第2章线性规划模型、图解法、标准型
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
第二章 线性规划基本内容
x1 0, x2 0, x3符号无限制
，x3 x4 x5 ， 解： 令 z z ，x1 x1 其中 x4 , x5 0 ，
则标准化后有
2 x2 3 x4 3 x5 max z x1 x2 s.t. x1 x4 x5 2 x2 x1 x4 x5 x2 3 x4 3 x5 3 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0 x1
40 3x1 10x 2 300 (0,30) A x1 , x 2 0 4 x1 5 x 2 200
B(20,24)
3 x1 10 x 2 300
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在 B 点获得最大值，z=4280
x2
凸集
定义 2.2.1： 设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集， 若对任意 x S , y S 的 和 任 意 [0,1] 都 有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定义 2.2.2：设 S 为凸集 x S ，如果对任意 y, z S 和 0 1 ，都 有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。 定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
（1）若 x k 0 ，令 x k x k
（2）若 中
xk
为符号无限制变量，则 。
xk xk xk
，其
, xk 0 xk
例1
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
第2章 线性规划
目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
线性规划
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数： max z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a 22 x 2 a 2 n x n b 2 21 1 约束条件： a x a x a x b m2 2 mn n n m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
24
第2节 应用举例
最终计算表（第3次计算）
c j→ CB 0.1 -0.3 0 XB x2 x4 x1 c j -z j b 10 50 30 0 x1 0 0 1 0 0.1 x2 1 0 0 0 0.2 x3 -1 1 1 0 0.3 x4 0 1 0 0 0.8 x5 -9/10 1/3 13/10 -0.74 -M x6 3/5 0 -1/5 -M + 0.06 -M x7 -3/10 1/3 1/10 -M + 0.12 -M x8 -1/5 0 2/5 -M -0.02 θ
27
第2节 应用举例
表1-7表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、 B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过 100kg，H总量不超过60kg。
表1-7
原材料名称 C P H 每 天 最 多 供 应 量 （ kg） 100 100 60 单 价 /(元 /kg) 65 25 35
29
第2节 应用举例
约束条件可表示为：
1 2 1 4 x1 x1 1 2 3 4 x2 x2 1 2 1 4 x3 x3 x1 x2 x3 x1 , , x 9 0 3 4 1 2 x4 x4 1 4 1 2 x5 x5 1 4 1 2 x6 x6 x7 x5 x6 x8 0 0 0 0 100 100 x 9 60
M1 : 目标函数： max z c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a 22 x 2 a 2 n x n b 2 21 1 约束条件： a x a x a x b m2 2 mn n n m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
24
第2节 应用举例
最终计算表（第3次计算）
c j→ CB 0.1 -0.3 0 XB x2 x4 x1 c j -z j b 10 50 30 0 x1 0 0 1 0 0.1 x2 1 0 0 0 0.2 x3 -1 1 1 0 0.3 x4 0 1 0 0 0.8 x5 -9/10 1/3 13/10 -0.74 -M x6 3/5 0 -1/5 -M + 0.06 -M x7 -3/10 1/3 1/10 -M + 0.12 -M x8 -1/5 0 2/5 -M -0.02 θ
27
第2节 应用举例
表1-7表明这些原材料供应数量的限额。加入到产品A、 B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过 100kg，H总量不超过60kg。
表1-7
原材料名称 C P H 每 天 最 多 供 应 量 （ kg） 100 100 60 单 价 /(元 /kg) 65 25 35
29
第2节 应用举例
约束条件可表示为：
1 2 1 4 x1 x1 1 2 3 4 x2 x2 1 2 1 4 x3 x3 x1 x2 x3 x1 , , x 9 0 3 4 1 2 x4 x4 1 4 1 2 x5 x5 1 4 1 2 x6 x6 x7 x5 x6 x8 0 0 0 0 100 100 x 9 60
( 6 )线性规划
x j ，即 x j 没有非负限制，则令
例
将下面线性规划问题化成标准型
max z x1 x2
四、线性规划解的性质
（一）几个概念 1.凸集 若连接n维点集S中任意两点 x , x 的线段
仍在S内，则称S为凸集。
(1) (2)
x 即：
(1)
, x ∈S，有 x (1 ) x ∈S，0≤λ≤1，
均为最小值点，即 AB连线上任一点均为解，故解有 无穷多个。
若线性规划问题
的约束条件为
由上图可知，此时可行域不存在，即可行解集 S＝Φ，无可行解，也就没有最优解。
从几何直观上可以看到，可行域为一凸多边形，且
有几种可能：有惟一解，则一定在可行域的某个顶 点达到最优；有无穷多解，一定在可行域的某一边 界上达到最优；若可行域非空，但无解，则可行域 无界；若无可行解，则无最优解。由此可猜想：如
果可行域为凸多边形，且有最优解，则它一定在某
个顶点上达到。事实上，不难证明这一点。对于凸 多面体上的高维线性规划问题，若有最优解，也可
以证明最优解一定在凸多面体的顶点处达到。
三、线性规划的标准型
用图解法求解，虽然简单，但不实用，因而
有必要寻找另外的求解方法。 我们规定标准型为
矩阵形式
化成标准型
( 0)
若rank（A）＝m，则每个基解的非零分量的个
数≤m。若个数＜m，则称该基解是退化的，否则称
为非退化的。
（二）线性规划问题解的性质
1.线性规划问题的可行解为凸集。因而任意连接 两个可行解的线段上的点仍是可行解。 2.最优值可以在极点上达到。 3. 可行解集 S 中的点 x 是极点的充要条件是 x 为基 可行解。
例
《数据、模型与决策》第2部分_线性规划理论_学生
a21 x1 + a22 x2 + ···+ a2nxn = b2
s.t
······
am1x1 + am2x2 + ···+amn xn = bm
x i ≥ 0 i = 1······n
要求右端项 bj ≥0 j = 1······m
线性规划模型的标准形式
模型的矩阵表示:
决策变量 X =（x1, x2 , ······, xn ) T (列向量)
目标系数 c = ( c1, c2 , ······, cn ) T (列向量)
右端项 b = ( b1 , b2 , ······, bm )T (列向量)
系数矩阵
a11 a12 ···a1n
A = a21 a22 ···a2n = ( a i j ) m × n
a···m1
a
···
m2
···a···mn
• 若设计变量要求只取 ( 0, 1 )， —— 0 -1规划
• 若函数中引入时间参数,
—— 动态规划
另：若目标有多个,
—— 多目标规划/
北京科技大学 经济管理学院
8
线性与非线性的区别：
f(x1)
2维(一元)
x1
3维(二元)
x2
f(x1 , x2) x1
• 不是线性的函数，均称为非线性函数。
例如： 2 x12 + 3 x1x2
x i ≥ 0 i =1······5
Max Z = 20 x 1 + 30 x 2
1 40
x1 +
1 56
1 600
x1 +
1 380
x2 ≤ 120 x2 ≤ 10
第2章—线性规划
§5 利用EXCEL求解线性规划模型（练习2）
数学模型
目标函数 ：
max z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 ≥ 100 x1 x8 ≥ 0
资源 设
产 品 备
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量 8台时 16 kg 12 kg
原材料 A 原材料 B
§1 线性规划问题—例1
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑： 设 x1 , x2 分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量，称它为 分别表示计划生产产品Ⅰ 决策变量；(确定决策变量阶段) 决策变量；(确定决策变量阶段) 生产 x1 , x2 数量的多少受资源拥有量的限制，这是约 束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8; 4 x1 ≤ 16; 4 x2 ≤ 12；x1 , x2 ≥ 0 ； (确定 约束条件阶段) 约束条件阶段) 如何安排生产，使利润最大，这是目标 。(确定目 标函数阶段) 标函数阶段)
工厂1 工厂1： 工厂2 工厂2： 工厂3 工厂3：
x1 ≤ 4; 2 x2 ≤ 12； 3 x1 + 2 x2 ≤ 18
§1 线性规划问题—例3
可得上述问题的数学模型为：
max z = 3 x1 + 5 x2 x1 ≤ 4; 2 x ≤ 12； 2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 18; x1 , x2 ≥ 0
线性规划法
（3）约束条件。
s.t.
x 11 x 12 x 13 x 14 100 x 21 x 22 x 23 x 24 80 各矿山的运输量与产 量的平衡条件 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 11 x 21 x 31 50 x 12 x 22 x 32 70 x 13 x 23 x 33 80 x 14 x 24 x 34 30 x ij 0 i 1 ,2 ,3 ;
成，答案在计算机上由线性规划程序运行很快获得。
正确的建模要求建模者：
熟悉规划问题的生产和管理问题，明确目标和错综
复杂的约束条件，通过调查和统计资料获取原始可靠的
数据。
建模过程的规律： ①通过对实际问题的分析、理解，明确那些是决策 变量，目标要求是什么，有那些资源限制条件； ②把变量、常数、约束条件、目标要求的相互关系 联系起来列出相应的方程式； ③注意变量、系数、常数的计量单位要统一。
4x1 16
必落在由这三个 半平面交成的第 一象限区域内。
7—
6— 5—
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
4 x2 12 x1 + 2x2 8
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
9— 8—
可行解：满足约束条件的解。白 色区域中的每一个点（包括边界 点）都是可行解。此区域是【例 2-1】的线性规划问题的解的集 合（可行解域）。
| 1 | 2 | 3 | 4
O
0
D|
5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
2.4
简单最小化问题的图解法求解
2.4.1 两个变量最小化线性规划模型的求解
s.t.
x 11 x 12 x 13 x 14 100 x 21 x 22 x 23 x 24 80 各矿山的运输量与产 量的平衡条件 x 31 x 32 x 33 x 34 50 x 11 x 21 x 31 50 x 12 x 22 x 32 70 x 13 x 23 x 33 80 x 14 x 24 x 34 30 x ij 0 i 1 ,2 ,3 ;
成，答案在计算机上由线性规划程序运行很快获得。
正确的建模要求建模者：
熟悉规划问题的生产和管理问题，明确目标和错综
复杂的约束条件，通过调查和统计资料获取原始可靠的
数据。
建模过程的规律： ①通过对实际问题的分析、理解，明确那些是决策 变量，目标要求是什么，有那些资源限制条件； ②把变量、常数、约束条件、目标要求的相互关系 联系起来列出相应的方程式； ③注意变量、系数、常数的计量单位要统一。
4x1 16
必落在由这三个 半平面交成的第 一象限区域内。
7—
6— 5—
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
4 x2 12 x1 + 2x2 8
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
9— 8—
可行解：满足约束条件的解。白 色区域中的每一个点（包括边界 点）都是可行解。此区域是【例 2-1】的线性规划问题的解的集 合（可行解域）。
| 1 | 2 | 3 | 4
O
0
D|
5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
2.4
简单最小化问题的图解法求解
2.4.1 两个变量最小化线性规划模型的求解
运筹学
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图中红粗线和红点是顶点. 图中红粗线和红点是顶点. 红粗线 是顶点
3. 线性规划基本定理
定理1 定理 1
若线性规划问题存在可
行解,则问题的可行域是凸集. 行解,则问题的可行域是凸集.
方法1 证 (方法1) 若满足线性规划约束条件 下面给予证明. C内,下面给予证明. 设 X1 = (x11, x12,, x1n )T 即
一,关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题 :
max z =
∑c
j =1
n
j
xj ( i = 1, , m ) ( j = 1, , n )
(2.1) (2.2) (2.3)
n ∑ a ij x j = bi j =1 x ≥ 0 j
可行解:满足上述约束条件( 可行解:满足上述约束条件(2.2),(2.3)的解 X = (x1, xn )T ,称为线性 , 规划问题的可行解.全部可行解的集合称为可行域 可行域. 规划问题的可行解.全部可行解的集合称为可行域. 最优解:使目标函数( 最优解:使目标函数(2.1)达到最大值的可行解称为最优解. 达到最大值的可行解称为最优解. 基:设 A 为约束方程组(2.2)的 m×n 阶系数矩阵,(设n>m),其秩 为约束方程组( 阶系数矩阵, m), 是矩阵A中的一个m 阶的满秩子系数矩阵, 为m,B是矩阵A中的一个m×m阶的满秩子系数矩阵,称B是线性规划问题的 一个基. 一个基.
若线性规划问题存在可行解, 则所有可行解的集合——可 若线性规划问题存在可行解, 则所有可行解的集合——可 —— 是凸集. 行域 C = {X| AX= b,X ≥0 }是凸集. 是凸集 证明: 方法 证明:(方法 2) 设 X1∈C,X2 ∈C,则 A X1=b,A X2=b,X1 ≥0,X2 ≥0 , , , 在 X1, X2 连线上任取一点 X 故 AX =A[αX 1 + ( 1 α ) X 2 ] =αAX 1 + ( 1 α ) AX 2 = b
2.3 线性规划的图解法
1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”
线性规划是研究线性不等式组的理论，或者 说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线 性代数的应用和发展。
线性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn (=, )b1
20
10
10
20
Q1（25，0） 30 40
x1
解的讨论：
无界解：
例：max S=x1+x2 s.t. -2x1+x2 40 x1-x2 20 x1,x2 0
x2 50
40 30
该可行域无界，目标函 数值可增加到无穷大， 称这种情况为无界解或 无最优解。
20
10
10
20
30
40
x1
例2.1的数学模型 max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120 2x1+x2 50 x1,x2 0
x2 50 由 4x1+3x2 120 x1 0 40 30 x2 0 围成的区域
20
10
4x1+3x2 120
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
x2 50
40 30
20 可行域 10
目标函数是同约束 条件：4x1+3x2 120 平行的直线 x2 = S/30-（4/3）x1
10
20
30
40
x1
x2 50
40 30
当S的值增加时，目 标函数同约束条件： 4x1+3x2 120
线性规划模型和图解法全
本章教学目的、重点、难点：
Chapter2 线性规划模型和图解法
1. 规划问题阐述
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
练习： 用图解法求解下面线性规划模型：
线性规划模型的图解法
分析： 用图解法求解下面线性规划模型： 图1最大化线性规划模型的图解法
分析：
用图解法求解下面线性规划模型：
多边形区域OABCD中的点就是线性规划问题的可行解（可行点），多边形区域 OABCD称为线性规划问题的可行解区域。显然它是一个凸区域。
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般求解方法的基本思想。
例1.4 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（7.6，2）
D
L0： 0=3X1+5.7X2
max Z
34.2 = 3X1+5.7X2
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
线性规划模型的图解法
下面介绍QM软件的使用方法：
线性规划模型的图解法
Chapter2 线性规划模型和图解法
1. 规划问题阐述
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标
练习： 用图解法求解下面线性规划模型：
线性规划模型的图解法
分析： 用图解法求解下面线性规划模型： 图1最大化线性规划模型的图解法
分析：
用图解法求解下面线性规划模型：
多边形区域OABCD中的点就是线性规划问题的可行解（可行点），多边形区域 OABCD称为线性规划问题的可行解区域。显然它是一个凸区域。
图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般求解方法的基本思想。
例1.4 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（7.6，2）
D
L0： 0=3X1+5.7X2
max Z
34.2 = 3X1+5.7X2
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
线性规划模型的图解法
下面介绍QM软件的使用方法：
线性规划模型的图解法
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x2
两个顶点处达到最优解
x1
• 无可行解 x2 例3：
max z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 s.t 3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程)
x1
• 无有限最优解(无界解)
max 例4：
s.t
z=4x1+3x2
解：设x1，x2分别为甲、乙产品的数量，则有 约束条件 x1+ 2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12 x1≥0，x2≥0，称x1，x2为决策变量 目标函数 max z=2x1+3x2
2、营养问题： 某公司养动物以供出售。这些动物的生长对 饲料中的三种营养元素特别敏感，分别称为营养元 素A、B、C。已求出这些动物每天至少需要700克 营养元素A，30克营养元素B，而营养C恰好为200 克。现有五种饲料可供选择，各种饲料的营养元素 及价格如下表所示，为了避免多使用某种元素，规 定混合饲料中各种饲料最高含量分别为50、60、50、 70、40千克，求满足动物需要且费用最低的饲料配 方。
-3x1+2x2≤6 -x1+3x2≥ 18 x 1, x 2 ≥ 0
x2
-3x1+2x2=6
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点 唯一解 一般围成有限区域,最优值 只在一个顶点达到 无穷多解 在围成的区域边界上,至少 有两个顶点处达到最优值 无可行解 ( 无 围不成区域 解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限 最优值 方程特点
§ 线性规划图解法
§2.1 图解法
图解法不是解线性规划的主要方法,只是用于说明线性规 划解的性质和特点。只能解两个变量问题。 （用图解法求解,线性规划不需要化成标准型） 图解法的步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
线性规划解的几种可能情况 1、唯一最优解 2、无穷多最优解 3、无可行解 4、无有限最优解(无界解)
70
60 50
5
6
22-2
2-6
20
30
一般情况下，其值均是正的 总结： 线性规划三要素： 决策变量、目标函数、 约束条件 线性规划的特点: 目标线性、约束条件为线性不等式或等式
定义：线性规划（LP）的一般模型为 目标函数： max(min) z=c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn
约束条件： a11 x1 + a12 x2+ …+ a1n xn=（≤、≥）b1 a21 x1 + a22 x2+ …+ a2n xn=（≤、≥）b2 … … … am1 x1+ am2 x2+ …+ amn xn=（≤、≥）bm x1≥0，x2≥0，…，xn≥0
任意线性规划模型转化为标准型的方法：
1、目标最小化： min Z=max (―Z)= max Z 2、约束条件为不等式： “≥” 引进非负松弛变量 xk≥0,( 减去 ) 松弛变量 , 对 应于xk的目标系数取为零。 “≤” 引进松弛变量xl≥0, (加入)松弛变量,对应于xl 的目标系数取为零。 3、决策变量xk是自由变量(无非负限制)，或xj有上下界限制 是可以引进新的变量，转化为变量≥ 0 形式。例如 xk 是 自由变量，引进新变量 xl≥0, xm≥0,令xk =xl-xm，对 应的目标系数仍为ck 。 4、当bi小于零的时候，在等式两边同时乘以-1即可。 “小加、大减、一变二”
目标和某一约束 方程成比例 有矛盾方程
缺少一必要条件 的方程
问题 : 围成无界区域就不能有唯一解吗?
用图解法解下面线性规划问题
max z=2x1+x2
s.t
5x2≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+x2 ≤5 x1, x2 ≥ 0
线性规划的几何特性： 线性规划问题若有最优解,一定在其可行域的顶点达到 （1）有最优解(唯一最优解必在一个顶点达到;无穷多 最优解至少在两个顶点达到); （2）无解(可行域为空集或目标函数无有限极值)
§1 线性规划问题及其数学模型
1、生产组织与安排问题： 某工厂计划生产甲、乙两种产品。所需的设备台 时及A、B两种原材料消耗，详见下表
设备 原材料 A 原材料 B 利润/元 甲 1 4 0 2 乙 2 0 4 3 8 台时 16kg 12kg
该工厂每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品 可获利3元，问如何安排生产计划，可使利润最大？
• 有唯一解 例1： max z=2x1+ 3x2 x1+ 2x2≤8 4x1 ≤16 4 x2 ≤12 x1，x2 ≥0 画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
• 有无穷多解
例2 max z =x1+2x2 s.t x1+2x2≤8 4x2 ≤ 16 4x1 ≤12 x1, x2 ≥0
∑(和)表示法： 目标函数 max z=∑cj xj 约束条件 s.t ∑aij xj =b i ， i=1,…,m xj≥0 ，j=1,…,n
向量表示法: 目标函数 max z= CX 约束条件 s.t ∑pj xj =b xj≥0，j=1,…,n 矩阵表示法: 目标函数 max z=CX 约束条件 s.t AX =b X≥0
线性规划问题模型的标准型：
分量形式：线性规划（LP）的标准型： 目标函数： max z=c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn 约束条件： a11 x1 + a12 x2+ …+ a1n xn=b1 s.t a21 x1 + a22 x2+ …+ a2n xn=b2 … … … am1 x1 + am2 x2+ …+ amn xn=bm x1≥0，x2≥0，…，xn≥0 且bi≥0，若 bi<0，则乘(-1) 注: 有些书中以min型目标函数为标准型
表2 所用饲料、营养元素及单价
A
1 3 1 0.5
2
2 2 0.5 1
7
3 1 0.2 0.2
44 6 2 29 Nhomakorabea5 18 0.5 0.8
5
需求/克 700 30 200
B C
价格/元
解 ： 如教材14页
3、人力资源分配问题： 班次 1 时间 6-10 所需人数 60
2
3 4
10-14
14-18 18-22