全国高考理课数学概率统计课件大题2015完美

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2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)

2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。

（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

2015高考数学全国二卷[理科]完美版课件.doc

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷( 非选择题)两部分，共150 分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共60 分)2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12 小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M＝{0,1,2} ，N＝{ x| x2－3x＋2≤0} ，则M∩N＝( )A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2} 2．设复数z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( )A．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i3．设向量a，b满足| a＋b| ＝10，| a－b| ＝6，则a·b＝( )A．1 B ．2 C ．3 D ．54．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则A C＝( )A．5 B. 5 C ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75 ，连续两天为优良的概率是0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1( 表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727B.59C.1027D.137．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t 均为2，则输出的S＝( )A．4 B ．5 C ．6 D ．78．设曲线y＝ax－ln( x＋1) 在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B ．1 C ．2 D ．3专业技术参考资料x ＋y －7≤ 0， x －3y ＋ 1≤ 0，9．设x ，y 满足约束条件则z ＝2x －y 的最大值为()3x －y － 5≥ 0，A ．10B ．8C ． 3D ．2210．设F 为抛物线C ：y ＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交 C 于 A ，B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为( )A. 3 3 4B. 9 3 8C. 63 32D. 9 411．直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，∠ BCA ＝90°，M ，N 分别是 A 1B 1，A 1C 1 的中点， BC ＝ C A ＝C C 1，则B M 与 AN 所成角的余弦值为( )A. 1 10B. 2 5C. 30 10D. 2 22014· 新课标Ⅱ卷第 2页12.设函数 f ( x ) ＝ 3sinπx 2m . 若存在 f ( x ) 的极值点 x 0满足 x＋[ f ( x 0)] 22<m ，则m 的取值范围是 ( )A ．( －∞，－ 6) ∪ (6 ，＋∞ )B ． ( －∞，－ 4) ∪(4 ，＋∞)C ．( －∞，－ 2) ∪ (2 ，＋∞ )D ． ( －∞，－ 1) ∪(1 ，＋∞)第Ⅱ卷 ( 非选择题共 90 分)二、填空题( 本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13． ( x ＋a )10 的展开式中， x 7 的系数为15，则a ＝________.( 用数字填写答案 ) 14．函数 f ( x ) ＝sin( x ＋2φ) －2sin φcos( x ＋φ) 的最大值为________． 15．已知偶函数 f ( x ) 在[0 ，＋∞)单调递减， f (2) ＝0. 若 f ( x －1)>0 ，则x 的取值范围是 ________．16．设点 M ( x 0, 1) ，若在圆O ：x2＋y 2＝1 上存在点 N ，使得∠ OM ＝N 45°，则x的取值范围是________．三、解答题( 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17． ( 本小题满分 12 分) 已知数列 { a n }满足 a 1＝ 1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明 a n ＋ 1 2是等比数列，并求 { a n } 的通项公式；11 (2)证明＋＋⋯＋13 < . a n 2a1 a2参考资料专业技术2014·新课标Ⅱ卷第3页18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为P D的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．19．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：专业技术参考资料年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1) 求y 关于t 的线性回归方程；2014·新课标Ⅱ卷第4页(2) 利用(1) 中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n－y －i ＝1 t i －y∑i －t^b＝n－ 2i ＝1 t∑i－t^－，a＝y^－－b t .20.( 本小题满分12 分)设F1，F2 分别是椭圆C：2x2＋a2y2＝1( a>b>0)的左、右焦点，M是C上一b点且M F2 与x轴垂直，直线M F1 与C的另一个交点为N.3(1) 若直线M N的斜率为，求C的离心率；42014·新课标Ⅱ卷第5页(2) 若直线M N在y轴上的截距为2，且| MN| ＝5| F1N| ，求a，b.专业技术参考资料x －x21．( 本小题满分12 分) 已知函数 f ( x) ＝e －e －2x.(1) 讨论 f ( x) 的单调性；(2) 设g( x) ＝f (2 x) －4bf( x) ，当x>0 时，g( x)>0 ，求b 的最大值；(3) 已知1.414 2< 2<1.414 3 ，估计ln 2 的近似值( 精确到0.001) ．2014·新课标Ⅱ卷第6 页请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．( 本小题满分10 分)选修4－1：几何证明选讲如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为P C的中点，AD的延长线交⊙O于点E. 证明：(1) BE＝EC；专业技术参考资料2(2) AD·D E＝2PB.23．( 本小题满分10 分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，(1) 求C的参数方程；π2.(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2 垂直，根据(1) 中你得到的参数方程，确定D的坐标．24．( 本小题满分10 分)选修4－5：不等式选讲设函数 f ( x) ＝x＋1a ＋| x－a|( a>0) ．(1)证明：f( x) ≥2；(2) 若f (3)<5 ，求a的取值范围．专业技术参考资料。

2015年高考数学总复习精品课件：专题六概率与统计

第八页，编辑于星期五：十一点二十四分。
方法二：设个位数与十位数分别为 x，y，则 x＋y＝2k－1， k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以 x，y 分别为一奇一偶，第一类 x 为奇数，y 为偶数共有 C51×C15＝25(个)数；第二类 x 为偶数，y 为奇数共有 C14×C15＝20(个)数.两类共有 45 个数，其中个位是 0，十位数是奇数的两位有 10,30,50,70,90 这 5 个数，所以其中个位数是 0 的概率是455＝19.故选 D.
(1)估计该校高三男生的平均身高；
(2) 从身高在 170 cm( 含 170 cm) 以上的样本中随机抽取 2 人，记身高在 170～175 cm 之间的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
(部分参考数据：167.5×0.125＋172.5×0.35＋177.5×0.325
＝139.00)
答案：C
第十三页，编辑于星期五：十一点二十四分。
考点 3 抽样方法的判断与计算例 3：(1)某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽
样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本，则
此样本中男生人数为____________. (2)已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否
达标，现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出的号码为_________.
第十四页，编辑于星期五：十一点二十四分。
解析：(1)总体中男生与女生的比例为 4∶3，样本中男生人数为 280×47＝160(人).
(2)此抽样方式为系统抽样，则应将3000袋奶粉分成150组，每组 20袋.每组抽出号码依次构成排列，构成以11为首项，20为公差的等差数列{an}，则第六十一组抽出号码为a61，故a61＝11＋60×20 ＝1211.

2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g （x ）＞0⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5A ：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行， ∴λ+=t （+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=x +y 的最大值为．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由得D （1，），所以z=x +y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n =﹣．【考点】8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】通过S n+1﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．祝福语祝你考试成功!。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(概率、统计、统计案例、推理与证明)

8. （2015 湖北文）已知变量 x 和 y 满足关系 y 0.1x 1 ，变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的
是（）
A． x 与 y 负相关， x 与 z 负相关
B． x 与 y 正相关， x 与 z 正相关
C． x 与 y 正相关， x 与 z 负相关
D． x 与 y 负相关， x 与 z 正相关
数为 x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即 320 16 ，解得 x9
x 180 .
考点：分层抽样.
3．（2015 福建理）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，
得到如下统计数据表：
收入 x （万 8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
则 card card F （）
A． 50
【答案】D
B．100
C．150
D． 200
考点：推理与证明．
6．（2015
湖北理）在区间 [0,
1] 上随机取两个数
x, y
，记
p1 为事件“
x
y
1 2
”的概率，
p2
为事件
“|
x
y
|
1 2
”的概率，
p3
为事件“
xy
1 2
”的概率，则
（
）
A． p1 p2 p3
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9.
（2015 湖北文）在区间[0,
1]
上随机取两个数
x,
y
，记
p1
为事件“
x
y
1 2
”
的概率，
p2

2015年高考真题概率与统计(理科)

2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）1．（2015•广东理）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？2．（2015•新课标二卷理）（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．3．（（2015•新课标一卷理）本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望 4．（2015•重庆理）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =，w =1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：5．（2015•天津理）（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7．（2015•陕西理）本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．8．【2015高考山东，理19】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；分；若能被10整除，得1分.若能被5整除，但不能被10整除，得1（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.9．（2015•湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．11．（2015•安徽理）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．13．（2015•北京理）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅱ）如果25（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2015年高考真题解答题专项训练：概率与统计（理科）参考答案1．（1）44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）平均值40；方差：（3）23人．63.89%．【解析】试题分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.48．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”； 2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C = ．1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B PC 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．考点：1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件． 3．（1）14；（2）分布列见解析，期望为35．【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数为310C ，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为111235C C C ，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此X 的可能值分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求得期望为35．试题解析：（1）令A 表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101(A)4C C C P C ==；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，且383107(X 0),15C P C ===12283107(X 1),15C C P C ===21283101(X 2),15C C P C ===故7713E(X)0121515155=???．考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力． 4．（Ⅰ）y c =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）100.6y =+46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w 先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()()ii i ii w wy ydw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴ cy dw =- =563-68×6.8=100.6. ∴y 关于w 的线性回归方程为 100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为100.6y =+（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.6y =+， 576.60.24966.32z=⨯-= . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.620.12zx x =+-=-+ ，13.6=6.82，即46.24x =时，z取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识5．（Ⅰ）635;()52E X =【解析】（Ⅰ）由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -===所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望. 6．（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=.（2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力. 7．（Ⅰ）分布列见解析，32；（Ⅱ）0.91．【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（Ⅱ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）（Ⅱ）设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=．考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率． 8．（Ⅰ）有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）X 的分布列为21EX =【解析】试题分析：（Ⅰ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（Ⅱ）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX . 解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此()3839203C P X C === ()24391114C P X C =-== ,()12111114342P X ==--=,因此0(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 考点：1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.9．（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，∴1(3,)5X B ，于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()P X C ===，故X 的分布列为X 的数学期望为 13()355E X =⨯=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望. 【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.10．（Ⅰ）Z 的分布列为：()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为第20题解答第20题解答第20题解答因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布． 11．（Ⅰ）310；（Ⅱ）350. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .得出1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出分布列，求出期望136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .1123253()10A A P A A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400.22251(200)10A P X A ===.31123232353(300)10A C C A P X A +===. 136(400)1(200)(300)1101010P X P X P X ==-=-==--=.136200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. 考点：1.概率；2.随机变量的分布列与期望.12．（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望为52．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 13．（Ⅰ）37，（Ⅱ）1049，（Ⅲ）11a =或18 【解析】试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为37；如果25a =，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为1049，由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，由于A ，B 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以11a =或18.试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37P =； (Ⅱ) 如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率1049P =. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)考点：1、古典概型；2、样本的方差。

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。

2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。

为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。

按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。

1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。

4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。

2015年高考-概率与统计试题(有详细答案)详解

2015年高考-概率与统计试题1.（15北京理科）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a=或182.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300【答案】C【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x=，解得180x=.考点：分层抽样.3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【答案】B【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V=升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S=-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均耗油量.4.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙、数学【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.5.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.商品顾客人数【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.6.（15年广东理科）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．【答案】13．【解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13．【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题． 7.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。

2015年高考数学—概率(解答+答案)

2015年高考数学—概率（解答+答案）1.（2015新课标Ⅰ文数（19）（本小题满分12分））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x ry u r w u r821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w y y =--∑46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 x 1, ，w u r =1881i w =∑1（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。

根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？+u的斜率和附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （u n v n）,其回归线v=αβ截距的最小二乘估计分别为：2.（2015新课标II文数18．（本小题满分12分））某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。

A地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由频率/5060708090100 满意度评分405060708090满意度评分100 频率/3.（2015安徽文数17.（本小题满分12分））某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.4.（2015北京文数（17）（本小题13分））某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

2015届高考数学总复习配套专题精讲：专题六高考中的概率与统计问题(共47张PPT)

(2(2)X)若可走取路0线,1,2L转2，化求为遇独到立红事灯件次的数积X事的件数的学概期率望；； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生
(3分)转析化上为述比两较条路E(线X)中、，E(选Y)择的哪大条小路．线上班更好些，并说明理由．
考点自测
高考题型突破
练出高分第十三页，编辑于星期五：十点十分。
考点自测
高考题型突破
练出高分第十七页，编辑于星期五：十点十分。
高考题型突破
跟踪训练 2 (2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，
企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某
轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年．现从该
厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下：
设P(C各)＝次P考(A试1 成B1绩B2合＋格A1与B1否B互2 ＋不影A1响A2．B1)
＝(1)P求(A他1)P不( B需1要)P补(B2考)＋就P可(A获1)P得( B证1 书)P(的B概2 )＋率P．( A1 )P(A2)·P(B1) ＝(分2)23别在×参这12×加项12考2＋次试23×、过123程×次中12、＋，413假×次设23考×他试12不＝的放49概，弃率所．有的考试机会，求他
区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条到遇PP((红到路XX＝＝灯红线21的灯())如＝＝概的图3434率概××)，均率 351＝路－为依2线9350次12.；＋L为路1134上－线，有3435L.×A2 上135，＝有A2920B，，1，A3B三2 两个个路路口口，，各各路路口口遇随(1机)若变走量路X线的L分1，布求列最为多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走路线 L2，求遇到红灯次数 X 的数学期望； (3)按照“X 平均0遇到红1灯的次2数最少”的要求，请你帮助李先生

2015年高考数学真题分类汇编：专题(12)概率和统计(理科)及答案

专题十二概率和统计1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是（）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识，考查样本数据的数字特征，考查学生的数据处理能力.2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215【答案】B ．【解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以从袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为5010=10521，故选B ．【考点定位】排列组合，古典概率．【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球的组合，属于容易题．3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π- D ．112π+【答案】B【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．【名师点晴】本题主要考查的是复数的模和几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B【解析】该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=，故选B ．【考点定位】扇形图．【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系． 6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 【考点定位】用样本估计总体.【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32【答案】C【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯，所以其标16=.故选C.【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用.【名师点睛】已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直接用X 的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX 、标Y aX b =+的均值aEX b +、方差2a DX 、标准差.8.【2015高考湖北，理4】设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称． ③曲线在μ=x 处达到峰值πσ21.④曲线与x 轴之间的面积为1.⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故 80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．【考点定位】线性回归方程．【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要注意计算的准确性．10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<【答案】B【解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ，对事件“1||2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132S S S <<，正方形的面积为111=⨯，根据几何概型公式可得231p p p <<.（1）（2）（3）【考点定位】几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

2015高考理数一轮复习课件：12.1 随机事件及其概率

第八页，编辑于星期五：十五点二十三分。
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第二十一页，编辑于星期五：十五点二十三分。
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第十二章概率与统计
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2015年高考数学总复习精品课件：第14章第1讲随机事件的概率

解：(1)P(A)＝10100，P(B)＝110000＝1100，P(C)＝150000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为10100，1100，210. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C. ∵A，B，C 两两互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝1＋11000＋0 50＝160100.故 1 张奖券的中奖概率为160100.
是随机事件，基本依据就是在一定条件下，所求的结果是否一
定出现、不可能出现还是既可能出现也可能不出现.
第十三页，编辑于星期五：十一点二十五分。
【互动探究】 1．一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球． (1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是
(3)A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火
车站；
B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车
站．
由(2)知 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)． ∴甲应选择 L1. P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)， ∴ 乙应选择 L2.
第十四章概率
第 1 讲随机事件的概率
第一页，编辑于星期五：十一点二十五分。
考纲要求
考情风向标
本考点考题经常在选择
1.了解随机事件发生的不确定题、填空题或解答题的第一、性和频率的稳定性，了解概率第二题出现，多与其他知识相

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第十二章+概率 12.1 事件与概率(共33张PPT)

于它的理论概率.因此频率只能近似地反映事件发生可能性的大小,
频率是通过大量试验得到的,它的变化始终围绕着一个常数值,即概
率.概率是个理论值,是由事件的本质所决定的,与试验的次数无关,
它能准确反映事件出现可能性的大小,试验频率与理论概率是不能
等同的.
第五页，编辑于星期五：十一点十二分。
6
梳理自测
3.事件的关系与运算
第十二章
概率
第一页，编辑于星期五：十一点十二分。
12.1 事件与概率
第二页，编辑于星期五：十一点十二分。
考纲要求
考纲要求
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频
率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
第三页，编辑于星期五：十一点十二分。
4
梳理自测
1.事件的分类
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十四页，编辑于星期五：十一点十二分。
探究突破
举一反三 1 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A,B,C,D 的概率分别
为 0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )
A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件
B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件
关闭
探究突破
(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t
-2, < 94,
的关系式为 y= 2,94 ≤ < 102,估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于
4, ≥ 102,
0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润.

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套精讲课件第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第九节离散型随机

提
(1)关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；
示 (2)类似第(1)问写出分布列，根据期望、方差的公式
建立方程求解.
[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故 P(ξ＝2)＝36× ×36＝14，P(ξ＝3)＝2×6×3×6 2＝13，
的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一
个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X
的均值 E(X)＝
()
126
6
A.125
B.5
C.116285
D.75
解析：依题意，X 的取值可能为 0,1,2,3，且 P(X＝0)＝12275，P(X ＝1)＝15245，P(X＝2)＝13265， P(X＝3)＝1825，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2) ＋3×P(X＝3)＝0×12275＋1×15245＋2×13265＋3×1825＝115205＝65，故选 B .
A．0.16
B．0.32
C ．0.68
D．0.84
想一想
解答此类问题的关键是什么？
[解析] (1)P(0＜ξ＜1)＝P(ξ＜2)－P(ξ＜1)＝0.8－0.5 ＝0.3，故选 B.
[答案] B (2) 因为曲线的对称轴是直线 x＝2，所以由图知 P(ξ≤0) ＝P(ξ＞4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.

i＝1
(xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．称
D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变量 X
的标准差． (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ． (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)＝ p(1－p)． (4)若 X～B(n，p)，则 D(X)＝ np(1－p)．

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第19讲│ 命题立意追溯
1 解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为， 3 2 去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏” 3 i 1 i 2 4－ i 为事件 Ai(i＝0,1,2,3,4)，则 P(Ai)＝C43 3 . (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 8 2 1 2 2 2 P(A2)＝C4 3 3 ＝ . 27
i＝ 1 n
方差和标准差
E(X)]2pi，标准差：σX＝ DX
D(aX＋b)＝a2D(X)
第19讲│ 要点热点探究
► 探究点三有关正态分布问题
图 6－19－1 例 4 [2012· 课程标准卷] 某一部件由三个电子元件按图 6 －19－1 方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 ________．
第19讲│ 命题立意追溯
解：(1)由已知得 p1＋p2＋p3＝1. ∵p2＝p3，∴p1＋2p2＝1. ∵p1，p2 是方程 25x2－15x＋a＝0 的两个根， 3 1 2 ∴p1＋p2＝ .∴p1＝，p2＝p3＝ . 5 5 5 (2)ξ 的可能取值为 0,100,200,300,400. 1 1 1 1 2 4 P(ξ＝0)＝ × ＝，P(ξ＝100)＝2× × ＝， 5 5 25 5 5 25 1 2 2 2 8 P(ξ＝200)＝2× × ＋ × ＝， 5 5 5 5 25 2 2 8 P(ξ＝300)＝2× × ＝， 5 5 25 2 2 4 P(ξ＝400)＝ × ＝ . 5 5 25
10
55
第19讲│ 教师备用例题
(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次．记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方差 D(X)．附： P(K2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635
第19讲│ 命题立意追溯
[思考流程] (1)(条件)如题干 ⇨ (目标)确定 4 人中恰好有 2 人参加甲游戏需确定每个人参加甲游戏的概率 ⇨ ( 方法 ) 根据掷出的骰子的点数确定，使用独立重复试验概型求解； (2)(条件)如题干 ⇨ (目标)4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 ⇨ (方法)确定参加甲游戏人数，只能是 4 人和 3 人，根据独立重复试验概型求解． (3)( 条件 ) 如题干 ⇨ ( 目标 ) 随机变量的分布列与数学期望 ⇨ (方法)确定 ξ 的取值及取值的意义，ξ＝0,2,4，根据取值意义求解对应概率得分布列，根据数学期望公式求解 Eξ.
－1 m m m m－1 r r r r r＋1 An ＝mAm ＋ A ； A ＝ n A . C ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ C －－－＋＋ n 1 n 1 n n 1 r r 1 r 2 n n＋ 1 ； 2 3 n n－ 1 C1 . n＋2Cn＋3Cn＋„＋nCn＝n2
例将 5 名支教志愿者分配到 3 所学校，每所学校至少分 1 人，至多分 2 人，且其中甲、乙 2 人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A．78 种 B．36 种 C．60 种 D．72 种先不考虑甲、乙 2 人是否分到同一所学校，共有不同的分配方 2 2 1C4C2 法：C5 2 · A3 3种；其中，甲、乙 2 人分到同一所学校，有不同的 A2 2 3 分配方法：C2 2C3A3种，故甲、乙 2 人不分到同一所学校，不同的分 2 2 C 4C2 2 2 3 配方法有 C1 A3 2 · 5 3－C2C3A3＝72 种．故选 D. A2
第19讲│ 命题立意追溯
(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 8 40 P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， 27 81 17 P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝ . 81 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 2 4 8 40 17 P 27 81 81 8 40 17 148 随机变量 ξ 数学期望 Eξ＝0× ＋2× ＋4× ＝ . 27 81 81 81
第19讲│ 要点热点探究
解法二：设该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000,502)，所 1 以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的概率分别为 P1＝，P2 2 1 1 1 1 1 ＝，P3＝ .故 P(A)＝P1 P2 P3＋ P1 P2P3＋P1P2P3＝ ×1－2× ＋ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1－ × × ＋ × × ＝ . 2 2 2 2 2 2 8
19讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间 Q(单位：年)有关．若 Q≤1，则销售利润为 0 元；若 1<Q≤3，则销售利润为 100 元；若 Q>3，则销售利润为 200 元．设每台该种设备的无故障使用时间 Q≤1,1<Q≤3 及 Q>3 这三种情况发生的概率分别为 p1，p2，p3，又知 p1，p2 是方程 25x2－15x ＋a＝0 的两个根，且 p2＝p3. (1)求 p1，p2，p3 的值； (2)记 ξ 为销售两台这种设备的利润总和，求 ξ 的分布列和数学期望．
第19讲│ 命题立意追溯
(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B＝A3∪A4，由于 A3 与 A4 互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝ 1 3 1 3 2 4 1 4 C43 3＋C43 ＝ . 9 所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 1 数的概率为 . 9
第19讲│ 要点热点探究
[点评] 正态分布 N(μ，σ2)中的 μ 是总体的均值，直线 x ＝μ 是正态密度曲线的对称轴，如果 X～N(μ，σ2)，则 P(X<μ) 1 ＝P(X>μ)＝ . 2
第19讲│ 要点热点探究
变式题设随机变量 ξ 服从正态分布 N(1， σ2)，则函数 f(x) ＝x2＋2x＋ξ 不存在零点的概率是( ) 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3
第19讲│ 教师备用例题
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “体育迷”有 25 人，从而 2×2 列联表如下
非体育迷
体育迷
总计
男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得 2 100 × 30 × 10 － 45 × 15 100 2 K＝＝ ≈3.030. 33 75×25×45×55
第19讲│ 要点热点探究
[答案] C
[解析] 函数 f(x)＝x2＋2x＋ξ 不存在零点，则 Δ＝4－4ξ<0， 1 2 ξ>1，因为 ξ～N(1，σ )，所以 μ＝1，P(ξ>1)＝ . 2
第19讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
运算求解能力——概率的计算技巧示例 [2012· 天津卷] 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏． (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ξ＝|X－Y|，求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ.
例 [2012· 辽宁卷 ] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”．
第19讲│ 教师备用例题
(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷男女总计体育迷总计
第19讲│ 要点热点探究
[思考流程] (分析)欲求整个部件使用寿命超过 1 000 小时的概率需确定各个元件使用寿命超过 1 000 小时的概率 ⇨ (推理)根据正态分布确定，然后计算元件 1 或者元件 2 寿命超过 1 000 小时概率 ⇨ (结论)根据独立事件同时发生的概率乘法公式确定最后结果．
第20讲 │ 主干知识整合
第20讲│ 要点热点探究
► 探究点二利用程序框图描述算法例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 如果执行图 6－20－1 所示的程序框图，输入正整数 N(N≥2)和实数 a1，a2，„，aN，输出 A，B，则( ) A．A＋B 为 a1，a2，„，aN 的和 A＋B B. 为 a1，a2，„，aN 的算术平均数 2 C．A 和 B 分别是 a1，a2，„，aN 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，„，aN 中最小的数和最大的数
第19讲│ 要点热点探究
[解析] A
[解析] 解法一：设该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000,502)，所以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的 1 1 1 1 P P 概率分别为 P1＝，P2＝，P3＝ .因为 P( A )＝ 1 2 P3＋ P3 ＝ 2 2 2 2 1 1 1 5 3 × × ＋＝，所以 P(A)＝1－P( A )＝ . 2 2 2 8 8