转化与化归思想、分类讨论思想

第2讲 转化与化归思想、分类讨论思想
一、转化与化归思想
[思想概述] 转化化归思想的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的数学问题A，通过某种转化手段，归结为另一 问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模
式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用
框图可直观地表示为：
[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之
相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思 路． (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题，三维降为二 维，难度降低，易于解答的数学问题分解(或分割)
成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原 问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加 一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
分类讨论的常见类型：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如 绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、
公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如 等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负， 对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比
难以入手，因此对参数θ取特殊值，进行推理求解．
(2)当问题难以入手时，可以先对特殊情况或简单情形进行 观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元 素，然后推广到一般情形，并加以证明．
类型二
换元及常量与变量的转化
【例 2】 已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)在[0，＋ π ∞)上是增函数．当 0≤θ≤2时，是否存在这样的实数 m，使 f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)＞f(0)对所有的
【例 4】 已知函数 f(x)＝x3＋x2－ax(a∈R)． (1)当 a＝0 时，求与直线 x－y－10＝0 平行，且与曲线 y＝f(x) 相切的直线方程； f x (2)求函数 g(x)＝ x －aln x(x＞1)的单调递增区间．
解
2 2 (1)设切点为 T(x0，x3 0＋x0)，f′(x)＝3x ＋2x.
π θ∈0，2均成
立？若存在，求出所有适合条件的实数 m；若不存在，请说 明理由．
解
假设存在适合条件的 m，
由 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)＝0. 又在[0，＋∞)上是增函数， 故 f(x)在 R 上为增函数． 由题设条件可得 f(cos 2θ－3)＋f(4m－2mcos θ)＞0. 又由 f(x)为奇函数，可得 f(cos 2θ－3)＞f(2mcos θ－4m)， ∴cos 2θ－3＞2mcos θ－4m， 即 cos2θ－mcos θ＋2m－2＞0.
[规律方法] (1)本题正确求解的关键有三点：①去对应法则“f”，
②将“cos θ”用“t”代换，将较复杂的三角函数不等式化为
二次不等式，③分离参数，转化为求最值． (2)在求解过程中，①切记注意t∈[0,1]，②分离参数注意不 等式的性质，不要弄错不等号的方向．对于形式较复杂的 式子，我们常通过更换某个(或某部分)变量的方法转化为相
[规律方法] (1)利用等比数列的前n项和公式时，需要分公比q＝ 1和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式 决定的．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心， 根据题目条件确定是否进行分类讨论．
(2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围
受限时，存在多种可能性．
类型四
由字母参数引起的分类讨论
较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．
(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关 系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置 关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．
分类讨论思想，在近年高考试题中频繁出现，涉及各种题型， 已成为高考的热点．考查的重点是含参数函数性质、不等式(方 程)问题，与等比数列的前n项和有关的计算推理，点、线、面 的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等．
解 (1)设数列{an}的公差为 d，由已知，得
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4， a1＝3， 解得 d＝－1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得 bn＝n· qn 1，于是
－
Sn＝1· q0＋2· q1＋3· q2＋…＋n· qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1· q1＋2· q2＋…＋(n－1)· qn－1＋n· qn . 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
∵点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点， ∴DE∥A1C， ∵A1C⊄平面 AB1D， DE⊂平面 AB1D， ∴A1C∥平面 AB1D. (2)∵△ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC. ∵平面 ABC⊥平面 B1BCC1， 平面 ABC∩平面 B1BCC1＝BC，AD⊂平面 ABC，
∴AD⊥平面 B1BCC1， ∵BC1⊂平面 B1BCC1，∴AD⊥BC1. ∵点 D 是 BC 的中点，BC＝ 2 2BB1，∴BD＝ 2 BB1.
2 BD CC1 ∵BB ＝ BC ＝ 2 ，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. 1 ∴∠BDB1∠＝BC1C. ∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90° ， ∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面 AB1D.
化：如解析几何中的斜率、函数中的单调性等；(3)数学各分支的
转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化．
[类型讲解] 类型一 具体与抽象、特殊与一般的转化
【例1】 已知f(θ)＝sin2θ＋sin2(θ＋α)＋sin2(θ＋β)，问是否存在常
数α，β，满足0≤α＜β≤π，使得f(θ)为与θ无关的定值．
[规律方法] (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需
按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不 确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．
类型三 由定理、性质、公式等引起的分类讨论
【例3】 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
由题意得
3x2 0＋2x0＝1，解得
1 x0＝－1 或3.
∴切线的方程为 x－y＋1＝0 或 27x－27y－5＝0. a (2)g(x)＝x ＋x－a－aln x(x＞1)， 由 g′(x)＝2x＋1－x ＞0 得 2x2＋x
2
－a＞0.令 φ(x)＝2x2＋x－a(x＞1)， 由于 φ(x)在(1，＋∞)上是增函数．∴φ(x)＞φ(1)＝3－a. ①当 a≤3 时，φ(x)＞0，则 g′(x)＞0. ∴g(x)的单调增区间为(1，＋∞)，
π 令 cos θ＝t，∵0≤θ≤2， ∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切 0≤t≤1， 不等式 t2－mt＋2m－2＞0 恒成立．
2 t －2 2 ∴t －2＞m(t－2)，即 m＞ 恒成立． t －2
t 2 －2 2 又∵ ＝(t－2)＋ ＋4≤4－2 2， t －2 t－2 ∴m＞4－2 2. ∴存在实数 m 满足题设的条件，m＞4－2 2.
对简单易解的问题．
类型三
命题的等价转化与化归
【例 3】 (2011· 盐城模拟)如图所示，在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中， 点 D 是 BC 的中点，BC＝ 2BB1，设 B1D∩BC1＝F，求证： (1)A1C∥平面 AB1D； (2)BC1⊥平面 AB1D.
证明
(1)连接 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连接 DE.
cos 2α＋cos 2β＝－1， 化简整理得 2 2 sin α＝sin β，
π 2 又因为 0≤α＜β≤π，所以得 α＝3，β＝3π.
下面证明 f(θ)＝sin θ＋sin
2
2
π 2π 2 θ＋ ＋sin θ＋ 的值与 3 3
θ 无关．
2π 4π 1 f(θ)＝21－cos 2θ＋1－cos2θ＋ 3 ＋1－cos2θ＋ 3
2
1 1 2 ∴a ＝2k＋2(k∈Z)，k 只取 0，此时 a ＝2，
2
2 ∵－1＜a＜0，∴a＝－ 2 . 答案 2 1，－ 2
[规律方法] (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不
同，必需进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概
念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的 内涵与外延． (2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要 进行讨论，如解二次不等式涉及到两根的大小等．
转化有等价转化和非等价转化，等价转化前后是充要条件，所以尽 可能使转化具有等价性，等价转化策略就是把未知解的问题转化到 在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断地
转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式
化、简单的问题．在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限 制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证． 预测2014年高考对转化与化归思想的考查的基本类型和重点为：(1) 常量与变量的转化：如分离变量，求范围等；(2)数与形的互相转
[类型讲解] 类型一 数学概念与运算引起的分类讨论
2 sinπx ，－1＜x＜0， f(x)＝ x－1 e ，x≥0.
【例 1】 函数
若 f(1)＋f(a)＝2，则
a 的所有可能值为________． 解析 (1)f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1.
由 f(1)＋f(a)＝2，得 f(a)＝1. 当 a≥0 时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1. 当－1＜a＜0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1， π ∴πa ＝2kπ＋2(k∈Z)．