中南大学11级数理统计二答案

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数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计第二章习题解答1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.解: 2βαξ+=E ,()122αβξ-=D 。

令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22122n S αβξβα得 n S 3ˆ-=ξα,.3ˆnS +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.解: ()322adx x a a x E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα,得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--=5.用极大似然法估计几何分布 ()(),2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .解:()()n x ni p p p L -∑-=1,令 ()01ln =---=∂∂∑pn x p n p p L i 得x p1ˆ=而01ln 2ˆ2<--=∂∂=x x n p Lpp ξ1ˆ=∴p是P 的极大似然估计. 6. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσσx e x f x,n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--ix neL σσσ12,()01ln 2=+-=∂∂∑i x n L σσσσ。

数理统计课后答案.

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数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知,则在求均值μ的区间估计时,使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。

0H :05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2σ的矩估计值为 。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N , 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ,已知)4(~),20(~222221χχχχ,则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ,1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ,则21X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ,则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X为子样均值,而01.0)(=>λX P , 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ,令∑∑==-=161110143i i i iX XY ,则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X 与2S 分别是子样均值和子样方差,令2*210S X Y =,若已知01.0)(=≥λY P ,则____=λ 。

自考概率论与数理统计(二)11年7月真题答案

自考概率论与数理统计(二)11年7月真题答案

浙02197# 概率论与数理统计(二)试卷 第1页(共11页)全国2011年7月高等教育自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码:02197一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A ={2,4,6,8},B ={1,2,3,4},则A -B =( ) A .{2,4} B .{6,8} C .{1,3} D .{1,2,3,4}【答案】B【解析】A -B=A-AB={2,4,6,8}-{2,4}={6,8}2.已知10件产品中有2件次品,从这10件产品中任取4件,没有取出次品的概率为( )A .15 B .14C .13D .12【答案】C【解析】10件产品任取4件,共有210123478910410=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C 种取法没有取出次品共有701234567848=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C 种取法故没有取出次品的概率为3121070=3.设事件A ,B 相互独立,()0.4,()0.7,P A P A B =⋃=,则()P B =( ) A .0.2 B .0.3 C .0.4 D .0.5【答案】D【解析】事件A ,B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B )7.0)(4.0)(4.0)()()()(=-+=-+=B P B P AB P B P A P B A P ,解得()P B =0.5浙02197# 概率论与数理统计(二)试卷 第2页(共11页)4.设某试验成功的概率为p ,独立地做5次该试验,成功3次的概率为( ) A .35C B .3325(1)C p p -C .335C pD .32(1)p p -【答案】B【解析】本题为5次贝努力实验,成功三次的概率为3325(1)C p p -5.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,Y =2X -1,则Y 的概率密度为( )A .1,11,()20,,Y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 B .1,11,()0,,Y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他C .1,01,()20,,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D .1,01,()0,,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他【答案】A【解析】X 服从[0,1]上的均匀分布,Y =2X -1也服从均匀分布。

数理统计习题答案-2

数理统计习题答案-2

数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布,试写出样本的联合分布律. n X X X ,,,12 解:()的分布律为:即X P X ~,λ ()!k e P X k k λλ-==, 0,1,2,,,n k =n X X X ,,,12 的联合分布律为:()n n P X x X x X x ===,,,1122 = ()()()n n P X x P X x P X x === 1122=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n x x xe x x x n-+++!!!1212, n i n x i 0,1,2,,,1,2,, ==2. 设总体X 服从()0,1N 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解:,即()~0,1X N X 分布密度为:()2221x p x e -=π,+∞<<-∞xn X X X ,,,12 的联合分布密度为:()∏==ni i n x x x p x p112*(),,...=22222221212121n x x x eee --⋅-πππ=()}212exp{122∑=--n i i x n π x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,μσN 分布,试写出样本的联合分布密度. n X X X ,,,12 解:()2~,μσX N ,即X 分布密度为:()p x =()}2exp{2122σμπσ--x ,∞<<∞-xn X X X ,,,12 的联合分布密度为:()∏==ni i n x xx p x p 112*,,...)(=)()}21exp{121222∑-⋅⋅-=-ni i n n x μσπσ, x i n i ,1,2,, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解:频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小,可以估计X 取值的位置与集中程度,由于每个小区间的面积就是频率,所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位:kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9,试计算这个样本观测值的数字特征:(1)样本总和,(2)样本均值,(3)离均差平方和,(4)样本方差,(5)样本标准差,(6)样本修正方差,(7)样本修正标准差,(8)样本变异系数,(9)众数,(10)中位数,(11)极差,(12)75%分位数.解:设53.2,51.3,54.5,47.8,50.954321=====x x x x x()257.7151=∑=i ix,()51.54251==∑=i ix x(3) ss =()2512512xx xnx i ii i-=-∑∑===13307.84-5×51.542=25.982(4)=2s ()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6) =s s *ss n 11-=6.4955(7)=2.5486; (8)*s cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数.(10)中位数为=51.3; (11)极差为54.5-47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2. 3x2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位:cm)得到频数表如下:组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征:(1)样本总和,(2)样本均值,(3)离均差平方和,(4)样本方差,(5)样本标准差,(6)样本修正方差,(7)样本修正标准差,(8)样本变异系数,(9)众数,(10)中位数,(11)极差,(12)75%分位数.解:设组中值依次为,频数依次为,129,,,x x x 129,,,n n n +=++=912n n n n 100,()=∑=911i i in x 3950;()=+=∑=911912i i in xn n x 39.5;()()-=-==∑∑==29129123ss n x x n xnx i i ii i i 210039.5166300-⨯=10275;()==s ss 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()93742或众数是()50,210=n ;中位数为39.523742=+;()11极差为:62-22=40;()4783,0.7568,12612512分位数为+++=+++=∴n n n n n n .3.略.4. 设是一组实数,a 和是任意非零实数,n x x x ,,,12 b bx ay i i -=(i n 1,, =),x 、y 分别为、的均值, =i x i y 2xs ∑-iixn(x 2)1,=2ys 1n(y y i i-)∑2,试证明:① b x a y -=;② 222b s s x y =. 解①:∑∑==-==ni i ni i b x a ny ny 1111= ()∑=-ni i x a bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i x na nb 11= b x a -;②=2y s 1n∑-ii y y 2()=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b x a b x a n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .1.求分位数(1),(2)()820.05x ()1220.95x 。

数理统计教程课后重要答案习题

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第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章:估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα, 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

数理统计课后答案-第二章

数理统计课后答案-第二章

2.6
已知总体
ξ 服从指数分布,概率密度为
⎧λ e − λ x ϕ ( x) = ⎨ ⎩ 0 x>0 x≤0
3
其中,参数 λ > 0 , ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是
ξ 的样本, X 是样本均值, S 2 是样本方差,
S *2 是修正样本方差,求 EX , DX , E ( S 2 ) 和 E ( S *2 ) 。
因此有
n −1 n −1 2 n −1 n −1 2 2 )= σ , E (S y σ 。 Dξ = Dη = n n n n
⎡ n ⎤ E ⎢∑ ( X i + Yi − X − Y ) 2 ⎥ ⎣ i =1 ⎦
n n ⎡n ⎤ = E ⎢∑ ( X i − X ) 2 + 2∑ ( X i − X )(Yi − Y ) + ∑ (Yi − Y ) 2 ⎥ i =1 i =1 ⎣ i =1 ⎦
解 因为总体
ξ 服从参数为 λ 的指数分布,所以 Eξ =
1
λ
, Dξ =
1
λ2

由定理 2.1 可知
EX = Eξ =
1
λ
, DX =
1 1 Dξ n −1 n −1 , E ( S *2 ) = Dξ = 2 。 = 2 ,E ( S 2 ) = Dξ = 2 n n nλ nλ λ
2.7
设 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是总体
∑ (X i − X )2 =
i =1
n
S x2 。 b2
2.4 设有样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) , X = 本方差, μ 是常数,证明
1 n 1 n 2 X 是样本均值, S = ( X i − X ) 2 是样 ∑ ∑ i n i =1 n i =1

数理统计课后题答案完整版

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第一章3. 解:因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解:变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解:*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解:将子样值重新排列(由小到大) -4,,,,,0,0,,,,,,()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解:121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解:()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解:(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解:因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解:因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性,故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解:(1)因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩(2) 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩(3)因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ (4)因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解:因为 ()Xt n存在相互独立的U ,V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解:因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==(2)因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解:用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解:因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p =X所以有1p X ∧=2).其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑3. 解:因为总体X服从U(a ,b )所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222(a-b )() D (X )=12令E (X )= D (X )=S ,1S =n a+b 2()a 4. 解:(1)设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为:111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑(-1)解之得:11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑(2)母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为:11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。

数理统计第二章课后习题参考答案

数理统计第二章课后习题参考答案

第二章 参数估计2.4 设子样1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1是来自具有密度函数()1f x ββ=;,0x β<<的总体,试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β. 解: 1.30.6 1.7 2.20.3 1.1 1.26X μ+++++===.()()()()()()()22222222111 1.3 1.20.6 1.2 1.7 1.2 2.2 1.20.3 1.2 1.1 1.26ni i X X n σ=⎡⎤=-=-+-+-+-+-+-⎣⎦∑ ()222222210.10.60.510.90.10.4076σ=+++++==. ()()0112E X x f x dx xdx ββββ+∞-∞===⎰⎰;.令()E X X =,则12X β=,即2X β=.参数β的矩估计量为ˆ22 1.2 2.4X β==⨯=.2.6 设总体X 的密度函数为()f x θ;,1X ,2X ,…,n X 为其样本,求下列情况下θ的MLE.(iii )()()100x x e x f x ααθθαα--⎧>⎪=⎨⎪⎩,;,其它α已知解:当0i X >()12i n = ,,,时,似然函数为: ()()()()111111ni i i n n n x n x i i i i i i L f x x e x eαααθθαθθθαθα=----===∑⎛⎫=== ⎪⎝⎭∏∏∏;.()()11ln ln ln 1ln n ni i i i L n n x x αθθααθ===++--∑∑.由()1ln 0ni i L nx αθθθ=∂=-=∂∑,得θ的MLEˆθ,即1ˆnii nxαθ==∑.2.7 设总体X 的密度函数为()()1f x x ββ=+,01x <<,1X ,2X ,…,n X 为其子样,求参数β的MLE 及矩法估计。

今得子样观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62及0.55,求参数β的估计值。

2011年下学期数理统计Ⅱ考试试卷

2011年下学期数理统计Ⅱ考试试卷

---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷2011~2012学年 一 学期 数理统计Ⅱ 课程(09级)(时间:12年1月5日,星期四,10:00—11:40,共计:100分钟)645.105.0=z ,96.1025.0=z ,()9525.067.1=Φ,()86.391,110.0=F ,()3060.28025.0=t ,()8595.1805.0=t ,()7531.11505.0=t ,()1315.215025.0=t ,()180.282975.0=χ,()535.1782025.0=χ,()2515205.0=χ,()6.3015201.0=χ()951.9202975.0=χ,()17.34202025.0=χ一、填空题(本题16分,每小题4分)1、设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本,若n X X X ,,,21 满足 条件,则称n X X X ,,,21 为简单随机样本;2、设10021,,,X X X 为取自总体()400,80~N X 的一个样本,则{}=>-2μX P ;3、设921,,,X X X 为取自总体()2,~σμN X 的一个样本,测得5.1,100==s x ,则μ的置信水平为0.95的置信区间为 ;4、设1,,,21n X X X 取自总体()221,~σμN X ,2,,,21n Y Y Y 取自总体()222,~σμN Y ,其中21,μμ均未知,样本方差分别为2221,S S ,检验假设2221122210:,:σσσσ≠=H H 采用的是 检验法;在显著性水平α下,拒绝域为 。

二、选择题(本题16分,每小题4分)1、设n X X X ,,,21 取自总体()1,0~N X ,2,S X 分别表示样本均值和样本方差,则( )(A )()1,0~N X (B )()1,0~N X n (C )()∑=ni i n X 122~χ(D )()1~-n t SX2、在假设检验中,显著水平α是指( )(A ){}α=为假接受00|H H P (B ){}α=为假接受11|H H P (C ){}α=为真拒绝00|H H P (D ){}α=为真拒绝11|H H P3、设()2,~σμN X ,若μ和2σ未知,总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为()λλ+-x x ,,则λ的值为( ) (A )()nS n t a (B )()nS n t a 1- (C )()nS n t a 2(D )()nS n t a 12-4、设2421,,,X X X 为取自总体()4,~μN X 的样本,测得10=x ,以0.05的显著性水平进行假设检验,则以下假设中将被拒绝的0H 是( )。

《数理统计学(第2版)》习题答案及解题步骤

《数理统计学(第2版)》习题答案及解题步骤

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数理统计课后题标准答案

数理统计课后题标准答案
2 2 1 2 3 4 5 6
Z1 Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 3 Z22 N (0,1), 3
2
2 (1)
2
且与 相互独立。由 分布可加性,
1 (2), c 3
2
Z12 Z 2 2 1 2 1 2 ( Z1 Z 2 ) Y 3 3 3 3

e x , x 0
0, x 0

x
0
1

Ex

xf ( x)dx xe
0
dx

x
用样本 x 估计Ex,则有 x
1

1 ^ ,
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求 p 的估计量 , 再求 p 的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样,是子样平均数,试求E X 和 X 1 1 1 D 。 x p( ), E x E ( xi ) Exi n n i n i n 解:
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi 2 Dx n i n i
i i i i
2 1 1 c 而sx 2 ( xi x) 2 (a cyi a c y ) 2 ( yi y ) 2 c 2 s y 2 n i n i n i
2. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物,亩产量分别为 92 , 94 , 103 , 105 , 106(单位:斤),求子样平均数和子样方 差。 解:作变换

数理统计第二章课后习题答案

数理统计第二章课后习题答案

第二章 参数估计2.2 对容量为n 的子样,对密度函数其22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩ 中参数α的矩法估计。

解:1202()()a E x x x dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n =+++ 为n 个样本的观察值。

2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ 为其样本,求下列情况下θ∧的MLE 。

(ii)1,01(;)0,x x f x αθθ-⎧=⎨⎩ 其它 0θ (v )1,0(;)0,x e x f x θθθ-⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它 0θ 解:(ii)1111()n n n i i i i L x x θθθθθ--====∏∏1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑11111ln ()ln 01(ln )(ln )n i i n n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧--===+==-=-∑∑∑ (v)111()n i i x n L e θθθ=-∑= 11ln ()ln()nii L n x θθθ==--∑211ln ()101,n i i n i i d L n X d x x X n θθθθθ=∧==-+===∑∑2.10 设总体123(,1),,,X N X X X μ 为一样本,试证明下述三个估计变量11232123312313151021153412111362X X X X X X X X X μμμ=++=++=++ 都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差,问哪一个最小? 证:1123131()()()()5102E E X E X E X μ=++131()5102μμ=++= 同理:2123115()()()()3412E E X E X E X μ=++ 115()3412μμ=++= 3123111()()()()362E E X E X E X μ=++ 111()362μμ=++= ∴12,,μμμ是μ的无偏估计量。

数理统计课后习题答案

数理统计课后习题答案

习题一、基本概念1.解: 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1)51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2)λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3)5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他 4)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ 2.解: 由题意得:因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩,所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3.解:它近似服从均值为172,方差为5.64的正态分布,即(172,5.64)N 4.解:()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5.解:()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭)0.9564(10.8729)0.8293=--=6.解:()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立,0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解:101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8.解:由已知条件得:(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立,知i Y 也互相独立,所以1(,),1().niX i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ10.解: 1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解:ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解:1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u du ue du +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,16u n n⎛⎛⎫⎛=Φ-Φ-=Φ-≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解:()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14.解:1)12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2)()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解: 设1(1,)p F n α-=,即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤=-()()12()2()12P T P T pP T ppP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16.解:()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF == 17.证明: 1)2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=-又2)2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3)2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N nnσσ---=-=∴- 18. 解:()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x a f x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解:()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P XP X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解:1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑,从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑,所以~()miX t n ξ=2)因为22211~()mii Xm χσ=∑,22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)mii XN m σ=∑,21~(0,)m nii m XN n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑,2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)mm ni i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解:由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解: 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解: 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解: 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解: 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P c T P c S X P c S X P c X S P μμμ27.解:22cov(,)(,))(1()()1cov(,)()1(,)1i j j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X D X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=---=-=--=---=-∴--=--28.解:()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1.解:矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++= ()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑,12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2.解: 1)3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解,依定义:21ˆmax ii nX θ≤≤= 2)矩法:211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计:22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3. 1)解:矩法估计:111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计:111,ln ln niii nnx x ni i i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解:~()X P λ矩估计:X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计:1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3)解:矩估计:()2,212b a a bEX DX -+==联立方程:()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计:依照定义,11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解: 矩估计:00ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰,不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂,无解;故,依照定义,(1)ˆX θ= 5)解: 矩法:()/0()(1)(2)x txEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰ X αβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()i M X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ=-===极大似然估计:()()/1111exp ,ln ln i nx ni n L enx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解,依定义有:(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解: 矩法:22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆ2Mθ=极大似然估计:22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏222ln ln43ln ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解:矩法:2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计:22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解:11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p;5.解:1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解:因为其寿命服从正态分布,所以极大似然估计为:2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到:2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1.离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.4,1,42,7.0,21,2.0,1,0)()(x x x x x X P x F 求X 的分布律.解:)0()()(000--==x F x F x X P ,∴2.002.0)01()1()1(=-=----=-=F F X P ,5.02.07.0)02()2()2(=-=--==F F X P ,3.07.01)04()4()4(=-=--==F F X P ,∴X 的分布律为2.设k a k X P 3()(==, ,2,1=k ,问a 取何值时才能成为随机变量X 的分布律.解:由规范性,a a a n n k k 2321]32(1[32lim )32(11=--=⋅=+∞→∞+=∑,∴21=a ,此时,k k X P 32(21)(⋅==, ,2,1=k .3.设离散型随机变量X 的分布律为求:(1)X 的分布函数;(2)21(>X P ;(3))31(≤≤-X P .解:(1)1-<x 时,0)()(=≤=x X P x F ,11<≤-x 时,2.0)1()()(=-==≤=X P x X P x F ,21<≤x 时,7.0)1()1()()(==+-==≤=X P X P x X P x F ,2≥x 时,1)2()1()1()()(==+=+-==≤=X P X P X P x X P x F ,∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=.2,1,21,7.0,11,2.0,1,0)(x x x x x F .(2)方法1:8.0)2()1()21(==+==>X P X P X P .方法2:8.02.01)21(121(1)21(=-=-=≤-=>F X P X P .(3)方法1:1)2()1()1()31(==+=+-==≤≤-X P X P X P X P .方法2:101)01()3()31(=-=---=≤≤-F F X P .4.一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药.若每组成功的概率都是0.4,而当第一组成功时,每年的销售额可达40000元;当第二组成功时,每年的销售额可达60000元,若失败则分文全无.以X 记这两种新药的年销售额,求X 的分布律.解:设=i A {第i 组取得成功},2,1=i ,由题可知,1A ,2A 相互独立,且4.0)()(21==A P A P .两组技术人员试制不同类型的新药,共有四种可能的情况:21A A ,21A A ,21A A ,21A A ,相对应的X 的值为100000、40000、60000、0,则16.0)()()()100000(2121====A P A P A A P X P ,24.0)()()()40000(2121====A P A P A A P X P ,24.0)()()()60000(2121====A P A P A A P X P ,36.0)()()()0(2121====A P A P A A P X P ,∴X 的分布律为5.对某目标进行独立射击,每次射中的概率为p ,直到射中为止,求:(1)射击次数X 的分布律;(2)脱靶次数Y 的分布律.解:(1)由题设,X 所有可能的取值为1,2,…,k ,…,设=k A {射击时在第k 次命中目标},则k k A A A A k X 121}{-== ,于是1)1()(--==k p p k X P ,所以X 的分布律为1)1()(--==k p p k X P , ,2,1=k .(2)Y 的所有可能取值为0,1,2,…,k ,…,于是Y 的分布律为1)1()(--==k p p k Y P , ,2,1,0=k .6.抛掷一枚不均匀的硬币,正面出现的概率为p ,10<<p ,以X 表示直至两个面都出现时的试验次数,求X 的分布律.解:X 所有可能的取值为2,3,…,设=A {k 次试验中出现1-k 次正面,1次反面},=B {k 次试验中出现1-k 次反面,1次正面},由题知,B A k X ==}{,=AB ∅,则)1()(1p p A P k -=-,p p B P k 1)1()(--=,p p p p B P A P B A P k X P k k 11)1()1()()()()(---+-=+=== ,于是,X 的分布律为p p p p k X P k k 11)1()1()(---+-==, ,3,2=k .7.随机变量X 服从泊松分布,且)2()1(===X P X P ,求)4(=X P 及)1(>X P .解:∵)2()1(===X P X P ,X 100000060000400000P0.160.240.240.36∴2e e2λλλλ--=,∴2=λ或0=λ(舍去),∴224e 32e !42)4(--===X P .)1()0(1)1(1)1(=-=-=≤-=>X P X P X P X P 222e 31e 2e 1----=--=.8.设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-.0,0,0,e )1(1)(x x x x F x 求:(1)X 的概率密度;(2))2(≤X P .解:(1)⎩⎨⎧<≥='=-.0,0,0,e )()(x x x x F x f x ;(2)2e 31)2()2(--==≤F X P .9.设随机变量X 的概率密度为xx Ax f e e )(+=-,求:(1)常数A ;(2))3ln 210(<<X P ;(3)分布函数)(x F .解:(1)⎰⎰+∞∞--+∞∞-+==xAx x f xx d e e d )(1A A x A x x x 2|e arctan d e 21e 2π==+=∞+∞-∞+∞-⎰,∴π2=A .(2)61|e arctan 2d e e 12)3ln 210(3ln 213ln 210==+=<<⎰-x x x x X P ππ.(3)xxxx xx t t f x F e arctan 2d e e 12d )()(ππ=+==⎰⎰∞--∞-.10.设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤=.a x a x a a x B A a x x F ,1,,arctan ,,0)(其中0>a ,试求:(1)常数A ,B ;(2)概率密度)(x f .解:(1)∵2arcsin (lim )0()(0)(π⋅-=+=+-=-=+-→B A a x B A a F a F a x ,1)(lim )0()(2==+==⋅++→x F a F a F B A a x π,∴21=A ,π1=B .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<-='=.a x a x x a x F x f ,0,,1)()(22π.11.设随机变量X 的概率密度曲线如图所示,其中0>a .(1)写出密度函数的表达式,求出h ;(2)求分布函数)(x F ;(3)求)2(a X aP ≤<.解:(1)由题设知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,0,)(a x x ah h x f ∵2d )(d )(10ah x x a h h x x f a=-==⎰⎰∞+∞-,∴ah 2=,从而⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,0,22)(2a x x a a x f .y hO a x(2)0<x 时,0d 0d )()(===⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F ,a x <≤0时,220202d )22(d 0d )()(a x a x t t a a t t t f x F xx-=-+==⎰⎰⎰∞-∞-,a x ≥时,1)(=x F ,∴X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.a x a x axa x x x F ,1,0,2,0,0)(22.(3)41411(1)2()()2(=--=-=≤<a F a F a X a P .12.设随机变量X 在]6,2[上服从均匀分布,现对X 进行三次独立观察,试求至少有两次观测值大于3的概率.解:由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他.,0,62,41)(x x f ,记3}{>=X A ,则43d 41)3()(63==>=⎰x X P A P ,设Y 为对X 进行三次独立观测事件}3{>X 出现的次数,则Y ~43,3(B ,所求概率为)3()2()2(=+==≥Y P Y P Y P )(()(333223A P C A P A P C +=3227)43(41)43(333223=+⋅=C C .13.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,3)(2x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数,求:(1)}21{≤X 至少出现一次的概率;(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率.解:由题意知Y ~),3(p B ,其中81d 3)21(2102==≤=⎰x x X P p ,(1)}21{≤X 至少出现一次的概率为512169)811(1)1(1)0(1)1(33=--=--==-=≥p Y P Y P .(2)}21{≤X 恰好出现两次的概率为51221811(81()1()2(223223=-=-==C p p C Y P .14.在区间],0[a 上任意投掷一个质点,以X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在],0[a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例.试求X 的分布函数.解:0<x 时,事件}{x X ≤表示X 落在区间],0[a 之外,是不可能事件,此时0)()(=≤=x X P x F ;a x ≤≤0时,事件}{x X ≤发生的概率等于X 落在区间],0[x 内的概率,它与],0[x 的长度x 成正比,即x k x X P x F =≤=)()(,a x =时,1)(=≤x X P ,所以a k 1=,则此时ax x F =)(;a x ≥时,事件}{x X ≤是必然事件,有1)(=x F ,综上,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=,a x a x a x x x F ,1,0,,0,0)(.15.设X ~),2(2σN ,又3.0)42(=<<X P ,求)0(>X P .解:)24222()42(σσσ-<-<-=<<X P X P 3.0)0(2(=Φ-Φ=σ,∴8.03.0)0(2(=+Φ=Φσ,∴8.02(2(1)0(1)0(=Φ=-Φ-=≤-=>σσX P X P .16.设X ~)4,10(N ,求a ,使得9.0)10(=<-a X P .解:)10()10(a X a P a X P <-<-=<-)22102(a X a P <-<-=)2()2(a a -Φ-Φ=9.01)2(2=-Φ=a,∴95.02(=Φa,查标准正态分布表知645.12=a,∴290.3=a .17.设X ~)9,60(N ,求分点1x ,2x ,使得X 分别落在),(1x -∞,),(21x x ,),(2∞x 的概率之比为3:4:5.解:由题知5:4:3)(:)(:)(2211=><<<x X P x X x P x X P ,又∵1)()()(2211=>+<<+<x X P x X x P x X P ,∴25.041)(1==<x X P ,33.031)(21==<<x X x P ,125)(2=>x X P ,则5833.0127)(1)(22==>-=≤x X P x X P .∴25.0)360()360360()(111=-Φ=-<-=<x x X P x X P ,查标准正态分布表知03601<-x ,∴03601>--x ,则75.0)360(1)360(11=-Φ-=--Φx x 查标准正态分布表,有7486.0)67.0(=Φ,7517.0)68.0(=Φ,75.02)68.0()67.0(=Φ+Φ,∴675.0268.067.03601=+=--x ,即975.571=x .∵5833.0)360(360360()(222=-Φ=-≤-=≤x x X P x X P ,查标准正态分布表知5833.0)21.0(=Φ,∴21.03602=-x ,即63.602=x .18.某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布)100,65(N ,如果85分以上为“优秀”,问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几?解:设X 为考生的数学成绩,则X ~)100,65(N ,于是)85(1)85(≤-=>X P X P )1065851065(1-≤--=X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=,即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的2.28%.19.设随机变量X 的分布律为求2X Y =的分布律.解:Y 所有可能的取值为0,1,4,9,则51)0()0(====X P Y P ,307)1()1()1(==+-===X P X P Y P ,51)2()4(=-===X P Y P ,3011)3()9(====X P Y P ,∴Y 的分布律为20.设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布,求:(1)X Y e =的概率密度;(2)X Y ln 2-=的概率密度.解:由题设可知⎩⎨⎧<<=其他.,0,10,1)(x x f ,(1)当0≤y 时,=≤}{y Y ∅,X 2-1-013P5161511513011Y 0149P51307513011∴0)()(=≤=y Y P y F Y ,0)(=y f Y ;e 0<<y 时,)e ()()(y P y Y P y F X Y ≤=≤=)(ln )ln (y F y X P X =≤=,此时,yy f y y y F y F y f X XY X 1)(ln 1)(ln )(ln )()(=='⋅'='=;e ≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y ,0)(=y f Y ;∴⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他.,0,e 0,1)(y y y f Y .(2)当0≤y 时,=≤}{y Y ∅,∴0)()(=≤=y Y P y F Y ,0)(=y f Y ;当0>y 时,)e ()ln 2()()(2y Y X P y X P y Y P y F -≥=≤-=≤=)e (1)e (122y X y F X P ---=<-=,此时,222e 21)e ()e ()()(yy yX Y X F y F y f ---='⋅'-='=;∴⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2y y y f yY .21.设X ~)1,0(N ,求:(1)X Y e =的概率密度;(2)122+=X Y 的概率密度;(3)X Y =的概率密度.解:由题知22e 21)(x X xf -=π,+∞<<∞-x ,(1)0≤y 时,=≤=}e {y Y X ∅,∴0)()(=≤=y Y P y F Y ,0)(=y f Y ;0>y 时,)(ln )ln ()e ()()(y F y X P y P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=,此时,2)(ln 2e 21)(ln 1)(ln )(ln )()(y X XY X y f y y y F y F y f -=='⋅'='=π;综上,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 21)(2)(ln 2y y y f y Y π.(2)1<y 时,=≤+=}12{2y X Y ∅,∴0)()(=≤=y Y P y F Y ;1≥y 时,21()12()()(22-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y )2121(-≤≤--=y X y P 当1=y 时,0)(=y F Y ,故1≤y 时,0)(=y F Y ,0)(=y f Y ;当1>y 时⎰⎰------==210221212d e22d e21)(22y x y y x Y x x y F ππ,此时,41e)1(21)()(---='=y Y Y y y F y f π,综上,⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--.1,0,1,e )1(21)(41y y y y f y Y π.(3)0<y 时,=≤=}{y X Y ∅,∴0)()()(=≤=≤=y X P y Y P y F Y ,0≥y 时,)()()()(y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,0=y 时,0)(=y F Y ,∴0≤y 时,有0)(=y F Y ,0)(=y f Y ;0>y 时,22e 22)()()()()(y X X Y Y Y yf y f y F y F y f -=-+=-'+'=π,综上,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 22)(22y y y f yY π.22.(1)设随机变量X 的概率密度为)(x f ,+∞<<∞-x ,求3X Y =的概率密度.(2)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他.,00,e )(x x f x 求2X Y =的概率密度.解:(1)0=y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ,0)(=y f Y ;0≠y 时,)()()()()(333y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤=,3233331())(()()(-⋅=''='=y y f y y F y F y f XY Y ;∴⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0),(31)(332y y y f y y f Y .(2)由于02≥=X Y ,故当0<y 时,}{y Y ≤是不可能事件,有0)()(=≤=y Y P y F Y ;当0≥y 时,有)()(()()()(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=;因为当0=y 时,0)0()0()(=--=X X Y F F y F ,所以当0≤y 时,0)(=y F Y .将)(y F Y 关于y 求导数,即得Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=.0,0,0)],()([21)(y y y f y f y y f X X Y ,⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-.0,0,0),e e (21y y y y y.23.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他.,0,0,2)(2ππx xx f 求X Y sin =的概率密度.解:由于X 在),0(π内取值,所以X Y sin =的可能取值区间为)1,0(,在Y 的可能取值区间之外,0)(=y f Y ;当10<<y 时,使}{y Y ≤的x 取值范围是),arcsin []arcsin ,0(ππy y - ,于是}arcsin {}arcsin 0{}{ππ<≤-≤<=≤X y y X y Y .故)arcsin ()arcsin 0()()(ππ<≤-+≤<=≤=X y P y X P y Y P y F Y ⎰⎰-+=ππyX y X x x f x x f arcsin arcsin 0d )(d )(⎰⎰-+=ππππyy x xx xarcsin 2arcsin 02d 2d 2,上式两边对y 求导,得22222121)arcsin (21arcsin 2)(yyy yyy f Y -=--+-=ππππ;综上,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,10,12)(2y y y f Y π.。

中南大学应用数理统计考试试卷

中南大学应用数理统计考试试卷

得 分 评卷人
七、 (10 分)从总体 ~ N (20,16) 中分别抽取了容量为 8、16 的样本,试求两样 本的样本均值之差的绝对值大于 1 的概率。
中南大学考试试卷参考答案
2010~2011 学年 1 学期
一、填空题(本题 20 分,每小题 4 分) 1. 2 X 3.0.3898
应用数理统计
为 。


2.设参数 的 1 的置信区间为 W,则置信区间 W 有可能包含参数 ,也有可能不 包含参数 ,但不包含参数 的概率为_____________________。 3.设总体 X ~ N (8,9) ,分别从 X 中抽取容量为 10 与 20 的两个独立样本,则两个样 本的均值之差的绝对值大于 1 的概率为 ______0.3898_______________。 4.设总体 X 的分布律为 P{ X 1} , P{ X 2} 2 (1 ), P{ X 3} (1 ) ,
Yi 2
49 81 81 121 25 16 64 100 81 100 64 81 863
假设 Y 与 X 之间符合一元线回归模型,(1)试用上表数据建立线性回归方程; (2)检验回归效果是否
得 分 评卷人
四(15 分) 、根据验收标准,一批产品不合格率超过 1%时则拒收,不超过 1%时则接受。 现随机抽取 200 件进行检验,结果发现 3 件不合格,问这一批产品是否可接受 ( 0.05) ?
Xi
食品支出 7 9 9 11 5 4 8 10 9 10 8 9 99
Yi
X i2
400 900 1089 1600 225 196 676 1444 1225 1764 484 961 10964

数理统计学课后答案

数理统计学课后答案

数理统计学课后答案数理统计学课后答案【篇一:数理统计习题】为总体(或母体),而把组成总体的每个元素称为个体。

1. 2 设随机样本(x1,x2,?,xn)来自总体为正态分布(x1,x2,?,xn)的联合分布函数为f(x1,x2,?,xn)?(2??)*2?n2n(?,?2),则样本exp{?12?2(xi?1n2i)}。

1.3 若对一批n件产品的合格率进行检查,从中有放回地随机抽取n件。

分别以0,1表示某件产品为次品和合格品,?(0??的0—1分布,即1)表示产品的合格率,则总体x服从参数为?p(x?x)??x(1??)1?x,x?0,1。

所以样本(x1,x2,?,xn)的联合分布律数为p(x1?x1,x2?x2,?,xn?xn)?i?1n(1??)1?xi,xi?0,1.21.4 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?数,则(x1?x2?x3)??,),其中?,?2是未知参11(x1?x2)??和(x1?x2?x3)都不是统计量,2?11222因为它们都含有未知参数,而(x1?x2?x3)(x1?x2?x3)和x1?x2?x3 32都是统计量。

1.5 设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n(?,?知参数,则213),其中?已知,?2是未12(x12?x22111(x1?x2?x3)??,(x1?x2)??(x1?x2?x3)和32312x3)都是统计量,而(x1?x2?x3)不都是统计量。

1.6 设x1,x2,?,xn是来自总体x的一个样本,则称统计量121ns?(xi?)2 ?nx??xi,ni?1ni?1n分别为样本的均值和样本方差;统计量1nk1nak??xi,bk??(xi?x)kni?1ni?1分别为样本k 阶原点矩和k 阶中心矩。

显然,a1?x, b2?sn。

1.7 设(x1,x2,?,xn)是来自正态总体n(?,?任意一个确定线性函数2)的一个样本,统计量是样本的u?a1x1?a2x2anxn,则统计量u?a1x1?a2x2anxn也是服从正态分布的随机变量,其均值和方差分别为e(u)??(a1?a2an)??ai?1ni,nd(u)??(a1?a2an)??特别地,取a1?a2an?22222ai?12i。

数理统计课后题标准答案

数理统计课后题标准答案

数理统计习题答案第一章1.解: ()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解:子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差4.32S == 3. 解:因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立()2211nxi i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211nyi i s y yn ==-∑ 所以222x ys c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解:变换 2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+===5. 解:变换 ()10080i i y x =-13111113n i i i i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y y n ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯ 6. 解:变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85 ()2211lyi i i s m y y n ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s ==*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11l i i i s m x x n ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦= 8解:将子样值重新排列(由小到大)-4,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,3.2,3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解: 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n xn n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n iji j x xn n x xn x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s n n n n +-++++-=+++-+=+++解:()20040.1460.3670.75790.9910110x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩15415816216617017417812. 解: ()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i n ni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解:(),i x U a b 2i a bEx += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1ix U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni i i i E X E x Ex n n DX Dx Dx n n n==========∑∑∑∑14.解:因为 ()2,iX N μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ- 1,2,,i n =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nni ii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解:因为 ()0,1i X N 1,2,,i n =⋅⋅⋅ ()1230,3X X X N ++0E=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性,故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解:(1)因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Y y F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x d xσχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200n y n n Y y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩(2) 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny n f y F y f χσσ⎛⎫==⎪⎝⎭ 故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩(3)因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311ni Y n χσ=⎛=⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩(4)因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰故 ()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解:因为 ()X t n存在相互独立的U ,V()0,1UN ()2Vn χ使X =()221Uχ则 221U X V n=由定义可知()21,F n χ18解:因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==(2)因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解:用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U = 代入上式计算可得 ()20.01909031.26121.26χ=+=20.解:因为 ()2X n χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P≤=≤22lim tnP dt-→∞-∞≤==Φ故{}P X c≤≈Φ第二章1.00,0()0,0()()1()111xxx xxe xf xxE x f x xdx xe dxxe e d xexλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1xλ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k kx xE x k p p p k pppp∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p=X所以有1pX∧=2).其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)n i i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np XX∧===∑3.解:因为总体X服从U(a ,b )所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222(a-b )() D (X )=12令E (X )= D (X )=S ,1S =n a+b 2()a4. 解:(1)设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为:111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑(-1)解之得:11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑(2)母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为:5.。

第2章数理统计基础习题解答

第2章数理统计基础习题解答

).
1 n λ X i − 是一个统计量. ∑ n i =1 2
B.
1 n ∑ X i − E ( X ) 是一个统计量. n i =1 1 n ∑ X i − D( X ) 是一个统计量. n i =1
C. X 1 + X 2 是一个统计量.
D.
1
4. 是(
设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自总体 X 的样本, X 为样本平均值,则下述结论不成立的
2
8.
设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自正态总体 X ~ N ( µ , σ ) 的简单随机样本, X 为样本均
2
值,记 S12 =
1 n 1 n 1 n 2 2 2 2 , , X − X S = X − X S = ( ) ( ) ∑ i ∑ i ∑ ( X i − µ )2 , 2 3 n − 1 i =1 n i =1 n − 1 i =1
2 2
28. 设 X 1 , ⋅⋅⋅, X n 为总体 X ~ B (1, p ) 的一个样本,求 E X 和 D X ,并求样本方差
( )
( )
S2 =
1 n ( X i − X ) 2 的数学期望. ∑ n − 1 i =1
解:由性质可知, E X = E ( X ) = p
( )
D ( X )= D ( X ) / n = p (1 − p ) / n
B. 每个 X i
C. ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是 n 维随机变量.
D. ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 各分量相互独立且同分布.
2. 设 ( x1 , x2 , L , xn ) 是来自总体 X 的一个样本观测值,则( A

数理统计课后答案

数理统计课后答案

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知,则在求均值μ的区间估计时,使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。

0H :05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2σ的矩估计值为 。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N , 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ,已知)4(~),20(~222221χχχχ,则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ,1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ,则21X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ,则____=λ 。

用),1(~2n F X得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X为子样均值,而01.0)(=>λX P , 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ,令∑∑==-=161110143i i i iX XY ,则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X 与2S 分别是子样均值和子样方差,令2*210S X Y =,若已知01.0)(=≥λY P ,则____=λ 。

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中南大学考试试卷答案
2012——2013学年第一学期 (2013.1.) 时间:100分钟
《数理统计Ⅱ》 课程 24学时 1.5 学分 考试形式:闭卷
专业年级:2011级(第三学期) 总分:100分
一、填空题(本题16分,每题4分)
1、)10(2
χ; 2、n 92
; 3、∑==n i i X n a 1
23ˆ; 4、)667.36,204.5(。

二、选择题(本题16分,每题4分)
1、D;
2、B;
3、C;
4、A 。

三、(本题12分) 解:(1)∑=--==
=∏n
i i x n n
n
i i n e
x f x x x f 1
2)(812
121)
2(21)(),,,(μπ ,),,2,1,(n i x i =+∞<<-∞;
(2)由于μ未知,μ-∴3X 不是统计量,其余两个都是;
(3))4
,(~),4,(~n
N X N X μμ∴ ,故有
{}
95.01)05.0(221.0221.01.0≥-Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<-<-=≤-n n n X n P X P μμ, 即有96.105.0,975.0)05.0(≥∴≥Φn n ,故64.1536≥n 。

四、(本题14分)
解:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,
00,1)(θ
θx x f ,似然函数为n i x x L i n n
i i ,,2,1,011),(1 =≤≤==∏=θθθθ,,
θln ln n L -=,显然
0ln =-=θθn d L d 无解, 从,
n i x L θ
θ1
),(= 可以看出只有当 },,,max{21n x x x =θ时,似然函数取得最大值,
即θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21n
X X X =θ。

(2)⎪⎩
⎪⎨⎧≤<⎪⎭
⎫ ⎝⎛==≤=其他,00,)]([)},,,(max{)(21θ
θx x x F x X X X P x F n
n n ,
于是,⎪⎩⎪⎨⎧≤<='=-其他,00,])([)(1
θ
θx x n x F x f n n ,
因此,θθθ
θ=+===-⎰1)()(10n cn dx x n c X cE cX E n ,得n n c 1
+=。

五、(本题10分)
解:),92
,(~μN X 标准化)1,0(~3
2N X μ-,由{}αμ-=+<<-111X X P ,
得:{}αμμμ-==-Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<-<-=+<<-1966.01)121.2(223322311X P X P , 故所求置信水平为%6.96。

六、(本题12分)
解:(1)由题意,知)4,(~2μN X ,则μ的置信区间为),(2
2
n
z X n
z X σ
σ
αα⋅
+⋅
-,
对给定的05.0=α,96.1025.0=z ,依题意,求使522
≤⋅
=n
z L σ
α的最小n , 即10,58
96.1≥∴≤⨯
n n
,即至少需要抽取10个样品。

(2),2,2,
29.3645.1645.1,05.0===+=+==δσβαβαz z ,
29.3)(=+≥
∴δ
σ
βαz z n ,故样本容量至少为11。

七、(本题14分)
解:(1)假设检验10600:1060010>≤μμH H ,:; 采用T 检验法; 05.0=α,8331.1)9(05.0=t ,拒绝域为8331.1>t ; 经计算:8331.1004.210
6992
1060010653>=-=
t ,
所以拒绝0H ,即可以认为新工艺生产的缆绳抗拉强度有显著性提高。

(2)假设检验22122082:82≠=σσH H ,:;采用2χ检验法;
05.0=α,700.2)9(2975.0=χ, 023.19)9(2
025.0=χ,
拒绝域为:023.192>χ,或700.22<χ; 经计算:36.982
6992
92
2=⨯=
χ,由于023.1936.9700.2<<, 因此接受0H ,即可以认为新工艺生产的缆绳抗拉强度其方差没有显著变化。

八、(本题6分)
证明:1Y 与2Y 相互独立,μ=)(1Y E ,μ=)(2Y E ,6
)(2
1σ=
Y D ,3
)(2
2σ=
Y D ,
)2
,0(~2
21σN Y Y -∴,记29731Y X X i i ==∑=,则∑∑==-=-=9722
2972)(21)(21i i i i X X Y X S ,
而2
S 与X 相互独立,且
)2(~222
2
χσ
S ,221,,S Y Y 相互独立,
故)2(~222)()
(22
2
2121t S Y Y S
Y Y Z σσ-=-=。

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