新北师大版八年级下第一章 三角形的证明复习
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)
北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(基础)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程,深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法,能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线,以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等,对应角也相等.判定:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)3.等边三角形的性质及判定定理性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴.判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理:在直角三角形中,如果一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释:等边三角形是中考中常考的知识点,并且有关它的计算也很常见,因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心,比如边长为a的等边三角形它的高是32a,面积是234a;含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系,打破了以往那种只有角或边的关系,同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分;逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的;3.直角三角形全等的判定定理定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).要点诠释:①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法,还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于12AB的长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释:①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释:①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;②几何语言的表述,这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时,要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知:点D 是△ABC 的边BC 的中点,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E ,F ,且BF=CE .求证:△ABC 是等腰三角形.【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形,又已知DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,BF=CE ,可利用三角形中两内角相等来证明.【答案与解析】证明:∵D是BC 的中点,∴BD=CD ,∵DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,∴△BDF 与△CDE 为直角三角形,在Rt △BDF 和Rt △CDE 中,,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED (HL ),∴∠B=∠C ,∴AB=AC ,∴△ABC 是等腰三角形.【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质;充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键.举一反三:【变式1】(2015秋?江阴市校级期中)已知:如图,△AMN 的周长为18,∠B ,∠C的平分线相交于点O ,过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N .求AB+AC 的值.【答案】解:∵MN ∥BC ,∴∠BOM=∠OBC ,∠CON=∠OCB ,∵∠B,∠C的平分线相交于点O,∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB,∴∠MBO=∠BOM,∠NCO=∠CON,∴BM=OM,CN=ON,∵△AMN的周长为18,AN=AB+AC=18.∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图,在△ABC中,AB=AC,D、E在BC上,且AD=AE,求证:BD=CE.【答案】证明:∵AB=AC,AD=AE,∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED,∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠EAC,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴ BD=CE.类型二、直角三角形2. 如图,已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点与AB边上的一点D重合.(1)当∠A满足什么条件时,点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D为AB的中点;(2)在(1)的条件下,若DE=1,求△ABC的面积.【思路点拨】(1)根据折叠的性质:△BCE≌△BDE,BC=BD,当点D恰为AB的重点时,AB=2BD=2BC,又∠C=90°,故∠A=30°;当添加条件∠A=30°时,由折叠性质知:∠EBD=∠EBC=30°,又∠A=30°且ED⊥AB,可证D为AB的中点;(2)在Rt△ADE中,根据∠A及ED的值,可将AE、AD的值求出,又D为AB的中点,可得AB的长度,在Rt△ABC中,根据AB、∠A的值,可将AC和BC的值求出,代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可.【答案与解析】解:(1)添加条件是∠A=30°.证明:∵∠A=30°,∠C=90°,所以∠CBA=60°,∵C点折叠后与AB边上的一点D重合,∴BE平分∠CBD,∠BDE=90°,∴∠EBD=30°,∴∠EBD=∠EAB,所以EB=EA;∵ED为△EAB的高线,所以ED也是等腰△EBA的中线,∴D为AB中点.(2)∵DE=1,ED⊥AB,∠A=30°,∴AE=2.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得AD=22213,∴AB=23,∵∠A=30°,∠C=90°,∴BC=12AB=3.在Rt△ABC中,AC=22AB BC=3,∴S△ABC=12×AC×BC=332.【总结升华】考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法:如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M作OB的垂线,过点N作OA的垂线,垂足分别为C、D,两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.老师当场肯定他的作法,并且表扬他的创新.但是小林不知道这是为什么.①你能说明这样做的理由吗?也就是说,你能证明OP就是∠AOB的平分线吗?②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线,并说明你的作图方法或设计思路.【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中,依据ASA得出OC=OD;在Rt△OCP与Rt△ODP中,因为OP=OP,OC=OD得出Rt△OC P≌Rt△ODP(HL),所以∠C OP=∠DOP,即OP平分∠AOB.②可作出两个直角三角形,利用HL定理证明两角所在的三角形全等.【答案与解析】①证明:在Rt△OCM和Rt△ODN中,COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN(AAS),∴OC=OD,在△OCP与△ODP中,∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP (HL ),∴∠COP=∠DOP ,即OP 平分∠AOB ;②解:①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ;②过C ,D 分别作OA ,OB 的垂线,两垂线交于点E ;③作射线OE ,OE 就是所求的角平分线.∵CE ⊥OA ,ED ⊥OB ,∴∠OCE=∠ODE=90°,在Rt △OCE 与Rt △OD E 中,∵OC OD OEOE,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL ),∴∠EOC=∠EOD ,∴OE 为∠AOB 的角平分线.【总结升华】主要考查了直角三角形的判定,利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键.类型三、线段垂直平分线4.(2015秋?麻城市校级期中)如图所示:在△ABC 中,AB >BC ,AB=AC ,DE 是AB 的垂直平分线,垂足为D ,交AC 于E .(1)若∠ABE=50°,求∠EBC 的度数;(2)若△ABC 的周长为41cm ,边长为15cm ,△BCE 的周长.【思路点拨】(1)由DE 是AB 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=BE ,继而求得∠A的度数,又由AB=AC ,即可求得∠ABC 的度数,则可求得答案;(2)由△BCE 的周长=AC+BC ,然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案.【答案与解析】解:(1)∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=65°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°;(2)∵AE=BE,;∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm,∴AB+AC+BC=41cm,若AB=AC=15cm,则BC=11cm,则△BCE的周长为:15+11=26cm;若BC=15cm,则AC=AB=13cm,∵AB>BC,∴不符合题意,舍去.∴△BCE的周长为26cm.【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.举一反三:【变式】如图所示,AD是△ABC中∠BAC的平分线,AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F,试说明∠BAF=∠ACF的理由.【答案】解:∵EF垂直平分AD,∴AF=DF,∴∠FAD=∠FDA.又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAF=∠BAD+∠FAD,∠ACF=∠DAC+∠FDA,∴∠BAF=∠ACF.类型四、角平分线5.(2016秋?兴化市期中)已知:如图,△ABC的角平分线BE、CF相交于点P.求证:点P在∠A的平分线上.【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM,同理可得PM=PN,从而得到PD=PN,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可.【答案与解析】证明:如图,过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N,∵BE平分∠ABC,点P在BE上,∴PD=PM,同理,PM=PN,∴PD=PN,∴点P在∠A的平分线上.【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,到角的两边距离相等的点在角的平分线上,熟记性质并作出辅助线是解题的关键.举一反三:【变式】如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有()A.1处B.2处 C.3处 D.4处【答案】D.解:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,共一处;(2)三个外角两两平分线的交点,共三处.。
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实,并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形,等边三角形,直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验,并继续深入学习证明的方法和格式;多数学生已经了解证明的必要性,具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言,符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理,慢慢的侧重于演绎推理,在经历了对八条基本事实时的探究,证明过程中,积累了更多的活动经验。
在学习了本章后,无论是对证明的必要性的体会,对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识,进行知识梳理,逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展,引导学生从问题出发,根据观察、试验的结果,发现证明的思路.经过一个阶段的学习,有必要对有关知识进行回顾与思考,引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想,并思考这些内容获得的过程,帮助学生逐步构建知识体系,养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是:1.知识目标:在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思路和方法,尺规作图等.2.能力目标:进一步体会证明的必要性,发展学生的初步的演绎推理能力;进一步掌握综合法的证明方法,结合实例体会反证法的含义;提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3.情感价值观要求通过积极参与数学学习活动,对数学的证明产生好奇心和求知欲,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯.4.重点与难点重点:1.构建本章知识内容框架,发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点:是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考(教案)
3.教学过程中,我发现有些学生在解决实际问题时,难以将所学知识运用到具体情境中。为了提高学生的应用能力,我会在课堂上增加一些与生活密切相关的实例,让学生明白所学知识在实际生活中的重要性。
3.直角三角形的性质与判定
-直角三角形的内角和为180°
-直角三角形的斜边最长
-有一个角是直角的三角形是直角三角形
4.三角形全等的判定方法
- SSS(三边全等)
- SAS(两边和夹角全等)
- ASA(两角和边全等)
- AAS(两角和非夹边全等)
5.三角形相似的性质与判定
-对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似
同学们,今天我们将要学习的是《三角形的证明回顾与思考》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况?”(如拼图游戏、建筑设计等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索三角形证明的奥秘。
- AA(两角对应相等)
- SAS(两边和夹角对应相等)
- SSS(三边对应成比例)
6.三角形在实际问题中的应用
本节课将结合教材内容,通过实例讲解、练习巩固,帮助学生回顾与思考三角形的相关知识,提高学生的几何证明能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力:
1.掌握三角形的性质与判定方法,提高空间观念和几何直观能力;
五、教学反思
在本次教学过程中,我深感三角形证明这一章节的内容对于八年级学生来说具有一定的挑战性。从教学实践来看,以下几个方面值得我反思和改进:
北师大版八年级数学下册第一章:三角形的证明 复习
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一.选择题1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是()A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=BF 2.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠BOD是直角.若∠1=25°,那么∠BOE的度数是()A.90°B.145°C.155°D.165°3.如图,平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(2,2),点N在x轴上,若△OMN是等腰三角形,则满足条件的点N共有()个.A.3 B.4 C.5 D.84.如图,以的顶点为圆心,适当长为半径画弧,交于点,交于点.再分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在内部交于点,过点作射线,连接.则下列说法错误的是()A. .两点关于所在直线对称B. .两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC.其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组6.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是()A.HL B.ASA C.SAS D.SSS7.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN =3,则CM的长为()A.3 B.3.5 C.4 D.4.58.在如图中,,于,于,.交于点,则下列结论中不正确的是()A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE =EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④10.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建()A.A处B.B处C.C处D.D处11.如图,公路互相垂直,公路的中点与点被湖隔开.若测得的长为,则两点间的距离为()A. B. C. D.12.下列命题是假命题的是()A.矩形的对角线相等且互相平分B.两点之间,线段最短C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.角平分线上的点到角两边的距离相等二.填空题13.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:(写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.14.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC=°.15.如图,已知,垂直平分交.于.两点,若,,则的周长为.16.如图,在中,,平分,交于点,若,则.17.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形,那么∠OEC的度数为.18.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm,BC =6cm,则AC=,DE=.三.解答题19.已知:如图1,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°求证:Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等.(1)请你用“如果…,那么…”的形式叙述上述命题;(2)如图2,将△ABC和A′B′C′拼在一起(即:点A与点B′重合,点B与点A′重合),BC和B′C′相交于点O,请用此图证明上述命题.20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F,求证:DE=DF.21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,FE是AC的垂直平分线,交AD于点F,连接BF.求证:AF=BF.22.已知:如图,在△BAC中,AB=AC,D,E分别为AB,AC边上的点,且DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.23.如图,已知∠CPB=65°,AB∥CP,点D,E分别是PC,PB上一点,连接DE,使DE=PE,∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.(1)∠BED=130°;(2)求∠BFD的度数.24.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°.(1)图1中:∠DEF=45°,图2中:∠DEF=135°;(2)请观察图1.图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题.北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一.选择题1.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是()A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE=BF解:条件是AB=CD,理由是:∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠CFD=∠AEB=90°,在Rt△ABE和Rt△DCF中,,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),故选:A.2.如图,点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∠BOD是直角.若∠1=25°,那么∠BOE的度数是()A.90°B.145°C.155°D.165°解:∵点O在直线AE上,OC平分∠AOE,∴∠AOC=∠COE=90°,∵∠DOB是直角,∠1=25°,∴∠BOC=∠DOB﹣∠1=90°﹣25°=65°,∴∠BOE=∠COE+∠BOC=90°+65°=155°.故选:C.3.如图,平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(2,2),点N在x轴上,若△OMN是等腰三角形,则满足条件的点N共有()个.A.3 B.4 C.5 D.8解:如上图:满足条件的点N共有(﹣2,0)(2,0)(2,0)(4,0).故选:B.4.如图,以的顶点为圆心,适当长为半径画弧,交于点,交于点.再分别以点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在内部交于点,过点作射线,连接.则下列说法错误的是()A. .两点关于所在直线对称B. .两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解:连接.,根据作图得到..在与中,(),,即射线是的平分线,正确,不符合题意;根据作图得到,是等腰三角形,正确,不符合题意;根据作图得到,又射线平分,是的垂直平分线,.两点关于所在直线对称,正确,不符合题意;根据作图不能得出平分,不是的平分线,.两点关于所在直线不对称,错误,符合题意.故答案为:.两点关于所在直线对称5.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:①△ABC中,AB=AC;②△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°;③△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;④△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC.其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组解:①.∵△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故①正确;②.∵△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°,∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣68°﹣56°=56°,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故②正确;③∵△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC,∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠C+∠CAD+∠ADC=180°,∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故③正确;④.∵△ABC中,AD⊥BC,AD平分边BC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故④正确;即正确的个数是4,故选:D.6.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是()A.HL B.ASA C.SAS D.SSS解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠CDB=90°,在Rt△ABD和Rt△CDB中,,∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL),故选:A.7.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为()A.3 B.3.5 C.4 D.4.5解:过点P作PD⊥CB于点D,∵∠ACB=60°,PD⊥CB,PC=12,∴DC=6,∵PM=PN,MN=3,PD⊥OB,∴MD=ND=1.5,∴CM=6﹣1.5=4.5.故选:D.8.在如图中,,于,于,.交于点,则下列结论中不正确的是()A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解:,于,于,,,故本选项正确;,,,,,,点在的平分线上,故本选项正确;,,,,,,正确;是的中点,无法判定,故本选项错误.9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE =EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B;故①正确;∴CD=BD,∵AD=CD,∴CD=AB;故②正确;∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形;故③错误;∵若∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°,∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.故选:B.10.如图,电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇M,N的距离必须相等,则发射塔应该建()A.A处B.B处C.C处D.D处解:根据作图可知:EF是线段MN的垂直平分线,所以EF上的点到M.N的距离相等,即发射塔应该建在C处,故选:C.11.如图,公路互相垂直,公路的中点与点被湖隔开.若测得的长为,则两点间的距离为()A. B. C. D.解:在中,,为的中点,.12.下列命题是假命题的是()A.矩形的对角线相等且互相平分B.两点之间,线段最短C.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D.角平分线上的点到角两边的距离相等解:A.矩形的对角线相等且互相平分,是真命题;B.两点之间,线段最短,是真命题;C.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,原命题是假命题;D.角平分线上的点到角两边的距离相等,是真命题;故选:C.二.填空题13.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:AC=AD(写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.解:条件是AC=AD,∵∠C=∠D=90°,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL),故答案为:AC=AD.14.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC=90°.解:在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB(HL),∴∠ACE=∠ABD,∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠EAC+∠ABD=90°,∴∠AFB=90°,即∠CFD=90°,∴∠ACD+∠BDC=90°,故答案为90.15.如图,已知,垂直平分交.于.两点,若,,则的周长为.解:垂直平分,,的周长.故答案为:.16.如图,在中,,平分,交于点,若,则.解:,,平分,,.17.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形,那么∠OEC的度数为120°或75°或30°.【解答】解:∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,∴∠AOC=30°,①当E在E1时,OE=CE,∵∠AOC=∠OCE=30°,∴∠OEC=180°﹣30°﹣30°=120°;②当E在E2点时,OC=OE,则∠OEC=∠OCE=(180°﹣30°)=75°;③当E在E3时,OC=CE,则∠OEC=∠AOC=30°;故答案为:120°或75°或30°.18.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.若AB=5cm,BC =6cm,则AC=5cm,DE=8cm.解:∵BC=6cm,∴BD=DC=3(cm),∵AD⊥BC,BD=DC,AB=5cm,∴AC=AB=5(cm),∵点C在AE的垂直平分线上,∴EC=AC=5(cm),∴DE=DC+EC=8(cm),故答案为:5cm;8cm.三.解答题19.已知:如图1,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°求证:Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等.(1)请你用“如果…,那么…”的形式叙述上述命题;(2)如图2,将△ABC和A′B′C′拼在一起(即:点A与点B′重合,点B与点A′重合),BC和B′C′相交于点O,请用此图证明上述命题.解:(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,那么这两个直角三角形全等;(2)在△ACO和直角△A'C'O′中,,∴△ACO≌△A′C′O,∴OC=C′O,AO=A′O,∴BC=B′C′,在△ABC与△A′B′C′中,∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E.F,求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,∵点D为BC中点,∴DB=DC,∴在△DBE和△DCF中,∴△DBE≌DCF(AAS),∴DE=DF.21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,FE是AC的垂直平分线,交AD于点F,连接BF.求证:AF=BF.证明:连接CF,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=CD,AD⊥BC,∴BF=CF,∵FE垂直平分AC,∴AF=CF,∴AF=BF.22.已知:如图,在△BAC中,AB=AC,D,E分别为AB,AC边上的点,且DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴△ADE是等腰三角形.23.如图,已知∠CPB=65°,AB∥CP,点D,E分别是PC,PB上一点,连接DE,使DE=PE,∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.(1)∠BED=130°;(2)求∠BFD的度数.解:(1)∵DE=PE,∴∠EDP=∠CPB=65°,∴∠BED=∠EDP+∠CPB=130°,故答案为:130;(2)∵AB∥CP,∴∠ABP+∠CPB=180°,∴∠ABP=115°,∵∠EDP=65°,∴∠CDE=115°,∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F.∴∠FBE=∠ABE=57.5°,∠FDE=∠CDE=57.5°,∴∠BFD=360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°=115°.24.如图,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°.(1)图1中:∠DEF=45°,图2中:∠DEF=135°;(2)请观察图1.图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个命题.解:(1)图1,∵AB∥DE,∴∠B=∠DGC=45°,∵BC∥EF,∴∠DEF=∠DGC=45°;图2,∵AB∥DE,∴∠B=∠BGE=45°,∵BC∥EF,∴∠DEF+∠BGE=180°,∴∠DEF=180°﹣45°=135°;故答案为45°,135°;(2)∠DEF与∠ABC相等,∠DEF与∠ABC互补,结论:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.。
新版北师大八年级下册第一章_三角形的证明_知识点填空
八年级三角形全等证明知识梳理导学版知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容性质______________分别相等的两个三角形全等______ 边及其 _______ 分别相等的两个三角形全等________ 角及其 _______ 分别相等的两个三角形全等两____分别相等且其中_____________相等的两个三角形全等在直角三角形中,☆判定两个三角形全等时,必须有_____的参与,若有两边一角相等时,角必须是 ______ 角证题的思路:1.已知两边:找1) 2) 3)2.已知两角:找1) 2)3.已知一边一角1)若边为角的对边:找2)若边为角的邻边:找①②③注意:公共边、公共角、对顶角、最长的边(或最大的角)、最短的边(或最小的角)知识点2 等腰三角形的性质定理及推论定义有的三角形是等腰三角形。
性质定理①等腰三角形的相等。
(“等边对等角”)②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
等腰三角形的判定定理内容几何语言条件与结论等腰三角形的_____相等。
简述为:________________在△ABC中,若_______=_______,则∠ ___ =∠ ___条件:____ 相等,即 ___ = ___结论:_____相等,即∠ __ = ∠ __推论等腰三角形顶角的_____线、底边上的 ____ 线及底边上的_____线互相____,简述为:________.在△ABC,AB=AC,AD⊥BC,则 _____ 是_____ 边上的_____线,且 ____平分∠______.1.条件:等腰三角形中,一条直线是顶点的平分线结论:该线也是 ______ 和_______线2.条件:等腰三角形中,一条直线是底边上的中线结论:该线也是 ______ 和_______线3.条件:等腰三角形中,一条直线是底边上的高线结论:该线也是 ______ 和_______线解读【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意,它的前提是“”拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法(1)利用等腰三角形的定义;(2)利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边”相等线段1.等腰三角形两底角的平分线相等;2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等; 4.底边的中点到两腰的距离相等知识点3 等边三角形的性质定理定义的三角形是等边三角形。
北师大版八年级数学 下册第一章:三角形的证明 期末复习题
北师大版八年级数学下册第一章:三角形的证明期末复习题一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,∠BAD=∠BCD=90°,AB=CB,可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A.HL B.ASA C.SAS D.AAS2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(A)A.35° B.40°C.45°D.50°3.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.已知△PAB的周长为14,PA=4,则线段AB的长度为(A)A.6 B.5 C.4 D.34.在△ABC中,AB=AC=2,D为BC的中点,∠C=30°,则AD的长为(C)A. 3B. 2 C.1 D.25.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(B)A.12 B.9 C.8 D.66.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(A)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对7.若等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是(B)A.80° B.80°或20°C.80°或50°D.20°8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是(C)A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为(C)A.5 B.4 C.3 D.2e10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E ,交AC 于点F ,过点O 作OD ⊥AC 于点D ,下列四个结论:①EF =BE +CF ; ②∠BOC =90°+12∠A ;③点O 到△ABC 各边的距离相等; ④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =mn. 其中正确的结论是(A) A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④二、填空题(每小题3分,共21分)11.在△ABC 中,AB =AC ,点D 是BC 的中点.若∠B =50°,则∠DAC 的度数是40°. 12.如果三角形三边长分别为6 cm ,8 cm ,10 cm ,那么它最短边上的高为8cm. 13.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB ,DE ∥BC 交AC 于点E.若DE =7,AE =5,则AC 的长为12.14.如图,在锐角△ABC 中,直线PL 为BC 的垂直平分线,射线BM 为∠ABC 的平分线,PL 与BM 相交于点P.若∠PBC =30°,∠ACP =20°,则∠A 的度数为70°.15.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,直线m 经过点C ,分别过点A ,B 作直线m 的垂线,垂足分别为点E ,F.若AE =3,AC =5,则线段EF 的长为1或7.16.已知△ABC ≌△DEF ,BC =EF =6 cm ,△ABC 的面积为18 cm 2,则EF 边上的高的长是6cm.17.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为三、解答题(共69分)18.已知△ABN 和△ACM 位置如图所示,AB =AC ,AD =AE ,∠1=∠2.求证: (1)BD =CE ;(2)∠M =∠N.【解答】 证明:(1)在△ABD 和△ACE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠1=∠2,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS). ∴BD =CE. (2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE =∠2+∠DAE , 即∠BAN =∠CAM. 由(1),得△ABD ≌△ACE , ∴∠B =∠C. 在△ACM 和△ABN 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠C =∠B ,AC =AB ,∠CAM =∠BAN , ∴△ACM ≌△ABN(ASA).19.如图,AB =AD ,BC =DC ,点E 在AC 上.求证: (1)AC 平分∠BAD ;(2)BE =DE.证明:(1)在△ABC 和△ADC 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,AC =AC ,BC =DC ,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠BAC =∠DAC ,即AC 平分∠BAD. (2)由(1)得,∠BAE =∠DAE.在△BAE 和△DAE 中,⎩⎪⎨⎪⎧BA =DA ,∠BAE =∠DAE ,AE =AE ,∴△BAE ≌△DAE(SAS).∴BE =DE.20.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 边上的中点,连接AD ,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ,过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C =36°,求∠BAD 的度数; (2)求证:FB =FE.解:(1)∵AB =AC , ∴∠C =∠ABC. ∵∠C =36°,∵BD =CD ,AB =AC , ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB =90°.∴∠BAD =90°-36°=54°. (2)证明:∵BE 平分∠ABC , ∴∠ABE =∠CBE =12∠ABC.∵EF ∥BC , ∴∠FEB =∠CBE. ∴∠FBE =∠FEB. ∴FB =FE.21.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为CA 延长线上一点,DE ⊥BC ,交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB =AC 除外),并加以证明.解:AD =AF. 证明:∵AB =AC , ∴∠B =∠C. ∵DE ⊥BC ,∴∠BEF =∠DEC =90°.∴∠BFE +∠B =90°,∠D +∠C =90°. ∴∠BFE =∠D. ∵∠BFE =∠DFA ,∴AD=AF.22.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.23.按照有关规定:距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物.如图是一个小区平面示意图,长方形ABEF为一新建小区,直线MN为高铁轨道,C,D 是直线MN上的两点,点C,A,B在同一直线上,且DA⊥CA,CD=2AD.小王看中了①号楼A 单元的一套住宅,与售楼人员的对话如下:小王心中一算,发现售楼人员的话不可信,请你用所学的数学知识说明理由. 解:过点A 作AG ⊥MN ,垂足为G. ∵CD =2AD =440,DA ⊥CA , ∴AC =4402-2202=220 3. ∵S △ACD =12AC ·AD =12CD ·AG ,∴AG =2203×220440=1103≈191<200.∴A 单元用户会受到影响,售楼人员的话不可信.24.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,交AB 于点E. (1)求证:△ABD 是等腰三角形; (2)若∠A =40°,求∠DBC 的度数;(3)若AE =6,△CBD 的周长为20,求△ABC 的周长.解:(1)证明:∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D , ∴DB =DA.∴△ABD 是等腰三角形.(2)∵△ABD 是等腰三角形,∠A =40°, ∴∠ABD =∠A =40°,∠ABC =∠C =(180°-40°)÷2=70°. ∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =70°-40°=30°. (3)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ,AE =6,∴AB=2AE=12,BD=AD.∵△CBD的周长为20,∴BD+CD+BC=20.∴AC+BC=20.∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32.25.已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图1,若点O在BC上,求证:AB=AC;(2)如图2,若点O在△ABC内部,求证:AB=AC;(3)猜想,若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请说明理由.解:(1)证明:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°. 又∵OB=OC,∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).∴∠B=∠C.∴AB=AC.(2)证明:过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°. 又∵OB=OC,∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).∴∠DBO=∠ECO.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.(3)不一定成立.理由:如图3,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.又∵OB=OC,∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).∴∠DBO=∠ECO.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∴∠DBC=∠ECB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.如图4,可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时,AB=AC不一定成立.。
北师大版八年级下册数学《线段的垂直平分线》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究,交流新知
已知等腰三角形的底边和该边上的高,求作等腰三角形
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作 几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能,能作几 个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?如 果能,能作几个?
. 39°
3.如图,在△ABC中,∠BAC是钝角. (1)画出边BC上的中线AD; (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结,整体感知
1.课堂小结:请同学们回顾本节课所学的内容,有哪些收获? (1)三角形三条边的垂直平分线的性质 (2)尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业:
开放训练,体现应用
例1 (教材第22页例1)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点, 且OB=OC.求证:直线AO垂直平分线段BC.(解法不唯一)
证明:∵AB=AC, ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB=OC, ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线
课堂检测,巩固新知
解:(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC ∴∠EAD=1∠BAC=25°
2
∵DE⊥AB ∴∠AED=90° ∴∠EDA=90°-25°=65° (2)证明:∵DE⊥AB ∴∠AED=90°=∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE=∠DAC 又∵AD=AD ∴△AED≌△ACD(AAS) ∴AE=AC ∵AD平分∠BAC ∴AD⊥CE,AD平分线段EC 即直线AD是线段CE的垂直平分线
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析 过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。
北师大八年级数学下册教案:第一章三角形的证明复习教案
举例:给出一个具体直角三角形的边长,要求学生求解另一条边长。
(5)三角形面积的计算:熟练掌握海伦公式、三角形面积与底和高的关系,能够计算不同类型三角形的面积。
举例:给出一个三角形的三边长,要求学生运用海伦公式计算其面积。
2.教学难点
(1)几何逻辑推理:对于三角形性质与判定的逻辑推理过程,学生可能难以理解,需要教师通过具体实例和图示进行讲解。
难点举例:证明三角形两边之和大于第三边的过程中,学生可能对“反证法”的理解存在困难。
(2)全等三角形的判定:在实际应用中,学生可能难以找到合适的全等条件进行判断,需要教师引导学生如何观察和分析问题。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.提升学生的数学建模能力:通过全等三角形、等腰三角形和直角三角形的判定与应用,让学生在实际问题中构建数学模型,增强数学应用意识。
4.培养学生的数学抽象素养:引导学生从具体的三角形实例中抽象出一般性规律,提升数学抽象思维。
5.增强学生的数学运算能力:在三角形面积计算等方面,让学生熟练掌握相关公式,提高运算速度和准确性。
难点举例:在复杂的图形中,学生可能难以发现两个三角形之间的全等关系。
(3)等腰三角形的性质与判定:学生容易忽视等腰三角形底角相等这一性质,导致解题错误。
新北师大版八年级下第一章_三角形的证明复习
第►考一章点三| 复习勾股定理的应用
例3
图1-3
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用,此问 题看上去是一个曲面上的路线问题,但实际上能通过圆 柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题,值得注意的
是,在剪开圆柱侧面时,要从A开始并垂直于AB剪开,
这样展开的侧面是个矩形,才能得到直角,再利用勾股 定理解决此问题.
第一章 | 复习
图1-4
[方法技巧]利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解 决旋转体的问题,也是把立体图形转化为平面图形的问 题,即将原图形的侧面展开转化为平面图形——即“展 曲为平”问题,特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题 。这种由三维立体和二维平面的相互转化,充分体现了 新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识 别能力及理解能力的要求,是考查空间观念和严谨认真 态度的很好题型。
►考点一 线段垂直平分线性质的应用
例1 如图1-1,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,
∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=___5_0_°___.
图1-1
[解析] 根据线段垂直平分线的性质,线段垂直 平分线上的点到线段两端点的距离相等,得
EA=EC,所以∠A=∠ACE=30°.又因为 ∠ACB=80°,故∠BCE=80°—30°=50°.
(2)又∵ OP是△OCD中 ∠AOB的角平分线,
OP=OP,PC=PD, ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).
∴OP是CD的垂直平分线( 等腰三角形“三线合一” 定理).
∴OC=OD(全等三角形对应边相等).
针对训练
C
D
3.以下命题中,是真命题的是( D )
A.两条直线只有相交和平行两种位置关系 B.同位角相等 C.两边和一角对应相等的两个三角形全等 D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章-三角形的证明 复习与巩固1
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,点D为BC的中点,
的关键.
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图,等腰△ABC中,AB=AC=8,BC=5,AB 的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周
长为( )
▪ A.13
B.14
▪ C.15
D.16
6
▪ 分析:∵DE是AB的垂直平分线, ▪ ∴AE=BE, ▪ ∴△BEC的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC. ▪ ∵AC=8,BC=5, ▪ ∴△BEC的周长=8+5=13. ▪ 答案:A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1.如图,OP是∠AOB的平分线,点P到OA的距离为3,点N 是OB上的任意一点,C则线段PN的取值范围为( )
▪ A.PN<3
B.PN>3
▪ C.PN≥3
D.PN≤3
21
2.【2018·山西中考】如图,直线 MN∥PQ,直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧交 AN 于点 C,交 AB 于点 D;②分别以 C、D 为圆心,以大于12CD 长为半径作弧,两 弧在∠NAB 内交于点 E;③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB=2,∠ABP=60°,则线 段 AF 的长为__2__3____.
C.22 cm
D.25 cm
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习练习题有答案
第一章复习练习题1.如图,已知B G是∠A B C的平分线,D E⊥A B于点E,D F⊥B C于点F,D E=6,则D F的长度是()A.2B.3C.4D.62.如图,△A B C中,A B=A C,∠A=40°,则∠B的度数是()A.70°B.55°C.50°D.40°3.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中()A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°4.如图,已知∠A B C=∠B A D,添加下列条件还不能判定△A B C≌△B A D的是()A.A C=B D B.B C=A D C.∠C=∠D D.∠C A B=∠D B A5.如图,在△A B C中,B D平分∠A B C,B C的垂直平分线交B C于点E,交B D于点F,连接C F,若∠A=60°,∠A B D=24°,则∠A C F的度数为()A.24°B.30C.36°D.48°6.等腰三角形的周长为22,其中一边长是8,则其余两边长分别是()A.6和8B.7和8C.7和7D.6,8或7,77.如图,D为△A B C内一点,C D平分∠A C B,A E⊥C D,垂足为点D,交B C于点E,∠B =∠B A E,若B C=5,A C=3,则A D的长为()A.1B.1.5C.2D.2.58.如图,∠A O B=60°,O A=O B,动点C从点O出发,沿射线O B方向移动,以A C为边在右侧作等边△A C D,连接B D,则B D所在直线与O A所在直线的位置关系是()A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=11,大正方形的面积为6,则小正方形的边长为()A.1B.2C.3D.410.如图,在平面直角坐标系中,等边△O B C的边O C在x轴正半轴上,点O为原点,点C坐标为(12,0),D是O B上的动点,过D作D E⊥x轴于点E,过E作E F⊥B C 于点F,过F作F G⊥O B于点G.当G与D重合时,点D的坐标为()A.(1,)B.(2,2)C.(4,4)D.(8,8)二.填空题11.若命题“如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半”为原命题,则它的逆命题是,此命题为命题(填“真”或“假”)12.如图,B E,C D是△A B C的高,且B D=E C,判定△B C D≌△C B E的依据是“”.13.如图,点E在正方形A B C D内,满足∠A E B=90°,A E=6,B E=8,则阴影部分的面积是.14.如图,在直角△A B C中,∠C=90°,A D平分∠C A B,C D=3,A B=12,则△A B D的面积为:.15.如图,在△A B C中,A F平分∠B A C,A C的垂直平分线交B C于点E,∠B=70°,∠F A E=19°,则∠C=度.16.如图,在△A B C中,A B=A C,在边A B上取点D,使得B D=B C,连结C D,若∠A=36°,则∠B D C 等于17.如图,四边形A B C D的对角线A C、B D相交于点O,△A B O≌△A D O.下列结论:①A C⊥B D;②C B=C D;③△A B C≌△A D C;④D A=D C.其中所有正确结论的序号是.18.已知∠A O B=30°,点D在O A上,O D=,点E在O B上,D E=2,则O E的长是.三.解答题19.如图,点E、F在线段B D上,A F⊥B D,C E⊥B D,A D=C B,D E=B F,求证:A F=C E.20.如图,在△A B C中,A B=A C,∠B A C和∠A C B的平分线相交于点D,∠A D C=130°,求∠B A C的度数.21.如图,A D是△A B C的角平分线,D E、D F分别是△A B D和△A C D的高,求证:A D垂直平分E F.22.如图,△A B C是等腰三角形,∠B=∠C,A D是底边B C上的高,D E∥A B交A C于点E.试说明△A D E是等腰三角形.23.如图,∠A O B=60°,O C平分∠A O B,C为角平分线上一点,过点C作C D⊥O C,垂足为C,交O B于点D,C E∥O A交O B于点E.(1)判断△C E D的形状,并说明理由;(2)若C D=6,O D=10,直接写出O C的长.24.如图,在△A B C中,A B=A C,∠B A C=120°,D、F分别为A B、A C的中点,且D E ⊥A B,F G⊥A C,点E、G在B C上,B C=18c m,求线段E G的长.(提示:需要添加辅助线)25.在△A B C中,∠B A C=90°,A B=A C,A D⊥B C于点D.(1)如图1,点M,N分别在A D,A B上,且∠B M N=90°,当∠A M N=30°,A B=2时,求线段A M的长;(2)如图2,点E,F分别在A B,A C上,且∠E D F=90°,求证:B E=A F;(3)如图3,点M在A D的延长线上,点N在A C上,且∠B M N=90°,求证:A B+A N =A M.参考答案一.选择题1.D.2.A.3.D.4.A.5.D.6.D.7.A.8.A.9.A.10.解:如图,设B G=x,∵△O B C是等边三角形,∴∠B O C=∠B=∠C=60°,∵D E⊥O C于点E,E F⊥B C于点F,F G⊥O B,∴∠B F G=∠C E F=∠O D E=30°,∴B F=2x,∴C F=12﹣2x,∴C E=2C F=24﹣4x,∴O E=12﹣C E=4x﹣12,∴O D=2O E=8x﹣24,当G与D重合时,O D+B G=O B,∴8x﹣24+x=12,解得x=4,∴O D=8x﹣24=32﹣24=8,∴O E=4,D E=4,∴D(4,4).故选:C.二.填空题11.它的逆命题是:如果一个等腰三角形腰上的高是腰长的一半,那么它的底角为15°.命题为假命题.12.H L.13.76.14.18.15.24.16.54°17.①②③.18.2或4.三.解答题19.证明:∵D E=B F,∴D E+E F=B F+E F,即D F=B E.在R t△A D F和R t△C B E中,∴R t△A D F≌R t△C B E.∴A F=C E.20.解:∵A B=A C,A E平分∠B A C,∴A E⊥B C(等腰三角形三线合一),∵∠A D C=130°,∴∠C D E=50°,∴∠D C E=90°﹣∠C D E=40°,又∵C D平分∠A C B,∴∠A C B=2∠D C E=80°.又∵A B=A C,∴∠B=∠A C B=80°,∴∠B A C=180°﹣(∠B+∠A C B)=20.21.证明:设A D、E F的交点为K,∵A D平分∠B A C,D E⊥A B,D F⊥A C,∴D E=D F.∵D E⊥A B,D F⊥A C,∴∠A E D=∠A F D=90°,在R t△A D E和R t△A D F中,,∴R t△A D E≌R t△A D F(H L),∴A E=A F.∵A D是△A B C的角平分线∴A D是线段E F的垂直平分线.22.证明:∵在△A B C中,∠B=∠C,∴A B=A C,∴△A B C是等腰三角形;∵A D⊥B C,∴∠B A D=∠D A C,∵D E∥A B,∴∠A D E=∠B A D,∴∠A D E=∠D A C,∴A E=E D,∴△A D E是等腰三角形.23.解:(1)△C E D是等边三角形,理由如下:∵O C平分∠A O B,∠A O B=60°,∴∠A O C=∠C O E=30°,∵C E∥O A,∴∠A O C=∠C O E=∠O C E=30°,∠C E D=60°,∵C D⊥O C,∴∠O C D=90°,∴∠E D C=60°,∴△C E D是等边三角形;(2)在R t△O C D中,根据勾股定理得O C==8.24.解:如图,连接A E、A G∵D为A B中点,E D⊥A B,∴E B=E A,∴△A B E为等腰三角形,又∵∠B=∠E A B=30°,∴∠B A E=30°,∴∠A E G=60°,同理可证:∠A G E=60°,∴△A E G为等边三角形,∴A E=E G=A G,又∵A E=B E,A G=G C,∴B E=E G=G C,又B E+E G+G C=B C=18(c m),∴E G=6(c m).25.(1)解:∵∠B A C=90°,A B=A C,A D⊥B C,∴A D=B D=D C,∠A B C=∠A C B=45°,∠B A D=∠C A D=45°,∵A B=2,∴A D=B D=D C=,∵∠A M N=30°,∴∠B M D=180°﹣90°﹣30°=60°,∴∠M B D=30°,∴B M=2D M,由勾股定理得,B M22﹣D M22=B D22,即(2D M)22﹣D M22=()22,解得,D M=,∴A M=A D﹣D M=﹣;(2)证明:∵A D⊥B C,∠E D F=90°,∴∠B D E=∠A D F,在△B D E和△A D F中,,∴△B D E≌△A D F(A S A)∴B E=A F;(3)证明:过点M作M E∥B C交A B的延长线于E,∴∠A M E=90°,则A E=A M,∠E=45°,∴M E=M A,∵∠A M E=90°,∠B M N=90°,∴∠B M E=∠A M N,在△B M E和△N M A中,,∴△B M E≌△N M A(A S A),∴B E=A N,∴A B+A N=A B+B E=A E=A M.。
第一章三角形的证明+知识点靶向过关与提升专题练习-2023-2024北师大版数学八年级下
北师大版八年级下册数学《三角形的证明》知识点靶向过关与提升专题练习(等腰三角形专题)考点解读:1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.2.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).3.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).划重点:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.4.等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°.5.等边三角形的判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.过关与提升练习考点一:等腰三角形的定义、性质1.等腰三角形的周长为20cm,其中一边长为5cm,则其腰长为()A.5cm B.5cm或7.5cm C.7.5cm D.以上都不对变式:等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()A.80° B.80°或20° C.80°或50°D.20°2.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E.(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;(2)若AB=7,BC的长为5,求△CBD的周长.考点二:等腰三角形的判定1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有()A.5个B.6个C.7个D.8个变式:如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形,符合条件的C点有个.2.如图所示,三角形ABC的面积为1cm2.AP垂直∠B的平分线BP于点P.则三角形PBC的面积是.3.如图,直线AB∥CD,∠ACD的平分线CE交AB于点F,∠AFE的平分线交CA 延长线于点G.(1)证明:AC=AF;(2)若∠FCD=30°,求∠G的大小.4.如图,已知△ABC中,AB=AC,AC与AB边上的高BD、CE相交于点O.(1)求证:△OBC是等腰三角形.(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.题型三:等边三角形问题1.如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为()A.3 B.4.5 C.6 D.7.5变式:如图,在等边三角形ABC中AB=2,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为.2.如图,∠AOB=60°,点C是BO延长线上的一点,OC=6cm,动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间,当t=s时,△POQ是等边三角形.3.如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC,AE⊥BC,垂足分别为D,E,AE,BD相交点O,连接DE.(1)判断△CDE的形状,并说明理由;(2)求证:S△AOB=2S△OBE.变式:已知如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.且BE∥AC.求证:△ABC是等边三角形.题型四:等腰三角形性质与判定综合1.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB 于点.D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③BC=BD+CE;④△ADE的周长=AB+AC;⑤BF=CF.其中正确的有()A.①②③B.①②④C.①②④⑤D.②④⑤变式:如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形;⑤∠AOB=60°.其中正确的有.(注:把你认为正确的答案序号都写上)2.如图,在△ABC中,过点B作△ABC的角平分线AD的垂线,垂足为F,FG∥AB 交AC于点G,若AB=4,则线段FG的长为.3.如图,△ABC中,AB=5,AC=6,∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,过I做DE∥BC分别交AB,AC于点D,E.求△ADE的周长.请补全以下的解答过程.解:∵BI平分∠ABC(已知),∴∠1=∠2(角平分线的定义),又∵DE∥BC(已知),∴∠2=(),∴∠1=,∴DI=().同理可得:EI=.∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DI+EI+AE=AD+DB+EC+AE=+ =5+6=11.4.在边长为9的等边三角形ABC中,点P是AB上一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动,设运动时间为t秒.(1)如图1,若点Q是BC上一定点,BQ=6,PQ∥AC,求t的值;(2)如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动,当t为何值时,△APQ为等边三角形?。
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►考点五 :线段的垂直平分线和角平分线 例5.已知:如图,P是∠ AOB平分线上的一点, PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D.
C
A
求证:(1) OC=OD;
(2) OP是CD的垂直平分线.
O
E
P B
证明:(1) ∵P是∠AOB角平分线上的一点, PC⊥OA,PD⊥OB ∴PC=PD 在Rt△OPC和Rt△OPD中, OP=OP,PC=PD,
第一章 | 复习
[方法技巧] 与全等三角形有关的开放型试题形式多样 ,设计新颖,能培养同学们的逆向思维能力、 创新能力和综合运用知识的能力。解答条件开 放型试题,需要执果索因,逆向推理,逐步探 求结论成立的条件。同时要注意挖掘图形中的 隐含条件,如对顶角、公共角、公共边等,然 后合理选择全等三角形的知识解决。另外,要 注意这类题的答案往往不唯一,只要合理即可 。
7.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 第一章 | 复习 性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离_______ 相等 . 判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这 条线段的_____________ 垂直平分线 上. [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点 距离相等的所有点的集合. 8.三角形三边中垂线的性质 一点 ,并且这 三角形三条边的垂直平分线相交于_______ 一点到三角形三个顶点的距离________ 相等 .
4.下列说法中,正确的是( C ) A.等腰三角形一边上的中线也是这边上的高 B.等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离 相等 C.等边三角形每条角平分线都平分对边 D.直角三角形一边上的中线等于这边的一半 5.如图1-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B= 15°,DE是AB的中垂线,垂足为点D,交BC于点E, 若BE=4,则AC=_____ 2 .
考 查 意 图
思想 方法
分类讨论 数形结合
第一章 | 复习
知识归纳
1.等腰三角形的性质 性质(1):等腰三角形的两个底角________ 相等 . 性质(2):等腰三角形顶角的_________ 平分线 、底边上的 中线 、底边上的高互相重合. ________ 2.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于 60° 3.等腰三角形的判定 (1)定义:有两条边_____ 相等 的三角形是等腰三角形. (2)等角对等边:有两个角________ 相等 的三角形是等腰 三角形.
第一章 | 复习
图1-4
[方法技巧]利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解 决旋转体的问题,也是把立体图形转化为平面图形的问 题,即将原图形的侧面展开转化为平面图形——即“展 曲为平”问题,特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题 。这种由三维立体和二维平面的相互转化,充分体现了 新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识 别能力及理解能力的要求,是考查空间观念和严谨认真 态度的很好题型。
►考点四 等腰三角形的判别
例4、已知:如图,D是△ABC的BC边上的 中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F, 且DE=DF. 求证:△ABC是等腰三角形.
A
分析:要证△ABC是等腰 三角形,可证∠B=∠C.
F E
B
D
C
反思:1、证明△ABC是等腰三角形的基本思路是什么? 2、点D在∠BAC的角平分线上吗?为什么?
图1-10
8、如图∠BOP=∠AOP=15°,PC∥OB,PD⊥PB 于D,PC=2,则PD的长度为( D ) A .4 B .3 C .2 D .1
9、
A
小明原有60元,如图YK1-4记录 阶段综合测试一(月考) 10
如图 YK1 - 5 ,在△ ABC 中, 11 ∠ABC,∠ACB的平分线交于点 E,过点E的直线交AB,AC于点 M,N,若BM=ME,则CN与EN的 关系是( ) A. CN=EN B.CN > EN C. CN < EN D.无法确定
考点攻略
►考点一
线段垂直平分线性质的应用
例1 如图1-1,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E, ∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=________. 50°
图 1- 1
[解析] 根据线段垂直平分线的性质,线段垂直 平分线上的点到线段两端点的距离相等,得 EA=EC,所以∠A=∠ACE=30°.又因为 ∠ACB=80°,故∠BCE=80°—30°=50°.
了他今天所有支出,其中饼干支 出的金额被涂黑.若每包饼干的 售价为6元,则小明可能剩下多少 元( B ) A.12 B .4 C .8 D .2
图YK1-4
A
图YK1-5
12、
第一章 | 复习
[方法技巧] 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平 分线,注意利用“线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等”解决问题。同时, 在求一些边长、周长或角的度数时,如果能恰 当地运用线段垂直平分线的性质,可以大大简 化解题过程,同学们在学习中要注意到这一点!
第一章 | 复习 ► 考点二:全等三角形性质的应用 例2 图1-2
第一章 | 复习 ►考点三 勾股定理的应用
例3
图1-3
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用,此问 题看上去是一个曲面上的路线问题,但实际上能通过圆 柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题,值得注意的 是,在剪开圆柱侧面时,要从A开始并垂直于AB剪开, 这样展开的侧面是个矩形,才能得到直角,再利用勾股 定理解决此问题.
D
(2)又∵ OP是△OCD中 ∠AOB的角平分线,
∴OP是CD的垂直平分线( 等腰三角形“三线合一” ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL). 定理). ∴OC=OD(全等三角形对应边相等).
针对训练 C
D
3.以下命题中,是真命题的是( D ) A.两条直线只有相交和平行两种位置关系 B.同位角相等 C.两边和一角对应相等的两个三角形全等 D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等
6.在直角三角形中,一条直角边长为a,另一条边长为 2a,那么它的三个内角之比为( D ) A.1∶2∶3 B.2∶2∶1 C.1∶1∶2 D.以上都不对 7.如图1-10,△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分 线交CB边于点D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的 角的个数为( D ) A .2 B .3 C .4 D .5
八年级数学 下册复习
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章
三角形的证明 一元一次不等式(组) 平移与旋转 因式分解 分式及分式方程 平行四边形的证明
第一章 三角形的证明
考点分析
三角形的证明是属于数学新课程标准中《 图形与几何》部分的重要内容,在日常测试及 中考中,常以填空、选择、证明、计算及综合 题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾 股定理及其逆定理的掌握.试卷以双基为主, 考查学生对于基本知识点的理解及基本解题思 路的掌握,重点在于培养学生对几何题的分析 能力和逻辑推理能力.
第一章 | 复习
9.角平分线的性质定理及判定定理 性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离 _________ 相等 . 判定定理:在一个角的内部,且到角的两边 ________ 距离 相等的点在这个角的平分线上. [注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线,所以 它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件. 10.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 三条边的距离_________ 相等 .
第一章 | 复习
4.等边三角形的判定 等腰 三角形是等边三角形; (1)有一个角等于60°的______ (2)三边相等的三角形叫做等边三角形; (3)三个角相等的三角形是等边三角形; (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的_________ ; 一半 性质(2):直角三角形的两个锐角互余. 判定:有两个角互余的三角形是直角三角形. 6.勾股定理及其逆定理 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的_______ 平方 . 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平 方,那么这个三角形是_________ 三角形. 直角