专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算答案
2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略： 数系的扩充与复数的引入 含答案
核心考点解读——数系的扩充与复数的引入复数的有关概念（II）复数的代数表示法及几何意义（I）复数的四则运算（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、模、几何意义及复数代数形式的四则运算.2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的四则运算.3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算.1.数系的扩充数系的扩充：自然数集错误!未找到引用源。
，整数集错误!未找到引用源。
，有理数集错误!未找到引用源。
，实数集错误!未找到引用源。
，复数集错误!未找到引用源。
，其从属关系用集合来表示为错误!未找到引用源。
.2.复数的有关概念(1)复数的表示：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
：复数的实部；错误!未找到引用源。
：复数的虚部；错误!未找到引用源。
：虚数单位，规定：错误!未找到引用源。
.(2)复数的分类：若错误!未找到引用源。
，则复数为实数；若错误!未找到引用源。
，则复数为虚数；若错误!未找到引用源。
，则复数为纯虚数.(3)复数相等：若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
.(4)共轭复数：若错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
互为共轭复数，则错误!未找到引用源。
.记作错误!未找到引用源。
.(5)复数的模：若错误!未找到引用源。
，则复数的模为错误!未找到引用源。
.(6)复数的几何意义：错误!未找到引用源。
与复平面上的点错误!未找到引用源。
一一对应；与向量错误!未找到引用源。
一一对应.3.复数代数形式的四则运算(1)设错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
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，错误!未找到引用源。
.(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.(3)几个常见的复数运算的技巧：错误!未找到引用源。
高考数学考点分类自测数系的扩充与复数的引入理【含答案】
2015年高考理科数学考点分类自测：数系的扩充与复数的引入一、选择题1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．－1D ．12．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( ) A ．1＋3i B ．3＋3i C ．3－iD ．33．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i4．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f＋3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若a 、b ∈R ， i 为纯虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－16．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12二、填空题7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝________.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．9．复数2＋i1－2i 的共轭复数是________．三、解答题10．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．11．计算：－23＋i 1＋23i ＋(21＋i )2012＋－2－－4＋211－7i.12．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．详解答案一、选择题1．解析：由i z ＝1得z ＝1i ＝－i.答案：A2．解析：∵(1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i. 答案：A3．解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋y i ＝2＋i.答案：B4．解析：f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i ，∴f＋3＋i ＝2i 3＋i ＝2＋6i 10＝15＋35i ，故对应点在第一象限．答案：A5．解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.答案：C 6．解析：法一：1＋a i2－i ＝＋a ＋－＋＝2－a ＋a ＋5为纯虚数，所以2－a＝0，a ＝2；法二：1＋a i 2－i ＝a －2－i为纯虚数，所以a ＝2.答案：A 二、填空题7．解析：1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0.答案：08．解析：∵x 为实数，∴x 2－6x ＋5和x －2都是实数．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5＜0，x －2＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜5，x ＜2，即1＜x ＜2.故x 的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2) 9．解析：2＋i1－2i ＝＋＋－＋＝5i5＝i ，所以其共轭复数为－i.答案：－i 三、解答题10．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0， 解之得m ＜－3或m ＞5. 11．解：原式＝－23＋－2312＋32＋[2＋2]1006＋－2－－211－7i＝13i 13＋(1i )1006＋0＝i ＋(－i)1006＝i ＋i 2＝i －1＝－1＋i.12．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
2020新课标高考艺术生数学复习：数系的扩充与复数的引入含解析
1．(20xx·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－iB．－3＋i
C．3－iD．3＋i
解析：D[(1＋i)(2－i)＝2＋i－i2＝3＋i、选D.]
2．(20xx·××市模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)、若z＋ ＝4、则复数z的共轭复数 ＝( )
3．复数z＝ (i为虚数单位)、z在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：A[因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i、所以z在复平面内所对应的点 在第一象限、故选A.]
4．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－4i、它们在复平面上对应的点分别为A、B、C、若 ＝λ ＋μ 、(λ、μ∈R)、则λ＋μ的值是________．
3．(20xx·全国Ⅲ卷)若z＝1＋2i、则 ＝( )
A．1B．－1C．iD．－i
解析：C[ ＝ ＝i.]
4．已知复数z＝ 、 是z的共轭复数、则z· ＝______.
解析：∵z＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝－ ＋ i、
故 ＝－ － i、
∴z· ＝ ＝ ＋ ＝ .
答案：
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算、可将含有虚数单位i的看作一类同类项、不含i的看作另一类同类项、分别合并即可．
1.复数的有关概念、达成数学抽象和数学运算素养．
2.复数的几何意义、提升直观想象和数学运算素养．
3.复数的四则运算、增强数学运算素养
复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一、重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力、题型一般为选择题、难度较小、属于低档题
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
第四节数系的扩充与复数的引入
()
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：依题意得－y＋xi＝3＋4i，
∴－ x＝y＝4，3， 即yx＝＝－4，3， ∴|x＋yi|＝|4－3i|＝ 42＋－32＝5.
答案：D
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第四节 数系的扩充与复数的引入 结束
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第四节 数系的扩充与复数的引入 结束
2．(2013·天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a＋i)· (1＋i)＝bi，则 a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以
a－1＝0， a＋1＝b，
解得ab＝ ＝12， ，
[解析] (1)z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. (2)由题意可知：11－ ＋aaii＝1＋1a－ia1i－2 ai＝1－12＋aia－2 a2＝11－ ＋aa22 －1＋2aa2i＝－35＋45i，因此11－ ＋aa22＝－35，化简得 5a2－5＝3a2＋3， a2＝4，则 a＝±2，由－1＋2aa2＝45可知 a<0，仅有 a＝－2 满足， 故选 B. [答案] (1)A (2)B
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实 部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部．
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第四节 数系的扩充与复数的引入 结束
[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平
高二数学数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入1．在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限一、复数的乘法与除法【知识梳理】1．复数运算的常用结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；2．乘方：（1）法则：复数的乘方运算是指几个相同复数相乘；（2）性质：①；②；③．3．乘法运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；（3）分配律：．4．乘法运算法则：设，，我们规定：①；②．【说明】（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数；（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式．5．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为．1．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．对任意复数，，定义，其中是的共轭复数．对任意复数，，，有如下四个命题：①；②；③；④．则真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 43．已知复数在复平面内所对应的点为．（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；（3）求的最小值及此时实数的值．A. A．B. B．C. C．D. D．5．已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是（）A. A．或B. B．C. C．或D. D．6．复数满足:，则是：A. A．B. B．C. C．D. D．7．设是虚数，是实数，且（1）求的实部的取值范围（2）设，那么是否是纯虚数？并说明理由。
8．复数=（）A. -iB. iC. 2-iD. -2+i9．复数=（）A. -iB. iC. 2-iD. -2+i10．设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为__________．11．已知复数z满足，z2的虚部为2．（I）求z；（II）设z，z2，z-z2在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．12．i虚数单位，则=（）A. -1B. 1C. iD. -i13．已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1，则|z1+z2|等于__________．14．已知复数Z=2m-1+（m+1）i（1）若复数Z所对应的点在第一象限，求实数m的取值范围；（2）若复数，求实数m的取值范围．1．函数若函数上有3个零点，则的取值范围为__________2．（1）计算；（2）若复数Z满足，求Z．课后巩固1．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．2．复数满足，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知复数，则复数在复平面内对应的点为A. （1,1）B. （1，-1）C. （0,1）D. （1,0）4．若复数Z满足（1+i）Z=i，则Z的虚部为A.B.C.D.5．复数=A.B.C.D.6．设复数满足，则z=A.B.C.D.7．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部为A.B.C.D.8．设i为虚数单位，若，则A. 1B. 2C. 3D. 49．设复数，则的虚部为A.B.C. -1D. 110．复数，则复数的虚部为A. 2B. -2iC. -2D. 2i。
专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算
专题十四数系的扩充与复数的引入第四十讲复数的计算2019 年1.（2019 全国II 理2）设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（2019 北京理 1）已知复数 z = 1+ 2i ，则 z ⋅z =（A）（B）（C）3 （D）53.（2019 浙江11）复数z =11+i（i为虚数单位），则|z|=.4.（2019 天津理9）i 是虚数单位，则的值为.5.（2019 全国III 理2）若z(1+ i) = 2i ，则z =A．-1-i B．-1+i C．1- i D．1+i 6.（2019 全国I 理2）设复数z 满足z - i =1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2 +y2 = 1 C．x2 +(y-1)2 =1B．(x -1)2 +y2 = 1 D．x2 + ( y+1)2 = 17．（2019 全国II 理2）设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（2019 江苏2）已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是.2010-2018 年一、选择题1．(2018 北京)在复平面内，复数11 - i的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2018 全国卷Ⅰ)设 z =1- i+ 2i ，则| z |= 1+ iA．0 B．12C．1 D．3 55 - i1+ i27 7 3 23．(2018 全国卷Ⅱ)A ． - 4 - 3 i5 51+ 2i1- 2i= B ． - 4 + 3i5 5C ． - 3 - 4i5 5D ． - 3 + 4i5 54．(2018 全国卷Ⅲ) (1+ i)(2 - i) =A ． -3 - iB ． -3 + iC ． 3 - iD ． 3 + i5．(2018 浙江)复数 2 1- i( i 为虚数单位)的共轭复数是A ．1+ iB ．1- iC ． -1 + iD ． -1 - i6．（2017 新课标Ⅰ）设有下面四个命题p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp ：若复数 z 满足 z 2∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p 4 ：若复数 z ∈ R ，则 z ∈ R ．其中的真命题为A ． p 1 ， p 37．（2017 新课标Ⅱ）B ． p 1 ， p 43 + i1+ iC ． p 2 ， p 3D ． p 2 ， p 4A ．B ．C ．D ． 8．（2017 新课标Ⅲ）设复数 z 满足(1+ i)z = 2i ，则| z | =A ． 12B ．2 C ． 2D ．29．（2017 山东）已知a ∈ R ，i 是虚数单位，若 z = a + 3i ， z ⋅ z = 4 ，则a =A ．1 或- 1B ． 或-C ． -D ．10．（2017 北京）若复数(1- i)(a + i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (-∞,1)B ． (-∞, -1)C ． (1, +∞)D ． (-1, +∞)11．(2016 年山东) 若复数 z 满足2z + z = 3 - 2i 其中i 为虚数单位，则 z =232 32 3A ．1+2iB ．1 - 2iC ． -1+ 2iD ． -1- 2i12．(2016 年全国 I)设(1+ i )x = 1+ yi ，其中 x , y 是实数，则 x + y i =A ．1B ．C ．D ．213．(2016 年全国 II)已知 z = (m + 3) + (m - 1) i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是A ． (-3，1)B ． (-1，3)C ． (1, +∞)D ． (-∞ ，- 3)14．(2016 年全国 III)若z = 1+ 2i ，则 4i=zz -1A ．1B ． - 1C ． iD ． - i15．（2015 新课标 1）设复数 z 满足1+ z= i ，则| z | =1- zA ．1B ．C ．D ．216．（2015 广东）若复数 z = i (3 - 2i ) （ i 是虚数单位），则z =A ． 2 - 3iB ． 2 + 3iC ． 3 + 2iD ． 3 - 2i17．（2015 安徽）设i 是虚数单位，则复数 2i 1- i在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．（2015 山东）若复数 z 满足z1- i= i ，其中i 为虚数单位，则 z = A ．1- iB ．1+ iC ． -1 - iD ． -1 + i19．（2015 四川）设i 是虚数单位，则复数i 3- 2=iA ． -iB ． -3iC ． iD ． 3i20．（2015 湖北） i 为虚数单位， i607的共轭复数为A ． iB ． -i(1- i )2C ．1D ． -121．（2015 湖南）已知z= 1+ i （ i 为虚数单位），则复数 z =A ．1+ iB ．1- iC ． -1+ iD ．-1- i 22．（2014 新课标 1）设 z =11+ i + i ，则| z |=A ．1 B ．22C ．23 D ． 22(1+ i )323．（2014 新课标 1）(1- i )2=A ．1+ iB ． -1 + iC ．1- iD ． -1 - i24．（2014 新课标 2）设复数 z 1 ，z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1 = 2 + i ，则 z 1 z 2 =A ． -5B ．5C ． -4 + i 1+ 3iD ． -4 - i25．（2014 新课标 2）1- i =A ．1 + 2iB ． -1 + 2iC ．1-2iD ． -1-2i26．（2014 山东）已知a , b ∈ R , i 是虚数单位，若a - i 与2 + bi 互为共轭复数，则（a + bi ）2=A ． 5 - 4iB ． 5 + 4iC ． 3 - 4iD ． 3 + 4i27．（2014 广东）已知复数 z 满足(3 + 4i )z = 25 ，则 z =A ． -3 + 4iB ． -3 - 4iC ． 3 + 4iD ． 3 - 4i28．（2014 安徽）设i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z = 1+ i , 则 z+ i ⋅ z =iA ． -2B ． -2iC ． 2D ． 2i29．（2014 福建）复数 z = (3 - 2i )i 的共轭复数 z 等于A ． -2 - 3iB ． -2 + 3iC ． 2 - 3iD ． 2 + 3i30．（2014 天津） i 是虚数单位，复数7 + i=3 + 4iA ．1- iB ． - 1 + iC ． 17+ 31 iD ．- 17 + 25 i25 257 731．（2014 重庆）实部为-2 ，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限32．（2013 新课标 1）若复数 z 满足(3 - 4i)z =| 4 + 3i | ，则 z 的虚部为A ．－4B ． -45C ．4D ． 4533．（2013 新课标 2）设复数 z 满足(1- i ) z = 2i ，则 z =A ． -1 + iB ． -1 - iC ．1+ iD ．1- i34．（2013 山东）复数 z 满足(z - 3)(2 - i ) = 5( i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为A ．2+iB ．2 - iC ． 5+iD ．5 - i35．（2013 安徽）设i是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z⋅zi+2=2z，则z =A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1 -i36．（2013 广东）若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内, z对应的点的坐标是A．(2, 4) B．(2, -4) C．(4, -2) D．(4, 2)37．（2013 江西）已知集合M ={1, 2, zi}，i为虚数单位，N={3,4}，M⋂N={4}，则复数z =A．- 2i B．2i C．- 4i D．4i38．（2013 湖北）在复平面内，复数z=2i1 +i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限39．（2013 北京）在复平面内，复数i(2-i)对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限40．（2013 四川）如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是A．A B．B C．C D．D41．（2013 辽宁）复数的z =1模为i -1A．12B．2C．2-3 +iD．242．（2012 新课标）复数z＝2 +i的共轭复数是A．2 +i B．2 -i C．-1+i D．-1-i 43．（2012 北京）在复平面内，复数10i3 +i对应的点坐标为（）A．（1,3）B．（3,1）C．(-1,3）D．（3，-1）44．（2012 广东）设i为虚数单位，则复数5-6i=iA． 6 + 5i B．6 - 5i C．-6 + 5i D．-6 - 5i45．（2012 辽宁）复数2-i= 2+iA．3-4i5 5B．3+4i5 5C．1-4i5D．1+3i5246．（2012 湖南）复数 z = i (i +1) （ i 为虚数单位）的共轭复数是A ． -1- iB ． -1+ iC ．1- iD ．1+ i47．（2012 天津） i 是虚数单位，复数7 - i=3 + iA ． 2 + iB ． 2 - iC ． -2 + iD ． -2 - i48．（2012 浙江）已知i 是虚数单位，则3 + i=1- iA ．1- 2iB ． 2 - iC ． 2 + iD ．1+ 2i49．（2012 江西）若复数 z = 1 + i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 ， 则 z 2 + z 2 的虚部为A ．0B ． - 1C ．1D ．－250．（2012 山东）若复数 z 满足 z (2 - i ) = 11 + 7i （ i 为虚数单位），则 z 为(A) 3 + 5i (B) 3 - 5i (C) - 3 + 5i (D) - 3 - 5i51．（2012 陕西）设a , b ∈ R ， i 是虚数单位，则“ ab = 0 ”是“复数a + b为纯虚数”的iA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件52．（2011 山东）复数 z =2 - i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 2 + iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1+ ai53．（2011 安徽）设 i 是虚数单位，复数 2- i A ．2 B ． - 2 C ． - 12 为纯虚数，则实数a 为1 D ． 254．(2011 新课标)复数2 + i1- 2i的共轭复数是 A ． - 3 i 5B ． 3 iC ． -i5D ． i55．（2011 湖南）若a , b ∈ R ， i 为虚数单位，且(a + i )i = b + i ，则A ． a = 1, b = 1B ． a = -1, b = 1C ． a = -1, b = -1D ． a = 1, b = -156．（2011 广东）设复数 z 满足(1+ i ) z =2，其中i 为虚数单位，则 z =A ．1+ iB ．1- iC ．2+2 iD ．2-2 i57．（2011 辽宁） i 为虚数单位， 1 + 1 + 1 + 1=i i 3 i 5 i 73 + i (1- 3i )23 + 3i3 A ．0 B ．2 i C ． - 2i 58．（2011 福建） i 是虚数单位，若集合 S={-1.0.1D ．4 i} ，则A ． i ∈ SB ． i 2∈ SC ． i 3∈ SD ． 2∈ Si59．（2011 浙江）把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位，若 z = 1+ i ,则(1+ z ) ⋅ z = A ．3 - iB ．3+iC ．1+3iD ．360．（2010 新课标）已知复数 z =， z 是 z 的共轭复数，则 z ⋅ z =A ． 14 B ． 12C ．1D ．261．(2010 安徽) i 是虚数单位，i=A ． 1-3 i B ． 1+3 i C ． 1+3 i D ． 1-3 i4 124 122626二、填空题62．(2018 天津)i 是虚数单位，复数6 + 7i =．1+ 2i63．(2018 上海)已知复数 z 满足(1+ i)z = 1- 7i （ i 是虚数单位），则| z | = ．64．(2018 江苏)若复数 z 满足i ⋅ z = 1+ 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ．65．（2017 浙江）已知 a ，b ∈R ，（a + b i ）2= 3 + 4i （ i 是虚数单位）则a 2+ b 2= ，ab = ． 66．（2017 天津）已知a ∈ R ，i 为虚数单位，若a - i为实数，则 a 的值为． 2 + i67．（2017 江苏）已知复数 z = (1+ i)(1+ 2i) ，其中i 是虚数单位，则 z 的模是．68．(2016 年北京)设a ∈ R ，若复数(1+ i )(a + i ) 在复平面内对应的点位于实轴上，则a = .69．(2016 年天津)已知a , b ∈ R ，i 是虚数单位，若(1+ i )(1- bi ) = a ，则 a的值为.b70．（2015 天津）i 是虚数单位，若复数(1- 2i )(a + i ) 是纯虚数，则实数a 的值为 ．71．（2015 重庆）设复数a + bi (a ,b ∈ R) 的模为 ，则(a + bi )(a - bi ) ＝．⎝ ⎭72．(2014 江苏)已知复数 z = (5 + 2i )2( i 为虚数单位)，则 z 的实部为．73．（2014 浙江）已知i 是虚数单位，计算1 - i＝ ．(1 + i )2⎛ 1+ i ⎫274．（2014 北京）复数 1- i ⎪3 + i= ． 75．（2014 湖南）复数i 2（ i 为虚数单位）的实部等于．76．（2013 重庆）已知复数 z =5i1+ 2i（ i 是虚数单位），则 z = ．77．（2013 天津）已知 a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i )(1 + i ) = bi ，则 a + bi = ． 78．（2012 湖北）若3 + bi = a + bi （ a , b 为实数， i 为虚数单位），则a + b =. 1- i79．（2011 江苏）设复数ｚ满足i (z + 1) = -3 + 2i （i 是虚数单位），则 z 的实部是．。
高考复习-数系的扩充与复数
数系的扩充与复数知识集结知识元复数的定义知识讲解1．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．2．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的知识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．例题精讲复数的运算知识讲解1．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则例题精讲复数的运算例1.已知关于x的方程，x2+2（1+i）x+ab+（a+b）i═0（a，b∈R+）总有实数解，则a+b的取值范围是________．例2.已知复数z=1-i（i是虚数单位），则=____。
2010-2019理科数学高考真题分类训练 专题14 数系的扩充与复数的引入第40讲 复数的计算答案_PDF压缩
专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算答案部分2019年1．C解析：由32i z =-+，知32i z =--，在复平面对应的点为(3,2)--，在第三象限.故选C.3.解析：11i 1i 2z -==+，2z ==5．解析 由(1i)2i z +=，得2i 2i(1i)1i 1i 2z -===++．故选D ．6 . 解法一：因为z 在复平面内对应的点为x y （，），所以i z x y =+，所以i 1i z x y -=+-（）i 1-=| ，所以2211x y +-=（）.故选C．i 1-=，得1i 1-i z z =+=或，所以复数z 在复平面上对应的点为()11，和()-11，，满足条件的方程只有C. 故选C ．7．C解析：由32i z =-+，知32i z =--，在复平面对应的点为(3,2)--，在第三象限.故选C.8.解析 因为(2i)(1i)(2)(2)i a a a ++=-++的实部为0，所以20a -=，即2a =．2010-2018年1．D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,22-，故选D ．2．C 【解析】因为21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，所以|z |1=，故选C ． 3．D 【解析】12i (12i)(12i)34i 12i (12i)(12i)55+++==-+--+，故选D ． 4．D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ．5．B 【解析】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，所以复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 6．B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i (i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ．7．D 【解析】3i (3i)(1i)2i 1i (1i)(1i)++-==-++-，选D ．8．C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i 1i 1i z ==++，所以||z ==C ．9．A 【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.10．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故选B.11．B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-，所以1,2a b ==-，所以12z i =-，故选B ．12．B 【解析】因为(1)1i x x xi yi +=+=+,所以1x y ==,∴|||1|x yi i +=+==,选B ．13．A 【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-，所以30m +>，10m -<，解得∴31m -<<，故选A ．14．C 【解析】441(12)(12)1i i i zz i i ==-+--，故选C ．15．A 【解析】由题意知1z i zi +=-，21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===++-，所以|z |1=． 16．A 【解析】∵23z i =+，所以23z i =-．17．B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B ．18．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．19．C 【解析】32222i i i i i i i i -=--=-+=．20．A 【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B ．21．D 【解析】由题意得，i ii i i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D ．22．B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==．23．D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i i i i i-+--+==----．24．A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-．25．B 【解析】131i i+=-12i -+． 26．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴ 22()(2)34a bi i i +=+=+．27．D 【解析】由(34)25i z +=得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，选D ． 28．C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++=29．C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．30．A 【解析】()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-．31．B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，选B ．32．D 【解析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D ．33．A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+．34．D 【解析】()()325z i --=，得535,52z i z i i =+=+=--．35．A 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，由22z zi z ⋅+=得，()()()222222a bi a bi i a b i a bi+-+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22,所以选A ． 36．C 【解析】2442i z i i+==-对应的点的坐标是()4,2-，故选C ．37．C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，所以4z i =-．38．D 【解析】211i z i i==++，1z i ∴=-． 39．A 【解析】()212i i i -=+，选A ．40．B 【解析】设(,)A x y 表示复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点位(,)B x y -．41．B 【解析】由已知111(1)(1)22i z i i i --==---+--，所以||2Z =．42．D 【解析】∵z =32i i -++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D ． 43．A 【解析】由1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-对应复平面内的点为A ． 44．D 【解析】依题意： 256(56)65i i i i i i--==--，故选D ． 45．A 【解析】()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i ，故选A ． 46．A 【解析】由(1)z i i =+=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--．47．B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -．48．D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===+--+．49．A 【解析】因为1z i =+ ，∴1z i =-，∴22z z +=0．50．A 【解析】i i i i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A ． 另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=．51．B 【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ，“复数b a i +为纯虚数”则0=a 且0≠b ，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ． 52．D 【解析】z =22i i -+=3455i -在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 53．A 【解析】设()ai bi b R i1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==. 故选A ．54．C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． 55．D 【解析】因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-．56．B 【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-．57．A 【解析】∵21i =-，∴=+++7531111i i i i 11110i i i i-+-=． 58．B 【解析】∵21i =-，1S -∈，∴2i S ∈．59．A 【解析】(1)(2)(1i)3i z z i +⋅=+-=-．60．A 【解析】z =4i -=-，∴4i z +=-，21||4z z z ⋅==．61．B 3)313912412i i i -+===++．62．4i -【解析】67i (67i)(12i)205i 4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-．63．5【解析】由题意17i (17i)(1i)68i 34i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以|||34i |5z =--==．64．2【解析】复数12i (12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2． 65．5,2【解析】∵222(i)2i 34i a b a b ab +=-+=+，∴223a b -=，2ab =，又22222222()()491625a b a b a b +=-+=+=，∴225a b +=，2ab =． 66．2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则205a +=，2a =-．67|||1i ||12i |z =++==．68．1-【解析】(1)()(1)(1)i a i a a i ++=-++，由已知得10a +=，解得1a =-． 69．2【解析】(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，所以1,2,2a b a b===． 70．2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-．71．3 【解析】由a bi +==223a b +=， 所以22()()3a bi a bi a b +-=+=．72．21【解析】2(52)z i =+=2120i +，z 的实部为21．73．12i --【解析】211(1)1(1)222i i i i i i i -----===+-．74．-1【解析】211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭22(1)1(1)i i +=--．75．-3【解析】23i i+=3i --．实部为3-．765(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，所以||z ==．77．12i +【解析】由题意101a a b-=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以a + bi =12i +．78．3【解析】因为31bi a bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=． 79．1【解析】32113i z i i -+=-=+，∴z 的实部是1．。
数系的扩充与复数的概念极坐标几何证明参考答案
数系的扩充与复数的概念参考答案1．D2．解析：∵a ＋b i ＝(1－i)·i ＝1＋i ，∴a ＝1，b ＝1.故选B. 答案：B3．解析：∵z ＝i(1＋2i)＝－2＋i ，∴复数z 所对应的点为⎝⎛⎭⎫－2，1，故选B.答案：B4．解析：设z ＝x ＋y i ，(x ，y ∈R )，则 x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋8i. 由⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝8解得⎩⎨⎧x ＝－15y ＝8，∴|z |2＝(－15)2＋82＝289.故选B. 答案：B5．解析：∵b 是方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )的实数根， ∴b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， 即(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2＋4b ＋4＝0a ＋b ＝0⇒⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－2，∴z ＝2－2i.答案：A6．解析：依题意⎩⎨⎧2sin θ－1＝02cos θ－3≠0，又0＜θ＜π，∴θ＝5π6.答案：B7．解析：可设z －＝2＋b i ，由z ·z ＝8得4＋b 2＝8，b ＝±2， z z ＝z 28＝()2±2i 28＝±i. 答案：D 8．－2－i 9．2 210．解析：∵z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i 为实数，则m 2－1＝0，∴m ＝±1. 答案：±111．解析：∵z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0a ＋1≠0， ∴a ＝1，∴z ＝2i ，∴||z ＝||2i ＝2.答案：212．解析：(1)由m 2－2m －15＝0解得 m ＝5或m ＝－3， ∴当m ＝5或m ＝－3时，z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是实数； (2)由m 2－2m －15≠0解得 m ≠5且m ≠－3， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是虚数；(3) 由⎩⎨⎧m 2＋5m ＋6＝0m 2－2m －15≠0得⎩⎨⎧m ＝－2或m ＝－3m ≠5且m ≠－3，∴m ＝－2.∴当m ＝－2时，z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 为纯虚数； (4)由m 2－2m －15＞0解得m ＜－3或m ＞5， ∴当m ＜－3或m ＞5时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在x 轴上方． (5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0得， m ＝－3±414，∴当m ＝－3±414时， 复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在直线x ＋y ＋5＝0上．第二课时 复数代数形式的四则运算参考答案1．解析：i(1－3i)＝i ＋3，故选B. 答案：B 2．B3．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )5＝－1＋3i ， ∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3，故选B. 答案：B4．解析：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得(x －i 2)＋(1－x )i ＝y ，由复数相等的条件得，x ＝1，y ＝2.故选D.答案：D5．解析：z ＝(3＋i )(3－i )2－i＝10(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2(2＋i)＝4＋2i ⇒||z ＝42＋22＝2 5. 答案：D6．解析：由题意，可取a ＝1，b ＝－1，c ＝i ，d ＝－i ，所以b ＋c ＋d ＝－1＋i －i ＝－1，故选B.答案：B 7．A8．解析：本小题考查复数的除法运算， ∵1－i 1＋i ＝－i ，∴a ＝0，b ＝－1，因此a ＋b ＝－1. 答案：－19．解析：∵z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝6－2i. 答案：6－2i10．解析：∵i z 1＋z 25＝i2－i ＋1＋3i 5＝i (2＋i )5＋1＋3i 5＝i ，故其虚部等于1.答案：111．解析：由⎪⎪⎪ 2x i2⎪⎪⎪32i ＝x 2得(2x i)(2i)－2×3＝x 2， 即(x ＋2)2＝－2，∴x ＝－2±2i. 答案： －2±2i12．解析：直接验证可知①正确．当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确；对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1∉T ，故T 不是封闭集，④错误．答案：①②第十五章 选考部分 第一讲 几何证明选讲 第一课时 相似三角形的判定及其有关性质 参考答案1.4092.123．解析：依题意知，FG 垂直平分线段BE ，过F 作FH ⊥CD ，垂足为H .则∠ABE ＝∠HFG ，∴Rt △ABE ∽Rt △HFG ，∴AB EB ＝FHFG ， ∵AB ＝12，AD ＝10，∴ BE ＝13，∴FG ＝FH ·EB AB ＝10×1312＝656.答案：6564. 解析：∵S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5，∴S △ABE ∶S △DAE ＝1∶4，又△ABE ∽△DAE ，∴AB ∶AD ＝1∶2，又∵矩形的面积为40 cm 2，∴AB ＝25，AD ＝45，∴BD ＝10，故AE ＝4 cm.答案：45．72 6.1 7.1∶2 8.9 9.1510．解析：∵∠BAM ＋∠DAM ＝∠DAM ＋∠ADE ＝90°， ∴∠BAM ＝∠ADE ，∠ABM ＝∠AED ＝90°，∴△ABM ∽△DEA ，∴DE AB ＝DAAM ，DE ＝DA AM ×AB ＝ba a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝2ab 4a 2＋b 2.答案：2ab4a 2＋b211．解析：△BCN 中，取BN 中点E ，连DE ，D 为BC 中点，则DE ∥CN ，在△ADE 中，∵M 为AD 中点，MN ∥DE ，∴N 为AE 中点，故，N ，E 为AB 的两个三等分点．故AN ＝8.答案：812．证明：∵ CE 平分∠BCD ， ∴ ∠DCE ＝∠BCE ，又∵ ∠ACD ＋∠A ＝∠CBD ＋∠A ＝90°， ∴∠ACD ＝∠CBD ，∴ ∠DCE ＋∠ACD ＝∠BCE ＋∠CBD ， 即∠ACE ＝∠CEA ，∴ AC ＝AE . ∵ 在Rt △ABC 中，AC 2＝AD ·AB ， ∴AE 2＝AD ·AB.第二课时 直线与圆的位置关系参考答案1.52 2.25 3.24．解析：由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ⇒PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4⇒EF ＝8，∴OD ＝4，∵OD ⊥PD ，∴OD ＝12PO ，∴∠P ＝30°， ∠POD ＝60°，∠PDE ＝∠EFD ＝30°. 答案：30° 5．解析：∵∠P AB ＝30°，∴∠ACB ＝30°.∵BC 是圆O 的直径，且AC ＝2，∴直径BC ＝263，半径为63，∴圆O 的面积为2π3.答案：2π3 6．37．15° 8.329．解析：解法一：因为直线l 与圆O 相切于点C ， ∴∠ABC ＝∠ACD (弦切角等于同弧对圆周角)， ∵AB 为圆O 的直径，且AB ＝6、BC ＝3.∴在Rt △ACB 中，∠ABC ＝60°，∴∠ACD ＝60°， 又∵AD ⊥CD ，∴∠DAC ＝30°.解法二：连结OC ，∵直线l 切圆O 于点C ，∴OC ⊥l ，又AD ⊥l ， ∴AD ∥OC ，∴∠DAB ＝∠COB ＝60°， 在Rt △ACB 中，∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝30°.连结BE ，易得在Rt △ABE 中，∠EAB ＝60°，∴AE ＝12AB ＝3. 答案：π6 310．证明：∵EF ∥AB ，∴∠EFC ＝∠A ，又∵∠D ＝∠A ， ∴ ∠EFC ＝∠D ，又∠FEC ＝∠DEF ，∴△EFC ∽△EDF ，∴ EF ED ＝ECEF . 即EF 2＝EC ·ED ，又∵ EG 切⊙O 于G ， ∴ EG 2＝EC ·ED ，∴EF 2＝EG 2，∴EF ＝EG .第二讲 坐标系与参数方程第一课时 坐标系参考答案1．C2．解析：直接代入公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，即得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2π3＝－1，y ＝2sin 2π3＝ 3.答案：C3．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y，得到⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′.代入x 2＝－3y ，得到经过伸缩变换后的图形是(2x ′)2＝－3·(3y ′)，即x ′2＝－94y ′. 答案：D 4．B5．解析：若ρ1＝ρ2且θ1＝θ2，则两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)为同一点，一定重合；反之，由于点的极坐标的多样性，若M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)两点重合，但ρ1＝ρ2且θ1＝θ2不一定成立．所以，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的充分不必要条件．答案：A6．解析：由题设可知，A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点，又|AB |＝4，△ABC 为正三角形(如图所示)．∴||OC ＝23，∠AOC ＝π2.∴点C 的极角为θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝π4－π2＝－π4.则点C 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4，或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 答案：B7．解析：因为ρ＝32，θ＝π，代入极坐标与直角坐标的互化公式，得x ＝32·cos π＝－32，y ＝32·sin π＝0.所以点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，08.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3 ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，39．解析：依照伸缩变换公式，用待定系数法求解．设伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，(λ＞0)，y ′＝μy ，(μ＞0).代入2x ′－y ′＝4得到 2λx －μy ＝4.将上述与x －2y ＝2即2x －4y ＝4比较，得λ＝1，μ＝4.故所求的伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x y ′＝4y10．解析：在三角形OP 1P 2中，由余弦定理可求得．答案：||P 1P 2＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2 cos (θ2－θ1)第二课时 曲线的极坐标方程参考答案1．解析：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝22，x ＋y ＝1，与直线3x ＋ky ＝1垂直，3＋k ＝0，k ＝－3 .答案：－32．解析：∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.答案：1∶13.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π34．35．ρcos θ＝2 6.2－17．解析：由ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 答案：x 2＋(y －2)2＝4 8．2 39．(1,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 10．2 (3，－1) 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π412．解析：设M (ρ，θ)为直线l 上除A 以外的任意一点，如图，在Rt △AMO 中， ||OA ＝||OM sin ∠AMO ，即 ρ sin θ＝a .可以验证，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2的坐标满足上式．所以，所求的直线l 的方程是ρsin θ＝a .答案：ρsin θ＝a第三课时 参数方程参考答案1.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 2．解析：直线l 1：kx ＋2y ＝k ＋4，直线l 2：2x ＋y ＝1， ∵l 1与l 2垂直，∴2k ＋2＝0，∴k ＝－1. 答案：－1 3．6 4.8555. (－∞，0)∪(10，＋∞)6. 27.85 8．39．x 2＋(y －2)2＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2 10.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θy ＝－1＋3sin θ ，(θ为参数) 11．解析：设椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝23sin θ(0≤θ＜2π，θ为参数)，点P (4cos θ，23sin θ)到直线l 的距离．d ＝⎪⎪⎪⎪4cos θ－43sin θ－1212＋22＝85⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ－32，∵0≤θ＜2π，∴－11π6＜π6－θ≤π6，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－1时，d max ＝45； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1时，d min ＝455. 12．解析：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1. C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)．Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离 d ＝55⎪⎪⎪⎪4cos θ－3sin θ－13.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855。
高二数学数系的扩充与复数的引入试题答案及解析
高二数学数系的扩充与复数的引入试题答案及解析1.复数设i为虚数单位，则＝()A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i【答案】C【解析】∵，∴选C【考点】本题考查了复数的运算点评：熟练掌握复数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题2.复数的虚部为（）A．－l B．－i C．－D．【答案】C【解析】由于复数=，那么可知虚部为-，故选C.【考点】复数的概念点评：解决的关键是根据复数的除法运算以及概念来得到，属于基础题。
3.设是虚数单位，在复平面上，满足的复数对应的点的集合是 ( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．线段【答案】A【解析】可看做复平面内复数对应的点到复数对应的点的距离等于，结合圆的定义可知复数对应的点的集合是圆【考点】两点间距离及点的轨迹点评：结合两点间距离公式及圆的定义可知动点的轨迹是圆4.是虚数单位，则 = ( )A．B．C．1D．【答案】B【解析】根据题意，由于虚数单位的平方为-1，则可知，故可知答案为B.【考点】复数的运算点评：解决的关键是根据复数的除法运算来得到求解，属于基础题。
5.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．－2B．4C．－6D．6【答案】C【解析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以1-2i，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出a的值.根据题意，故选C.【考点】复数代数形式的运算点评：本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子和分母同乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简，并且利用纯复数的定义进行求值6.复数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，可知的大i+1-1=i，那么可知计算的结果为i，故选A【考点】复数的运算点评：解决的关键是对于复数的乘法运算，属于基础题。
7.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内.【答案】（1）m=3（2）m=-1或m=-2（3）-1<m<1-或1+<m<3.【解析】 (1)若z为纯虚数,则有即∴m=3;(2)若z为实数,则有m=-1或m=-2;(3)若z对应的点在复平面内的第二象限,则有-1<m<1-或1+<m<3.【考点】复数的概念和几何意义点评：解决的关键是理解复数的概念以及复数几何意义的运用，属于基础题。
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专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算答案部分1．D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ． 2．C 【解析】因为21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，所以|z |1=，故选C ． 3．D 【解析】12i (12i)(12i)34i 12i (12i)(12i)55+++==-+--+，故选D ． 4．D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ． 5．B 【解析】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，所以复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 6．B 【解析】设i z a b =+（,a b ∈R ），则2211i(i)a b z a b a b -==∈++R ，得0b =，所以z ∈R ，1p 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+∈R ，则0ab =，即0a =或0b =，不能确定z ∈R ，2p 不正确；若z ∈R ，则0b =，此时i z a b a =-=∈R ，4p 正确．选B ． 7．D 【解析】3i (3i)(1i)2i 1i (1i)(1i)++-==-++-，选D ．8．C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i1i 1iz ==++，所以||z ==C ．9．A 【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 10．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故选B.11．B 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=-，所以1,2a b ==-，所以12z i =-，故选B ． 12．B 【解析】因为(1)1i x x xi yi +=+=+,所以1x y ==,∴|||1|x yi i +=+==,选B ．13．A 【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(3,1)m m +-，所以30m +>，10m -<，解得∴31m -<<，故选A ． 14．C 【解析】441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 15．A 【解析】由题意知1z i zi +=-，21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===++-，所以|z |1=． 16．A 【解析】∵23z i =+，所以23z i =-． 17．B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B ．18．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．19．C 【解析】32222ii i i i i i i-=--=-+=． 20．A 【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B ．21．D 【解析】由题意得，i iii i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D ．22．B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 23．D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i ii i i-+--+==----．24．A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-． 25．B 【解析】131ii+=-12i -+． 26．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴ 22()(2)34a bi i i +=+=+． 27．D 【解析】由(34)25i z +=得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，选D ．28．C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++= 29．C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．30．A 【解析】()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-．31．B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，选B ．32．D 【解析】由题知z =|43|34i i +-=3455i +，故z 的虚部为45，故选D ．33．A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+． 34．D 【解析】()()325z i --=，得535,52z i z i i=+=+=--． 35．A 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，由22z zi z ⋅+=得，()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22,所以选A ．36．C 【解析】2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-，故选C ． 37．C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，所以4z i =-． 38．D 【解析】211iz i i==++，1z i ∴=-． 39．A 【解析】()212i i i -=+，选A ．40．B 【解析】设(,)A x y 表示复数z x yi =+，则z 的共轭复数z x yi =-对应的点位(,)B x y -．41．B 【解析】由已知111(1)(1)22i z i i i --==---+--，所以||2Z =．42．D 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D ．43．A 【解析】由1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-对应复平面内的点为A ． 44．D 【解析】依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D ． 45．A 【解析】()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i ，故选A ．46．A 【解析】由(1)z i i =+=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--． 47．B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -．48．D 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i ++++===+--+． 49．A 【解析】因为1z i =+，∴1z i =-，∴22z z +=0．50．A 【解析】i ii i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A ． 另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=． 51．B 【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ，“复数ba i+为纯虚数”则0=a 且0≠b ，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ． 52．D 【解析】z =22i i -+=3455i -在复平面内对应的点所在象限为第四象限．53．A 【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==. 故选A ． 54．C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． 55．D 【解析】因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-． 56．B 【解析】22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 57．A 【解析】∵21i =-，∴=+++7531111i i i i11110i i i i-+-=． 58．B 【解析】∵21i =-，1S -∈，∴2i S ∈．59．A 【解析】(1)(2)(1i)3i z z i +⋅=+-=-．60．A 【解析】z ==，∴z =21||4z z z ⋅==．61．B 14===+．62．4i -【解析】67i (67i)(12i)205i 4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-． 63．5【解析】由题意17i (17i)(1i)68i34i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以|||34i |5z =--==． 64．2【解析】复数12i(12i)(i)2i iz +==+-=-的实部是2． 65．5,2【解析】∵222(i)2i 34i a b a b ab +=-+=+，∴223a b -=，2ab =，又22222222()()491625a b a b a b +=-+=+=，∴225a b +=，2ab =．66．2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则205a +=，2a =-．67|||1i ||12i |z =++==68．1-【解析】(1)()(1)(1)i a i a a i ++=-++，由已知得10a +=，解得1a =-． 69．2【解析】(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，所以1,2,2ab a b===． 70．2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-．71．3 【解析】由a bi +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=．72．21【解析】2(52)z i =+=2120i +，z 的实部为21．73．12i --【解析】211(1)1(1)222i i i i ii i -----===+-． 74．-1【解析】211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭22(1)1(1)i i +=--．75．-3【解析】23ii+=3i --．实部为3-．765(12)2(12)(12)i i z i i i -==++-，所以||z ==77．12i +【解析】由题意101a a b -=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以a + bi =12i +．78．3【解析】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=．79．1【解析】32113iz i i-+=-=+，∴z 的实部是1．。