江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件：函数的值域和函的单调性

课堂互动讲练
④由复合函数的单调性规律判断其 单调性或单调区间． 复合函数的单调性问题，遵循由内 到外的原则，在单独分析内外函数的单 调性时仍然可以考虑导数等方法，其中 最容易出错的地方是复合函数的定义域， 例如对数函数的真数和底数位置等是有 限制条件的．
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互动探究
2．在例2中函数对数的 底数换为a(a>0且a≠1)，结 果如何？
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跟踪训练
1．已知f(x)是定义在R 上的增函数，对x∈R有 1
f(x)
f(x)>0，且f(5)＝1，设 F(x)＝f(x)＋ ，讨论F(x)
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跟踪训练
解：在 R 上任取 x1、x2，设 x1<x2， ∴f(x2)>f(x1)， ， 1 F(x2)－ F(x1)＝ [f(x2)＋ － ＝ ＋ f(x ) ]－ [f(x1) － 2 1 ＋f(x )] 1 1 ＝[f(x2)－f(x1)][1－f(x )f(x )]， － － ， 1 2 ∵f(x)是 R 上的增函数，且 f(5)＝1， 是 上的增函数， ＝ ， ∴当 x<5 时 0<f(x)<1，而当 x>5 时 ， f(x)>1； ；
f(x)与g(x)在(a，b)上
分别是递增与递减函数，且
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考点一 判断（或证明） 判断（或证明）函数的单调性
判断函数的单调性的方法 不是惟一的，结合函数解析式 的特点可以选取不同的方法， 定义法是最基础的方法，大部 分题目涉及常见的函数的单调 性．
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例1
x－2 － x＋ 已知函数f(x)＝a＋1 x＋
基础知识梳理
直接法 (3)求函数值域的方法 换元法 配方法 判别式法 几何法 有： 、 不等式法 单调性法 、 、 、 、 、 等．
基础知识梳理
2．函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I，如 果对于定义域I内某个区间D上 f(x1)<f(x2) 区间D 区间 的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时， 2) f(x1)>f(x 区间D 区间 ①若 ，则f(x)在 上是增函数． ②若 ，则f(x)在 上是减函数．
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考点三 函数的最值
(1)若函数是二次函数或可 化为二次函数型的函数，常用 配方法． (2)利用函数的单调性求最 值：先判断函数在给定区间上 的单调性，然后利用单调性求 最值． (3)基本不等式法：当函数
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(4)导数法：当函数较复杂 (如指数、对数函数与多项式结 合)时，一般采用此法． (5)数形结合法：画出函数 图象，找出坐标的范围或分析 条件的几何意义，在图上找其 变化范围．
1 解析： 解析：当|x＋1|<|x－2|时，有 x<2. ＋ － 时 1 ＋ ， ≥ |x＋1|，x≥2， 3 故 f(x)＝ ＝ ∴f(x)min＝2. 1 |x－2|，x< . － ， 2 3 答案： 答案： 2
三基能力强化
4．已知y＝f(x)是定义在(－ 2,2)上的增函数，若f(m－ 1)<f(1－2m)，则m的取值范围 1 2 是________．) 答案： － 答案：(－2，3
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【点评】 复合函数y＝f[g(x)]的单 调性规律为“同增异减”，即若f(x)与g(x) 具有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数； 若两者单调性不同，则f[g(x)]必为减函数， 求复合函数的单调性的步骤为： ①求复合函数的定义域； ②把复合函数分解为基本函数； ③把中间变量的变化范围转化成自 变量的变化范围；
三基能力强化
1．值域为(0，＋∞)的函数是 ．值域为 ，＋ 的函数是 ，＋∞ 的函数是________． ． 11－x 2 ①y＝x －x＋1 ＝ ＋ ②y＝3 ＝ 1 ③y＝3 ＝ ＋1 ④y＝|log2x2| ＝ 2－x － 11－x 3 2 解析： ＝ 解析： y＝x －x＋1≥4；＝3 ∈(0， ∵ ＋ ≥ y＝ ， ＋∞)； ； 1 y＝3 ＝ ＋1>1 且 y≠2；而 y＝|log2x2|≥0. ≠ ； ＝ ≥ 2－x －
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4 ∴当x>0时，y＝x＋ x
＝4，当且仅当x＝2时等号取得． 当x<0时，y≤－4，当且仅当x＝ －2时等号取得． 综上函数的值域为(－∞，－ 4]∪[4，＋∞)，无最值．
4 ≥2 x·x
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法二： 法二：任取 x1，x2，且 x1<x2， 4 4 － ＝ 因为 f(x1)－f(x2)＝x1＋x －(x2＋x ) 1 2 (x1－x2)(x1x2－4) ＝ ， x1x2
答案： ②
三基能力强化
2．(2010年惠州二次调研)给 出下列四个函数：①f(x)＝x＋1， ②f(x)＝ ，③f(x)＝x2，④f(x)
1 x
＝sinx，其中在(0，＋∞)是增函 答案： 答案：①③ 数的有________．
三基能力强化
3．对 a、b∈R，记 max{a，b}＝ ． 、 ∈ ， ， ＝ a， a≥b， ≥ ， ， 函数 f(x)＝max{|x＋1|， ＝ ＋ ， b， a<b， ， ， |x－2|}(x∈R)的最小值是 的最小值是______． － ∈ 的最小值是 ．
x
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【点评】 判断函数的单调 性或求函数的单调区间的一般 方法有：(1)定义法； (2)图象 观察法；(3)利用已知函数的单 调性；(4)利用复合函数的单调 性法则；(5)利用导数法．利用 定义法的关键是对f(x1)－ f(x2) 的整理、化简、变形和符号的 判断，其中变形的策略有因式 分解、配方、分子 (分母)有理 化等．
所以当x≤－2或x≥2时，f(x)递增， 当－2<x<0或0<x<2时，f(x)递减． 故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2) ＝－4，x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4， 所以所求函数的值域为(－∞， －4]∪[4，＋∞)，无最大(小)值．
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考点二 函数的单调区间
本类题主要求复合函数的 单调区间，要充分应用基本函 数的单调性．
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例2
1 求函数 y＝log2(4x－x2)的单调区间．
【思路点拨】 先确定复合函数的定义域， 以及内、外函数的单调性变化，由此确定函数的 单调区间．
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【解】 由 4x－x2>0，得函数的定 义域是(0,4)． 1 2 令 t＝4x－x ，则 y＝log2t. ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，∴t＝4x － x2 的 单 调 减 区 间 是 [2,4) ， 增 区 间 是 (0,2)． 1 又 y＝log2t 在(0，＋∞)上是减函数， 1 ∴函数 y＝log2 (4x－x2)的单调减区 间是(0,2)，单调增区间是[2,4)．
解：由4x－x2>0得函数的定 义域是(0,4)， 令t＝4x－x2，∵t＝4x－x2＝ －(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是 [2,4)，递增区间是(0,2)
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①当0<a<1时，y＝logat在(0， ＋∞)上是减函数， ∴y＝loga(4x－x2)的单调减区 间是(0,2)，单调增区间是[2,4)； ②当a>1时，y＝logat在(0， ＋∞)上是增函数， ∴y＝loga(4x－x2)的单调减区 间是[2,4)，单调增区间是(0,2)．
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①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1， ∴0<f(x1)f(x2)<1， ∴1－<0， ∴F(x2)<F(x1)． ②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1， ∴f(x1)f(x2)>1， ∴1－>0， ∴F(x2)>F(x1)． 综上，F(x)在(－∞，5)为减函 数，在(5，＋∞)为增函数．
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5．已知下列四个命题：①若 f(x)为减函数，则－f(x)为增函数； 1 ②若f(x)为增函数，则函数g(x)＝ 在其定义域内为减函数；③若f(x) 与g(x)均为(a，b)上的增函数，则 f(x)
g(x) f(x)
f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函
答案： 答案： 数；④若①
基础知识梳理
(2)单调区间的定义 增函数 若函数f(x)在区间D上是 减函数 区间D 区间 或 ，则称函数f(x)在 这一区间上具有(严格的)单 叫做 f(x)的 调性， 单调区间．
基础知识梳理
3．复合函数的单调性 设函数y＝f(u)，u＝g(x)都 是单调函数，那么复合函数y ＝f[g(x)]在其定义域上也是单 调函数，对于复合函数的单调 性，可概括为“同增异减”， 或用下表说明.
第二节 函数的值域和函的 单调性、最值
基础知识梳理
1．函数的值域 (1)函数的值域的定义：在函 函数值 所有 数y＝f(x)中与自变量x的值对应的y 函数值 的值叫做 ， 表格中所有y 表格中所有 的集合，叫做函数的值 值组成的 域． (2)确定函数值域的原则：a. 定义域和解析式 当函数y＝f(x)用表格给出时，函数 的值域是指 集合；b.当函数y＝f(x)
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例1
求下列函数的最值与值域： 求下列函数的最值与值域： 4 (1)y＝4－ 3＋2x－x ；(2)y＝x＋x. ＝ － ＋ － ＝ ＋
2
【思路点拨】 先求定义域，然后判断函 数的单调性，再由单调性来求最值或值域．
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【解】 (1)由3＋2x－x2≥0得函数 定义域为[－1,3]，设t＝3＋2x－x2＝4 t －(x－1)2. ∴t∈[0,4], ∈[0,2]， 从而，当x＝1时，ymin＝2，当x＝ 4 x －1或x＝3时，ymax＝4.故值域为[2,4]． (2)法一：函数y＝x＋ 是定义域 在{x|x≠0}上的奇函数，故其图象关于 原点对称，故只讨论x>0时，即可知 x<0时的最值．