转化与化归思想

专题三：转化与化归思想

【考情分析】

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。

预测2012年高考对本讲的考查为：

（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。

（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。

（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。

【知识交汇】

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；

（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；

（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；

（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

4．转化与化归的指导思想

(1)把什么问题进行转化，即化归对象； (2)化归到何处去，即化归目标； (3)如何进行化归，即化归方法；

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。

【思想方法】

题型1：集合问题

例1．（2011广东理2）已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且12

2

=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3

C.

,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y x

（2）已知函数12)2(24)(2

2+----=p p x p x x f ,在区间]1,1[-上至少存在一个实数c 使

0)(>c f ,求实数

p 的取值范围.

分析:运用补集概念求解。

解答：设所求p 的范围为A,则

=A C I {

2

22)2(24)(]1,1[p x p x x f p ---=-上函数在}01≤+-p 注意到函数的图象开口

向上 ；

{}

233012)1(0932)1(2

2

≥-≤⎪⎩

⎪⎨⎧=⎭⎬⎫

≤++-=-≤+--==∴p p p p p f p p f p A C I 或

{}

23

3<<-=P P A

点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型2：函数问题

例2．（2011天津理21）已知函数()e x f x x -=()

x ∈R ．

（Ⅰ）求函数

()

f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数

()y g x =的图象与函数

()

y f x =的图象关于直线1x =对称．证明当

1x >时，()()f x g x >；

（Ⅲ）如果

12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>。

解析：（Ⅰ）

()()1e x f x x -'=-．令

()()1e 0

x f x x -'=-=，则1x =；

当x 变化时，

()()

,f x f x '的变化情况如下表：

所以

()f x 在区间

(),1-∞内是增函数，在区间()1,+∞内是减函数。

函数

()

f x 在1x =处取得极大值

()

1f ．且

()1

1e f =

．

（Ⅱ）因为函数()

y g x =的图象与函数

()

y f x =的图象关于直线1x =对称， 所以()()

2g x f x =-，于是

()()2

2e x g x x -=-．

记

()()()

F x f x g x =-，

则

()()

2

e 2

e

x x F x x x --=+-，

()()()221e 1e x x

F x x --'=--，

当1x >时，220x ->，从而22

e 10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，

于是函数

()

F x 在区间

[)1,+∞上是增函数．