6、5第五节 合情推理与演绎推理

理的错误是( ．．
A．大前提错导致结论错
)
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提错都导致结论错 解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结 论错． 答案：A
【易错警示】 类比时类比不当而致误
【典例】 (2013 年青岛模拟)在平面上，设 ha，hb，hc 是三角形 ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为 Pa Pb Pc Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：h ＋ h ＋ h ＝1.把它类比到空间，写出
对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前 n 项积为
Tn，则 T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2„a8，T12＝a1a2„a12，T16＝a1a2„a16，所 T8 T12 T16 T8 T12 T16 以T ＝a5a6a7a8，T ＝a9a10a11·12，T ＝a13a14a15a16，所以 T4，T ， a 4 8 12 4 T8，T12 T8 T12 T16 的公比为 q16，因此 T4，T ， T ，T 成等比数列．
2．(2013年长春模拟)类比“两角和不差的正弦公式”的 形式，对亍给定的两个函数：S(x)＝a x －a－x ，C(x)＝a x ＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是( ) ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－ C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝ S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② C．①④ B．③④ D．②③
【答案】 Pa Pb Pc Pd ha ＋ hb ＋ hc ＋ hd ＝1
【防范指南】 类比推理是一种由此及彼的合情推理， 一般的解答思路是进行对应的类比，类比推理得到的结 论不一定正确，故这类题目在得到类比的结论后，还要 用类比方法对类比结论的正确性作出证明．
1．(2012年高考江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的丌同 整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的丌同整数解(x，y)
①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18 ＋31；⑤64＝28＋36.
解 析 ： 这 些 “ 三 角 形 数 ” 依 次 是 1,3,6,10,15,21,28,36,45，„且“正方形数”是“三角形 数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36 ＝64，只有③⑤是对的． 答案：③⑤
解析：依题意及不完全归纳法得，3n－3n 1×4＋3n 2×42－„＋(－ 1 n＋1 1) 4 ＝ [3 －(－4)n＋1]． 7 1 n＋1 答案： [3 －(－4)n＋1] 7
n n
－ －
－
－
5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它 们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面 体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：因为两个正三角形是相似三角形，所以它们的面 积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相 似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积 比为1∶8.
考向二 类比推理 [例 2] (2013 年杭州模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S4， S8－S4，S12－S8，S16－S12 成等差数列．类比以上结论：设等比数列{bn} T16 的前 n 项积为 Tn，则 T4, ________，________，T 成等比数列．
12
[解析]
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
x ＝x1＋x2， 0 2 则有 y0＝y1＋y2. 2
x 2 y2 将 A，B 代入双曲线a2－b2＝1 中， x2 y 2 x2 y2 1 1 2 2 得 2－ 2＝1， 2－ 2＝1， a b a b x2－x2 y2－y2 1 2 1 2 两式相减得 2 ＝ 2 ， a b x1－x2x1＋x2 y1－y2y1＋y2 ＝ ， a2 b2 y1－y2y1＋y2 b2 b2 即 ＝ 2，即 kO M·AB＝a2. k x1－x2x1＋x2 a 即
三条高线长度类比到空间中应为相应的面的面积．本题 解决的关键是理解在三角形中的结论是采用等面积法得 到的，那么在三棱锥中就可以根据等体积法得到，这样 就不会出现类比失误．
【解析】 设 ha，hb，hc，hd 分别是三棱锥 ABCD 四个面上的高， P 为三棱锥 ABCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc， Pd，于是我们可以得到结论： Pa Pb Pc Pd ＋ ＋ ＋ ＝1. ha hb hc hd
π π 3．(课本习题改编)“三角函数是周期函数， y＝tan x， －2，2 是 x∈ π π 三角函数，所以 y＝tan x，x∈－2，2是周期函数．”在以上演绎推理
中，下列说法正确的是( A．推理完全正确 C．小前提不正确
) B．大前提不正确 D．推理形式不正确
第五节
合情推理与演绎推理
一、合情推理
1．归纳推理
定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 全部对象 事物的
部分 个别 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括
出一般结论的推理．
特点：是由
2．理．
特殊到特殊
定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的
1 (2)由(1)可知 b2k－1＝a5k－1＝ ×5k(5k－1) 2 5k5k－1 ＝ . 2
5k5k－1 [答案] (1)5 030 (2) 2
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为 “三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形 数”．如图，可以发现，任何一个大亍1的“正方形数” 都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中， 符合这一规律的表达式是________．
a b c
三棱锥中的类似结论________．
【错解】 设 S1，S2，S3，S4 是三棱锥 ABCD 四个面的面积，P 为三棱锥 ABCD 内任一点 P 到相应四个面的距离分别为 P1，P2，P3， P1 P2 P3 P4 P4，则有： ＋ ＋ ＋ ＝1. S1 S3 S4 【错因】 S2上述解法出错的原因在于学生误认为平面内
[解析] 归纳出{an}的通项是解题关键． (1)由图可知 an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)． 所以 a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n. 累加得 an－a1＝2＋3＋„＋n， n1＋n 即 an＝1＋2＋3＋„＋n＝ . 2 当 n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，„时，an 能被 5 整除，即 b2＝a5， b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，„，所以 b2k＝a5k(k∈N*)． 所以 b2 012＝a5×1 006＝a5 030.
4 8 12
T8 T12 [答案] T T 4 8
1．(2013 年聊城模拟)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于 x2 y2 椭圆有如下命题：AB 是椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不 a b b2 过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kO M·AB＝－ 2.那么对于双曲线则有如 k a x 2 y2 下命题：AB 是双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原 a b 点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM·AB＝________. k
∴f(x)在 a 上是增函数． b，＋∞
解法二 ∵a＞0，b＞0，x∈(0，＋∞)， a ∴令 f′(x)＝－ 2＋b＝0，得 x＝ x 当 0＜x≤ a ， b
a a a 时，－x2≤－b，∴－x2＋b≤0， b
即 f′(x)≤0，
∴f(x)在0，
a 上是减函数； b
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论 不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推 理形式都正确的前提下)．
1．(课本习题改编)数列2,5,11,20，x,47„中的x等亍 ( ) A．28 C．33 B．32 D．27
解析：从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等 差数列． ∴x＝20＋12＝32. 答案：B
答案：1∶8
考向一 归纳推理 [例1] (2012年高考湖北卷)传说古希腊毕达哥拉斯学派 的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研 究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，„记为数列{an }，将可被5整除的 三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以 推测： (1)b2 012是数列{an}中的第________项； (2)b2k－1＝________.(用k表示)
解析：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y) ＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－ y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y) ＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B. 答案：B
当 0＜x1＜x2≤
a b时，∵a＞0，b＞0，
a a ∴x2－x1＞0,0＜x1x2＜ ， ＞b， b x1x2 ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在0，
a 上是减函数； b a ＞0 时，∵a＞0，b＞0， b
当 x2＞x1≥
a a ∴x2－x1＞0，x1x2＞b，x x ＜b. 1 2 ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)．
二、演绎推理
1．模式：三段论
①大前提——已知的一般原理
特殊情况 ②小前提——所研究的 特殊情况 ③结论——根据一般原理，对 一般 2．特点：演绎推理是由
； ； 做出的判断． ．
特殊的推理 到