε E
ˆ az ∂ ˆ ˆ ˆ = ax jωε Ex + a y jωε E y + az jωε Ez ∂z Hz
得到： ∂ H
z
∂y ∂z ∂H x ∂H z − = jω ε E y ∂z ∂x ∂H y ∂H x − = jω ε E z ∂x ∂y
2 y
(6)
( − k x − k y = − kc )
2 2 2
所得的两个完全相同的二阶线性齐次常微 分方程，它们的解是： 分方程，它们的解是：
X ( x) = A1 cos k x x + A2 sin k x x Y ( y ) = B1 cos k y y + B2 sin k y y
对于E 利用边界条件： 对于 Z利用边界条件 X=0及x=a时，EZ=0，得 及 时 ，
联合求解可得：
∂Ez ∂H z 1 Ex = − 2 ( j β + jωµ ) kc ∂x ∂y ∂Ez ∂H z 1 Ey = − 2 ( jβ ) − jωµ kc ∂y ∂x 1 ∂H z ∂Ez H x = − 2 ( jβ − jωε ) kc ∂x ∂y 1 ∂H z ∂Ez H y = − 2 ( jβ + jωε ) kc ∂y ∂x
vp =
v0 1− (
λ0
2a
λp =
)
2
1− (
µ / ε
1− (
λ0 λ • 波阻抗： T E =
10
λ0
2a
)
当波导内充空气介质时， µ0 µ = µ0,ε = ε 0, = 1 2 0π Ω ε0 • 是均匀平面电磁波在自由空间中的波阻抗， 则TE10模的波阻抗为
∂H Z = 0，由（7）式可知： ）式可知： ∂x
H =(Acoskxx+A sinkxx)(Bcoskyy+B sinkyy) Z 1 2 1 2
∂H Z 由 = 0， ∂x
∂H Z = (− A1k x sin k x x + A2 k x cos k x x) 得： ∂x (− B1k y sin k y y + B2 k y cos k y y )
∂H x ∂H z − = jωε E y ∂z ∂x
∂H z − jβ H x − = jωε E y ∂x
0
0
∇ × H = jωε E
• 所以对磁场在 轴上的分量方程，我们用到 所以对磁场在z轴上的分量方程， 轴上的分量方程 的边界条件是： 的边界条件是： 当x=0,a时，壁面的法向磁场HX=0,切向电 时 壁面的法向磁场 切向电 场EY=0,则 则
π
Ez = 0 Ex = 0 Hy = 0
(11)
• 由（11）式可知，TE10模只有 y一个分量， 模只有E 一个分量， ）式可知， 它的振幅沿x方向呈正弦分布 方向呈正弦分布， 它的振幅沿 方向呈正弦分布，x=0,a时为 时为 是满足边界条件的， 零，是满足边界条件的，x=a/2时，Ey的振 时 幅最大。下图分别用函数线 电力线表示 函数线和 幅最大。下图分别用函数线和电力线表示 振幅沿x方向的分布 方向的分布。 了Ey振幅沿 方向的分布
• 用 (5) 式除上式，得 式除上式，
这是两个独立的变量X和 的函数之和 的函数之和， 这是两个独立的变量 和Y的函数之和，它们的和是 个常数k 则他们应各自等于一常数。 个常数 c2, 则他们应各自等于一常数。
1 ∂ 2 X (x) = − k x2 X (x) ∂x 2 1 ∂ 2Y ( y ) = −k 2 Y (y) ∂y
三 、 不 可 能 存 在 的 模 式 ：
由第8第 式可知 式可知， 由第 第9式可知，对 模式中， 于TMmn模式中，m,n 均不可取零值;而在 均不可取零值 而在 TEmn模式中，m,n不 模式中， 不 可以同时取零值.否则 否则， 可以同时取零值 否则， 全部的场量为零。 全部的场量为零。总 ， TM00,TM0n,TMm0,TE00 中不可 在 中不可 在。 在。