【最新】高中数学-2018高考数学(理)大一轮复习习题：第一章 集合与常用逻辑用语 课时达标检测(三

课时达标检测(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．(2017·东北育才检测)已知命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p 是( ) A ．∀x ∈R ，e x－x －1<0 B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1<0D ．∀x ∈R ，e x－x －1≤0解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，e x－x －1>0，则綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.故选B.2．(2017·湖南四县联考)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件解析：选D 因为y ＝e x >0，x ∈R 恒成立，所以A 为假命题；因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 为假命题；当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，但是a b没有意义，所以C 为假命题；“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件，显然正确．故选D.3．(2017·西安质检)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0解析：选B ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.4．有下列四个命题，其中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<n D ．∀n ∈R ，n 2<n解析：选B 对于选项A ，令n ＝12即可验证其为假命题；对于选项C 、选项D ，可令n＝－1加以验证，均为假命题，故选B.5．命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：选A ∵x 3<x 2，∴x 2(x －1)<0，∴x <0或0<x <1，故命题p 为假命题，易知命题q 为真命题，选A.6．(2016·昆明一中考前强化)已知命题p ：∀x ∈R ，x ＋1x ≥2；命题q ：∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝2，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧q解析：选A 在命题p 中，当x <0时，x ＋1x<0，所以命题p 为假命题，所以綈p 为真命题；在命题q 中，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ＝π4时，sin x ＋cos x ＝2，所以q 为真命题．由此可得(綈p )∧q 为真命题，故选A.7．(2017·衡阳质检)已知命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论正确的是( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．p 是假命题解析：选A 对于命题p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 为真命题；对于命题q ：∵x 2≥0，∴x 2＋1>0，所以q 为真命题．由此可得p ∧q 是真命题．故选A.8．(2017·开封模拟)已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x>2x，命题p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：选C 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 在R 上是增函数，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，故选C.9．已知命题p ：∀x ∈R,3x>0；命题q ：∃x 0∈R ，log 12x 20<0.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选A 易知命题p 是真命题；取x 0＝2，则log 1222＝－2，所以命题q 是真命题，所以p ∧q 为真命题，故选A.10．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧綈q ”是假命题； ③命题“綈p ∨q ”是真命题； ④命题“綈p ∨綈q ”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④D ．①②③④解析：选D ∵命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1为真命题，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}也为真命题，∴“p ∧q ”是真命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”是真命题，“綈p ∨綈q ”是假命题，故①②③④都正确．11．(2017·西安模拟)下列说法中错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0 D ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题解析：选D A 中，“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，故A 正确；B 中，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，因此“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，故B 正确；C 中，命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>0，故C 正确；D 中，由p ∨q 为真命题，可知p ，q 中至少有一个为真命题，故D 不正确．故选D.12．(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．D ．)，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.二、填空题13．命题p 的否定是“对∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 是________． 解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论进行否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋114．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：15．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.答案：(－∞，－2] 16．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(綈q )”是假命题是正确的．在②中，由l 1⊥l 2，得a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”正确．答案：①③。