2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用课件：4.7+解三角形的综合应用
2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课件(打包7套)文新人教A版
6π
������
π 2π 20π 34π * 角 α 的象限 , 如何求 k α , ( k ∈ N )所在的象限 ? 第一或第二象限或 (1) ������ ������ = 3 + ������π,������∈Z (2) 7 , 21 , 21 (3) ������ y 轴的非负半轴
定 义
各 象 限 符 号
一 二 三 四
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 有向线段 AT 为余弦线 为正切线
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)小于90°的角是锐角. ( ) (2)若sin α>0,则α是第一、二象限的角. ( ) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( (4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1. ( )
关闭
由题意知 ,角 α 的终边在第二象限 ,在其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由 三角函数的定义得 tan α= = ������ -1
������ -������ ������
=-1.
解析
关闭
答案
-12知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ 的终边一定落在第 象限.
1 1 ������ 180 ������
2019届大一轮高考(理数)总复习(人教版)课件 第04章三角函数与解三角形第4节三角函数的图象与性质
[－1,1] ____________
[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) π π (kπ－2， kπ＋2)(k∈Z) 为减； [2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 为增 为增 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax ＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1
无最值
函数 奇偶性 对称性 对称 中心 对称轴 最小正周期
利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的
π 5π 在[0, 2π] 内，满足 sin x＝cos x 的 x 为4， 4 ，再结合正弦，余弦函数的周期是 2π，
π 5π 所以原函数的定义域为x2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z .
π 5π 2kπ＋ ，2kπ＋ (k∈Z) 3 6 x的定义域是____________________.
解析：要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义， 1 sin x＞2， 2sin x － 1 ＞ 0 ， 则 即 1－2cos x≥0 cos x≤1. 2 π 5π 解得 2kπ＋3≤x<2kπ＋ 6 ，k∈Z. π 5π 即函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 (k∈Z)．
方法二
利用三角函数式， 画出满足条件的终边范围(如图阴 .
π 5π 影部分所示)，∴定义域为x2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z
方法三
sin x－cos x＝
π 2sinx－4≥0，将
π x－4视为一个整
体，由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可知 π π 5π 2kπ≤x－4≤π＋2kπ，k∈Z，解得 2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z.
[刷好题]
2019届大一轮高考(理数)总复习(人教版)课件 第04章三角函数与解三角形第1节三角函数的基本概念
)C
解析：由tan θ>0知，θ是一、三象限角，由sin θ<0知，θ是三、四象限角或终边
在y轴负半轴上，故θ是第三象限角．
4．(2018·柳州模拟) sin 2·cos 3·tan 4的值( A ) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
第 四 章 三角函数与解三角形
第一节
三角函数的基本概念
考点 任意角的三 角函数
高考试题
考查内容 五年未单独考查
核心素养
命题分析
本节知识作为学习三角函数的基础，高考中一般不单独 命题，而是作为解题工具解决其他问题.
栏
目 导 航
02
01
课前· 回顾教材
课堂· 考点突破
03
课后· 高效演练
01
课前· 回顾教材
[提能力]
【典例】 (1)终边在直线 y＝ 3x
π αα＝ ＋kπ，k∈Z 3 上的角的集合是________________________.
cos α 三 (2)若 sin α· tan α<0，且 tan α <0，则 α 是第________ 象限角.
π 解析：(1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3， ∴终边在直线 y＝ 3x
3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝ y y x ______，cos α＝______，tan α＝x(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM， 正弦线 ，__________ 余弦线 和__________. 正切线 AT 分别叫作角 α 的__________
高考数学(人教A版理科)一轮复习课件第四章 三角函数与解三角形 4-7ppt版本
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
c b<cos
A，则△ABC
解法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2bb2＋2cb2c－a2＝b2aa2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0 或 a2＋b2－c2＝0. 即 a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
解得 sin B＝sin C＝12.
故 B＝C＝π6， 所以△ABC 是等腰钝角三角形．
[点石成金] 1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关 系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角 形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形” 与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
[解析] 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A， 有 sin(B＋C)＝sin2A， ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0. 从而 sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得 sin A＝1， ∴A＝π2，故选 B.
[题点发散 1] 若将本例条件改为“若 2 )
A．直角三角形
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：第四章 三角函数 解三角形 专题探究课二 含答案 精品
高考导航 1.三角函数与解三角形是高考的热点题型，从近五年的高考试题来看，呈现较强的规律性，每年的题量和分值要么三个小题15分，要么一个小题一个大题17分，间隔出现；2.该部分常考查的内容有：(1)三角函数的图象与性质；(2)三角恒等变换与诱导公式；(3)利用正弦定理和余弦定理解三角形；3.在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一解三角形(教材VS高考)高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例1】(满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.教材探源本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.满分解答(1)因为△ABC面积S＝a23sin A，且S＝12bc sin A，1分(得分点1)所以a23sin A＝12bc sin A，所以a 2＝32bc sin 2A .2分 (得分点2) 由正弦定理得sin 2A ＝32sin B sin C sin 2A ， 4分 (得分点3)因为sin A ≠0，所以sin B sin C ＝23. 5分 (得分点4)(2)由(1)得sin B sin C ＝23，cos B cos C ＝16. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＝cos(π－B －C )＝－cos(B ＋C ) ＝sin B sin C －cos B cos C ＝12，7分 (得分点5) 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，sin A ＝32，cos A ＝12， 8分 (得分点6)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝9， ①9分 (得分点7) 由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ，c ＝asin A ·sin C ， 所以bc ＝a 2sin 2A ·sin B sin C ＝8， ② 10分 (得分点8)由①②得：b ＋c ＝33，11分 (得分点9) 所以a ＋b ＋c ＝3＋33，即△ABC 周长为3＋33. 12分 (得分点10)❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.【训练1】 (2018·大连双基测试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝sin A sin B . (1)求角C ；(2)(一题多解)若c ＝26，△ABC 的中线CD ＝2，求△ABC 的面积S 的值. 解 (1)由已知得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)法一 由|CD→|＝12|CA →＋CB →|＝2，可得CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →＝16，即a 2＋b 2－ab＝16，由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝24，∴ab ＝4， ∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝ 3.法二 延长CD 到M ，使CD ＝MD ，连接AM ，易证△BCD ≌△AMD ，BC ＝AM ，∠CAM ＝π3.由余弦定理得⎩⎨⎧a 2＋b 2＋ab ＝24，a 2＋b 2－ab ＝16.∴ab ＝4，∴S ＝12ab sin C ＝34ab ＝ 3. 热点二 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例2】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.探究提高 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解.【训练2】 (2018·东北三省联考)已知函数f (x )＝ 4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z， 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝ (cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号. ∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2. 又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]. 即a ＋c 的取值范围是(3，2].探究提高 向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练3】 已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.1.(2017·昆明诊断)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值.解 (1)由题得，f (x )的最小正周期为π，y 0＝3.当y 0＝3时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1，由题干图象可得2x 0＋π6＝2π＋π2，解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是：当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.2.(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55acac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.3.(2018·湖南湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4.(2017·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且n ·m ＝b cos B . (1)求角B 的值；(2)若cos A －C2＝3sin A ，且|m |＝5，求△ABC 的面积.解 (1)由m ·n ＝b cos B ，得a 2cos C ＋c2cos A ＝b cos B ， sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，sin B ＝2sin B cos B ，∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)C ＝π－A －B ＝2π3－A ，cos A －C 2＝3sin A ⇒cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝3sin A ⇒cos A ＝3sin A ⇒tan A ＝33.∵0<A <23π⇒A ＝π6，∴C ＝π－π6－π3＝π2.在Rt △ABC 中，∵a ＝c sin π6＝12c ， 又|m |＝5，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＝2，c ＝4，b ＝16－4＝23， △ABC 的面积S ＝12×2×23＝2 3.5.(2018·河南天一大联考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝ (cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2.6.(2018·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a －c a －b ＝sin A ＋sin B sin （A ＋B ）.(1)求角B 的值；(2)(一题多解)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 面积S 的最大值. 解 (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴a －c a －b＝sin A ＋sin B sin C ， 由正弦定理得a －c a －b ＝a ＋bc ，即b 2＝a 2＋c 2－ac ，结合余弦定理，有cos B ＝12，B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)法一 2R ＝2＝bsin π3⇒b ＝3， 所以b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos π3≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，所以S ＝12ac sin π3≤334，最大值为334.法二 S ＝12ac sin B ＝34ac ＝34×2sin A ×2sin C＝3sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32(3sin A cos A ＋sin 2A )＝32⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2A－12cos 2A＋12＝32sin⎝⎛⎭⎪⎫2A－π6＋34.∵0<A<2π3，∴－π6<2A－π6<7π6，∴当2A－π6＝π2，即A＝π3时，S取到最大值334.。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习课件：4.7 解三角形
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答案
知识梳理
双基自测
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3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=√5,c=2,cos
2 A=3,则
b=(
) B.√3 C.2 D.3
A.√2
关闭
由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 5=b 又 b>0,解得 b=3,故选 D.
1 2 3 4
正弦定理 解 决 的 问 题 (1)已知两角和任一边,求其他 两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对 角,求另一边和其他两角
余弦定理 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹 角,求第三边和其他两角
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知识梳理
双基自测
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2.三角形中的常见结论 (1)在△ABC中,A+B+C=π. (2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
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知识梳理
双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C, 能用余弦定理求边c. ( ) (2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B. ( ) (4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条 件. ( ) (5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个. ( )
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知识梳理
2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：
第7节 解三角形应用举例最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10°D.北偏西10°解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B3.(必修5P24A5改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 mC.25 2 mD.2522 m解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m).答案 A4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile.解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile. 答案 705.(2014·全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ， 所以AC ＝100 2 m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°， 从而∠AMC ＝45°， 由正弦定理得，AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°， 由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150 m. 答案 150考点一 测量高度问题【例1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m). 答案 100 6规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 【训练1】 如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，求塔的高度CD . 解 设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ， 在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°， ∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°， 可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039(m). 考点二 测量距离问题【例2】 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32 km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离.解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km). 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km).∴A ，B 两点间的距离为64 km.规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练2】 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°.由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°， 整理，得36x 2－9x －10＝0， 解得x ＝23或x ＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时. 答案 23考点三 测量角度问题【例3】 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________.解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21 7.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.答案21 14规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－502 2×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案 B基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析 如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝22×32＝6(km). 答案 A2.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里D.202海里解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里). 答案 A3.(2018·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( ) A.a km B.3a km C.2a kmD.2a km解析 由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB＝3a (km). 答案 B4.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m). 答案 C5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( ) A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 答案 D 二、填空题6.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m). 答案 10 37.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝40033(m). 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003(m). 答案 4003 8.(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.解析 依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案 0.6 三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值.解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时.(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10.(2018·武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC， 即AC sin （90°－α）＝BC sin （α－β）， ∴AC ＝BC cos αsin （α－β）＝h cos αsin （α－β）. 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin （α－β）. 故山高CD 为h cos αsin βsin （α－β）. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732).解析 ∵108 s ＝0.03 h ，∴AB ＝1 000×0.03＝30 km.∵∠C ＝75°－15°＝60°，∴AB sin 60°＝BC sin 15°，∴BC ＝AB sin 15°sin 60°. ∴C 到AB 边的距离为h ＝BC sin 75°＝203sin 15°sin 75°＝103sin 30°＝53＝5×1.732＝8.66 km.∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km ＝6 340 m.答案 6 34012.(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2.解析 如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ，即AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC ＝3·6－2412＝32－62， 故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2).答案 6－3413.如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.。
2019高考数学一轮复习人教A全国通用课件：第四章 三角函数 解三角形 第6节
公式
b c a ＝ sin B＝ sin C＝2R sin A
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ；
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
b 2 2 2 a c c ＋ a － b 常见 (2)sin A＝ ，sin B＝ 2R ，sin C＝ ； 2R 2R cos B＝ 2ac ； 变形 (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ； a2＋b2－c2 (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C cos C＝ 2ab
π 解析 法一 由余弦定理可得(2 2)2＝22＋a2－2×2×acos 4 ，即 a2－2 2a－4＝0， 1 1 解得 a＝ 2＋ 6或 a＝ 2－ 6(舍去)，△ABC 的面积 S＝2absin C＝2×2×( 2＋ π 1 2 6)sin ＝ ×2× ×( 6＋ 2)＝ 3＋1，选 A. 4 2 2
bsin C 1 b c 法二 由正弦定理sin B＝sin C，得 sin B＝ c ＝2，又 c>b，且 B∈(0，π)，所以 π 7π 7π 1 1 1 B＝ 6 ，所以 A＝ 12 ，所以△ABC 的面积 S＝2bcsin A＝2×2×2 2sin 12 ＝2×2× 6＋ 2 2 2× 4 ＝ 3＋1.
第 6节
正弦定理和余弦定理
最新考纲
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳
1.正、余弦定理
理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2 ＝ b2 ＝ c2＝
b2＋c2－2bccos A； c2＋a2－2cacos B； a2＋b2－2abcos C
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 第7讲
解析：选 B. 如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60，∠DAC＝ 60°，∠CBM＝15°，
所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 60 BM 在△AMB 中，由正弦定理，得 ＝ ， sin 45° sin 30° 解得 BM＝30 2，故选 B.
(必修 5 P19A 组 T1 改编)若点 A 在点 C 的北偏东 30°， 点B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的( A．北偏东 15° C．北偏东 10° B．北偏西 15° D．北偏西 10° )
所以 BD＝BC＝ 6(海里)， 6 则有 10t＝ 6，t＝ ≈0.245(小时)＝14.7(分钟)． 10 故缉私船沿北偏东 60°方向，最快约需 14.7 分钟才能截获走 私船．
求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求解的三角形， 即所求量所在的三角形， 若其 他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三 角形中求解； (2)确定用正弦定理还是余弦定理， 如果都可用， 就选择更便于 计算的定理．
B 点的方位角为 α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
A．11.4 km C．6.5 km
B．6.6 km D．5.6 km
1 50 000 解析：选 B.因为 AB＝1 000×1 000× ＝ (m)， 60 3 50 000 AB 所以 BC＝ ·sin 30°＝ (m)． sin 45° 3 2 50 000 所以航线离山顶 h＝ ×sin 75°≈11.4(km)． 3 2 所以山高为 18－11.4＝6.6第7讲
正、余弦定理的应用举例
1．应用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题，计算面积问题、航海问 题、物理问题等．
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲义：第四章 三角函数、解三角形 4-1 含答案 精品
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向为正切线知识拓展1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2．[P10A 组T7]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限． 答案 －5π4二3．[P15T2]设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________. 答案115解析 由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35，cos θ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝⎛⎭⎫－35＝115.4．[P10A 组T6]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． 答案 π3题组三 易错自纠5．(2018·秦皇岛模拟)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.7．已知角α(－π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是13，则sin α＝________.答案 －232解析 由题意得，角α的终边与单位圆交点的坐标是⎝⎛⎭⎫13，－232，∴sin α＝－23 2. 8．(2018·济宁模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B. 2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角答案 C解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．(2018·宁夏质检)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置．题型二 弧度制典例 (1)(2017·珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1 C.12 D ．3答案 A解析 设扇形的半径为R ，则弧长l ＝4－2R ， ∴扇形面积S ＝12lR ＝R (2－R )＝－R 2＋2R ＝－(R －1)2＋1，当R ＝1时，S 最大，此时l ＝2，扇形圆心角为2弧度．(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练 (1)(2018·湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3 D. 3答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．答案 S 1＝S 2解析 设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， ∴S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，∴S 1＝S 2恒成立．题型三 三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用典例 (1)(2018·山东重点中学模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32答案 B解析 ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0， 综上知，θ2为第二象限角．命题点2 三角函数线的应用典例 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6 (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 跟踪训练 (1)(2017·济南模拟)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵tan α<0，cos α<0， ∴α在第二象限．(2)(2017·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α答案 C解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ， 观察可知sin α<cos α<tan α.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2017·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， CB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2，设点P (x P ，y P )， 所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．(2)因为3－4sin 2x ＞0， 所以sin 2x ＜34，所以－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，所以x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限． 2．(2018·长春调研)已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1) 答案 D解析 设P (x ，y )，则sin α＝y 2＝sin π4，∴y ＝1.又cos α＝x 2＝cos π4，∴x ＝1，∴P (1,1)．3．(2017·福州模拟)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．－3B ．3 C.163 D ．±3答案 B 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4．(2018·广州质检)点P 的坐标为(2,0)，射线OP 顺时针旋转2 010°后与圆x 2＋y 2＝4相交于点Q ，则点Q 的坐标为( ) A ．(－2，2) B ．(－3，1) C ．(－1，3) D ．(1，－3)答案 B解析 由题意得Q (2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))， 即Q (－3，1)．5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12×4×R 2＝2，∴R ＝1，弧长l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2R ＝6.6．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153C ．－155D ．－153答案 D 解析 ∵x x 2＋5＝24x 且α在第二象限， ∴x ＝－3，∴tan α＝5－3＝－153.7．(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 8．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．9．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________. 答案 25解析 ∵|OP |＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.10．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.11．函数y ＝sin x －32的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .12．满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .13．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M 1P 1，M 2P 2和正切线AT 1，AT 2，观察知当sin α>sin β时，tan α>tan β.14．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第四象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫π2，34π∪⎝⎛⎭⎫74π，2π 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α>0，tan α<0，得－1<tan α<0或tan α<－1. 又0≤α≤2π，∴π2<α<34π或74π<α<2π.15．(2017·烟台模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ， 又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，∴n ＝－3.故m －n ＝2. 16．(2018·石家庄质检)已知sin α<0，tan α>0. (1)求角α的集合； (2)求α2的终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cosα2>0，所以tan α2sinα2cosα2也取正号．因此，tan α2sinα2cosα2取正号．。
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§4.7解三角形的综合应用实际测量中的常见问题知识拓展实际问题中的常用术语 1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.[P11例1]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3．[P13例3]如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴a sin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ， ∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22a . 题组三 易错自纠4．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC 等于( ) A ．10° B ．50° C ．120° D ．130°答案 D5.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案32a解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝32a.6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案60°20 3解析如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝203，∠COy＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题1．(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案10 3解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝10 3 (m)．2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).3．(2018·日照模拟)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°的方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________ km. 答案 30 2解析 如图，由题意知，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60，由正弦定理得BC sin 30°＝AC sin 45°，∴BC ＝302(km)．思维升华 求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．题型二 求角度问题典例 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案 北偏西10°解析 由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上． 题型三 三角形与三角函数的综合问题典例 (2018·石家庄模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0.(1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． 解 (1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0， 又C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题． 跟踪训练 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π (k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决． 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分]S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300.[3分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又当t ＝23时，v ＝30，故当v ＝30时，t 取得最小值，且最小值为23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．10 3 km C ．10 5 km D ．107 km答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20× cos 120°＝700，∴AC ＝107.2．(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°答案 D解析 由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°， 又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 海里 B ．10 3 海里 C ．20 3 海里 D ．20 2 海里 答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得 BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝10 2.4．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案 C解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中， CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.7．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile /h,15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile.8．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 2解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin 30°＝x sin 45°，解得x ＝100 2.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里． 答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．10.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米． 答案 1 000解析 由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°， ∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°， ∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1 000sin 30°＝ABsin 135°，∴AB ＝1 0002，∴BC ＝AB2＝1 000.11．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.12.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.13.(2018·德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________ m. 答案 1345解析 设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α， 则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900， ∴tan α＝13，tan 2α＝34，则BB 1＝60tan 2α＝45. 14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.答案 15解析 记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15.15.如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．记∠AMN ＝θ. (1)将AN ，AM 用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN ，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP 最大)? 解 (1)∠AMN ＝θ，在△AMN 中，由正弦定理，得 MN sin 60°＝AN sin θ＝AMsin (120°－θ)， 所以AN ＝433sin θ，AM ＝433sin(120°－θ)．(2)AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(θ＋60°)＋4－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°) ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)(其中利用诱导公式可知sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°))， 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN ＝AM ＝2千米．16．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，由正弦定理，得cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理，得 b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2， 当且仅当a ＝c 时取等号． ∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2. ∴a ＋c 的取值范围是(3，2]．。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版4.7 解三角形的综合应用 Word版含答案
§ 解三角形的综合应用最新考纲 考情考向分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度.实际测量中的常见问题求 图形 需要测量的元素 解法求竖直高度 底部可达∠＝α，＝ 解直角三角形＝α 底部不可达∠＝α，∠＝β，＝ 解两个直角三角形＝ 求水平距离山两侧∠＝α，＝，＝ 用余弦定理 ＝ 河两岸∠＝α，∠＝β，＝ 用正弦定理＝ 河对岸∠＝α，∠＝β，∠＝δ，∠＝γ，＝ 在△中，＝在△中，＝； 在△中，应用余弦定理求知识拓展实际问题中的常用术语．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东°，北偏西°等．．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为α(如图②)．．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()从处望处的仰角为α，从处望处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝°.(×)()俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(×)()方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)()方位角大小的范围是[π)，方向角大小的范围一般是.(√)题组二教材改编.[例]如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，∠＝°，∠＝°后，就可以计算出，两点的距离为.。
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解析
如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°
＝1 200，故OC＝20 3，∠COy＝30°＋30°＝60°.
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答案
题型分类
深度剖析
题型一 求距离、高度问题
岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，
50 2 m. 就可以计算出A，B两点的距离为________
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答案
3.[P13例3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°
的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝ 2 a ______ 2 米.
× )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位 置关系.( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是
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π .( 0 ， 2
√ )
题组二 教材改编
2.[P11例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河
BC AC ∴B＝45° ，AC＝60，由正弦定理得 ＝ ， sin 30° sin 45° ∴BC＝30 2(km).
解析 答案
思维升华
求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若 其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的 定理.
解析
答案
3.(2018· 日照模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一
个灯塔B在北偏东 60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯
30 2 km. 塔在北偏东15°的方向ห้องสมุดไป่ตู้，这时船与灯塔的距离为________
解析 如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
α(如图②).
4.坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋ β＝180°.( × )
π (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0 ， .( 2
∠ACB＝α，
∠ADB＝β，
CD＝a
∠ACB＝α，
山两侧 AC＝b，
用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α
BC＝a
求 水 ∠ACB＝α，
河两岸
平
距
用正弦定理 ∠ABC＝β， asin α AB＝ sin(α＋β) CB＝a ∠ADC＝α，
asin α 在△ADC中，AC＝ ； ∠BDC＝β， sin(α＋γ) ∠BCD＝δ， 在△BDC中，BC＝ asin β ； sin(β＋δ) ∠ACD＝γ， 在△ABC中，应用余弦定理求AB CD＝a
第四章 三角函数、解三角形
§4.7 解三角形的综合应用
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理 实际测量中的常见问题 求AB 求 竖 直 高 度 底部不可达 底部可达 图形 需要测量的元素 ∠ACB＝α，BC＝a 解法 解直角三角形
AB＝atan α
解两个直角三角形 atan αtan β AB＝ tan β－tan α
离
河对岸
【知识拓展】 实际问题中的常用术语 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平视线 上方 叫仰角，目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).
2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
3.方位角
指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的
解析
由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝ 3 a，所以
1 3 在Rt△ADB中， AB＝2AD＝ 2 a .
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答案
6.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动 力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h； 水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中
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题组三 易错自纠 4.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的 B点的仰角是 60°，C点 的俯角是70°，则∠BAC等于 A.10° C.120° B.50° D.130° √
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5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两 3 点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________. 2a
自主演练
1.(2018· 吉林长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与
炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，
10 3 而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距______m.
解析
答案
2.(2017· 郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的 俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则 hcos αsin β sin(α－β) 山高CD＝__________.
思维升华
解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是 最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定 理的“联袂”使用.
跟踪训练
如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯
题型二 典例
求角度问题
师生共研
如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的
B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 21 前往B处救援，则cos θ的值为________. 14
解析
答案