第二章线性规划

排放污水 1.4万m3。污水从工厂1流到工厂2前会
有20%自然净化。根据环保要求，河水中污水的
含量应不大于0.2%。而工厂1和工厂2处理污水的 成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。问 两工厂各应处理多少污水才能使处理污水的总费用 最低？
续：
设：工厂1和工厂2每天分别处理污水x1 和x2万m3，则有：
源），你们要用这些原材料去生产桌和椅（ 决策
变量）这两种产品分别生产多少可以使总利润最大？
具体拼装图如下一个幻灯片。
桌椅拼装图
原材料
8 小块 6 大块
产品
桌
椅
Profit = $20/Table Profit = $15/Chair
问题分析
目标函数： Max Profit(=15x+20y)
这里x代表椅子的生产量，y代表桌子的生产量， 为决策变量。 约束 条件
无可行解(即无解)
30
20
10
O
10
2 0
30
4
50
x1
续：几点注
注：1、满足约束条件的解称为可行解，由可行解 构成的集合称为可行域； 2、当可行域非空时，它是有界或无界的凸多边形 ； 且最优解一定在此顶点得到，若存在两个点最优解， 则此连线上的任意点均为最优解； 3、可行域无界，有可行解，但无最优解；可行域 为空集，无可行解，也无最优解。线性划问题的数学模型向量形式：
m ax(m i n )z CX p j x j ( ) B X 0
其中：
C (c1 c 2 c n )
a1 j Pj a mj
x1 X xn
可 行 解 基解 基可行解
非可行解
例4、 求线性规划问题的所有基矩阵
max Z 4 x1 2 x2 x3 5 x1 x2 x3 x4 3 10 x1 6 x2 2 x3 x5 2 x 0, j 1,,5 j
5 1 1 1 0 解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 A 10 6 2 0 1
求解线性规划问题，就是从满足约束条件 (2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标 函数(1)达到最大值。
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有 可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵 (m<n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵 （∣B∣≠0），称B是规划问题的一个基。设：
3、线性规划问题的标准形式
max Z c j x j
j 1 n
n aij x j bi s.t j 1 i 1,2,, m x j 0, j 1,2,, n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大 于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
4、 线性规划问题的解
线性规划问题
max Z c j x j (1)
j 1 n
n a ij x j bi ( i 1,2, , m ) ( 2) s.t j 1 x j 0, j 1,2, , n ( 3)
域(凸集)的顶点。
定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基
可行解是最优解。（或在某个顶点取得）
续：
用图解法解下列线性规划问题：
目标函数：Max z 2 x1 3 x 2 x1 2 x 2 8 4 x 16 1 满足约束条件： 4 x 2 12 x1 , x 2 0
续：线性规划的一般形式
min(max) z c1 x1 c2 x2 cn xn 目标函数 a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 22 2 2n n 2 s.t 21 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm x1 , x2 , , xn 0( 0, free)
0 1 B4 6 1 1 1 B8 6 0
1 0 0 1 0 B9 0 1 1
5、单纯形法
引例：
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
续：
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加 入松驰变量x4，x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减 去剩余变量x5，x5≥0； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同 乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令 z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′ 达到最大值，反之亦然;
a11 a1m B ( p1 pm ) a m 1 a mm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向 量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量 以外的变量为非基变量。
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零 ，由约束条件方程②解出基变量，称这组解 为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方 m 程数m，基解的总数不超过 C n 基可行解：满足变量非负约束条件的基本 解，简称基可行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基 。
x 2y 6 2 x 2 y 8 x, y为非负整数
线性规划就是将决策变量、目标函数、约束条件
用线性函数表示的数学模型。
续：
引例2：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂
的河流流量为每天500万m3，两工厂之间有一条
流量为每天200万m3的支流（见图）。
续：
第一化工厂每天排放污水2万m3，第二化工厂每天
续：如何化标准形式
目标函数的转换
如果是求极小值即
minz c j x j
，则可将目标函
数乘以(-1)，可化为求极大值问题。 变量的变换 即 maxz z c j x j
若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj 其中： x , x 0
已知参数 c1, „ , cn称为价值系数; 系数 ;
a11, „ , amn 称为技术
b1, „ , bm称为限额系数。
续：
max (min) Z
简
c x
j 1 j
n
j
写
为
a x
j 1 ij
n
j
( ) bi
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
xj 0
例3 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2 x1 x2 3 x3 5 x1 x2 x3 7 x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5 x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取 负值，标准型中要求变量非负，所以 用 x3 x3 替换 x 3 ，且 x3 , x3 0
第二章、线性规划
1、 线性规划问题及其数学模型； 2 、线性规划的图解法； 3、 线性规划的标准型； 4、 线性规划解的概念； 5、 单纯形法； 6、人工变量法 7、 应用举例。
1、线性规划问题及其数学模型
（1）二个引例
引例1（见第一章案例）：每个小组都有一组拼装
玩具(8个小块和6 大块) ，这些是你们的原材料（资
5
4
Q5
Q4
2 Chairs + 2 Tables = 8 Small Bricks
3
Q1
2
1
Chairs + 2 Tables = 6 Large Bricks
Q3
1 2 3 4
Q2
5
6
Chairs
续：
2table 2chair 8 1table 2chair 6
解得： Table=2;chair=2
j j
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
a x
a
ij
ij j
bi
a x
ij
j
xn i bi
称为松弛变量
x j bi
a x
ij
xn i 0
j
xn i bi
称为剩余变量
xn i 0
变量 x j 0的变换 可令 xj x j ，显然
x j 0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4 则标准型为: max Z 3 x1 4 x 2
b1 B bm
续：
矩阵形式： m ax(m i n )Z CX
AX ( ) B X 0
其中：
C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
b1 B bm
a11 a1 n A a m 1 a mn
2、线性规划的图解法
图解法步骤： （1）首先在直角坐标系中画出约束直线；
（2）确定线性规划问题的可行域（可行解）； （3）确定目标函数等值线（梯度方向）； （4）确定线性规划的最优解
Tables
续：
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上 的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
凸集
不是凸集
顶点
C为凸集， x
x1 (1 ) x 2 C ,0 1
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问
题的可行域是凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行