3.1.3 过不在同一直线上的三点作圆
《过不共线三点做圆》word优秀获奖教案 (市优)
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
3.1.3过不在同一直线上的三点作圆教学目标：1.（了解）（１）知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.（２）三角形的外心.2．（掌握）（１）会用尺规作过不在同一直线上的三个点的圆；（２）掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念.重、难点：过不共线的三点圆的圆心的确定.学具：圆规、直尺等.教学过程：一、 复习引入1. 怎样作线段的垂直平分线？2. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？3. 位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ，决定圆的位置的是 .4. 几点可以确定一条直线？既然一条直线可以由 点来确定，那么一个圆需用几点来确定呢？今天这节课就来研究这个问题.二、 讲授新课１. 阅读课文，然后分两组画图：（１）组：经过一个已知点Ａ画圆； （２）组：经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆. 注意引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心.（学生在底下画图时，可让两生上黑板画）教师作简单小结，并在投影上展示出来.过一个点的圆有无数多个 过两个点的圆有无数多个接下下来我们来学习过三个已知点画圆.（板书课题）2. 例：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点.已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图）求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析：以前我们学过三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，若把三个已知点看作是三角形的三个顶点构造三角形，那么，两边垂直平分线的交点就是我们要找的圆心.师生共同完成作图过程.（板书过程）（结合以上的作法与证明，请学生回答下列问题，引出定理）①、经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否承在？（承在）②、是否还有其他符合条件的圆？（没有）③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点）这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的.３.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.强调：（１）过同一直线上三点不行.（２）“确定”一词应理解成“有且只有”.4. 介绍“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”以及“外心”的概念.5. 过同一直线上的三个点能不能作圆呢？（引导学生思考与尝试）学生得出：过同一直线上的三个点不能作圆三、巩固练习1. 按图填空：（１）△ABC是⊙Ｏ的三角形；（２）⊙Ｏ是△ABC的圆2. 判断：（１）经过三个点一定可以作圆；（）（２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（）（5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （）四、思考题经过４个（或４个以上的）点是不是一定能作圆？五、小结过一点作圆过二点作圆会用尺规作三角形的外接圆[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
过三点的圆数学教案
过三点的圆数学教案
主题：过三点的圆
一、教学目标：
1. 理解并掌握如何通过三个不在同一直线上的点作圆。
2. 能够运用所学知识解决实际问题。
3. 培养学生的观察力、思考能力和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：
1. 重点：过三点作圆的方法。
2. 难点：理解为什么必须是三个不在同一直线上的点才能确定一个圆。
三、教学过程：
1. 引入新课：
教师可以通过展示一些关于圆形的实物或图片，引导学生讨论并思考，引出“如何确定一个圆”的问题。
2. 讲授新知：
（1）定义：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
（2）过三点作圆的方法：
a. 找到任意两点连线的中垂线；
b. 第三个点到这条中垂线的距离就是圆的半径；
c. 以中垂线的交点为圆心，以半径画圆。
3. 演示与实践：
教师在黑板上演示过三点作圆的过程，然后让学生自己动手尝试。
4. 练习与应用：
设计一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并能运用到实际问题中。
5. 小结：
总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
6. 作业布置：
布置一些相关习题，要求学生回家完成。
四、教学评价：
通过课堂观察、作业批改和测验等方式，对学生的学习情况进行评估。
3.1.2 确定圆的条件(教案）
浙教版数学九年级上册3.1.2确定圆的条件教学设计课题确定圆的条件单元 3 学科数学年级九学习目标情感态度和价值观目标形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神能力目标经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的方法知识目标了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
重点掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
理解三角形外心的性质难点过不在同一直线上的三个点作圆的方法学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？学生：积极思考带着问题参与新课. 通过看似意外的实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程讲授新课类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；1.学生动手画过一点的直线，可以画无数条这样的直线。
“学生原有的知识和经验是教学活经过两点只能作一条直线.想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?经过两个已知点A、B能作无数个圆问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎2.学生动手画过一点的直线：学生动手画过一点的圆，并小组讨论交流。
得出结论：经过一个已知点能作无数个圆。
（圆心、半径均不确定）学生动手画过两个点的圆，并小组讨论交流得出结论：经过两个已知点能作无数个圆。
（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）动的起点”通过复习确定直线的方法，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件。
让学生动手实践，充分交流，通过探究、讨论、交流得到过一个已知点可以作无数多个圆重视学生的课堂参与。
《过不在同一直线上的三点作圆》教案-02
《过不在同一直线上的三点作圆》教案【知识与技能】1.理解确定圆的条件及外接圆外心的定义。
2.掌握三角形外接圆的画法。
【过程与方法】经历过不在一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让学生会用尺规作过不在同一直线上的三点的圆。
【情感态度与价值观】在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中，进一步培养探究能力和动手能力。
教学重点和难点【重点】（1）确定圆的条件和外心的定义。
（2）三角形外接圆的画法。
【难点】过不共线的三点的圆的圆心的确定。
教学过程一 创设情境，导入新课1.几点确定一条直线？既然一条直线可以由两点确定，那么一个圆需要几点才能确定呢？2.如图一考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，为了便于进行研究，这位考古学家想画出这个碎片所在的圆，你能帮助他解决这个问题吗？为了解决上面问题我来学习:3.1.3过不在同一直线上的三点作圆二合作交流，探究新知 1探究确定圆的条件（1）如何过点A 作圆，可以作多少个圆？（学生独立完成） 教师归纳：任意取点O 作圆心，OA 为半径作圆。
（2）如何过两点作圆？过两点可以作多少个圆？已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心. ①过A 、B 两点的圆的圆心在哪儿？由于A 、B 两点在圆上，所以OA=OB,因此点O 在AB 的垂直平分线上。
② 如何过A 、B 两点作圆？以线段AB 垂直平分线上任意一点O 为圆心，OA 长为半径作圆。
③ 过A 、B 两点可以作多少个圆？由于AB 垂直平分线上任意一点都可以作为圆心，因此可以作无数个圆。
学生完成作图（3）如何过不在同一直线上的三点作圆？ 已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图） 求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析：由于圆O 经过点A 、B 、C ，因此点OA=OB=OC,于是点O 在线段AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上。
作法：① 连接AB ，作AB 的垂直平分线EF ， ② 连接BC ，作BC 的垂直平分线MN 交EF 于O.③ 以O 为圆心，OA 为半径作圆，则圆O 就是要作的圆。
2020届人教版中考数学一轮复习-第17讲 尺规作图(有答案)
第十七节尺规作图【知识点梳理】一）尺规作图1．定义只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．二）五种基本作图1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．三）基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．【课堂练习】一．选择题（共8小题）1．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA===4，∴AG=2AO=8．故选B．2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．3．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．4．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】N2：作图—基本作图．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE 是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．6．如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心，OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧【考点】N2：作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AH D．AB=AD【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．B、错误．CA不一定平分∠BDA．C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．D、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选A．8．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．二．填空题（共5小题）9．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，∴∠DAQ=∠BAQ．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，∴∠DAQ=∠DQA，∴△AQD是等腰三角形，∴DQ=AD=3．∵DQ=2QC，∴QC=DQ=，∴CD=DQ+CQ=3+=，∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．故答案为：15．10．如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB=20°．故答案为：20°．11．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF 是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故答案为：56．12．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是．【考点】N2：作图—基本作图；D5：坐标与图形性质；J5：点到直线的距离．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．【解答】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．13．图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．三．解答题（共8小题）14．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．【考点】N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AD=4．15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【考点】N2：作图—基本作图；KO：含30度角的直角三角形．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，∴Rt△ADE中，DE=AD，设DE=x，则AD=2x，∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，解得x=1，∴△ADE的周长a=1+2+=3+，∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．16．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理．【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．17．如图，已知△ABC，∠B=40°．（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．【考点】N3：作图—复杂作图；MI：三角形的内切圆与内心．【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，⊙O即为所求．（2）如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．18．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．参考以上材料作图的方法，解决以下问题：（1）以上材料作图的依据是：（3）已知，直线l和l外一点P，求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【考点】N3：作图—复杂作图；MD：切线的判定．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）如图．19．“直角”在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．【考点】N3：作图—复杂作图；KS：勾股定理的逆定理；M5：圆周角定理．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．【解答】解：（1）如图1，在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°（2）如图2，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°．20．如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【考点】N3：作图—复杂作图；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．【解答】解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．21．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KI：等腰三角形的判定；KK：等边三角形的性质；L6：平行四边形的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．。
九年级数学下册《过不共线三点作圆》优秀教学案例
在本章节的教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观有机地结合起来，使学生在掌握基本几何知识的同时，提高自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
1.创设生活化的教学情境，以学生熟悉的事物或场景作为引入，如校园里的圆形花坛、篮球场的圆形边界等，让学生感受到圆就在我们的身边，激发他们的学习兴趣。
4.通过对几何性质的学习和证明，使学生掌握几何学的基本研究方法和思维方式，提高学生的几何素养。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学几何学科的兴趣，培养他们主动探究、勇于创新的科学精神。
2.培养学生严谨、细心的学习态度，使他们认识到几何学习的严密性和逻辑性，从而提高学习的自觉性和自律性。
3.引导学生关注数学与生活的联系，体会数学在现实生活中的广泛应用，增强数学学习的实用性和价值感。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，给予适当的提示和引导，确保讨论的有效性。
（四）总结归纳
1.邀请各小组代表汇报讨论成果，让学生在倾听他人观点的过程中，加深对知识点的理解。
2.教师针对学生的讨论成果进行点评，总结“过不共线三点作圆”的基本原理、尺规作图方法以及几何证明过程。
3.强调本节课的重点和难点，指导学生掌握几何学习的思维方法和技巧。
4.能够运用所学的知识，解决一些与圆相关的实际问题，如测量圆形场地、设计圆形图案等。
（二）过程与方法
1.通过小组合作和自主探究，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力，让学生在实践中学会如何观察、分析和解决问题。
2.引导学生运用尺规作图、直观演示等方法，提高学生的动手操作能力和空间想象能力。
32点和圆的位置关系教案
点和圆的位置关系一、教学目标(一)知识与技能：1.掌握点和圆的三种位置关系的判别；2.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.(二)过程与方法：1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力；2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.(三)情感态度与价值观：1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.二、教学重点、难点重点：1.能从点和圆的位置关系，判断点和圆心的距离与半径的大小关系；2.学会用已知点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点与圆的位置关系；3.认识三角形的外接圆，三角形的外心的概念，会画三角形的外接圆.难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.三、教学过程问题我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？我们知道，圆上所有的点到圆心的距离都等于半径.如图，设⊙O的半径为r，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.容易看出：OA＜r，OB＝r，OC＞r.反过来，如果OA＜r，OB＝r，OC＞r，则可以得到点A在_____，点B在_____，点C在_____.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.符号⇔读作“等价于”，它表示从符号⇔的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩就起好.练习巩固已知⊙O的半径为8cm，点P到圆心O的距离为d，则：(1)当d=5cm时，点P在⊙O____；(2)当d=8cm时，点P在⊙O____；(3)当d=10cm时，点P在⊙O____.探究我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什以特点？可以作无数个圆. 可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.思考经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？如图，分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC.于是以点O为圆心，OA(或OB、OC)为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆.因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即不在同一直线上的三个点确定一个圆.由右图可以看出，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.⊙O是△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心.反过来，△ABC是⊙O的内接三角形.思考三角形的外心一定在三角形的内部吗？分别作出下面三个三角形的外接圆，看看它们的外心的位置有什么特点？锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部.思考经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？如图，假设经过同一直线l上的A、B、C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一直线上的三点不能作圆.上面证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设经过同一直线上的三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.练习1.画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形. 解：如图，阴影部分及边界为所求的图形.2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点. 在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.。
过不在同一直线上的三点作圆
结束
由于两点A，B与 圆心的距离相等，因 此圆心在线段AB的垂 直平分线上.
O1
A
B
OO32
（2）如何过两点A，B作圆？
以线段AB的垂直平分 线上任意一点为圆心，以 这点和点A的距离为半径画 圆就可以了.
O1
A
B
2
（3）过两点A，B可以作多少个圆？
过两点A，B可以作 无数个圆，如图.
O1
A
B
OO32
它们有交点吗？由此可知，过同一直 线上的三点A，B，C能作一个圆吗？
不能做同一个圆. EF不没∥能有M交N.点
EM
A
CB
FN
说一说
经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？ 可以作几个圆？为什么？
由于△ABC的三个顶点 不在同一直线上，因此过这 三个顶点可以作一个圆，并 且只可以作一个圆.
练习
1. 画一个三角形，作这个三角形 的外接圆.
本课节内容 3.1
圆
——3.1.3 过不在同一直线 上的三点作圆
探究
1. 如何过一点A作一个圆？过点A可以 作多少个圆？
只要以点A以外 的任意一点为圆心， 以这个点和点A的距 离为半径画圆就可以 了，如图3-17.
O1
A
O2
O3
图3-17
2. 如何过两点作一个圆？ 过两点可以作多少个圆？
（1）过两点A，B的圆的圆心在哪儿？
那么这个圆的位置关系是
（C ）
A.内切 B.相交 C.外离 D.外切
解析 因为圆心距=8>3+4=7， 所以两圆外离. 故应选择C.
中考 试题
例2
已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm， 则两圆的圆心距是 1cm或5cm .
考点13 确定圆的条件(解析版)
2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点13确定圆的条件【知识点梳理】确定圆的条件1.经过一个已知点能作无数个圆2.经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；3.不在同一直线上的三个点确定一个圆.4.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．①C．①D．①【答案】A【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据三角形外接圆的圆心的确定方法知第①块可确定半径的大小．【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点睛】考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．2．已知O的半径为6cm，点P在O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】①①O的半径为6cm，点P在①O上，①OP=6cm．故选：C．【点睛】考查了点与圆的位置关系：设①O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外①d＞r；点P在圆上①d=r；点P在圆内①d＜r．3．O的直径为10cm，圆心O到点A的距离为6cm，则点A与O的位置关系是（）A．点A在O外B．点A在O上C．点A在O内D．无法确定【答案】A，点在圆上，d＜r，点在【分析】由点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r圆内，可得答案．【详解】解：O的直径为10cm，∴O的半径为5cm，圆心O到点A的距离为6cm，而6＞5，∴点A在O外，故选：.A=，【点睛】考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r 点在圆上，d＜r，点在圆内，是解题的关键．4．在ABC中，①C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与①A的位置关系是（）A．在①A外B．在①A上C．在①A内D．不能确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．【详解】解：由勾股定理得：3,AC===①AC=半径=3，①点C与①A的位置关系是：点C在①A上，故选：B．【点睛】考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外5．下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；①三角形有且只有一个外接圆；①平分弦的直径垂直于弦；①过三点有且只有一个圆．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.【详解】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；①在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；①三角形有且只有一个外接圆，故正确；①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；①过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；故是真命题的是①，故选：A.【点睛】考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.6．如图，在等边①ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为①ABC内一点，且①BPD ＝90°，则线段PE的最小值为（）A．2B．2C．4D．8【答案】C【分析】以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EF①AB于点F，在Rt①AEF中，①A＝60°，AE＝6，①AF＝3，EF＝在Rt①OEF中，EF＝OF＝5，①OE＝①PE＝4，即线段PE的最小值为4，故选：C．【点睛】考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．7．已知①ABC的外接圆①O，那么点O是①ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【答案】C【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.【详解】已知①O是①ABC的外接圆，那么点O一定是①ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.8．下列说法正确的是（）A．经过三个点一定可以作一个圆B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧D．任意一个三角形有且只有一个外接圆【答案】D【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】①经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆，①A错误，①在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较，①B错误，①当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆，①C错误，①任意一个三角形有且只有一个外接圆，①D正确．故选D．【点睛】考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；①在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；①以点O为圆心，OA为半径作O；①分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；正确的操作步骤是（）A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①【答案】B【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，①这块玻璃镜的圆心是①ABC三边垂直平分线的交点，①正确的操作步骤是①①①①故选：B．【点睛】考查垂径定理的应用．10．下列语句中，正确的是A．同一平面上三点确定一个圆B．菱形的四个顶点在同一个圆上C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D．三角形的外心到三角形三边的距离相等【答案】C【分析】根据确定圆的条件，三角形的外心的定义，以及圆内接四边形的对角互补的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A选项：同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故选项A错误；B选项：菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故选项B错误；C选项：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，是外心定义，故选项C正确；D选项：三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故选项D错误；故选C.【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件，掌握三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件是解题的关键.11．如图①，若BC是Rt①ABC和Rt①DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图①，①ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图①中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．12．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径所在的直线；①经过三点可以确定一个圆；①弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；①平分弦的直径垂直于弦；①三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据对称轴的概念、过三点的圆、弧、弦、圆心角的关系定理、三角形的外心的概念、垂径定理判断即可．【详解】解：圆的对称轴是直径所在的直线，①正确；经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，①错误；在同圆或等圆中弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，①错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，①正确；故选B．【点睛】考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题13．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____【答案】（﹣2，﹣1）【分析】根据外心的定义作图即可．【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．①点A的坐标为（﹣3，2），①点O的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键．14．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．【答案】5个【分析】连接AB、BC，然后分别作AC、AB的垂直平分线，进而可作①ABC的外接圆，然后根据图形可求解．【详解】如解图，连接AB、BC，先作AC，AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA 为半径作圆．格点与圆相交的有8个点．除A，B，C三点外，还有5个点．故答案为5个．【点睛】考查圆的作图，熟练掌握圆的尺规作图是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系x O y中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么①ABC的外接圆的圆心坐标为____．【答案】(5，5)【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．【详解】①B(0，3)，C(3，0)，①在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，①A(0，7)，B(0，3)，①点E纵坐标为5，①由图可得，E(5，5)．故答案为：(5，5)．【点睛】考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．16．如图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋转翼的一端与点D重合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端则与点C重合。
2023-2024学年数学华师大九年级课件中位线第1课时 点与圆的位置关系
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
则OD＝5cm， BD 1 BC 12cm.
D
2
在Rt△OBD中
OB OD2 BD2 13cm. 即△ABC的外接圆的半径为13cm.
当堂练习
1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A 上 ；点C在⊙A 外 ；点D在⊙A上 .
直平分线,其交点O即为 圆心;
C O
3、以点O为圆心，OC长
为半径作圆.
⊙O即为所求.
针对训练
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们 分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想 规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。 请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个 位置呢？
●A
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明
带到商店去的一块玻璃碎片应该是（D ）
A．第①块
B．第④块
C．第③块
D．第②块
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并 且小于或等于3cm的点组成的图形.
九年级数学下册第3章圆3.1圆3.1.3过不在同一直线上的三点作圆课件湘教版
AC AP 3AP. tan 30
【互动探究】若AP=1，则⊙O的面积为多少？ 提示：∵∠PAC=90°， ∴弦PC为⊙O的直径, ∴PC2=12+( 3 )2=4,∴PC=2, ∴S⊙O=π×12=π.
【总结提升】三角形外接圆圆心的“三种”位置 1.锐角三角形的外心在三角形内部，如图1； 2.直角三角形的外心是斜边的中点，如图2； 3.钝角三角形的外心在三角形外部，如图3.
4.已知 A B ，请找出 A B 所在圆的圆心， 并将圆的其他部分作出来.
【解析】作法：(1)在 A 上B 任取一点C(点C与A，B两点不重合). (2)连结AC，BC. (3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是A B 所在圆 的圆心.
(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.
设半径OB=R，则OD=4-R，由R2=32+(4-R)2,解得R=3.125.
3.△ABC的边长AB=1 cm, A C 2cm ,B C 3cm ,则其外接圆的 半径是________.
【解析】因为AB2+AC2=12+2=3=BC2.
所以△ABC为直角三角形，所以其外接圆的半径为△ABC斜边的 一半，即 r 3 .
3.1.3 过内确定一个圆的条件.(重点) 2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能经过不 在同一直线上的三个点作圆.(重点) 3.了解三角形的外接圆及外心.(难点)
确定圆的条件 (1)确定一个圆需要确定_圆__心__和__半__径__. (2)经过一点A可以作_无__数__个圆. (3)经过两点A，B可以作_无__数__个圆，这些圆的圆心都在线段AB 的_垂__直__平__分__线__上.
题组二:与圆内接三角形有关的运算 1.(2013·漳州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OB,OC,若 OB=BC,则∠BAC等于 ( )
湘教版数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆教案与反思
2.4 过不共线三点作圆落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华【知识与技能】1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义.2.掌握三角形外接圆的画法.【过程与方法】经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程,让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.【情感态度】在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣.【教学重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义.【教学难点】任意三角形的外接圆的作法.一、情境导入，初步认识如图所示,点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越,空气清新,环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡,但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远,给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.根据上面的实际情况,政府决定为这三个新村就近新建一所学校,让三个村到学校的距离相等,你能帮助他们为学校选址吗?二、思考探究，获取新知1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?活动2如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆?【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成,让学生初步体会,已知一点和已知两点都不能确定一个圆,并帮助学生得出如下结论.(1)过平面内一个点A的圆,是以点A以外的任意一点为圆心,以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个.(2)经过平面内两个点A,B的圆,是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心,以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.活动3如图,已知平面上不共线三点A、B、C,能否作一个圆,使它刚好都经过A,B,C三点.【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在,圆心为O,则点O到A、B、C三点的距离相等,即OA=OB=OC,则点O位置如何确定?是否唯一确定?教师提示到此,让学生动手画圆,最后教师归纳出.(3)经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆,是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心,以这一点到点A,点B或点C的距离为半径的圆,这样的圆只有一个.例1判断正误:(1)经过三点可以确定一个圆.(2)三角形的外心就是这三角形两边垂直平分线的交点.(3)三角形的外心到三边的距离相等.(4)经过不在同一直线上的四点能作一个圆.【分析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆.解:(1)×(2)√(3)×(4)×2.三角形的外接圆，三角形的外心.活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗?请动手画一画.【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上,所以过这三个顶点可以作一个圆,并且只可以作一个圆,并且得出如下结论.1三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点.2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调:任意一个三角形都有唯一的一个外接圆,但对于一个圆来说,它却有无数个内接三角形.教学延伸:经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗?什么样的特殊四边形能确定一个圆?【教学说明】提示:不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆.例2小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.(1请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.解:(1)用尺规作出两边的垂直平分线,作出图.⊙O即为所求的花坛的位置.(2)∵∠BAC=90°AB=8米,AC=6,∴BC=10米,∴△ABC外接圆的半径为5米.∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.三、运用新知，深化理解1.下列说法正确的是（）A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A、B、C、D的圆不存在2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△BC一条边上的是（）A.a=15,b=12,c=11B.a=5,b=12,c=12C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,c=143.下列说法正确的是（）A.过一点可以确定一个圆B.过两点可以确定一个圆C.过三点可以确定一个圆D.三角形一定有外接圆4.在一个圆中任意引两条平行直线，顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A.菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形【教学说明】通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念，强调过不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.【答案】1.B 2.C 3.D 4.C四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾：过已知点作圆，条件一是确定圆心，二是确定半径，不在同一直线上的三个点确定一个圆.了解三角形的外接圆、外心等概念.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.1.教材P63第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课从生活实际需要引入,到学生动手画满足条件的圆、培养学生动手、动脑的习惯.在动手画圆的过程中层层深化,得出新知识.加深了学生对新知的认识,并运用新知解决实际问题.体验应用知识的快感,以此激发学习数学的兴趣.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
3点与圆、直线与圆的位置关系(题型篇)-初中数学题型大全
A.相离B.相交C.相切D.相交或相切
【解析】
⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
题型二确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
变式7
7.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）
A. 以OA为半径的圆B. 以OB为半径的圆
C. 以OC为半径的圆D. 以OD为半径的圆
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】解： 于 ，
以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
故答案为：27°．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用了等量代换及转化的数学思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，同时注意连接OA．
10.如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA=________cm．
【详解】解：A.已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B.经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系知识梳理：考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．考点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．【典型例题分析】【例1】(1)(2009·江西)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确．．．的是()A．当a<5时，点B在⊙A内B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外D．当a>5时，点B在⊙A外(2)(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交(3)(2010·门头沟)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x 的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤ 2C．0≤x≤ 2 D．x> 2【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.(2)过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B.(3)当P与O重合时，PO＝0.当过点P 且与OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO ＝2，即0≤x ≤ 2.故选C.【例2】 (2010·聊城)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD.(1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；(2)取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．【解答】(1)由AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，AD ＝3，BD ＝4，∴AB ＝5在Rt △ADB 和Rt △ABC 中，∵∠ADB ＝∠ABC ＝90°，∠DAB ＝∠BAC ，∴Rt △ADB ∽Rt △ABC.∴AD BD ＝AB BC ，即34＝5BC .∴BC ＝203.(2)如图，连结OD.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.在Rt △BDC 中，点E 为斜边BC 的中点，∴EB ＝ED.∴∠EBD ＝∠EDB.∴∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝90°.∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径，∴ED 与⊙O 相切．【例3】 (2010·陕西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；(2)若AB ＝1，BC ＝2时，求△DEC 外接圆的半径．【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线．(2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．【解答】(1)∵DE 垂直平分AC ，∴∠DEC ＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点O 即为圆心，如图，连结OE.又知BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD ＋∠BOE ＝90°.在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴BE ＝EC.∴∠EBC ＝∠C.又∵∠BOE ＝2∠C ，∴∠C ＋2∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴EC ＝12AC ＝52.∵∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴△ABC ∽△DEC. ∴AC DC ＝BC EC ，∴DC ＝5×52÷2＝54. ∴△DEC 外接圆的半径为58. 【巩固练习】1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO 等于( B ) A.45 B.35 C.43 D.34(第1题) (第2题)2．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是( B )A ．4B ．8C ．4 3D ．8 33．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，CD 切⊙O 于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点A.若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( B )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°(第4题) (第5题)5．如图，⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为6cm.6．△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，以点B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B ，则边AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．【考点训练】一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解析】连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DOC ＝2∠A ＝50°.【答案】A2．(2009中考变式题)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5【解析】连结OD ，则OD ⊥AD ，又BC ⊥AD ，∴BC ∥OD.∵AB ＝OB ＝2，∴BC ＝12OD ＝12×2＝1. 【答案】C3．(2009中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(2，－1)，则点N 的坐标是( )A ．(2，－4)B ．(2，－4.5)C ．(2，－5)D ．(2，－5.5)【解析】过点P 作PA ⊥MN 于点A ，设NA ＝x ，连结PN ，则MA ＝x.∴⊙P 半径为x ＋1，在Rt △PNA 中，∵PN 2＝NA 2＋PA 2，∴(x ＋1)2＝x 2＋22，解得x ＝1.5，∴N(2，－4)．【答案】A4．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为R ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为( )A ．2R B.3R C ．R D.32R 【解析】连结OC ，则OC ⊥OD.∵∠CAB ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠D ＝30°，则OD ＝2R.∴BD ＝OD －OB ＝2R －R ＝R.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 交⊙O 于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12AC C ．AC>AB D ．AD>DC 【解析】易证△ABC 为等腰直角三角形，AD 为斜边上的中线，∴AD ＝12BC. 【答案】A6．(2011中考预测题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心、3 cm 长为半径的圆与AB 的关系为( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．无法判断【解析】易求C 到AB 的距离为125<3，∴⊙C 与AB 相交． 【答案】C7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【解析】本题考查切线的性质．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．70°【解析】∵∠BAC ＝35°，∠OAP ＝90°，∴∠PAB ＝55°.由切线长定理得PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝70°.【答案】D9．(2009中考变式题)下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，②④是正确的．【答案】C10．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】∵OA ＝OC ，∠A ＝35°，∴∠A ＝∠ACO ＝35°，∴∠COP ＝70°.又OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠COP ＝20°.【答案】B11．(2009中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为( )A. 3B. 5 C ．2 3 D ．2 5【解析】过O 作OE ⊥BC 于点E ，连结OB ，在Rt △OBE 中，OB ＝2，∠OBE ＝30°，∴BE ＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.【答案】C12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为( )A ．7B ．7 2C ．8 2D ．9【解析】连结BD 、AD ，作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝6，AB ＝10，根据勾股定理得BC ＝8.∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°.∵BE ⊥CD ，∴CE ＝BE.∵BC ＝8，根据勾股定理得CE ＝BE ＝4 2.∵AD ＝BD ，AB 是直径，∴BD ＝5 2.在Rt △BDE 中，BD ＝52，BE ＝42，∴DE ＝32，∴CD ＝CE ＋DE ＝72，故选B.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2009·河北)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC.若∠A ＝36°，则∠C ＝________.【解析】连结OB ，则OB ⊥AB ，又∠A ＝36°，∴∠AOB ＝54°.又OB ＝OC ，∠C ＝∠OBC ＝12∠AOB ＝27°. 【答案】27°14．(2010·河南)如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是OMA 上异于点C 、A 的一点．若∠ABO ＝32°，则∠ADC 的度数是________．【解析】∵AB 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AB.∵∠ABO ＝32°，∴∠AOB ＝90°－32°＝58°，则∠ADC ＝12∠AOB ＝29°. 【答案】29°15．(2011中考预测题)如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA ＝8 cm ，C 是AB 上的一个动点(点C 与A 、B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是________．【解析】由切线长定理得DC ＝DA ，CE ＝BE ，∴DE ＝DA ＋EB ，∴△PED 的周长＝PA ＋PB ＝2PA ＝16 cm.【答案】16 cm16．(2010·杭州)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________.【解析】连结DO ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，则DO ⊥AC.∵∠C ＝90°，∴DO ∥CG ，由DO ＝OF ，可推得BF ＝BG.由AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，得AB ＝62，∴AO ＝3 2.在Rt △ADO 中，∠A ＝45°，∴DO ＝3，BF ＝AB －AO －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋GB ＝6＋32－3＝3＋3 2.【答案】3＋3 2三、解答题(共36分)17．(12分)(2010·广东)如图，PA 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O相交于D 点．已知OA ＝2，OP ＝4.(1)求∠POA 的度数；(2)计算弦AB 的长．解：(1)因为PA 与⊙O 相切于A 点，所以OA ⊥AP.在Rt △PAO 中，cos ∠POA ＝OA OP ＝24＝12，所以∠POA ＝60°. (2)因为AB ⊥OP ，所AC ＝BC ＝12AB. 在Rt △ACO 中，sin ∠COA ＝AC OA， 所以AC ＝OA·sin ∠COA ＝2×sin60°＝2×32＝ 3. 所以AB ＝2AC ＝2 3.18．(12分)(2010·北京)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.(1)求证：直线AC 是⊙O 的切线；(2)如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．(1)证明：∵OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45°.∵∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝45°.∴∠ACD ＋∠OCD ＝∠OCA ＝90°.∵点C 在⊙O 上，∴直线AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OD ＝OC ＝2，∠DOC ＝90°，可求CD ＝2 2.∵∠ACB ＝75°，∠ACD ＝45°，∴∠BCD ＝30°.作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC ＝90°，∴DE ＝DC·sin30°＝ 2.∵∠B ＝45°，∴BD ＝2.19．(12分)(2010·襄樊)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连结OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并予以证明；(3)求sin ∠OPA 的值．(1)证明：连结OB ，∵BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB.又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO ，∴∠POB ＝∠POA.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴△POB ≌△POA(SAS)．∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC(或PO ＝32BC 亦可)． 证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA.∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO.∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴DC DO ＝BD PD ＝23. 即DC ＝23OD ，∴DC ＝2OC. 设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2＋(2y)2.即2x 2＝y 2.∵x>0，y>0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x.∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.。
《过三点的圆》教案 (同课异构)2022年冀教版 (3)
过三点的圆教学设计教学设计思想学生是学习的主体，是学习的主动参与者和知识的建构者。
教师在教学中起主导作用，是学生实践活动的组织者、引导者与合作者。
本节课首先设置一个具体实例，引起学生探究欲望和学习兴趣，然后教师引导学生经历观察、猜测、实际操作验证、分析归纳推理等数学活动过程，培养学生严谨的科学态度，开展学生动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳的能力。
教学目标知识与技能：1．学会过不在同一直线上的三个点画圆的方法；2．能说出三角形的外心及外接圆的概念。
过程与方法：经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类讨论思想问题的方法，体会类比思想。
情感态度价值观：1．体会“事物之间是相互联系和运动变化〞的观点；2．通过对圆的进一步学习，体会圆的完美性〔与其他图形的结合等〕，提高对数学中美的欣赏。
教学重难点重点：1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线〞这个条件不可忽略，“确定〞一词应理解为“有且只有〞．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆难点：分析作圆的方法，实质是设法找圆心．教学方法引导探究法教学媒体多媒体，三角板，圆规课时安排1课时教学过程设计一、创设问题情境，引入新课1．现有一块打碎的圆形玻璃镜子残片，想重新去玻璃店配一块同样大小的圆形玻璃镜子，请问这块残片还有用吗？怎样去配制呢？2．引入新课：〔1〕 这个问题就是本节课的学习的一个知识点，相信同学们通过本节课的学习一定能解决这个问题。
〔2〕 出示课题：§27．3 过三点的圆 二、一起探究探究1：过一个点A 如何作圆？〔让学生动手去完成〕A o 1o 3o 4o 2o 5图1学生讨论并发现：过点A 所作圆的圆心在哪儿〔圆心不定〕？半径多大〔半径不定〕？可以作几个这样的圆〔无数个〕？探究2过两点A 、B 如何作圆？〔学生动手去完成〕Ao 3o 2o 1Bo 4图2学生继续讨论并发现：它们的圆心到A 、B 两点的距离怎样？能用式子表示吗〔OA=OB 〕?圆心在哪里〔在直线AB 的垂直平分线上〕？过点A 、B 两点的圆有几个〔无数个〕？探究3 过同一平面内三个点的情况会怎样呢? 分两种情况研究：〔一〕作一个圆，使它经过不在一直线上三点A 、B 、C ，：不在一直线上三点A、B、C，求作一个圆，使它同时经过点A、B、C。
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过三点作圆
教学反思：
三角形的外心 三角形的外接圆 圆的内接三角形
会用尺规作 三角形的外 接圆
2
授课时间： 课 题
月
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案 日 班级 姓名 组长批改 主备人 审核人
3.1.3 过不共线三点作圆
1． 了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念； 学习目标 2． 经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 重点难点 重点：掌握过不共线三点作圆的方法，了解三角形的外接圆及外心等概念． 难点：怎么样去确定过不在同一条直线上的三点的圆的圆心. B
B· 2．求边长为 a 的等边三角形的外接圆的半径.（用含有 a 的式子表示）
A
·C
五、达标检测：
A
O B D C
1. 按图填空： （１）△ABC 是⊙Ｏ的 三角形； O （２）⊙Ｏ是△ABC 的 圆. B 2. 判断： C （１）经过三个点一定可以作圆； （ ） （２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； （ ） （３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； （ ） （４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（ ） （5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （ ） 六、总结提升：
A
学习过程： 一、课前抽测： A 1．怎样作线段的垂直平分线？ 已知线段 AB，求作：线段 AB 的垂直平分线 L 2．三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？ 若在△ABC 中，边 AB 与边 BC 的垂直平分线交于点 P， 则 PA= = ，为什么？ 3．位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的 ， B 决定圆的位置的是 . 二、自主学习：阅读教材 P66-67，回答下列问题 1． （１）经过一个已知点Ａ画圆； 想一想：经过已知点 A 可以画多少个圆？ （2）经过两个已知点 C、B 画圆. 想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？ C· ②圆心在哪儿？半径怎么确定？ 2．设三点 A,B,C 不在同一直线上. ⑴过三点 A,B,C 的圆的圆心在哪儿?怎么确定？ A·
1
3．三角形的外接圆： 圆的内接三角形： 外心： 三、合作探究：
. . .
例 1：作出下列三角形的外接圆（只要作图痕迹，不要求作法）
归纳：锐角三角形的外心在三角形的
直角三角形的外心是三角形 钝角三角形的外心在三角形的 四、展示质疑： 1．如图，A、B、C 表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求 供水站的位置（用点 P 表示，保留作图痕迹） 。 A·
P
C
·A
· B
ห้องสมุดไป่ตู้
·B
C· ⑵过不在同一直线上的三点 A,B,C 如何作圆? 已知:不在同一直线上的三点 A,B,C，求作:圆 O,使它经过点 A,B,C. 作法: ①连结 AB,作线段 AB 的 ； ②连结 BC,作线段 BC 的 ； ③以 和 的交点 O 为圆心,以 为半径作圆，则圆 O 就是所求作的圆． ⑶过不在同一直线上的三点 A,B,C 能作多少个圆?为什么？ ⑷过同一直线上的三点 A,B,C 能作一个圆吗?为什么？ 定理：不在同一直线上的三个点 强调： （１）过同一直线上三点不行； . （２） “确定”一词应理解成“有且只有”.