二次函数动轴与动区间问题

二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫
⎭⎪
b a
ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a
m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b
a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=
-2442
，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]
-
∉b
a m n 2，时 若-<
b a
m 2，由f x ()在[]
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()
若n b
a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()
当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： （一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数y x x x =-+-=--+2
2
4222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。

函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

图1
练习. 已知232
x x ≤，求函数f x x x ()=++2
1的最值。

解：由已知232x x ≤，可得032≤≤
x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡
⎣
⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛
⎝ ⎫⎭⎪+1234
2
，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且
图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡
⎣
⎢⎤
⎦⎥内，如图2所示。

函数f x ()的最小值为
f ()01=，最大值为f 3219
4
⎛⎝ ⎫⎭⎪=。

图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112
定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。

解：函数f x x ()()=-+112
，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值f x f t t ()()()min ==-+112。

图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。

当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。

图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。

当x t =+1时，
函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112
综上讨论，⎪⎩
⎪
⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min
t t t t t x f 图8
例3. 已知
2
()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．
（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2
f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．
（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．
根据对称性，若
2
1
21≤++t t 即1
02t ≤≤
时，2
max ()()23f x f t t t ==-+．
若2121>++t t 即1
12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．
（3）当11t +<即0t <时，
2max ()()23
f x f t t t ==-+．
综上，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤
+->+=21,3221,2)(22
max
t t t t t x f
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+
<-+≥-=)
)((212
)())((2
12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪，，如图如图212212910
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 2
1≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++2
3的最值。

解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]
-11，上的二次函数，
将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛
⎝ ⎫⎭⎪+-234
2
2
二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫
⎭⎪a a 2
342，，图象开口向上
由a ≥2可得x a
=-
≤-2
1，显然其顶点横坐标在区间[]
-11，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。

图3
例5. (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-，
当1a 2-<即1
a 2>-
时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1
a 2
≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max
12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧
-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-
⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12
>a
即
22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2
a f x f = （3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2
(2
,)1(a f a a
f a f y 最大
；即⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a
a a y 最大 4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

解：将
24()y a x a =-代入u 中，得
①，即时，
②，即
时，
所以
（二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

解：2
()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+
由814a +=，得3
8
a =
（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =- 综上知3
8
a =
或3a =- 例8.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

解法1：讨论对称轴
中1与,
,2
m n
m n +的位置关系。

①若
，则max min
()()3()()3f x f n n
f x f m m ==⎧⎨
==⎩
解得
②若
12m n
n +≤<，则max min
()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨
==⎩，无解 ③若12m n
m +≤<
，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m
==⎧⎨==⎩，无解 ④若
，则max min
()()3()()3f x f m n
f x f n m ==⎧⎨
==⎩，无解
综上，4,0m n =-= 解析2：由211()(1)22f x x =-
-+，知11
3,,26
n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞， 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min
()()3()()3f x f n n
f x f m m ==⎧⎨==⎩
解得4,0m n =-=
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

例9. 已知二次函数2
f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。

这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为： （1）令2a 1f ()32a --
=，得1
a 2
=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤
-∉-⎢⎥⎣⎦
，故12-不合题意；
（2）令f (2)3=，得1
a 2
=
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1
a 2
=符合题意； （3）若3f ()32-
=，得2a 3
=- 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2
a 3
=-符合题意。

综上，1a 2=
或2a 3
=- 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

三、巩固训练
1．函数y 12
++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）
)(A 1 ,3 )
(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）4
1
-, 3 2．函数242
-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）
)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2
3．函数5
48
2
+-=
x x y 的最值为 （ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---2
21303
2
2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为
6．如果实数y x ,满足12
2
=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为
21 (B)无最大值，最小值为4
3
（C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为4
3
7．已知函数322
+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
（ ）
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么2
32y x +的最小值为__________________
9．设21,,x x R m ∈是方程0122
2=-+-m mx x 的两个实根，则2
22
1x x +的最小值______
10．设),](1,[,44)(2
R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

11．已知)(x f 2
2
a
ax x +
-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

12.（2009江苏卷）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

（1）若(0)1f ≥，则2
0||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩ （2）当x a ≥时，2
2
()32,
f x x ax a =-+2
2
min
(),02,0()2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22
()2,f x x ax a =+-2
min
2
(),02,0()(),02,0
f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩ 综上22
min
2,0
()2,03
a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ （3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得2
2
3210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-
当a a ≤≥
时，0,(,)x a ∆≤∈+∞；
当a >0,
得：(0x x x a ⎧⎪≥⎨
⎪>⎩
讨论得：当a ∈时，解集为(,)a +∞;
当(a ∈
时，解集为()a ⋃+∞;
当[a ∈
时，解集为)+∞.。