2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
（1
）若函数10(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在x=0连续，则 (A)12ab =
(B)1
2
ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 1
1()0f x dx ->⎰ (B) 1
2()0f x dx -<⎰
(C) 0
1
10()()f x dx f x dx ->⎰⎰
(D)
1
1
1
()()f x dx f x dx -<⎰
⎰
（3）设数列{}n x 收敛，则
(A)当limsin 0n n x →∞
=时，lim 0n n x →∞
=
(B)
当lim (0n n n x x →∞
+
= 时，则lim 0n n x →∞
=
(C)当2
lim()0n n n x x →∞+=,
lim 0n →∞
=
(D)当lim(sin )0n n n x x →∞
+=时，lim 0n n x →∞=
（4）微分方程248(1cos 2)x
y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k
y =
(A)22(cos 2sin 2)x
x Ae
e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x
x Axe e B x C x ++
(C)22(cos 2sin 2)x
x Ae
xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x
x Axe
xe B x C x ++
（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有
(,)(,)
0,f x y f x y x y
∂∂>∂∂则
(A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >
()
s
（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1
000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则
123(,,)A ααα=
(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+
（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似
(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似
(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似
二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.
（9）曲线(
)
2
1arcsin y x x =+的斜渐近线方程为
（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t
⎧=+⎨=⎩确定，则
20
2t d y
dx =
（11）
()
2
ln(1)
1x dx x +∞
++⎰
=
（12）设函数()
,f x y 具有一阶连续偏导数，且
()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =
（13）
1
1
tan y
x
dy dx x
=⎰
⎰
（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则a =
三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求+
→0
lim x
t x dt
（16）（本题满分10分）
设函数(),f u v 具有2阶连续性偏导数，(
)
y ,x
f e cosx =,求
dy
d x x
=,220
d y d x x =
（17）（本题满分10分）
求21
lim
ln 1n
n k k k n n →∞=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑ （18）（本题满分10分）
已知函数y (x )由方程x 3+y 3−3x +3y −2=0确定，求y (x )的极值 （19）（本题满分10分）
()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0
()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根
（2）方程[]2
()()()0f x f x f x '''++= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （20）（本题满分11分）
已知平面区域(){
}
22,2D x y x y y =
+≤，计算二重积分()2
1D
x dxdy +⎰⎰
（21）（本题满分11分）
设()y x 是区间3(0,)2
内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y = ，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。

（22）（本题满分11分）
三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解
（23）（本题满分11分）
设13222
1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准
型为22
1122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .。