考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

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空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
（2）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥面；③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
第七章立体几何
球 2．三视图与直观图
半圆
Go the distance
直径所在的直线
第 1 讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
（1）三视图： ①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括
一．知识梳理
1．空间几何体的结构特征
几何体
底面
棱柱
互相平行
多面体棱锥
是多边形
侧面都是四边形，且相邻两个侧面的公
④棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等．其中正确的命题的个数是
Go the distance
（）
A.0
B.1
C .2
D.3
【变式 1】
（1）下列说法中正确的是（）
A. 棱柱的侧面中，至少有两个面互相平行 B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C. 棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高 D. 棱柱的侧面是平行四边形，它的底面一定不是平行四边形
球二．要点整合
S表 S侧 S底 S表 S侧 S上 S下
S 4 R2
V 1 Sh 3
V
1 3
(
S上
S下
S上S下 )h
V 4 R3 3
1．辨明三个易误点
（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．

2020年高考数学考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.（2020·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） (A)13 (B) 23(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。

【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为2和1的直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积1(21)2 1.2V =⨯⨯⨯=2.（2020·辽宁高考文科·Ｔ11）已知SABC 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，SA =AB =1 BC =2,则球O 的表面积等于（）（A ）4π(B ）3π(C)2π(D) π【命题立意】本题考查了空间是两点间距离公式和球的表面积公式。

【思路点拨】【规范解答】选A 。

SA ⊥Q 平面ABC ，AB ，AC ⊂平面ABC ，SA AB ∴⊥，SA AC ⊥，故可以A 为原点，AC 所在的直线为y 轴，AS 所在的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则(0,0,0)A ,63(,,0)33B ,(0,3,0)C ,(0,0,1)S ,设球心O 坐标为000(,,)x y z ，则点O 到各顶点SABC 的距离相等，都等于球的半径R 。

22220002222000222200222200063()()(0)33(0)(3)(0)(0)(0)(1)x y z R x y z R x y z R x y z R ⎧++=⎪⎪-+-+-=⎪∴⎨⎪-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩，解得2000310,,,122x y z R ====，建立空间坐标球心坐标球的半径球的表面积∴球的表面积为24414R πππ=⨯=。

2018届高考数学复习——立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积(解析版)

【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到.[注意] (1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时,易忽视定义,可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识.(2)台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法①基本要求：长对正,高平齐,宽相等.②画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽； ③看不到的线画虚线.[注意] 若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的区别. 2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测_画法,基本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的x ′轴、y ′轴,两轴相交于点O ′,且使∠x ′O ′y ′＝ 45°(或135°) .(2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x ′轴、y ′轴 .(3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中长度保持不变 ,平行于y 轴的线段,长度变为原来的一半 .(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面,在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面,已知图形中平行于z 轴的线段,在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变 .[注意] 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形,S 原图形＝22S 直观图.三、空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl [注意] 组合体的表面积应注意重合部分的处理. 2.空间几何体的体积(1)柱体:V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2h .(2)锥体:V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .(3)台体:V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2).3.球体(1)球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43πR 3(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a,则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径).②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆,则|GO|＝R＝2 2a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆,则|A1O|＝R′＝3 2a.(3)正四面体与球：如图,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SE 为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO＝OS＝R,OE＝r,SE＝23a,CE＝33a,则有R＋r＝23a,R2－r2＝|CE|2＝a23,解得R＝64a,r＝612a.【第1讲：空间几何体的结构特征及三视图】题型1:空间几何体的结构特征【典型例题】[例1](1)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.其中真命题的序号是________.解析：命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；③正确,如图1,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠P AB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形；命题④由棱台的定义知是正确的；⑤错误,当以斜边为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图2所示,它是由两个同底圆锥形成的.答案：①③④(2)以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.其中正确的命题序号是________.【答案】③[例2](1)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.(2)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选DA错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥；B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥；C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.图1图2【变式训练】1.判断正误(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面()答案：(1)×(2)×(3)√2.下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是________.【答案】②④3.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A题型2:空间几何体的三视图与直观图【典型例题】[例1](1)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()【答案】 C(2)如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的侧视图为()解析：选C由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1.(3)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为 ()【答案】B(4)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为()【答案】C(5)如图所示,E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是______.(填序号)【答案】②[例2](1)(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A[考向1]因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,故选A.(2)(2014·课标Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱[解析] B[由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,分析可知该几何体为三棱柱,故选B.](3)(教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图,则该几何体是由__________________组合而成.答案：圆柱和正四棱柱(4)(教材习题改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是________,截去的几何体是________.答案：五棱柱三棱柱(5)(2015·北京朝阳期末)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4[解析] D[满足条件的四棱锥的底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直,如图所示,易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.][例3](1)利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.【答案】①②④(2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2,则原平面图形的面积为()A.4 cm2B.4 2 cm2C.8 cm2D.8 2 cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与BC,AD相等,高为梯形ABCD的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm2.(3)(2014·湖北)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析：选D在空间直角坐标系O-xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.选D.【变式训练】1.(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()【答案】D2.(2015·成都一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是()[解析]C[由题意知,俯视图的长度和宽度相等,故C不可能.]3.(2015·南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C当正视图为等腰三角形时,则高应为2,且应为虚线,排除A,D；当正视图是直角三角形,由条件得一个直观图如图所示,中间的线是看不见的线P A形成的投影,应为虚线,故答案为C.4.(2015·桂林一调)已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()[解析]C[选项A,B,D中的俯视图,正方形内的线应该为另一条对角线,当四棱锥的直观图为右图时,它的三视图是C.]5.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是________.答案：②③6.(2016天津文)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )A B C D【答案】B7.(2015·东北三校联考)利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是________.答案：①②8.(2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()解析：选A由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为2,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2 2.9.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()【答案】D[考向1]由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,圆台的下底面和圆柱的底面恰好重合.10.(2014·江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选B.【第2讲：空间几何体的三视图与表面积和体积】题型3:空间几何体的三视图与表面积【典型例题】[例1](1)(2015·北京石景山一模)正三棱柱的侧(左)视图如图所示,则该正三棱柱的侧面积为________.解析：由侧(左)视图知：正三棱柱的高(侧棱长)为2,底边上的高为3,所以底边边长为2,侧面积为3×2×2＝12.答案：12(2)(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为82的矩形.则该几何体的表面积是().A.8B.20＋8 2C.16D.24＋8 2解析由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为22,由面积82,得长为4,则该几何体的表面积为S＝2×12×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋8 2.答案 B(3)(2014·许昌模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为().A.4πB.32π C .3π D .2π解析由三视图可知,该几何体是一个圆柱,S 表＝2×π×⎝⎛⎭⎫122＋π×1×1＝3π2. 答案 B (4)(2016·湖南长沙联考)已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是________.【解析】由题意知,该几何体是一个侧放的圆锥,圆锥底面位于右侧,底面圆的半径为1,圆锥的高为2,易知其母线长为5,所以其表面积为S ＝π·1×(1＋5)＝5π＋π. 【答案】 5π＋π (5)(2016·课标III)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18＋36 5B.54＋185C.90D.81解析 B [考向2]由图可知,该几何体为四棱柱,S 表＝2S 底＋2S 前＋2S 侧＝2×32＋2×3×6＋2×3×32＋62 ＝18＋36＋185＝54＋18 5.[例2](1)已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S -ABC ,则它的表面积为________.解析：过S 作SD ⊥BC ,∵BC ＝a ,∴SD ＝32a∴S △SBC ＝34a 2,∴表面积S ＝4×34a 2＝3a 2.答案：3a 2 (2)(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5【解析】作出三棱锥的示意图如图①,在△ABC 中,作AB 边上的高CD ,连接SD . 在三棱锥S -ABC 中,SC ⊥底面ABC ,SC ＝1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC ＝BC ,AB 边上的高CD ＝2,AD ＝BD ＝1,斜高SD ＝5,AC ＝BC ＝ 5.∴S 表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.(3)(2015·遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( ) A.3＋ 6 B.3＋ 5 C.2＋ 6 D.2＋ 5＝ 2.解析：选C 由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA ＝OB ＝1,AB 又PB ⊥平面ABCD , ∴PB ⊥BD ,PB ⊥AB ,∴PD ＝22＋1＝5,P A ＝2＋12＝3, 从而有P A 2＋DA 2＝PD 2,∴P A ⊥DA ,∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.(4)(2016·北京房山一模)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 63.C[考向1]由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,直观图如图所示,其中P A⊥面ABCD,P A＝1,AD＝1,CD＝1,AB＝2,PD＝2,PC＝3,而在Rt△P AB中,PB＝P A2＋AB2＝12＋22＝5＞3,故最长的侧棱为PB,其长度为5,故选C.(5)(2014·课标Ⅰ)如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6 2B.4 2C.6D.4【解析】由三视图可知该几何体为图中棱长为4的正方体中的三棱锥P-ABC.由图②可知,最长棱为PC＝42＋42＋22＝6.[例3](1)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为________.解析由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为23的圆台,则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×232＋22＝26π.答案：26π(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.解析如图所示：该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩下的部分.∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案 38 (3)(2015·课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r ＝( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析 B 由题意知,该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的.则表面积S ＝2πr 2＋2×12πr 2＋4r 2＋2πr 2＝5πr 2＋4r 2＝20π＋16,∴r ＝2.(4)[2014重庆理]某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为( ) A.54 B.60 C.66 D.72俯视图左视图正视图3245【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示, 4,'5,'2,3AB A A B B AC ====,经检验该几何体的三视图满足题设条件.其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++,3515615146022=++++=,故选择BC'B'A'C BA(5)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( ) A.21＋ 3 B.18＋ 3 C.21 D.18解析 A 由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分,如图所示,则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.【变式训练】 1.(2015·北京西城期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为________.解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为2,所以高为3,所以正视图的面积为2 3. 答案：2 3 2.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )A.100πB.100π3C.25πD.25π3解析：选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S ＝4πR 2＝100π. 3.(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ).A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析由俯视图的面积为1可知,该正方体的放置如图所示,当正视图的方向与正方体的侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面BDD 1B 1或ACC 1A 1垂直时,正视图的面积最大,其值为2,由于正视图的方向不同,因此正视图的面积S ∈[1,2].故选C. 答案 C 4.(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D .π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 5.(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( ).A.3B.7＋3 2C.72π D .14解析由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14. 答案 D 6.(2015·山东淄博模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,形成的三棱锥A -BCD 的正(主)视图与俯视图如图所示,则其侧(左)视图的面积为( )A.22B.12C.24D.14解析 D 由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直,其侧(左)视图是直角三角形,且直角边长均为22,所以侧(左)视图的面积为S ＝12×22×22＝14.7.(2016·西安一模)如图,网格纸中的小正方形的边长均为1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( ) A.12(22＋32＋4) B.12(22＋32＋8) C.12(22＋2＋8) D.12(22＋22＋8)解析 B 根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,其表面积S ＝12×2×2＋12×2×3＋12×2×3＋12×2×11＝12(22＋32＋8),故选B.8.(2016·课标Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π解析C S表＝πr2＋2πr×4＋12×2πr×R＝4π＋16π＋2π22＋（23）2＝28π.9 .(2013重庆文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240【答案】D10.(2014浙江理)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【答案】D【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4, ∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).11.(2017北京理)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ).A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析几何体四棱锥如图所示,最长棱为正方体的体对角线,即22222223l++=故选B.12.(2017全国1理)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ). A.10 B.12 C.14 D.16解析由三视图可画出立体图,如图所示,该多面体只有两个相同的梯形的面, ()24226S =+⨯÷=梯,6212S =⨯=全梯.故选B.题型4:空间几何体的三视图与体积【典型例题】 [例1](1)(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.解析该几何体为一个半圆锥,故其体积为V ＝13×12×π×12×22＝π3.答案 π3(2)(2015·惠州二调)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左(侧)视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是( )A.16πB.14πC.12πD.8π解析：选D 由三视图可知,该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分,由于球的 (3)(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则四棱台的体积是( ).A.4B.143C.163D.6解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143,故选B.答案 B (4)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.解析 [考向3]【解析】由题可知锥体的高为1,底面积为12×23×1＝3,∴V 锥＝13×3×1＝33.【答案】 33[例2](1)(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3解析 C 由题意得,该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成,所以体积V ＝23＋13×22×2＝323.(2)(2017山东理)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .解析该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+.(3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ).A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3解析由三视图可知,直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成,半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=,三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,所以几何体体积1212S S S π=+=+.故选A.(4)(2013·课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.16＋8π B .8＋8π C.16＋16π D .8＋16π解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2、高为4.所以V ＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.故选A.(5)(2015·广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 π＋33[由三视图,该组合体上部是一个三棱锥,下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,且边长是2,故其高即为三棱锥的高,高为3,故棱锥高为3由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长都是2,底面三角形的面积是12×2×2＝1, 故V 棱锥＝13×1×3＝33,故该几何体的体积是π＋33.] [例3](1)(2015·山东实验模拟)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A.2π3 B.8－π3 C.8－2π D . 8－2π3解析D[由三视图可知,几何体为正方体内挖去一个圆锥,所以该几何体的体积为V 正方体－V 锥＝23－13(π×12×2)＝8－23π.](2)(2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16π；正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,所以几何体的体积为16π－16. (3)(2015·河南天一联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.12＋π B .8＋π C .12－π D .6－π解析 C [由三视图可知,原几何体是底面边长为2的正方形,高为3的棱柱,里面挖去一个半径为1的球,所以所求几何体的体积为12－π,故选C.](4)(2017全国2理)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( ). A.90π B .63π C.42π D .36π解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,如图所示.2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.466(5)(2015·唐山统考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8π＋16B.8π－16C.8π＋8D.16π－8解析：选B 由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱.半圆柱的高为4,底面半圆的半径为2,直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形,高为4,故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.[例4](1)(2014·福州模拟)如图所示,已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC ,则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( ).A.312B.34C.612D.64解析三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积,三棱锥A －B 1BC 1的高为32,底面积为12,故其体积为13×12×32＝312. (2)(2012·山东)如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1－EDF 的体积为________.[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点,F 点移到C 点,则＝＝13×12×1×1×1＝16.。

空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积1.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C ．433D ．2332.一个几何体的三视图及长度数据如图，则该几何体的表面积与体积分别为A、7 B、8C、372+ D、3823.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A．B. C ．D. 834.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．10πB ．11πC ．12πD ．π135.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）． A ．12 B ．32 C ．23D ．6俯视图俯视图正(主)视图侧(左)视图6．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)()A．6＋3＋π B．18＋3＋4πC．18＋2 3＋πD．32＋π7．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④8.已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若AB BC CA===，则球的体积为________________。

39.用一平面去截球所得截面的面积为π2cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是10．有一个正三棱柱的三视图如图所示(俯视图为正三角形)，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．12．用小正方体搭成一个几何体，右图是它的正(主)视图和侧(左)视图，搭成这个几何体的小正方体最多为________个．13．正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．14．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高为多少？。

考点30空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的表面积与体积

考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3 cm 3 C.3323cm D.3403cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23+×22×2=(cm 3).2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )cm 3cm 3 C. cm 3D. cm 3【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积3322231223=⨯⨯+=V (cm 3).3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

【解析】选C 。

由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ≅，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得PB=2，所以31=22+22=2+32S ⨯⨯⨯⨯C 。

4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A 、13+、23+ C 、122+、22【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。

理科数学笔记空间几何体的结构及其三视图与直观图

考点28 空间几何体的结构及其三视图与直观图一、空间几何体的结构1．多面体棱柱：①底面互相平行②侧面都是平行四边形③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.棱锥：①底面是多边形.② 侧面都是三角形.③侧面有一个公共顶点.棱台：① 上、下底面互相平行，且是相似图形.② 各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体圆柱：① 圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.② 圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.③ 平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面( 轴截面) 是全等的矩形.圆锥：①底面是圆面.② 有无数条母线，长度相等且交于顶点.③ 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆台：① 圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.② 有无数条母线，等长且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面, 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.球：①球心和截面圆心的连线垂直于截面.② 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式:d2=R2-r2.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1 ）三视图的概念几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．① 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图 ;② 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图 ;③ 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.（ 2 ）三视图的画法规则① 排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.② 画法规则正视图与俯视图的长度一致，即“ 长对正”；。

高中数学空间几何体的三视图直观图表面积与体积

突破点一突破点二突破点三课时达标检测
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积结束
空间几何体的直观图
直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积
的关系：
(1)S直观图＝
2 4 S原图形．
(2)S原图形＝2 2S直观图．
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积结束
3．[考点二]已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，
俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直
角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能
为
()
解析：当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形时，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C. 答案：C
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积结束
2．[考点二]一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中
正确的是
()
解析：由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部是一条水平线段连接两个三角形．答案：B
突破点一突破点二突破点三课时达标检测
空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积结束
4．[考点三]用斜二测画法画出的某平面图
形的直观图如图，边AB平行于y轴，
BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的
面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为

空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）（A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D3．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（）（A）3(B)3(C) 3(D)3【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C ，设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边4,=SC 故2==BO AO ，且有SC AO ⊥，SC BO ⊥．∴)(31OC SO S V V V AOB AOB C AOB S ABC S +=+=∆---=3344243312=⨯⨯⨯．BCA4.（2011·广东高考文科·Ｔ7）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）（A ）20 （B ）15 （C ）12 （D ）10【思路点拨】本题主要考查空间想象能力及体对角线的概念，由多面体体对角线的概念可得答案. 【精讲精析】选D.上底面内的每个顶点，与下底面内不在同一侧面内的两个顶点的连线，可构成正五棱柱的对角线，所以共10条，故选D.5.（2011·广东高考文科·Ｔ9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）（A ）34 （B ）4 （C ）32 （D ）2【思路点拨】首先由三视图得该几何体为一四棱锥，然后由图中数据求出底面面积及高，再由锥体体积公式求解.【精讲精析】选C.由三视图可得原几何体是一四棱锥，底面是边长为2的菱形，其一条对角线长为2，则另一条对角线长为32，从而底面面积3232221=⨯⨯=底S .该棱锥其中两条侧棱长为32，另外两条侧棱长相等，从而得棱锥的高3)3()32(22=-=h ，所以该几何体的体积3233231=⨯⨯=V ，故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ7）如图某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）（A ）36 （B ）39 （C ）312 （D ）318 【思路点拨】先由三视图还原直观图，然后再求体积.【精讲精析】选B.由三视图得，几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高3122=-=h .所以几何体的体积V 33=⨯=故选B.7.（2011·山东高考理科·Ｔ11）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是（）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0【思路点拨】本题可寻找特殊的几何体，三棱柱，正四棱柱，圆柱.【精讲精析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使三个命题为真.8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径SC =4，B A ,是该球球面上的两点，AB =3，︒=∠=∠30BSC ASC ，则棱锥ABC S -的体积为（）（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1 【思路点拨】找到直径SC 的垂截面是解决本题的关键．【精讲精析】选C.由题意可知SAC ∆和SBC ∆是两个全等的直角三角形，过直角顶点B A ,分别作斜边上的高线BH AH ,，由于︒=∠=∠30BSC ASC ，求得3==BH AH ，所以等边ABH ∆的面积为2ABH S ∆==ABC S -的体积等于以ABH ∆为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC 的长，故⨯=-31ABC S V 43334=⨯．9.（2011·北京高考理科·T7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）（A ）8 （B）（C ）10 （D）【思路点拨】先画出直观图，标出尺寸后，再分别求出四个面的面积，逐个比较. 【精讲精析】选C.该四面体的直观图，如图所示，090B ∠=，ABC PA ⊥面，PA=4,AB=4,BC=3.该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为6,8,10.ABC PAB PBC PAC S S S S ∆∆∆∆==== 故最大面积为10.10.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）（A ）32 （B）16+（C ）48 （D）16+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.=214(44162⨯⨯⨯+=+11.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）1229+π（B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π正（主）视图侧（左）视图俯视图正（主）视图侧（左）视图俯视图正视图侧视图ABCP【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π12.（2011·湖南高考文科T4）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力. 【精讲精析】选D. 由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23的球，下面是一个底面边长是3高为2的正四棱柱. 故体积为3439()+33218.322π⨯⨯⨯=π+ 13.（2011·江西高考文科·Ｔ9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】在左视图中，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，易得.【精讲精析】选D.根据正投影的性质，结合左视图的要求知，长方体的体对角线投到了侧面，成了侧面的面对角线，结合选项即得答案.14．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.15.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合. 16.（2011·浙江高考文科·Ｔ7）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验选项中的几何体的直观图是否与所给三视图相符合. 【精讲精析】选B.二、填空题17.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为__ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的体积.【精讲精析】如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, O B '=OO '＝2,116233O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯=【答案】18.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π19.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即cos 2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1320.（2011·辽宁高考理科·Ｔ15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_________.【思路点拨】先求底面边长，再求矩形的面积．【精讲精析】设棱长为a ，由体积为32可列等式=⋅a a 24332，2=a ，所求矩形的底边长为323=a ，这个矩形的面积是3223=⨯．【答案】3221.（2011·天津高考文科·Ｔ10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：12+=211+112=4=⨯⨯⨯⨯V V V【答案】422. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积.【精讲精析】由题意得：2112333P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯=三、解答题23.（2011·江西高考文科·Ｔ18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将,'∆∆PDA PD PDA 沿翻折至.'⊥PDA PBCD 使平面平面（1）当棱锥'A -PBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A【思路点拨】(1)首先根据面面垂直，证出A P PBCD '⊥平面，再将四棱锥的体积表示出来，借助导数求体积最大时PA 的长.（2）根据平行线的性质，两条平行线中有一条与一条直线垂直，另一条也与该直线垂直，故易证.【精讲精析】（1）设x PA = (0<x<2), 则A ′P=PD=x, BP=2-x,因为A ′P ⊥PD 且平面A ′PD ⊥平面PBCD ，故 A ′P ⊥平面PBCD则2A -PBCD PDCB11x V PA Sx(2)332'=⋅=-底面. 令231x 2x x f (x)x(2)(x 0),3236=-=->则232)(2x x f -='.由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值.（2）作B A '的中点F ，连接EF 、FP, 由已知得：FP ED PD BC EF ////21//⇒ 又'A P PB ⊥，∴PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.24.（2011·福建卷文科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (I)求证：CE⊥平面PAD ；（II ）若PA=AB=1，AD=3，P-ABCD 的体积. 【精讲精析】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥. 因为,//,AB AD CE AB ⊥所以CE AD ⊥. 又PAAD A =，所以CE ⊥平面PAD.(2)由（1）可知CE AD ⊥.在Rt ECD ∆中，cos 451DE CD =⋅︒=，sin 451CE CD =⋅︒=.AE=AD-DE=3-1=2，又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形. 所以1++2ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆⋅⋅矩形四边形＝＝＝1512+11.22⨯⨯⨯＝又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以-11551.3326P ABCD V S PA =⋅⨯⨯四棱锥四边形ABCD ＝＝。

空间几何体的三视图、直观图、表面积及体积

空间几何体的三视图及直观图、表面积及体积导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图．探究点一空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三直观图及斜二测画法例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()变式迁移3一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B．22a2C.22a2D23a21.(2012·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( )A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.(2012·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为.5.(2012·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为.6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是②③.7.如图，四边形ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是 .8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．5 2.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803 C ．200 D ．240 3.(2012·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B．4 3 C．8 D．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C ) A．15πB．18πC．21πD．24π5.(2012·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是m3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB ⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为.8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．。

高中复习文数：第八章第一节空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

4. [考点三] 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边
AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面
积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为
()
A．4 cm2 C．8 cm2
B．4 2 cm2 D．8 2 cm2
解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上
下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2 2 倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 答案：C
自学区抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面 S圆柱侧＝_2_π_rl___ S圆锥侧＝_π_r_l S圆台侧＝_π_(_r_＋__r′__)_l
积公式
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系： S圆柱侧＝2πrl― r′―＝→rS圆台侧＝π(r＋r′)lr―′―＝→0S圆锥侧＝πrl.
[答案] A
[方法技巧]
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力； (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如例1中的命题②④ 易判断失误； (3)通过反例对结构特征进行辨析．
空间几何体的三视图
[基本知识]
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面_平__行__，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都_平__行__且__相__等____
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公__共__顶__点___的三角形
棱台
棱锥被平行于_底__面___的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

空间几何体的结构、表面积与体积

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间几何体的结构、表面积与体积1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底·h 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底·h台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱． 2．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( √ ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.32 cm答案 B解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，。

考点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

温馨提示：考点29 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2017·浙江高考·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )A.2π+1 B. 2π+3 C.32π+1 D. 32π+3【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图,意在考查学生由空间几何体的三视图还原空间几何体的能力及圆锥与棱锥的体积公式的应用.【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为:V=π·12×3×13×12+2×1×12×3×13=2π+1.2.(2017·全国甲卷文·T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=错误！未找到引用源。

×π×32×6+π×32×4=63π.【误区警示】本题由三视图不能正确的还原成空间几何体,从而造成计算失误.3.(2017·全国甲卷理科·T4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π【命题意图】本题考查三视图以及几何体的体积计算,意在考查学生空间想象能力与化归思想的运用,通过体积的计算考查运算求解能力.【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半,故其体积为V=12×π×32×6+π×32×4=63π. 4.(2017·全国丙卷·文科·T9)同(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=, 那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛⎫⎪⎝⎭×1=34π. 5.(2017·全国丙卷·理科·T8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A.π B.34π C.2π D.4π 【命题意图】本题考查圆柱和球,考查学生的空间想象能力和计算能力. 【解析】选B.如果,画出圆柱的轴截面:r=BC=2,那么圆柱的体积V=πr 2h=π×22⎛ ⎝⎭×1=34π. 6.(2017·北京高考理科·T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( )D.2【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积与表面积.意在培养学生的数形结合与运算能力. 【解析】选B.几何体是四棱锥,如图为三视图还原后的几何体,最长的棱长为所在正方体的体对角线,l==2【技巧点拨】如何依据三视图确定空间几何体,长方体是确定空间几何体的主要模型,充分把三视图与(投影面)长方体两两垂直的三个平面建立联系.7.(2017·北京高考文科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.60B.30C.20D.10【命题意图】本题主要考查根据几何体三视图求几何体的体积.意在培养学生的数形结合与运算能力.【解析】选C.由三棱锥的三视图可知,该三棱锥的直观图为A-BCD ,如图所示,其所在长方体的长、宽、高分别为5,3,4,所以V A-BCD =3×4×5-4×1134532⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭错误！未找到引用源。

高考文数考点解析空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T7)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉18剩余的部分,如图所示,依题意得78×43πR 3=28π3,解得R=2, 所以该几何体的表面积为4π×22×78+43π×22=17π. 2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T7)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π【解题指南】观察三视图,确定圆柱和圆锥的底面半径和高,再利用表面积是各个面的和进行计算.【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r ,周长为c ,圆锥母线长为l ,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得: l =,S 表=πr 2+ch+21c l =4π+16π+8π=28π.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12π B.323π C.8π D.4π 【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π. 4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T10)与(2016·全国卷3·理科·T9)相同如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )B.54+18C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为的矩形,前后为底边为3,侧棱为的平行四边形,且底边上的高为6,所以S=9+9+18+18+9+9.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是 ( ) A.4π B.9π2 C.6π D.32π3【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB ⊥BC ,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102+-=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2. 6.(2016·山东高考文科·T5)同(2016·山东高考理科·T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ( )A.13+23πB.13+πC.13+ππ【解题指南】充分利用三视图各测度的数值,还原几何体本身各测度的数值,进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=43π·3⎝⎭×12+13×1×1×1=13π. 7.(2016·天津高考文科·T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.8.(2016·北京高考理科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.61B.31 C.31D.1【解题指南】三棱锥的体积为31Sh.【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=21×1×1=21,所以体积V=31Sh=61.二、填空题9.(2016·浙江高考理科·T11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:723210.(2016·浙江高考理科·T14)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积,再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值,注意基本不等式的适用条件.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC==设CD=x,则AD=2-x,所以PD=2-x,所以V P-BCD=13S△BCD·h≤13×12BC·CDsin30°·PD=16×2x×12×(2)=16x(2)≤216⎝⎭=16×2⎝⎭=12, 当且仅当x=2-x ,即x==”, 此时PD=BD=1,PB=2,满足题意. 答案: 1211.(2016·浙江高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S 表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm 2),V=23+4×4×2=40(cm 3).答案:80 4012.(2016·四川高考理科·T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状,代入公式即可得出几何体的体积. 【解析】由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为h=1,则体积V=13Sh=13×112⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×1=.答案:13.(2016·四川高考文科·T12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】根据俯视图求出底面积,根据侧视图求出高,从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12××高为1,所以该几何体的体积V=13Sh=13××1=答案:14.(2016·天津高考理科·T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则该四棱锥的体积为 m 3.【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解. 【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=2×1×3×13=2. 答案:215.(2016·北京高考文科·T11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.【解题指南】四棱柱的体积为底面积乘以高.【解析】由俯视图可知底面面积为错误！未找到引用源。

2018年数学专题29空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积热点题型和提分秘籍理

专题29 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式热点题型一空间几何体的结构特征例1、给出下列四个命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。

其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【提分秘籍】空间几何体结构特征的解题策略（1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.（2)通过举反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.【举一反三】给出下列四个命题:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是__________.答案:①②③④热点题型二由几何体的直观图识别三视图例2、【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为()12242122⨯+⨯⨯=,故选B.【变式探究】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0,1),(1,1,0）,（0，1,1），(0，0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正（主)视图可以为( ）A B C D解析：如图所示,该四面体在空间直角坐标系O。

学案8：§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图板块一知识梳理·自主学习必备知识考点1简单几何体1.简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕或等腰梯形绕旋转得到，也可由的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕旋转得到．2.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形；(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．考点2直观图1.画法：常用．2.规则(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．考点3三视图1.几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的方、方、_______方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图.2.三视图的画法(1)基本要求：，，．(2)画法规则：一样高，一样长，一样宽；看不到的线画线．必会结论1.斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.2.直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．考点自测 1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)球的任何截面都是圆．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( ) (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．( )(5)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝ 90°，则在直观图中∠A ＝45°.( )2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 3.如图，直观图所表示的平面图形是( )A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形4.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()5.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()板块二典例探究·考向突破考向1空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点触类旁通解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 变式训练1 以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( ) A.0 B ．1 C ．2 D ．3 考向2 空间几何体的三视图命题角度1 由空间几何体的直观图识别三视图例2 如图甲，将一个正三棱柱ABC －DEF 截去一个三棱锥A －BCD ，得到几何体BCDEF ，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )命题角度2 由空间几何体的三视图还原直观图例3 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 命题角度3 由两个视图补画第三个视图例4 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()触类旁通三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.考向3空间几何体的直观图例5已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2变式探究若本例改为“△A1B1C1是边长为a的正三角形，且△A1B1C1是△ABC的直观图”，则△ABC的面积为多少？变式训练2如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A.24 2B.12 2C.48 2D.20 2归纳领悟核心规律1.掌握棱柱、棱锥的结构特征．2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状．3.三视图的画法：(1)分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”．满分策略1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．板块三启智培优·破译高考易错警示系列——三视图识图不准致误在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②错因分析本题易出现的错误：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．答题启示在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来.跟踪训练一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()参考答案板块一知识梳理·自主学习必备知识考点1简单几何体1. (1)矩形(2)直角边(3)直角腰上下底中点连线平行于圆锥底面(4)直径2. (1)平行且相等全等(2)公共点(3) 平行于棱锥底面考点2直观图1.斜二测画法2.(1)垂直(2)平行于坐标轴不变变为原来的一半考点3三视图1.正前正左正上2. (1)长对正长对正宽相等(2)正侧正俯侧俯虚考点自测1.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.【答案】 B【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．故选B.3. 【答案】 D【解析】由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC 是直角三角形．故选D.4.【答案】 C【解析】若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.故选C. 5.【答案】 C【解析】此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C. 板块二典例探究·考向突破考向1 空间几何体的结构特征例1 【答案】 B【解析】 A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠P AB ，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．变式训练1 【答案】 A【解析】命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选A. 考向2 空间几何体的三视图命题角度1 由空间几何体的直观图识别三视图例2 【答案】 C【解析】由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB ⊥平面DEF ，△DEF 是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为AB 的中点与D 的连线，CD 的投影与底面不垂直．故选C. 命题角度2 由空间几何体的三视图还原直观图例3 【答案】 A【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体， ∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A.命题角度3 由两个视图补画第三个视图例4 【答案】 B【解析】由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B. 考向3 空间几何体的直观图例5 【答案】 D【解析】如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.变式探究解：在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin45°＝x sin120°，得x ＝62a ，∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.变式训练2 【答案】 A【解析】由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.故选A.板块三启智培优·破译高考易错警示系列——三视图识图不准致误【答案】 D【解析】在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.故选D.跟踪训练【答案】 A【解析】在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在zOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的．故选A.。

第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积

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1.解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合方式; 2.由三视图求几何体的表面积、体积时,关键是由三视图还原几何体,同时还需掌握求体积的常用技巧,如:割补法和等价转化法.
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3-1 (2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( )
图①
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2 ∵在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE= . 2
∵四边形AECD为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC= +1.
2 2
由此可还原原图形如图②.
图②
2 +1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C', 在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'= 2
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3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是 ( )
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答案 A 由直观图的画法可知,落在y轴上的对角线的长度为2 2 .
4.直角三角形两直角边AB=3,AC=4,以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体的体积为 ( A.12π
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第一节空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积
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1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱:侧棱都① 平行且相等 ,上、下底面平行且是② 全等多面体的多边形. (2)棱锥:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台:可以由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是

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考点18 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1.（2010·陕西高考理科·Ｔ7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）(A) 13(B)23(C) 1 (D) 2【命题立意】本题考查三视图的概念及空间想象能力，属中等题。

【思路点拨】三视图⇒几何体是直三棱柱⇒该几何体的体积【规范解答】选C 由该几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，且棱柱的底面是两直角边长分别为和1的直角三角形，棱柱的高为，所以该几何体的体积1(1) 1.2V==2.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知SABC是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1 BC则球O的表面积等于（）（A）4π(B）3π(C)2π(D) π【命题立意】本题考查了空间是两点间距离公式和球的表面积公式。

【思路点拨】【规范解答】选A。

SA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，SA AB∴⊥，SA AC⊥，故可以A为原点，AC所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则(0,0,0)A,33B,C,(0,0,1)S,设球心O坐标为000(,,)x y z，则点O到各顶点SABC的距离相等，都等于球的半径R。

2222000222200022220002222000(((0)(0)((0)(0)(0)(1)x y z Rx y z Rx y z Rx y z R⎧++=⎪⎪+-+-=⎪∴⎨⎪-++-=⎪⎪-+-+-=⎩，解得200010,,,122x y z R====，∴球的表面积为24414R πππ=⨯=。

故选A 。

【方法技巧】1、选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，2、也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC 是直角，所以AC 是过A 、B 、C 三点的小圆的直径，所以球心在过AC 和平面ABC 垂直的平面上，可知球心在平面SAC 中，又因为球心到点SAC 的距离都相等，且△SAC 是直角三角形，所以球心就是斜边SC 的中点，球的半径为SC 的一半，3、再一种方法是将三棱锥S-ABC 补成一个长方体。

3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（）(A)（(B)（1,(D) （0, 【命题立意】以三棱锥为背景考查三角形中的三边关系考查空间想象能力和运算能力。

【思路点拨】分两种情况，一种是边长为a 的棱在一个三角形中，另一种情况时长度为a 的棱不在一个三角形中，分别讨论。

【规范解答】选A对于第一种情况，取BC 的中点D 连结PD 、AD，则PD 在三角形PAD 中，有222PA AD PD AD PA PD a PD PA AD ⎧<<+⎧⎪<++<<⎨⎪<+⎩<即对于第二种情况同理可以得到0a <<综合两种情况，及04a <<，所以a 的取值范围是（。

4.（2010·安徽高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（） A 、280B 、292C 、360D 、372【命题立意】本题主要考查三视图知识，考查考生的空间想象能力．【思路点拨】把三视图转化为直观图，进而运算求解。

【规范解答】选 C ，由几何体的三视图可知，该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

其中下面的长方体的长、宽、高分别为8、10、2, 上面的长方体的长、宽、高分别为6、2、8,所以该几何体的表面积为2(81082102)2(6828)360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确。

【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决此题的关键。

由三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度，把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

5.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3 （D ）1603cm3【命题立意】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题。

【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积。

【规范解答】选B 。

此几何体上方为正四棱柱、下方为正四棱锥。

所以其体积为22231320422(4848)33V cm =⨯+⨯++⨯=。

【方法技巧】对于不规则几何体求体积时可分几部分规则的几何体，再求体积和。

6.（2010·北京高考理科·Ｔ3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）4【命题立意】本题考查三视图知识，考查同学们的空间想象能力。

【思路点拨】结合正、侧视图，想象直观图。

【规范解答】选C。

由主、左视图可知直观图如图所示：因此，俯视图是（C）。

7.（2010·北京高考理科·Ｔ8）如图，正方体ABCD-1111A B C D的棱长为2，动点E、F在棱11A B上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，1A E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（）（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关【命题立意】本题考查几何体体积的求法，关键是找到易求面积的底面与高。

考查空间想象能力，运算能力。

【思路点拨】把PEFQ的体积表示出来。

由于EFQ∆中，1EF=，Q到EF的距离为侧面的对角线长，故选择EFQ∆为底面。

点P到EFQ∆的距离，即是点P到对角面11A B CD的距离。

【规范解答】选D。

112EFQS=⨯⨯=点P到平面EFQ z，13P EFQ EFQV S h-=⋅13z=。

因此体积只与z有关，而与,x y无关。

（A）（B）（C）（D）A BCD1A1B1C1DE FPQ8.（2010·北京高考文科·Ｔ8）如图，正方体1111ABCD-A B C D的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上。

点Q 是CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x ，1A E=y(x,y 大于零)，则三棱锥P-EFQ 的体积：（）（A ）与x ，y 都有关；（B ）与x ，y 都无关；（C ）与x 有关，与y 无关；（D ）与y 有关，与x 无关；【命题立意】本题考查几何体体积的相关知识，关键是找到易求面积的底面与高。

【思路点拨】把EFQ 看作底面，点P 到对角面11A B CD 的距离即为对应的高。

【规范解答】选C。

12EFQ S EF ∆=⋅=，点P 到平面EFQx 。

11333P EFQ EFQ xV S h x -∆=⋅==。

9.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）ABCD 1A 1B 1C 1D E FPQABCD 1A 1B 1C 1D E FPQABD 1A 1B 11D EFPQ（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相对关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.【规范解答】选Ｂ.设球心为O ，设正三棱柱上底面为ABC ∆，中心为O '，因为三棱柱所有棱的长都为a ，则可知OO ' 2a=，3O A a '=，又由球的相关性质可知，球的半径6R a ==，所以球的表面积为22743R a ππ=，故选Ｂ. 10.（2010·福建高考文科·Ｔ3）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于（）【命题立意】本题考查三棱柱的三视图与直观图、表面积。

【思路点拨】把三视图恢复成直观图，求出各个侧面的侧面积，进为求出总的侧面积。

【规范解答】选D ，三棱柱的直观图如下：底面为边长2的正三角形，侧棱长为1的正三棱柱，()S 1236∴=⨯⨯=侧。

11.（2010·广东高考理科·Ｔ6）如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是（）AB C D【命题立意】本题考察三视图的画法。

【思路点拨】可由投影的方法得到。

【规范解答】选D 由AA '//BB '及3AA '=32BB '可得四边形''ABB A 的投影为梯形，再由ABC'A 'B 'C 1图3AA '=32BB '=CC ' =AB 及底面为三角形可得正视图为D 。

12.（2010 ·海南宁夏高考·理科T14）正视图为一个三角形的几何体可以是．(写出三种) 【命题立意】本题主要考查空间几何体的三视图的相关知识. 【思路点拨】一般来说，椎体的正视图中才会出现三角形.【规范解答】由几何体的三视图可知，正视图为三角形的可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等. 【答案】三棱锥、圆锥、四棱锥（不唯一）13.（2010·天津高考文科·Ｔ１2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题。

【思路点拨】由三视图还原几何体的形状。

【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2⨯⨯（12）213 【答案】3【方法技巧】根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，综合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”与“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常见方法。

14.（2010·湖南高考文科·Ｔ13）图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h= cm 【命题立意】考查空间想象能力和把三视图等价转化为直观图的能力。