2015-2016学年吉林省白山市长白山一中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年吉林省白山市长白山一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知点B（1，0），P是函数y=e x图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）下列函数中，为奇函数的是（）A．B．f（x）=lnx C．f（x）=2x D．f（x）=sinx3．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为（）A．﹣2 B．C．D．24．（5分）若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S n取最小值时，n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）A．（0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）7．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数的定义域是．10．（5分）已知10a=5，b=lg2，则a+b=．11．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=．12．（5分）函数的图象如图所示，则ω=，φ=．13．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，x n，…，则+x2n=．当a∈（1，3）时，x1+x2+ (x2)﹣1三．解答题：本大题共6小题，共80分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（14分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．16．（13分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．17．（13分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a1=3，a1+a2=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n2+1，求数列{b n}的前n项和公式．18．（13分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=a n，n=1，2，3，…}．（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；（II）若a≤2014，且数列{a n}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（III）求证：1∈A．2015-2016学年吉林省白山市长白山一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知点B（1，0），P是函数y=e x图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数y=e x的导函数为y′=e x，∴y′|x=0=1，即线段AB与函数y=e x图象在（0，1）点的切线垂直故△ABP一定是钝角三角形，当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；故①正确，②③错误故正确的结论有1个故选：B．2．（5分）下列函数中，为奇函数的是（）A．B．f（x）=lnx C．f（x）=2x D．f（x）=sinx【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原点对称，∴A为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，定义域不关于原点对称，∴B为非奇非偶函数．C．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵，∴C不是奇函数．D．函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，∵f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x），∴D是奇函数．故选：D．3．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，则实数m的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：由向量=（1，﹣2），=（m，﹣1），且∥，∴1×（﹣1）﹣（﹣2）×m=0，解得：m=．故选：C．4．（5分）若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣kx，∴f′（x）=cosx﹣k，当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；当k≤﹣1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；当﹣1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cosx=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；∴实数k的取值范围是（﹣1，1）．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S n取最小值时，n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6=a n+3，得a n+1﹣a n=3（n∈N*），【解答】解：在数列{a n}中，由a n+1∴数列{a n}是公差为3的等差数列．又a1=﹣10，∴数列{a n}是公差为3的递增等差数列．由a n=a1+（n﹣1）d=﹣10+3（n﹣1）=3n﹣13≥0，解得．∵n∈N*，∴数列{a n}中从第五项开始为正值．∴当n=4时，S n取最小值．故选：B．6．（5分）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）A．（0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵当时，y=tanx，单调递增，∴要使f（x）在（﹣）上单调递增，如图的示意图则，即，解得0＜a≤1．故实数a的取值范围是（0，1]．故选：A．7．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，成立．当α=时，满足，但不成立．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}，∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={1，2}．故选：B．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x≥0，解得x≥0或x≤﹣1．即函数的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．10．（5分）已知10a=5，b=lg2，则a+b=1．【解答】解：∵10a=5，∴a=lg5，∴a+b=lg5+lg2=lg10=1．故答案为：1．11．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=3．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：312．（5分）函数的图象如图所示，则ω=2，φ=．【解答】解：由图象可得函数周期为π，故=π，解得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），代入（0，1）可得1=2sinφ，即sinφ=，结合|φ|＜可得φ=，故答案为：2；．13．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，设向量=﹣λ，若⊥，则实数λ=．【解答】解：∵向量=﹣λ，⊥，∴=0，即（﹣λ）•=0，∴=λ∵，，∴=6，||=2，∴λ=．故答案为：．14．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，；②f（3x）=3f（x）．（i）f（6）=3；（ii）若函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次记为x1，x2，…，x n，…，则+x2n=6（3n﹣1）．当a∈（1，3）时，x1+x2+ (x2)﹣1【解答】解：当1≤x≤2时，0≤f（x）≤1；当2＜x＜3时，0＜f（x）＜1，可得当x∈[1，3）时，f（x）∈[0，1]．（i）∵f（3x）=3f（x），∴f（6）=3f（2），又当x=2时，f（2）=2﹣1=1，∴f（6）=3×1=3．（ii）当时，则1≤3x＜3，由可知：．同理，当时，0≤f（x）＜1，因此不必要考虑．当x∈[3，6]时，由，可得，f（x）∈[0，3]；同理，当x∈（6，9）时，由，可得，f（x）∈[0，3]；此时f（x）∈[0，3]．作出直线y=a，a∈（1，3）．则F（x）=f（x）﹣a在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×6，依此类推：x3+x4=2×18，…，x2n﹣1+x2n=2×2×3n．+x2n=4×（3+32+...+3n）==6×（3n ∴当a∈（1，3）时，x1+x2+ (x2)﹣1﹣1）．三．解答题：本大题共6小题，共80分.应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（14分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）最小正周期为T=π；（II）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，即﹣≤2sin（2x+）≤2，则f（x）取值范围为[﹣，2]．16．（13分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）由A=60°和可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以bc=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又3b=2c，所以b=2，c=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为b=2，c=3，A=60°，由余弦定理a2=c2+b2﹣2bccosA可得a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由正弦定理可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以sinB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a1=3，a1+a2=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n2+1，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a3﹣a1=3得，由a1+a2=3得a1（1+q）=3，（*）（q≠﹣1），两式作比可得q﹣1=1，∴q=2，把q=2代入解得a1=1，∴．（II）由（I）可得，可知数列{4n﹣1}是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得．18．（13分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．【解答】解：（I）由已知可得，所以点P的横坐标为t2﹣1，因为点H在点A的左侧，所以t2﹣1＜11，即．由已知t＞0，所以，所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，所以△APH的面积为．（II），由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．19．（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，∴f（1）=1，f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；（II）函数f（x）=x+alnx，．当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．（III）由（II）可知，①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有，f（1）=1＞0，此时函数有零点，不符合题意；②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；③当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，∴当f（﹣a）=a（ln（﹣a）﹣1）＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点．综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．20．（13分）已知数列{a n}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=a n，n=1，2，3，…}．（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；（II）若a≤2014，且数列{a n}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（III）求证：1∈A．【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，，a5=a4+1=3，，a7=a6+1=2，…∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；（II）解：不妨设数列中的一项为a k，如果a k是3的倍数，则；=a k+2，∴a k+2是3的倍数，∴如果a k是被3除余1，则由递推关系可得a k+2；=a k+1，∴a k+1是3的倍数，∴如果a k被3除余2，则由递推关系可得a k+1．∴该7项等比数列的公比为．又∵，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得．∵36＜2014＜37，∴或．由递推关系式可知，在该数列的前k﹣1项中，满足小于2014的各项只有：a k=36﹣1﹣1，或2×36﹣1，a k﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，∴首项a的所有可能取值的集合为：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．=a k+1，（III）证明：若a k被3除余1，则由已知可得a k+1；若a k被3除余2，则由已知可得a k=a k+1，，；+1若a k被3除余0，则由已知可得，；∴，∴”．∴对于数列{a n}中的任意一项a k，“若a k＞3，则a k＞a k+3∵，∴a k﹣a k≥1．+3∴数列{a n}中必存在某一项a m≤3（否则会与上述结论矛盾）若a m=1，结论得证．若a m=3，则a m+1=1；若a m=2，则a m+1=3，a m+2=1，∴1∈A．。