高考数学复习 第二章 函数 2.5 二次函数
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶 函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． 可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.5 二次函数与幂函数
§2.5二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝⎛⎭⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________．答案 (－∞，40]∪[160，＋∞) 解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0.综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( ) A.⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫2，167. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ， a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有pq <0，又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1答案 B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得 ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )． 解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎫x －t 22－1－t 24. (1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－1－t24. ③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ， f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ，∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3，∴－1≤a ≤－23， 故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1.(1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；(2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0， ∴1a≥1，即0<a ≤1； 当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0， ∴a <0符合题意．综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. (ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＋1＝－1a＋1. (ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3] 答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a 2≤3， 解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2答案 C解析 由于函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． 当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( )A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确；对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0，故选项C 不正确；对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( )A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确； 因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确．6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( ) A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案 BC解析 因为f (x )＝()2231mm m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )．因为y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，所以⎝⎛⎭⎫116n ＝14，解得n ＝12， 所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点．(1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]，当t ＝－1时，g (t )有最小值0，当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0， 解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12. 幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2 答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b ＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( )A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1；当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)，由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1.因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根．综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ， 且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0， 代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3. 所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
高考数学二轮复习专题二 二次函数、二次方程与二次不等式
高考数学二轮复习专题二 二次函数、二次方程与二次不等式一、命题趋向及复习目标近年来高考数学试题，涉及二次函数及应用的题型已成为高考的热点，而以二次函数为基础的三次函数的性质及应用（二次函数是三次函数的导函数）成为新的热点。
预计2007年高考对二次函数的性质及加入参变量、讨论导函数性质会作重点考查。
二、重点、难点1、二次函数的综合问题需要较强的知识综合能力和数式变换化归能力，是难点之一。
2、含参数的二次函数在闭区上的最值问题，二次函数性质与数形结合思想的灵活应用常使学生感到困难，是难点之二。
3、把二次函数、一元二次方程、一元二次不等式融合在一起考查的数学试题，是高考中的一类常见题型，它体现了在知识网络交汇点上设计试题的指导思想，凸显了数学学科的内在联系和知识的综合运用，是高考的重点。
三、方法概述1、二次函数的表达式有三种形式，即一般式，顶点式和交点式，不同形式的表达式，在推理和运算中有着不同的作用，求函数值问题常用一般式；求最大值最小值或值域问题常用顶点式；确定函数值符号及方程的根有关的问题常用交点式。
2、二次函数在闭区间上必存在最大值和最小值，相应的最值只能在区间端点或图象顶点处取得，具体求最值时，要根据二次函数图象的开口方向和对称轴与区间端点的相对位置关系这两个要素来确定，必要时应分类讨论。
3、处理一元二次方程根的分布问题，一般利用根与系数的关系，或转化为二次函数图象与x 轴的交点位置关系利用数形结合来解决。
有时也可利用根的定义通过分离参数来转化。
4、数形结合是解决二次函数、二次方程和二次不等式问题的重要数学思想。
解题时要充分利用图象的直观性反映问题的本质，重视用函数观点处理方程和不等式问题。
5、对某些非二次函数、二次方程和二次不等式问题，可以通过换元、构造等手段，将原问题转化为“二次问题”来解决。
这是一种重要的解题策略，常能达到化繁为简的目的。
四、例题分析【例1】（1）设x 、，a atx t t y 的两个实根的方程是关于0622=++-则2)1(-x +2)1(-y 的最小值是（ ）A 、449-B 、18C 、8D 、43（2）若关于x 的方程的则实数至少有一个负数根a ，x ax 0122=++取值X 围是（ ） A 、（0，1] B 、（∞-，1] C 、[0，1] 8 D 、（∞-，1）【例2】（1）若关于x 的方程()内有实根在区间1,102322-=--m x x ，则实数m 的取值X 围是(2)设,24024,021221-<>=++≠x x ，mx mx x ，x m 且若的两根是方程为常数 ，则实数m 的取值X 围是 .【例3】设函数1)(]1,0[),()(2≤∈∈+=x f ，x R a x ax x f 不等式时若当恒成立， 求a 的取值X 围.【例4】设函数),0)0()(0()1()2()(2≠++=f f x f x f x f 已知方程x x f =)(有一个大于2的根，求)0(f 的取值X 围.【例5】设函数使且存在实数已知,,0)1(),()(2m f c b a c bx ax x f =>>++= ,0)(=+a m f 证明：（1）0≥b ； （2）0)3(>+m f . .2007届高考复习专题训练卷（二、二次函数、二次方程与二次不等式）一、选择题：1、已知函数)1()1(1)(22x f x f R x b b ax x x f +=-∈+-++-=都有对任意成立，且对任意的取值范围是则成立都有b ，x f x 0)(]1,1[>-∈（ ）A 、（)0,1-B 、（2，∞+）C 、（1,-∞-）D 、（1,-∞-） （2，∞+）2、已知函数则下若且,0)(,0)2()1()(02<<++-=x f f a ，x a x x f 列结论正确的是（ ）A 、10<<x aB 、a x <<01C 、210<<x D 、a x <<023、已知则若,0,).0(42)(21212=+<>++=x x x x a ax ax x f （ ） A 、)()(21x f x f > B 、)()(21x f x f =C 、)()(21x f x f <D 、)()(21x f x f 与的大小不能确定 4、函数xx f x g ，a ax x x f )()()1,(2)(2=-∞+-=则函数上有最小值在区间在区间 ()+∞,1上一定（ ）A 、有最小值B 、有最大值C 、是减函数D 、是增函数5、已知n m b a ，x f n m b x a x x f ,,,0)(,),)((1)(则实数的两根是方程并且=---= 的大小关系可能是（ ）A 、n b a m <<<B 、b n m a <<<C 、n b m a <<<D 、b n a m <<<6、若P 、Q 是函数)11()(2≤≤--=x x x x f 图象上任意不同的两点，那么直线PQ 的斜率的取值X 围是（ ）A 、)1,3(-B 、)1,1(-C 、)3,0(D 、)2,4(-7、当[]a ，x x a ax x f ，x 则时取得最大值在函数时23)1(4)(2,02=--+=∈的取值X 围是（ ） A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 B 、[)+∞,0 C 、[)+∞,1 D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,32 8、若方程的最小值为则的实根有不小于22220b a ，b ax x +=++（ ） A 、3 B 、516 C 、517 D 、5189、已知方程abx x x x b a x a x 则并且的两根为,10,,01)2(21212<<<=+++++ 的取值X 围是（ ）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,2 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,2 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,2 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,210、函数n m ，，n m x x x f +-+-=则上的值域是在]45[],[4)(2的取值所成的集合为（ ） A 、]60[，B 、]11[，-C 、]51[，D 、]71[， 二、填空题11、已知函数=+-=a ，，ax ax x f 则上的最大值比最小值大在2]20[43)(2.12、已知a ，，，a x x y 则最小值是上的最大值是在区间23]0[322+-=的取值X 围是. 13、若函数==∈+++=b ，x b a x x a x y 则对称的图象关于直线1],[,3)2(2.14、已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________15、若不等式a ，R x x a x a 则实数都成立对∈<----01)1()1(22的取值X 围是 .三、解答题16、已知二次函数值的一切对于满足为常数x x a x ax x f 41)(22)(2≤≤+-=都有a x f 求常数,0)(>的取值X 围.17、已知函数的值求实数上的最大值为在a ，，x a ax x f 32231)12()(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=.18、已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，某某数λ的取值X 围．19、设)(x f =0.232=++++c b a c bx ax 若,)0(f ＞0，f (1)＞0，求证：(Ⅰ)a ＞0且2-＜ab＜1-；(Ⅱ)方程)(x f =0在（0，1）内有两个实根.20、设函数p nx mx x x f +++=23)(在)0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，当方程0)(=x f 有三个实数根31,2,x x 时.（1）求n 的值； （2）求证：2)1(≥f ； （3）求||31x x -的取值X 围.21、已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值例题参考答案【例1】（1）C （2）B 【例2】（1）)25,169[-(2)⎪⎭⎫⎝⎛-0,161 【例3】解：设由1111)(22≤+≤-⇒≤+⇒≤x ax x ax x f当R ，a ，x ∈=不等式显然成立时0 当2211]1,0(x x a x x ，x -≤≤+-∈不等式化为时，设22211)(,1)(xxx f x x x f +-=-= ，则当min 1max 2)()(]1,0(x f a x ，f x ≤≤∈时，.41)211(11)(221--=-=x x xx f当.0)(11),,1[1]1,0(min 1==∴+∞∈∈x ，f x x ，x 时当时又.41)211(11)(222++-=--=x x xx f 当，x x ，x 时当时11),,1[1]1,0(=∴+∞∈∈]0,2[.2)(max 2--=的取值范围是故a x f【例4】解：由题设有⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧++=++=)0()1()0()2()0()1(2)2(4)2()0()1()2()1(f f f f f f f f f f f f )1)(0()(2++-=∴x x f x f设t t t ，f x x f t x =++-=>=)1)(0()(22的一个根为方程)2(111)0(12>+-=++-=∴t t tt t t f 21,212)2(11-<∴-==∞++-=y ，y t ，，t t y 时当上是减函数在函数从而0)0(20)0(22)0(,021)0(121)0(1<<-⇒<+<+⇒-<f f f f f 即 故()02)0(，f -的取值范围是. 【例5】 证明：（1）c b a c b a f >>=++=,0)1(0,0<>∴c a根据题意，方程有实根即00)(2=+++=+c a bx ax a x f ，所以)3(04)([ 0)4(0)(40)(422≥-≥++-⇒≥+⇒≥-⋅-⇒≥+-=∆c a b a c a b a b b b a b c a a b 即0,03≥∴>-b c a（2）))(1()(,0)1(acx x a x f f --=∴=可设 0))(1()(<-=--=a acm m a m f0))(1(<--∴acm m1,0<<∴<m aca c 1322,0,2),(>+⇒->>->∴>->∴+-=>m acm aca c a c ab a 从而又02,0,0≤-∴≥>abb a 0)1()3()0[)(=>+∞+∴f m f ，，x f 故上是增函数在2007届高考复习专题训练卷参考答案 （二、二次函数、二次方程与二次不等式）一、选择题1—5、 D BC D A 6—10、AD BC D二、填空题 11、98±12、]2,1[ 13、6 14、2 15、⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,53三、解答题16、解：22220220)(41x x a x ax x ，f x ->⇔>+->≤≤即时当依题意只要恒成立即可对41222≤≤->x x x a 令21)211(222)(22+--=-=x xx x g )41(≤≤x 114141≤≤≤≤x，x 时当21)(2211取得最大值时即当x ，g x x ==∴21>∴a , 故常数),21(+∞的取值范围是a .17、解：.4)12(1)212()(22aa a a x a x f --+-+= ①,2134)12(13)()212(2max -=⇒=--⇒==--a a a x f a a f 令 ,3)2(21)(2++-=x x f 有且.21],2,23[2,2212舍去-=∴-∉--=--a a a②令,2473)47(32)(,323)()23(2max ++-=-=⇒==-x x f a x f f 有.,32)23(,3247符合题意最大-=∴-∴-<-a ，f③令.,213)2(符合题意=⇒=a f.2132为所求或综上可知-=-=a a18、解：（I ）设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ,则 000202x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 即 00x x y y =-⎧⎨=-⎩.∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上.∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)＝22x x -+.(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得：0122≤--x x当x ≥1时，原不等式化为0122≤+-x x 此时不等式无解。
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。
本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。
一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c分别是常数，a≠0。
1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。
图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。
求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。
3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。
当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。
3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。
高中数学复习第二章 函数 2.5二次函数(人教版·数学理)广西专用
二次函数在给定区间上的最值问题 【方法点睛】
二次函数求最值的方法及常见类型 (1)求二次函数的最值问题时，首先应采用配方法，将二次函数 转化为y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式，得到顶点坐标(m,n)和对称轴 x=m.二次函数在闭区间上的最值问题，可以归纳为以下四类： ①抛物线开口方向定、对称轴定、区间定 ②抛物线开口方向定、对称轴定、区间变
【解题指南】(1)f(x)的图象与y=x相切，转化为f(x)-x=0有相等
的实根，(2)要利用f(x)在［m,n］上的单调性，建立m,n的方程.
【规范解答】(1)∵f(x+1)是偶函数,对称轴为直线x=0， ∴f(x)的对称轴为x=1,即 =b 1.
2a
∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax.
2
2k 2
∴［m,n］⊆(-∞, )1,
2
∴f(x)在［m,n］上是单调增函数.
∴解得ffm mn=0即或kknmm, =2-2k1122;
m2 m km n2 n kn
,
n=0或n=2-2k. 又m＜n,k＞1. ∴m=2-2k,n=0,∴存在区间［m,n］=［2-2k,0］满足题意.
【反思·感悟】1.解决有关二次函数的区间最值或值域问题， 应注意分类讨论思想方法的灵活运用，同时还要善于结合函数 的图象解决问题. 2.配方法是解决二次函数最值或值域问题的常用方法，但要注 意自变量范围与对称轴之间的关系.
【规范解答】方法一：利用二次函数一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
4a 2b c 1
由题意得
a
b
c
解1得
,
4ac
b
2
8
4a
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第六节 幂函数、二次函数(教师文档)教案 文 北
学习资料第六节幂函数、二次函数授课提示:对应学生用书第26页［基础梳理］1．幂函数（1)定义:一般地，函数y＝xα叫作幂函数,其中底数x是自变量，α是常数．(2）幂函数的图像比较：2．二次函数（1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0）．顶点式:f(x)＝a(x－h)2＋k（a≠0）．两根式：f（x)＝a（x－x1）（x－x2)(a≠0)．）图像与性质：解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x）＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图像定义域（－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递减在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递减解析式f(x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c(a＜0) 奇偶性当b＝0时为偶函数顶点错误!对称性图像关于直线x＝－b2a成轴对称图形五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1)时的图像是抛物线型（α＞1时的图像是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图像是横卧抛物线型)，α＜0时的图像是双曲线型．1．一个易混点函数y＝ax2＋bx＋c,不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a＞0，a＝0，a＜0。
2．两个条件:一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是错误!(2)ax2＋bx＋c＜0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!3．幂函数y＝xα在第一象限的图像特征(1)α＞1时，图像过（0，0)，(1,1)，下凸递增，例如y＝x3；(2）0＜α＜1时,图像过(0,0)，（1，1），上凸递增，例如y＝x错误!；（3)α＜0时，图像过(1，1），下凸递减,且以两条坐标轴为渐近线,例如y＝x－1。
［四基自测]1．（基础点：幂函数定义）已知幂函数f（x）＝k·xα的图像过点错误!，则k＋α＝（) A。
错误!B．1C。
高考数学一轮总复习 2.5幂函数与二次函数
知识梳理
知识点一
幂函数
1.定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中x是
自变量 ，α是常数．
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2．幂函数的性质
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知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
问题3 如何确定二次函数的对称轴？ (1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且 f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋2 x2对称． (2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成 立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
对点自测 知识点一 幂函数 1.判一判 (1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( ) (3)幂函数的图象不经过第四象限．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√
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2．设α∈{－1,1，
1 2
，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义 R
域
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减
在－∞，－2ba增
在－2ba，＋∞增
在－2ba，＋∞减
函数的图象关于x＝－2ba对称
高考数学一轮复习讲义： 第二章 函数 2.5 幂函数、函数与方程讲义
§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是江苏高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-24.(2013辽宁理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014浙江改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)3.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案4.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.答案6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案8.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013安徽理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013安徽理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016江苏淮阴中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018江苏金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018江苏东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018江苏扬州中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018江苏天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是.答案13.(2017江苏苏州期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是.答案14.(2016江苏泰州中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏苏州学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017江苏苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值范围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016江苏淮阴中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017江苏泰州二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值范围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016江苏扬州中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值范围2.(2018江苏无锡高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值范围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016上海闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南京调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值范围是.答案。
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数
第四讲 幂函数与二次函数知 识 梳 理学问点一 幂函数 函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞)(－∞，0)∪ _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪ _(0，＋∞)__奇偶性奇 函数偶 函数 奇 函数非奇非偶 函数奇 函数单调性在R 上单 调递增在 (－∞，0)上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增在R 上 单调递增在 [0，＋∞) 上单调递增在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减公共点(1,1)学问点二 二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝12x 12是幂函数．( × ) (2)y ＝x 0的图象是一条直线．( × )(3)幂函数y ＝x －1是定义域上的减函数．( × ) (4)幂函数的图象不行能出现在第四象限．( √ ) (5)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(6)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值确定是4ac －b24a .( × ) 题组二 走进教材2．(必修1P 91练习T1改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为 y ＝x －12 ，在区间 (0，＋∞) 上单调递减．[解析] ∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴2α＝22＝2－12，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.由f (x )的图象可知，f (x )的减区间是(0，＋∞)．3．(必修1P 100T5改编)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，则m 的值为( A )A ．－1B ．1C ．2或－1D ．2[解析] 利用幂函数的定义及性质列式计算并推断．∵f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0，解得m ＝2，或m ＝－1，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，∴m 2＋m －3<0，当m ＝2时，m 2＋m －3＝3>0，不合题意，舍去；当m ＝－1，m 2＋m －3＝－3<0，符合题意，故m ＝－1.故选A.4．(必修1P 53T2改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b > 0，ac < 0，a －b ＋c < 0.[解析] ∵a <0，－b2a >0，∴b >0.∵ca ＝x 1x 2<0，∴ac <0，a －b ＋c ＝f (－1)<0.5．(必修1P 58T6改编)已知f (x )＝x 2－2 025x ，若f (m )＝f (n )，m ≠n ，则f (m ＋n )等于( C ) A ．2 025 B ．－2 025 C ．0D ．10 025[解析] 先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可．函数f (x )＝x 2－2 025x 的对称轴为直线x ＝2 0252，∵f (m )＝f (n )，∴m ，n 关于函数f (x )＝x 2－2 025x 图象的对称轴对称，∴m ＋n ＝2 025，∴f (m ＋n )＝f (2 025)＝0.故选C.题组三 走向高考6．(2013·浙江文，7,5分)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( A )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0[解析] 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，故选A. 7．(2024·上海)下列幂函数中，定义域为R 的是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x －12C ．y ＝x 13 D ．y ＝x 12[解析] 选项A 中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B 中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C 中函数的定义域为R ，选项D 中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.8．(2024·上海，7)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 .[解析] ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3， 又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.。
2020高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
2．形如 y＝xα(α∈R)才是幂函数，如 y＝3x 2 不是幂函数．
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x∈[a ， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( × ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (3)二次函数 y＝x2＋mx＋1 在[1，＋∞)上单调递增的充要条件 是 m≥－2.( √ ) (4)幂函数的图象不可能出现在第四象限．( √ ) (5)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( √ )
C.210，＋∞ D.－210，0
解析：由题意知aΔ><00，，
即a1>－02，0a<0，
得
1 a>20.
答案：C
1
1
5．[教材改编]设 a＝2 2 ，b＝1.8 3 ，则 a，b 的大小关系是
________．
1
1
1
1
1
解析：∵2 2 >1.8 2 >1.8 3 ，∴2 2 >1.8 3 ，即 a>b.
b<a<c.
答案：A
1
1
3．若(a＋1) 2 <(3－2a) 2 ，则实数 a 的取值范围是________．
1
解析：易知函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增 函数，
所以 a3＋ －12≥ a≥0， 0， a＋1<3－2a，
解得－1≤a<23.
答案：－1，23
悟·技 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂， 再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件理北师大版
►考法 3 二次函数中的恒成立问题
【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切 x∈12，2，f(x)＞0 都成立，则实数 a 的取值范围为( )
A.12，＋∞ C．[－4，＋∞)
B.12，＋∞ D．(－4，＋∞)
(2)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0
幂函数的图像及性质
1．幂函数 y＝f(x)的图像经过点(3， 3)，则 f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D
[设幂函数 f(x)＝xα，则 f(3)＝3α＝
二次函数的图像与性质
►考法 1 二次函数的单调性
【例 2】 函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，
则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D [当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当 a≠0 时，f(x)的对称轴为 x＝3－ 2aa， 由 f(x)在[－1，＋∞)上递减知 a＜0， 3－ 2aa≤－1， 解得－3≤a＜0. 综上，a 的取值范围为[－3,0]．]
1
1
3．若(a＋1)2＜(3－2a)2，则实数 a 的取值范围是________．
－1，23
1
[易知函数 y＝x2的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
a＋1≥0， 所以3－2a≥0，
a＋1＜3－2a，
解之得－1≤a＜23.]
高考数学中的重难点——二次函数
高考数学中的重难点——二次函数知识梳理： 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min-=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max-=。
3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞疑点一：求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
高考数学一轮复习 第二章 函数2
高考数学一轮复习第二章2.9函数的零点与方程的解考试要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y ＝f (x )为R 上的单调函数，则f (x )有且仅有一个零点．( × )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若b 2－4ac <0，则f (x )无零点．( √ ) 教材改编题1．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为( )A ．－14B ．0 C.14 D ．0或－14答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0得x ＝－1，故f (x )只有一个零点为－1.当a ≠0时，则Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14. 综上有a ＝0或－14. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________． 答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________．答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ，∴f (x )在(1,2)上单调递增，又f (1)＝3，f (2)＝6，∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，故f (x )在(2,3)上有唯一零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝13－1x ＝x －33x， 令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e 3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点． 思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ，当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2，又∵f (2)＝log 32－1<0，f (3)＝log 33－3＋3＝1>0，故f (2)·f (3)<0，故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案 2解析依题意x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2,3)，即n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是()A．9 B．10C．11 D．18答案 B解析由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点．(2)函数f(x)＝36－x2·cos x的零点个数为______．答案 6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2. 故f (x )共有6个零点．教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象有两个交点，即原函数有2个零点．思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x >0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14.综上，f (x )有3个零点．题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x <0，x ＋2x，x >0，若关于x 的方程f (x )－m －1＝0恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，22－1)C ．(22－1，＋∞)D ．(22，＋∞) 答案 C解析 恰有三个不同的实数解等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点． 作出f (x )的图象如图所示．由图可知，y ＝f (x )的图象与直线y ＝m ＋1有三个公共点时有m ＋1>22，解得m >22－1，所以实数m 的取值范围为(22－1，＋∞)．命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax x.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0)D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x＝0， 可得a ＝3x －1x， 令g (x )＝3x －1x，其中x ∈(－∞，－1)， 由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43， 又g (x )＝3x －1x>0， 所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43.教师备选1．函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________． 答案 －1解析 由f (x )＝x x ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ， 函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0. 即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根． 显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根． 即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k有且只有一个交点(横坐标不为零)． 作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时， 函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k有两个交点，不满足条件． 当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，f －1·f 0<0，f 1·f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，m －2－m ＋2m ＋12m ＋1<0，m －2＋m ＋2m ＋1·[4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12. 思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝e x －ax 2(a ∈R )有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫e 4，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞D.⎝⎛⎭⎫e 22，＋∞ 答案 C解析 令f (x )＝e x －ax 2＝0，显然x ≠0，∴a ＝e xx2， 令g (x )＝e xx2(x ≠0)， 则问题转化为“若y ＝a 的图象与y ＝g (x )的图象有三个交点，求a 的取值范围”．∵g ′(x )＝x －2e xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝2， ∴当x <0或x >2时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，当0<x <2时，g ′(x )<0，g (x )在(0,2)上单调递减，g (x )在x ＝2处取极小值g (2)＝e 24，作出y ＝g (x )的简图，由图可知，要使直线y ＝a 与曲线g (x )＝e x x 2有三个交点，则a >e 24，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e24，＋∞.(2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫－53，0B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞)C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－53，0答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧ f 1<0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0. 课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1－1，x <2，log 3x 2－13，x ≥2，则f (x )的零点为( ) A ．1,2B ．1，－2C ．2，－2D ．1,2，－2 答案 A解析 当x <2时，令f (x )＝e x －1－1＝0，即e x －1＝1，解得x ＝1，满足x <2；当x ≥2时，令f (x )＝log 3x 2－13＝0， 则x 2－13＝1，即x 2＝4，得x ＝－2(舍)或x ＝2. 因此，函数y ＝f (x )的零点为1,2.4．若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ．(0,2)答案 C解析 由条件可知f (1)·f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x －1，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x －1，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．6．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b 答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数不可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 D解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．2 B．3 C．4 D．多于4答案 C解析f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.答案x3－x(答案不唯一)解析f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b<0，∴f(x)＝x3－x满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e 2， f (x )＝ln x (x >1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e.则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·安徽名校联盟联考)已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1的零点分别为a ，b ，则a ＋b ＝________.答案 －1解析 由已知得y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x －1的交点横坐标分别为a ，b ， 又y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝－x －1与y ＝x 交点横坐标为－12， 故a ＋b ＝－1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12； 当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2， ∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是________．(填序号)①f (x )＝2x ＋x ；②g (x )＝x 2－x －3；③f (x )＝12x ＋1；④f (x )＝|log 2x |－1. 答案 ②③④解析 对于①，若f (x 0)＝x 0，则02x＝0，该方程无解，故①中函数不是“不动点”函数； 对于②，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故②中函数是“不动点”函数； 对于③，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故③中函数是“不动点”函数； 对于④，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故④中函数是“不动点”函数．16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x 2－x e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。
高考数学总复习 二次函数
高考数学总复习 二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。
4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。
(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。
高考数学知识点之二次函数
高考数学知识点之二次函数一、二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a e0。
在二次函数中，x是自变量，y是因变量。
二、二次函数的图象二次函数的图象是抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解法、配方法或求根公式等方法。
- 因式分解法将二次函数表示为(x−x1)(x−x2)=0的形式，其中x1和x2是两个零点。
- 配方法对于一般形式的二次函数，可以使用配方法将其化简为(x−p)2+q=0的形式，其中p和q可以通过配方法的步骤求得。
- 求根公式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，可以使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求得零点。
2. 判别式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，判别式D=b2−4ac可以用来判断函数的零点情况。
•当D>0时，二次函数有两个不相等的实根；•当D=0时，二次函数有两个相等的实根；•当D<0时，二次函数无实根。
3. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，记作(ℎ,k)。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标可以通过公式 $h=-\\frac{b}{2a}$ 求得。
将横坐标代入函数，即可求得顶点的纵坐标。
4. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过顶点来确定。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，对称轴的方程为x=ℎ，其中 $h=-\\frac{b}{2a}$ 为顶点的横坐标。
5. 单调性二次函数的单调性表示函数在某个区间内的增减情况。
对于开口向上的二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，在对称轴两侧，抛物线是开口向上的，函数是单调递增的。
高考数学知识点讲解：二次函数定义与性质
2019 年高考数学知识点解说：二次函数定义与性质下边就是查词典数学网为大家整理的2019 高考数学二次函数定义与性质知识点供大家参照，不停进步，学习更上一层楼。
I.定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在以下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的张口方向， a0 时，张口方向向上，a0 时，张口方向向下， IaI 还能够决定张口大小， IaI 越大张口就越小， IaI 越小张口就越大 .)则称 y 为 x 的二次函数。
二次函数表达式的右侧往常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式： y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数， a0)极点式： y=a(x-h)^2+k[ 抛物线的极点 P(h，k)]交点式： y=a(x-x?)(x-x?)[ 仅限于与 x 轴有交点 A(x?，0)和 B(x?，0)的抛物线 ]注：在 3 种形式的相互转变中，有以下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x^2 的图像，能够看出，二次函数的图像是一条抛物线。
“教书先生”唯恐是街市百姓最为熟习的一种称号，从最先的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人仰慕甚或敬畏的一种社会职业。
不过更早的“先生”观点并不是源于教书，最先出现的“先生”一词也并不是有教授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有品德的尊长。
其实《国策》中自己就有“先生长辈，有德之称”的说法。
可见“先生” 之原意非真实的“教师”之意，倒是与此刻“先生”的称号更靠近。
看来，“先生”之根源含义在于礼貌和尊称，并不是具学问者的专称。
称“老师” 为“先生”的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，此中之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
高考数学知识点总结：二次函数
高考数学学问点总结：二次函数高考数学学问点总结：二次函数数学是探讨数量、结构、改变、空间以及信息等概念的一门学科，下面是整理的高考数学学问点总结：二次函数，希望对大家有帮助!I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以确定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的相互转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的.顶点P。
特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x 轴上。
3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c确定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
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§2.5 二次函数基础自测1.方程a 2x 2+ax -2=0 (|x |≤1)有解，则 （ ）A .|a |≥1B .|a |＞2C .|a |≤1D .a ∈R 答案 A2.已知函数f (x )=4x 2-mx +5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f (1)的范围是 （ ）A .f (1)≥25B .f (1)=25C .f (1)≤25D .f (1)＞25 答案 A3.若函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (4)=f (1),那么 （ ）A .f (2）＞f (3)B .f (3)＞f (2)C .f (3)=f (2)D .f (3)与f (2)的大小关系不能确定 答案 C4.若二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,则f (x )的表达式为（ ） A .f (x )=-x 2-x -1 B .f (x )=-x 2+x -1 C .f (x )=x 2-x -1D .f (x )=x 2-x +1 答案 D5.（2008·湖北理，13）已知函数f （x ）=x 2+2x +a ，f （bx ）=9x 2-6x +2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f （ax +b ）=0的解集为 . 答案 ∅例1 已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有最大值-5，求a 的值及函数表达式f (x ). 解 ≧f （x ）=-42)2(a x --4a ，此抛物线顶点为)4,2(a a -.当2a ≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值-4-a 2.令-4-a 2=-5,得a 2=1,a =±1＜2(舍去). 当0＜2a ＜1,即0＜a ＜2时，x =2a 时，f (x )取最大值为-4a .令-4a =-5,得a =45∈(0,2).当2a ≤0,即a ≤0时，f (x )在［0，1］内递减，≨x =0时，f (x )取最大值为-4a -a 2, 令-4a -a 2=-5,得a 2+4a -5=0,解得a =-5,或a =1，其中-5∈（-≦，0］. 综上所述，a =45或a =-5时,f (x )在［0，1］内有最大值-5. ≨f (x )=-4x 2+5x -16105或f (x )=-4x 2-20x -5.例2 设二次函数f (x )=x 2+ax +a ,方程f (x )-x =0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1. （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较f (0)f (1)-f (0)与161的大小，并说明理由. 解 方法一 （1）令g (x )=f (x )-x =x 2+(a -1)x +a ,则由题意可得,.2230223,223,11,00)0(,0)1(,1210,0-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<<->⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆a a a a a g g a 或 故所求实数a 的取值范围是（0，3-22）.（2）f (0)·f (1)-f (0)=f (0)g (1)=2a 2,令h (a )=2a 2.≧当a ＞0时，h (a )单调递增，≨当0＜a ＜3-22时，0＜h (a )＜h (3-22) 2(3-22)2=2(17-122)=2·,161212171<+即f (0)·f （1）-f （0）＜161. 方法二 （1）同方法一.（2）≧f （0）f （1）-f （0）=f （0）g （1）=2a 2，则由(1)知0＜a ＜3-22,≨42a -1＜122-17＜0. 又42a +1＞0,于是2a 2-161=161(32a 2-1)=161 (42a -1)(42a +1)＜0, 即2a 2-161＜0,即2a 2＜161,故f (0)f (1)-f (0)=2a 2＜161. 方法三 (1）方程f (x )-x =0⇔x 2+(a -1)x +a =0由韦达定理，得x 1+x 2=1-a ,x 1x 2=a ,于是0＜x 1＜x 2＜1⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<>⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+>∆⇔.223,223,1,00)1)(1(,0)1()1(,0,0,021212121a a a a x x x x x x x x 或 故所求实数a 的取值范围是（0,3-22）.（2）依题意可设g (x )=(x -x 1)(x -x 2)，则由0＜x 1＜x 2＜1,得f (0)f (1)-f (0)=f (0)g (1)=g (0)g (1)=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)=［x 1(1-x 1)］［x 2(1-x 2)］ ＜,161)21(·)21(222211=-+-+x x x x 故f (0)f (1)-f (0)＜161. 例3 （14分）已知二次函数y =f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，且|AB |=23，它在y 轴上的截距为4,又对任意的x 都有f (x +1)=f (1-x ).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线l :y =x +c 的下方，求c 的取值范围. 解 （1）方法一 ≧f （x +1）=f （1-x ），≨y =f （x ）的对称轴为x =1，又f (x )为二次函数，可设f (x )=a (x -1)2+k (a ≠0),又当x =0时，y =4,≨a +k =4,得f (x )=a (x -1)2-a +4,令f (x )=0,得a (x -1)2=a -4. ≨x =1±,4aa - ≨|AB |=2aa 4-.6分≧|AB |=23,≨a =-2.即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4. 8分方法二 令二次函数y =f (x )的图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），（x 2＞x 1）,≧f （x +1）=f （1-x ），|AB |=23. ≨x 1+x 2=2，x 2-x 1=23，得x 1=1-3,x 2=1+3.3分设二次函数f (x )=a ［x -(1-3)］［x -(1+3)］. 又f (0)=4,则a =-2. 即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4.8分(2)由条件知-2x 2+4x +4＜x +c 在x ∈R 上恒成立.即2x 2-3x -4+c ＞0对x ∈R 恒成立. Δ=9+8（4-c ）＜0，得c ＞841,12分≨c的取值范围是（841，+≦）.14分1.已知二次函数f （x ）同时满足条件： （1）f （1+x ）=f （1-x ）； （2）f （x ）的最大值为15；（3）f （x ）=0的两根的立方和等于17，求f （x ）的解析式. 解 ≧f （1+x ）=f （1-x ），≨函数f （x ）关于直线x =1对称，又f （x ）的最大值为15，故可设f （x ）=a （x -1）2+15（a ＜0).≨f （x ）=ax 2-2ax +a +15， ≨x 1+x 2=2，x 1x 2=1+a15， ≨x 31+x 32=（x 1+x 2）3-3x 1x 2（x 1+x 2） =23-3×2（1+a15）=2-a 90=17.≨a =-6.故所求函数的解析式为f （x ）=-6x 2+12x +9. 2.已知函数f (x )=|x 2-2ax +b | (x ∈R ).给出四个命题：①f (x )必是偶函数；②若f (0)=f (2),则f (x )的图象必关于直线x =1对称； ③a 2-b ≤0，则f (x )在［a ，+∞）上是增函数；④f (x )有最小值|a 2-b |.其中正确命题的序号是 . 答案 ③3.（2009·武汉武昌区模拟）已知a 、b 、c 、d 是不全为零的实数，函数f (x )=bx 2+cx +d ,g (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,方程f (x )=0有实数根，且f (x )=0的实数根都是g (f (x ))=0的根，反之，g (f (x ))=0的实数根都是f (x )=0的根.（1）求d 的值；（2）若a =0，求c 的取值范围.解 （1）设r 为f (x )=0的一个根，即f (r )=0,则由题意得g (f (r ))=0，于是,g (0)=g (f (r ))=0, 即g (0)=d =0.所以，d =0.（2）由题意及(1)知f (x )=bx 2+cx ,g (x )=ax 3+bx 2+cx .由a =0得b ,c 是不全为零的实数，且g (x )=bx 2+cx =x (bx +c ),则g (f (x ))=x (bx +c )［bx (bx +c )+c ］=x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c ). 方程f (x )=0就是x (bx +c )=0. ①方程g (f (x ))=0就是x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c )=0. ② (ⅰ)当c =0，b ≠0时，方程①②的根都是x =0符合题意. (ⅱ)当c ≠0,b =0时，方程①②的根都是x =0符合题意.(ⅲ)当c ≠0,b ≠0时，方程①的根为x 1=0,x 2=-bc .也都是②的根，但不是方程b 2x 2+bcx +c =0的实数根.由题意方程b 2x 2+bcx +c =0无实数根，≨Δ=(bc )2-4b 2c ＜0,得0＜c ＜4.综上所述：c 的取值范围为［0，4）.一、选择题1.不等式f (x )=ax 2-x -c ＞0的解集为{x |-2＜x ＜1}，则函数y =f (-x )的图象为 （ ）答案 C2.若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）A .a ≥3B .a ≤-3C .a ＜5D .a ≥-3答案 B3.设函数f (x )=⎩⎨⎧>≤++),0(,2),0(,2x x c bx x 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4答案 C4.对于任意k ∈［-1，1］,函数f (x )=x 2+(k -4)x -2k +4的值恒大于零，则x 的取值范围是 （ ）A .x ＜0B .x ＞4 C.x ＜1或x ＞3 D.x ＜1答案 C5.已知二次函数f （x ）=x 2+x +a （a ＞0），若f （m ）＜0，则f （m +1）的值为 （ ）A .正数B .负数C .零D .符号与a 有关 答案 A6.（2008·江西理，12）已知函数f (x )=2mx 2-2(4-m )x +1,g (x )=mx ,若对于任一实数x ,f （x ）与g （x ）的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （ ） A .（0，2） B .（0，8） C .（2，8） D .（-∞，0）答案 B 二、填空题7.（2008·浙江理，15）已知t 为常数，函数y =|x 2-2x -t |在区间［0，3］上的最大值为2，则t = .答案 18.设函数f (x )=lg(x 2+ax -a -1),给出下述命题： ①f (x )有最小值；②当a =0时，f (x )的值域为R ；③当a ＞0时，f (x )在区间［2，+∞）上有反函数；④若f (x )在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是a ≥-4. 则其中正确的命题的序号是 . 答案 ②③ 三、解答题9.已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x ）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解 方法一 利用二次函数一般式.设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+--=++.844,1,1242ab ac c b a c b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.7,4,4c b a ≨所求二次函数为y =-4x 2+4x +7.方法二 利用二次函数顶点式.设f （x ）=a （x -m ）2+n ，≧f （2）=f （-1），≨抛物线对称轴为x =，212)1(2=-+即m =21.又根据题意函数有最大值为n =8,≨y =f （x ）=a (x -21)2+8.≧f （2）=-1，≨a （2-21）2+8=-1. 解之，得a =-4,≨y =f （x ）=-4(x -21)2+8=-4x 2+4x +7.方法三 由f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1),即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又由函数有最大值y max =8,≨84)12(42=---aa a a .解之，得a =-4.≨所求函数解析式为f (x )=a 2)21(-x +8=-4x 2+4x +7.10.已知f （x ）=x 2+ax +3-a ，若x ∈［-2，2］时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围. 解 令f （x ）的最小值为g （a ），则 （1）当-2a ＜-2,即a ＞4时，g （a ）=f （-2）=7-3a ≥0，得a ≤37，又a ＞4，故此时a 不存在；（2）当-2a ∈［-2，2］，即-4≤a ≤4时，g （a ）=3-a -42a ≥0，得-6≤a ≤2，又-4≤a ≤4，故-4≤a ≤2；（3）当-2a＞2，即a ＜-4时，g （a ）=f （2）=7+a ≥0，得a ≥-7，又a ＜-4，故-7≤a ＜-4.综上，得-7≤a ≤2.11.f (x )=-x 2+ax +21-4a在区间［0，1］上的最大值为2，求a 的值. 解 f (x )=-,4421)2(22a a a x +-+-①当2a∈［0，1］，即0≤a ≤2时， f (x )max =44212a a +-=2,则a =3或a =-2，不合题意. ②当2a ＞1，即a ＞2时，f (x )max =f (1)=2⇒a =310.③当2a＜0，即a ＜0时，f (x )max =f (0)=2⇒a =-6, ≨f （x ）在区间［0，1］上的最大值为2时，a =310或a =-6. 12.设关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0（a ＞0）有两个实根x 1,x 2. （1）求(1+x 1)(1+x 2)的值； （2）求证：x 1＜-1且x 2＜-1; （3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈10,10121x x ,试求a 的最大值. （1）解 ≧x 1、x 2为方程ax 2+x +1=0的两个实根,≨x 1+x 2=-a 1，x 1x 2=a1≨（1+x 1）（1+x 2）=1+（x 1+x 2）+x 1x 2=1-a 1+a1=1. （2）证明 令f (x )=ax 2+x +1,Δ=1-4a ≥0得0＜2a ≤21, ≨抛物线对称轴x =a21-≤-2＜-1.又f (-1)=a ＞0. ≨f (x )图象与x 轴交点均在（-1，0）的左侧，≨x 1＜-1且x 2＜-1. （3）解 由（1）得x 1=2221111x x x +-=-+, ≨⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=10,10111221x x x≨-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1110,11112x ,≨a =.4121)1(1)1(112222222221+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=+-=x x x x x x x ≨-,2112=x ，即x 2=-2时，a 的最大值为。