直线习题精选精讲

直线方程例1 求经过两点A (2，1)，B (m ，2)(m ∈R )的直线l 的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围． 分析：斜率公式成立的条件是21x x ≠，所以应先就m 的值是否等于2进行讨论． 解： 当m =2时，221==x x∴直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角α=2π． 当m ≠2时，k ＝21-m 当m ＞2时，k ＞0 此时α＝arctan21-m ∈（０，2π）．当m ＜2时，k ＜0 此时α＝π+arctan 21-m ∈（2π，π）．说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法．例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点． （1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围．分析：如图1，为使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角应介于直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角之间，所以，当l 的倾斜角小于90°时，有PB k k ≥；当l 的倾斜角大于90°时，则有PA k k ≤．解：如图1，有分析知=PA k 23)1(4----＝－1，=PB k 23)1(2---＝3．∴ （1）1-≤k 或3≤k ．（2）arctan3≤α≤43π．说明：学生常错误地写成－1≤k ≤3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在[)π,0上单调递增．例3 判断下列命题是否正确：①一条直线l 一定是某个一次函数的图像；②一次函数b kx y +=的图像一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． 解：①不正确．直线02=-x ，不是一次函数；②不正确．当0=b 时，直线过原点．x y 2=③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程()()0=-+y x y x 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程④不正确．以方程x y = (0≥x )的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程x y =图1(0≥x )的图像．说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件． 例4 设直线的斜率为k ，且333<<-k ，指出直线倾斜角α的范围． 分析：倾斜角与斜率有关，根据公式αtan =k 和正切函数的单调性，由斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以画图，利用数形结合来帮助解决问题．解： tga k =，由已知得 33tan 3<<-a ． [)πα,0∈ ，⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴πππα,326,0 ． ∴ 直线的倾斜角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,326,0 ． 说明：注意正切函数在[)π,0范围的单调性，最好结合图形，不容易出错．例5 已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解1：设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2αtan2α＝=AB k )1(3)5(2-----＝43， ∴αα2tan 1tan 2-＝43． 化简得 3tan 2α+8tan α－3＝0， 解得 tan α＝31或 tan α＝－3． tan2α＝43＞0，∴ 0°<2α<90°， 0°<α<45°，∴ tan α＞0，故直线的斜率是31．解2：(思路要点)根据tan2α＝=AB k )1(3)5(2-----＝43，且2α为锐角， 易得sin2α＝53和cos2α＝54， 进一步有：tan α＝αα2sin 2cos 1-=31．说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解２计算更容易． 用解析法证明：m b m a ++>ba例6 已知a 、b 、m 都是正数，且b a <，试证明：如图2，在坐标平面上取点A (m ，m )，B (a ，b )，则AB 的中点为C (2m a +，2mb +)． 显然OA 、OB 、OC 的斜率满足 O A O C O B k k k <<，又 =OB k b a ，=OC k m b m a ++，=OA k 1． 所以 m b m a ++>ba．说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解．同时本题为构造性证明，不易想到．事实上，把分式看成斜率是常用的方法．例7 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）．A ．︒+α45B ．︒-α135C ．α-︒135D ．当︒<α≤︒1350时为︒+α45，当︒<α≤︒180135时为︒-α135分析：倾斜角的范围是[)︒︒180,0，因此，只有当[)︒︒∈︒+α180,045，即︒<α≤︒1350时，1l 的倾斜角才是︒+α45．而︒<α≤︒1800，所以必须讨论︒<α≤︒180135的情况，结合图形和倾斜角的概念，即可得到︒<α≤︒180135时1l 的倾斜角为︒-α135．故应选D ．答案：D说明：在求直线的倾斜角时，应该重视的是：(1)注意角的取值范围；(2)数形结合是一种常用而有效的方法．例8 若三点A )3,2(-，B )2,3(-，C ),21(m 共线，求m 的值． 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在． 解答：由A 、B 、C 三点共线，则AC AB k k =． ∴22132332+-=+--m ，解得21=m ． 说明：由三点共线求其中参数m 的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求m 的方法最简便．例9 (1)直线l 过点)1,2(--A 和点)5,6(-B ，求l 的斜率和倾斜角；(2)若直线过)0,0(O ，)sin ,(cos θθH 两点，且02<<-θπ，求此直线的倾斜角．(3)已知直线l 过点)2,1(A 和)3,(a B ，求l 的倾斜角和斜率．分析：(1)中直线l 上两点A 与B 均为已知点，故l 是确定的，其斜率和倾斜角自然也是确定的，直接利用斜率公式求解即可；(2)中的直线l 上的点O 是已知的，点H 的横纵坐标与角θ有关，应注意条件中θ地取值范围；(3)中的直线l 上的点A 是已知的，而点B 的横坐标a 不确定，它的取值将影响直线的斜率及倾斜角，应对类讨论，以直线l 的斜率是否存在为分类的标准．根据倾斜角和斜率的概念进行求解．解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α． (1)∵直线l 过点)1,2(--A 和点)5,6(-B ，∴它的斜率21)2(6)1(5-=-----=k ．于是021tan <-=α． ∵⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈-0,2)21arctan(π，[)πα,0∈，∴l 的倾斜角)21arctan(-+=πα， 即：)21arctan(-=πα． (2)因为02<<-θπ，所以0cos ≠θ．所以斜率：)tan(tan cos sin θπθθθ+===k ． 因为02<<-θπ，所以πθππ<+<2． 所以，直线的倾斜角为θπ+．(3)当1=a 时，直线l 与x 轴垂直．所以，倾斜角︒=90α，l 没有斜率．当1≠a 时，斜率11123-=--=a a k ． 若1>a ，则11arctan -=a α；若1<a ，则11arctan -+=a πα．因此，当1=a 时，︒=90α，直线没有斜率．当1>a 时，11arctan -=a α，11-=a k ．当1<a 时，11arctan -+=a πα，11-=a k ．说明：由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围是[)π,0．当倾斜角不是特殊角而必须用反正切表示时，应注意2arctan 2ππ<<-a ．(1)当直线的倾斜角是)90(︒≠θθ时，斜率是θtan ．但反过来，当直线的斜率是θtan 时，直线的倾斜角不一定是θ． (2)在用公式1212x x y y k --=时，要注意两点：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒．②当21x x =，21y y ≠（即直线和x 轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是︒90，直线没有斜率． (3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整．解题方法指导○1直接写出直线方程○2利用公式求直线方程○3通过直线系求直线方程○4结合向量知识求直线方程○5借助相关点求直线方程——轨迹法 ○6利用参数求直线方程○7通过分析结构求直线方程 三、范例剖析 1、直接法例1. 直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程。

解： 4sin 5α= ，3cos 5α=± ∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+即4390x y -+=或4390x y +-=评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法。

同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解。

2、公式法例2. 过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆AOB 的面积最小时的直线l 的方程。

解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()， 即b a a =-2，由b >0，得a >2所以S ab a a a AOB ∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++-14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当aa -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。

这里选择了截距式方程。

3、直线系法直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程 例3. 求过l x y 12320：-+=与l x y 23420：--=的交点且与直线440x y +-=平行的直线方程。

解：设l 1与l 2交点的直线方程为()()(*)2323420x y x y -++--=λ即()()2334220++--+-=λλλx y 因为所求直线与440x y +-=平行所以234341+=--λλ，解得λ=-1419将λ=-1419代入(*)，得所求直线方程为4660x y +-= 4、向量法例4. 求与直线l x y l x y 12347012560：，：--=-+=夹角相等，且过点（4，5）的直线l 的方程。