12.4分式方程
教学课件-12.4分式方程
……
x 1
解得：
x 3
检验：当x=1时，x-1=0.
∴ x=1是原方程的增根.
注意：验根的
格式步骤.
∴原方程无解.
解分式方程：
2 2x 3 x 2 2x
解：方程两边同乘x+2，得 2-(2-x)=3(x+2).
解这个整式方程，得 解得 x=-3. x=-3.
检验：当x=-3时，x+2≠0. 经检验，x=-3是原方程的根. ∴ x=-3是原方程的根.
回顾：解整式方程：
x 1 x 3 1 2 3
类比：解分式方程： x 1 x 3 1 x 1 1 x 解：方程两边同乘 x 1 得 ， x 1 x 3 x -1
解这个整式方程，得
3( x 1) 2x 3 6
解：方程两边同乘6，得
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
增根满足的两个条件：
1.去分母后整式方程的根；2.使最简公分母为0.
解分式方程的基本思想：
转化:即化分式方程为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
一. 化 二. 解 三. 验
一.必做题：教科书P20：练习、习题；
二.选做题：
k 1 x 3 1. k为何值时，方程 x2 2 x 产生增根？
回顾：解整式方程：
x 1 x 3 1 2 3
类比：解分式方程： x 1 x 3 1 x 1 1 x 解：方程两边同乘 x 1 得 ， x 1 x 3 x -1
解这个整式方程，得
3( x 1) 2x 3 6
解：方程两边同乘6，得
2.若方程 为正数， 求m的取值范围.
3 m 2 x 3 x 3
2022年八年级数学上册第十二章分式和分式方程12.4分式方程教案新版冀教版
12.4分式方程教学目标【知识与能力】1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.【过程与方法】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.【情感态度价值观】通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.教学重难点【教学重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【教学难点】理解解分式方程时可能无解的原因.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:21x +1x+3+x -2x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.二、新知构建：探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =6030-v 与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-29x +2x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法学生自主探索,并尝试选分式方程求解【课件6】解方程1+x 5+x =12.解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:2(x +1)=5+x ,2x +2=5+x ,x =3.检验:把x =3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.探究二:分式方程的增根【课件8】 解分式方程x+1x -1=x -31-x +1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x +1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x =1.师:x =1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:2x+2-2-x2+x =3.解:方程两边同乘x +2,得2-(2-x )=3(x +2),解这个整式方程,得x =-3,经检验,x =-3是原分式方程的根.[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.三、课堂小结：解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.。
12.4 分式方程+12.5 分式方程的应用(课件)2024-2025学年度 冀教版数学八年级上册
感悟新知
知3－讲
特别解读 对增根的理解： (1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解； (2)若分式方程有增根，则它使最简公分母的值
为0.
感悟新知
知3－练
例3
[母题
教材
P19
观察与思考]
解方程：
x +1 x－1
+1
4 －
x2=1.
解：方程两边同乘(x － 1)(x ＋ 1)，
得( x ＋ 1) 2 － 4=( x － 1)(x ＋ 1) .
方程两边同乘 x( x＋2)(x－2)，
得 4(x－2)+7x=6 ( x＋2) ，解得 x=4.
检验：当 x=4 时， x ( x＋2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=4.
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·淮安 ]方程2xx－＋11=1 的解是__x_＝__－__2_ .
感悟新知
感悟新知
知1－练
1-1. [ 中考·台州 ]3 月12 日植树节期间，某校环保小卫 士组织植树活动．第一组植树12 棵；第二组比第 一组多 6 人，植树 36 棵；结果两组平均每人植树 的棵数相等，则第一组有 __3___人 .
课堂小结
分式方程的 应用
分式方程 的应用
一般步骤 常见类型
审、设、列、解、验、答
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏
乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括 号括起来 . 2. 解分式方程一定要检验，对于使最简公分母 为0的解必须舍去.
感悟新知
3. 检验方程解的方法
冀教版八年级数学上册课件ppt《12.4分式方程》
分式方程若有增根，则公分母必为零，即x=2，
把x=2代入整式方程3m=14x-7有：3m=14×2-7，解得m=7，
所以当m=7时，去分母解方程 34xx
1 6
1
5x 2
m x
会产生增根．
河北教育出版社八年级 | 上册
判断下列各式哪些是分式方程．
（1） x y 1 ； （4） 1 ；
x
（2） 1 1 ； （5） 2x 1 ；
1 2x 5 x
（3） x 2 2x 1 ； （6） 5 3 ．
12 x2 x3
根据定义可得：（1）（3）是整式方程，
（4）是分式，
x 1 1 x
解：方程两边同乘x-1，得 x+1=-(x-3)+(x-1)， 解这个整式方程，得x=1．
你认为x=1是方程
x 1 x 3 1 x 1 1 x
的解吗？为什么？
因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意
义，所以x=1 不是这个分式方程的解（根）．原分式方程无解．
方程
20 x
24 x 1
，
38 9x
2
2 x
1，
38 2 1 x
9
2 x
，
与以前所学的整式方程有何不同？这些方程有哪些共同特点？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 理解分式方程要明确两点： ①是方程； ②分母中含有未知数（也可以看作方程中含有分式）.
分式方程的解：使分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方 程的解（也叫做分式方程的根）．
（2）（5）（6）是分式方程．
河北教育出版社八年级 | 上册
12.4 分式方程(课件)冀教版数学八年级上册
12.4 分式方程
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易 ■分式加减运算符号出错
错
−
易
例 解分式方程
=8 时，去分母后得到的
−
−
混
分 整式方程是 （
）
析
A. 2（x-8）+5x=16（x-7）
B. 2（x-8）+5x=8
C. 2（x-8）-5x=16（x-7）
D. 2（x-8）-5x=8
12.4 分式方程
12.4 分式方程
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
12.4 分式方程
考
点
清
单
解
读
■考点一
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分式方程的概念
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
特征
①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数
12.4 分式方程
返回目录
归纳总结
考
点
分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数
清
单 （不是一般的字母系数）.
解
读
12.4 分式方程
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例1 在下列各式中，关于 x 的分式方程是 （
清
单
解 ）
读
+
A. 2x-3y=0
B.
-3=
C.
+
−
+3
D.
−
=
12.4 分式方程
考
点
清
单
解
读
［答案］ D
返回目录
12.4 分式方程
考
冀教版数学八上12.4《分式方程》word教学设计
（1）从实际问题出发，引导学生认识分式方程，并总结分式方程的定义。
（2）通过具体例题，讲解分式方程的解法，强调去分母、去括号、移项、合并同类项等基本步骤。
（3）针对难点，设计具有梯度的问题，帮助学生逐步突破。
3.课堂练习：
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，鼓励学生分享解题思路，提高课堂互动性。
（一）教学重难点
1.重点：分式方程的定义、解法及其在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）分母为零的情况，如何判断分式方程的解是否存在。
（2）将实际问题抽象为分式方程，建立数学模型。
（3）分式方程求解过程中，去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的熟练运用。
（二）教学设想
1.引入环节：
通过生活中的实际例子，如购物打折、物品分配等，引导学生发现分式方程的实际意义，激发学生的学习兴趣。
8.教学策略：
（1）采用启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维能力。
（2）关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能得到提高。
（3）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.从生活中的实际问题出发，如“小华和他的朋友去购物，遇到了打折活动。原价为200元的商品，打8折后，小华和朋友各买了一样，他们一共花了多少钱？”引导学生思考如何用数学方法解决这类问题。
1.学生对分式方程的认知程度，了解他们在哪些方面可能存在困难，以便进行针对性教学。
2.学生在小组合作、讨论交流中的参与度，关注学生的合作意识和团队精神。
3.学生在解决实际问题生的学习兴趣和动机，激发学生的学习积极性，提高课堂教学效果。
冀教版八年级上册12.4分式方程课件(共18张ppt)
自主学习1：分式方程的概念
分式方程及分式方程的解
像这样，分母中含有________的方程叫做分式方
未知数
程。使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分
式方程的______（也叫做分式方程的根）。
解
自主学习2:解分式方程
解方程：
−7
−
1
7−
=8
解：方程两边同乘(x-7),得
x-8+1=8(x-7)
解这个整式方程,得
每一项都要乘
最简公分母
x=7
经检验，x=7是原分式方程的增根。
所以原分式方程无解
对点训练一：
解方程：
−2
−1=
4
2−4+4
解：方程两边同乘(x-2)2,得
x(x-2)-(x-2)2=4
解这个整式方程,得
（2）、（5）
12.4 分式方程
学习目标
1.能识别分式方程，知道分式方程的解的概念.
2.知道解分式方程的步骤，会解可化为一元一次方
程的分式方程.（重点）
3.根据分式方程出现增根的情况，会求待定系数的
值.
自主学习1：分式方程的概念
观察下列方程回答：
1
4，
x 1
x 1
x
2x - 1
含有未知数
每日金句
山积而高，泽积而深。
复习导入
观察下列等式回答：
x 1
1
x
（1）x+1=10（2）
4（3）x+y=0（4）5+5=10 （5）
2x - 1
x 1
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》教学设计
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》是学生在掌握了分式运算、分式性质的基础上，进一步学习解决实际问题中的方程。
本节课通过分析分式方程的定义、解法及其应用，使学生能够解决一些简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本运算和性质，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但部分学生对分式方程的理解和应用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.理解分式方程的定义及其解法；2.能够解决一些简单的实际问题，提高数学应用能力；3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其解法；2.如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组讨论法，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例；2.准备分式方程的解法步骤提示；3.准备教学PPT。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何解决实际问题。
2.呈现（10分钟）教师展示分式方程的定义及其解法，让学生了解分式方程的基本概念和解决方法。
3.操练（10分钟）教师给出一些简单的分式方程实例，引导学生分组讨论、共同解决问题，巩固分式方程的解法。
4.巩固（10分钟）教师设计一些练习题，让学生独立完成，检查学生对分式方程解法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考如何将实际问题转化为分式方程，并解决问题。
学生分组讨论，分享解题过程和心得。
6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行总结，强调分式方程的解法和实际应用。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关分式方程的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
八年级数学上册12.4分式方程课件(新版)冀教版
课堂(kètáng) 解分式小方结程的一般步骤:
1.在方程的两边(liǎngbiān)都乘最简公分母, 约去分母,化为整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不 是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根, 必须舍去.
第十四页，共19页。
检测反馈
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速(liúsù)为多少?
解：设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的
速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千
米/时,顺流航行90千米所用的时间为 90 小时,逆
x
(4) y ; (5) 1 2x 5 x5 x
根据定义可得：（1）（2）是整式方程， （3）是分式(fēnshì)，（4）（5）是分式 (fēnshì)方程．
第六页，共19页。
例2 解方程
1 x 1. 5 x 2
解:两边(liǎngbiān)同乘最简公分母 2(x+5)得:
2(x+1)=5+x,
2 x
1
呢？
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式 方程,具体做法是“去分母”,即方程两边 (liǎngbiān)乘最简公分母,这是解分式方程的一 般方法.
第五页，共19页。
判断下列(xiàliè)各式哪个是分式方程．
（1）x y 5；（2）x 2 2 y z ; (3) 1 ;
5
3
第八页，共19页。
【拓展延伸】分式方程与整式方程的定义(dìngyì)区
特点
说明
举例
整式 方程
12.4 分式方程课件(共19张PPT)
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
初中数学冀教版八年级上册12.4 分式方程
魏僧寨中学 陈贵英
1.了解分式方程的概念，以及会产生增 根的原因. 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一 元一次方程的分式方程.
一艘轮船在静水中的最Байду номын сангаас航速为20
km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km
所用时间,与以最大航速逆流航行60 km
所用时间相等,求江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知 数的方程叫做 ？
100 60 20 v 20 v
像这样分母中含有未知数的方程叫做 分式方程.
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫 做整式方程.
【跟踪训练】
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程?
得其值都为0，相应的分式无意义.
所以x=5是原分式方程的增根。
∴原分式方程无解.
为什么会产 生无解？
为什么方程会产生无解？ 产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式 方程的根.所以我们解完分式方程时一定要 代入原分式方程或最简公分母进行检验.
解分式方程的思路：
(1)去分母时，原方程的整式部分别漏乘 最简公分母． (2)约去分母后，分子是多项式时，别忘 添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为 0，不舍掉，仍说成是原分式方程的解.
【抢答练习1】
【抢答练习2】
【抢答练习3】
A.-3 B.2 C.-1
D.3
【抢答练习4】
值是______.
A.-4 B.-2 C.-1
D.3
【解析】由题意得 2=-1
x-1
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》说课稿
冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册12.4《分式方程》是学生在学习了分式、方程的基础上，进一步研究分式方程的性质、解法及其应用。
本节课的内容分为两大部分：一是分式方程的定义及基本性质；二是分式方程的解法及应用。
通过本节课的学习，使学生掌握分式方程的基本知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了分式和方程的基础知识，对分式、方程有一定的认识。
但分式方程较为抽象，学生理解起来有一定难度。
此外，学生在解决实际问题时，往往不能很好地将分式方程与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习情况，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解分式方程的定义及基本性质，掌握分式方程的解法，能够运用分式方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决分式方程的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，增强学生克服困难的信心。
四. 说教学重难点1.重点：分式方程的定义、性质、解法及应用。
2.难点：分式方程的解法，以及如何将分式方程与实际问题相结合。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合几何画板等软件，直观展示分式方程的解法及应用。
六. 说教学过程1.导入：回顾分式和方程的基础知识，引导学生进入新课。
2.自主学习：让学生自主探究分式方程的定义及基本性质，为学生提供充分的独立思考时间。
3.合作交流：学生之间相互讨论、交流，教师引导学生总结分式方程的解法。
4.教师讲解：针对分式方程的解法及应用，进行详细讲解，为学生解答疑惑。
5.练习巩固：布置具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。
12.4分式方程
v5
检验：将v=5代入分式 方程，左边=4=右边， 所以v=5是原分式方程 的解。
试一试：解分式方程：
1
10
x 5 x2 25
解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
解得： x=5
检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应 分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
是原分式方程的解呢？我们来观察去分母的过程
= 100
20+V
2600-V当两v=边5时同,乘(2(02+0v+)v()2(02-0v-)v≠)0100(20-v)=60(20+v)
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的
解与分式方程的解相同.
= 1
x-5
10 x2-25
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0
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12.4 分式方程.4分式方程
12.4分式方程
教学目标
知识与技能：
（1）了解分式方程、分式方程的解与增根的概念；
（2）掌握分式方程（方程中的分式不超过两个）的解法，并检验根的合理性.
过程与方法：
（1）经历从实际问题中建立分式方程的过程，体会分式方程的模型作用，进一步培养学生应用数学的意识；
（2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的方法和途径.
情感态度与价值观：
引导学生积极参与教学活动，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，让学生充分体验学习知识的过程，获得成功的乐趣.
教学重点、难点
教学重点：
分式方程的解法.
教学难点：
分式方程根的检验.
教学设计说明
课程改革的关键是教师观念的改变,“教师不仅仅是课程的实施者,更是课程的创造者和开发者”.
1、做中学：即以学生为主体，把课堂真正还给学生，给他们创造“动手”、“动脑”、“动口”的机会，让学生充分体验学习的过程，充分享受自己“做”出来的数学知识和数学能力.
2、我要学：兴趣是最好的老师,是学生学习的源动力.如何激发学生的学习兴趣,是教学设计的根本出发点.根据本节内容特点，我设计了如下激趣点：（1）情境导入：以贴近学生学习生活的实际问题导入新课,吸引学生注意力,激发学生的求知欲望.
（2）把方程送回“家”：以幽默的方式，激发学生的爱心，既巩固了知识，又进行了思想交流.
（3）媒体演示解分式方程的格式步骤：充分借助多媒体,通过对比变化,把解分式方程的格式步骤清晰地展示在同学们面前,让学生有章可循.
（4）非常6+1：以游戏代替枯燥的练习形式，既巩固提高，又寓教于乐.
教学过程：
教学反思：
.。
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一化二解三检验
例
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得 x=1
经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
归纳解分式方程的步骤
x 3 -1= . 例1 解方程 x-1 （x-1） （x+ 2）
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y
整式方程
1 3 (2) x2 x
x( x 1) (4) 1 x
(3)
3 x
x 1 x 2x 10 （6） 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
（x-1） （x+ 2），得 解：方程两边同乘 （ x x+ 2）（ - x-1） （x+ 2） =3. 化简，得 x+ 2=3. 解得 x =1. 检验： x =1不是原分式方程的解，所以，原分式 方程无解.
y4 y 例 解方程： 2 1 y y 1 y y4 y 1 解： 原方程可化为 y ( y 1) y 1
整理得:(k+1)x=4k
因为方程无解,则x=3或x=-3 当x=3时,(k+1) · 3=4k,k=3, 当x=-3时,(k+1)(-3)=4k, k=
3 7
3 k= 所以当k=3或 7 时,原分式方程无解.
解含字母系数的分式方程
a +b=1 （b 1） . 例2 解关于x 的方程 x -a 解：方程两边同乘 x-a，得 a+（ b x-a）= x-a . 去括号，得 a+bx-ab= x-a. 移项、合并同类项，得 x =ab- 2a. （b-1 ） ∵ b 1， ab- 2a 检验：当 x= 时，x-a 0， ∴ b-1 b-1 0， ab- 2a ab- 2a 所以，x= 是原分式方程的解． ． ∴ x= b-1 b-1
120 20 x 的时间为＿＿＿小时，逆流航行 80千米所用时间 80 20 x 为＿＿＿小时。
120 80 20 x 20 x
像这样，分母里含有未知数的方程叫做 分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方程 叫做整式方程。
整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数
解：方程两边同乘以（x-2）,
得1-x=-k-2( x-2 ) 去括号，得1-x=-k-2x+4 移项，合并同类项，得x=3-k 要使方程有增根(无解），必须使 分母x-2=0,即x=2. 因为要使方程无解 化简得k=1
3-k=2
随堂练习：
2.a为何值时，分式方程
a 4 0 有增根x=2. x 2 x2 4
x+5=10 解得： x=5
为什么会产 生增根？
经检验：x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验
步骤
1、 去分母 2、 去括号 . 3、 移项.合并同类项 4、 化系数为1.
解:
3x 2( x 1) 6 3x 2 x 2 6 x8
例 解方程
1 x 1 . 5 x 2
解:两边同乘最简公分母2(x+5)得: 2(x+1)=5+x, 2x+2=5+x, x=3.
经检验，x=3是原方程的解
例
解方程Leabharlann 5 7 x x2解： 方程两边都乘以 x ( x – 2 ) , 约去分母，得 5 ( x – 2 ) = 7x 解这个整式方程，得 x=–5
经检验当，x = – 5 是原方程的解
1 10 解分式方程： 2 x 5 x 25
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
分式方程
随堂练习：
下列方程中,其中哪几个是关于x的分式方程?
x 1 x 1 (1) 1 3 2 2 ( x 1) (3) 1 x 1
x2 ( 2) x a2
x2 1 ( 4) x 1 2
解：（3）、（4）是分式方程.
回顾与思考 解方程
x x 1 1 2 3
a(x+2)+4=0 ①
解：方程两边同乘以(x2 -4),得
把x=2代入整式方程①,得
4a+4=0 a=-1 ∴ a=-1时, 原方程有增根x=2.
1 k 3+k + = 2 关于x的方程 x-3 x+3 x -9
有曾根,求k的值.
解：方程的两边同时乘(x+3)(x-3)得
x+3+k（x-3）=3+k
x 4x 4 16 x 4x 4,
2 2
注意：分 式方程的 求根过程 不一定是 同解变形， 所以分式 方程一定 要验根！
所以原方程无解。
注意：
(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．
(3)解分式方程不要忘记检验.
1 x k 拓展：若关于x的方程 2 有增根，则增 x2 2 x 根可能是什么？此时k的取值是多少？
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行120千米所用时间,与
以最大航速逆流航行80千米所用时间相等,江水
的流速为多少? 分析：设江水的流速为x千米／时，填空： (20+x) 轮船顺流航行速度为＿＿＿千米／时，逆流航行 (20-x) 速度为＿＿＿千米／时，顺流航行 120千米所用
方程两边同乘 y ( y 1)，得
y 4 y( y 1) y
解这个方程，得
2
y 2
检验: y = -2 是原方程的解.
解方程
1 1 x 3 x2 2 x
解： 方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得
1 = x – 1– 3( x – 2)
解这个整式方程，得
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
x=2
检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0
所以 2 是增根，原方程无解.
x2 16 x2 (2) 2 x2 x 4 x2
解：方程两边同乘以( x 2)(x 2), 2 2 得， ( x 2) 16 ( x 2) ,
x 2. 经检验：x=-2不是原方程的解