高考数学选修4-1几何题高考复习

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（Ⅱ）证法一：连接 DE， ∵ BD AC, CE AB ，
F
则 D, E , B, C 四点共圆， 所以 DEC DBC ，又 F DBC 则 DEC F AD FE 则 DE AF …………10 分 DC EC A
E O B
D C
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选修4-1几何讲明选讲高考复习策略
求证:ED2=EC·EB.
[分析] 利用弦切角定理､三角形内角平分线性质定理､切割线定
理进行证明.类型六圆的线的性质与判定解题准备:若知圆的切线,一种自然的想法就是 连结过切点的半径,从而得到垂直关系.证明某 条直线是圆的切线的常用方法有:若已知直线 与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线 垂直于已知直线即可;若已知直线与圆没有明 确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于 圆的半径.
题型二 圆的切割线定理的应用 例2 (2010· 全国)如图，已知圆上的弧 AC ＝ BD ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 思维启迪
(1)弦切角定理：∠ACE＝∠CBA； (2)△BDC∽△ECB. 证明 (1)因为AC ＝ BD ，所以∠BCD＝∠ABC.
）
又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BC CD 2 所以△BDC∽△ECB，故 ＝ BC 即BC BE CD. BE
）
(1)证明 ∵BE 切⊙O 于 B， ∴∠ABE＝∠ACB. 又 AD∥BC， ∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC， AE AB ∴ ＝ ， AB BC ∴AB2＝AE· BC. BE AB (2)解 由(1)△EAB∽△ABC，∴AC＝BC. 又 AE∥BC， EF BE AB EF ∴AF＝AC，∴BC＝AF. 又 AD∥BC， ∴AB ＝CD ， CD EF 5 EF ∴AB＝CD，∴ BC ＝AF，∴8＝ 6 ， 30 15 ∴EF＝ 8 ＝ 4 .
22、证明： F （Ⅱ）证法二： ∵ F DCB ， AEF CDB 90 ； ∴ AEF ∽ CDB ，
A
E
EF AE O ∴ ，即 EF DC AE BD ； BD DC B 又∵ AEC ADB 90 ， EAD 是公共角， ∴ AEC ∽ ADB ， AE EC ∴ ，即 AD EC AE BD ； AD BD AD FE ∴ AD EC EF DC ，则 DC EC
D C
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【两年真题重温】
(Ⅰ) 证明： C ， B ， D ， E 四点共圆； (Ⅱ) 若∠ A 90 ，且 m 4 ， n 6 ，求 C ， B ， D ， E 所在圆的半径．
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C
E
A
D
B
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线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理．
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主干知识梳理
1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两 条直线，所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定定理 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另 一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似． 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和 另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
类型五
弦切角与圆周角定理的应用
解题准备:弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角.
其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角､
圆周角等),是架设圆与三角形全等､三角形相似､与圆
相关的各种直线(如弦､割线､切线)位置关系的桥梁,
因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节( 如证明切割线定理).
例 如图所示,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点 E,∠BAC的平分线与BC交于点D.
选修4-1几何讲明选讲高考复习策略 3.运用射影定理时，要注意其成立的 条件，要结合图形去记忆定理.当所给条 件具备定理的条件时，可直接运用定理 ，有时也可通过作垂线使之满足定理的 条件，再运用定理.在处理一些综合问题 时，常常与三角形的相似相联系，要注 意它们的综合运用. 4.圆周(心)角定理及推论主要应用于 证明弦相等或弧相等、角相等、垂直等.
【解析】本题考查了四点共圆的判定与圆的性质． (Ⅰ)连结 DE ，根据题意在 ADE 和 ACB 中， AD AB mn AE AC ， 即
AD AE ． 又 DAE CAB ， 从而 ADE ∽ ACB ． AC AB
C G
因此 ADE ACB ．所以 C ， B ， D ， E 四点共圆． (Ⅱ) m 4 ， n 6 时，方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 ，
2
(
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(
(
证明
(1)因为 AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD.
又因为 EC 与圆相切于点 C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BC CD 所以△BDC∽△ECB，故 ＝ ，即 BC2＝BE×CD. BE BC 探究提高 在证明角或线段相等时，要注意等量代换．在证明
AD∥BC，过 B 引⊙O 的切线分别交 DA、CA 的延长线于 E、F. (1)求证：AB2＝AE· BC； (2)已知 BC＝8，CD＝5，AF＝6，求 EF 的长． 思维启迪
(1)证明比例式，应用相似三角形是常用 方法之一，当然要具体问题具体分析，对(2)要求充分 利用相似三角形与圆的知识．
类型四
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圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1：圆的内接四边形的对角互补。 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补， 那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理。 其他一些方法：
2012年高考数学选修 4-1 几何证明选讲备考复习 昆明八中 王学先
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（22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，AF 切⊙O 于点 A，交△ABC 的高 CE 的延长线于点 F，BD⊥AC． AD FE 证明： （Ⅰ）∠F＝∠DBC； （Ⅱ） ． DC EC
例 如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC
平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
[分析] 因为DC过⊙O上的点D,所以可连接OD,只要证明DC⊥OD,因为
BC和⊙O切于B,所以∠OBC=90°,因此只需证∠ODC=∠OBC,而这两 个角分别在两个三角形中,只需证它们全等.
类型六
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题型一 例1 相似三角形的判定及性质的应用 如图，BD、CE 是△ABC 的高．
求证：ADE∽△ABC. 思维启迪
在△ADE 与△ABC 中，∠A 是公共角，所
以可以考虑其夹角的两边对应成比例． 证明 ∵BD、CE 是△ABC 的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90° . 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB， AD AB ∴ ＝ . AE AC 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
）
）
例。 如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A､B两点,过
点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割
线,分别交⊙O1､⊙O2于点D､E,DE与AC相交于点P. (1)求证:AD∥EC; (2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD 的长.
题型三 例3
关于圆的综合应用 如右图梯形 ABCD 内接于⊙O，
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4．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是 这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的 高是两直角边在斜边上射影的比例中项． 6．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 7．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
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8．圆内接四边形的性质定理： (1)圆的内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 9．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆． 10．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 11．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线． 12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段长的积相等． 14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
圆的切线的性质与判定
解题准备:若知圆的切线,一种自然的想法就是 连结过切点的半径,从而得到垂直关系.证明某 条直线是圆的切线的常用方法有:若已知直线 与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线 垂直于已知直线即可;若已知直线与圆没有明 确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于 圆的半径.
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