2018年浙江省中考数学《第29讲：锐角三角函数》总复习讲解

第29讲 锐角三角函数与解直角三角形1．锐角三角函数的概念余弦 cos A ＝∠A 的邻边斜边它们统称为∠A 的锐角三角函数2.特殊角三角函数值考试内容30°12 32 333.解直角三角形4.解直角三角形的应用常用知识1．(2017·湖州)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( )A .35B .45C .34D .43 2．(2017·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A．5米B．6米C．6.5米D．12米3．(2016·宁波)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为____________________m(结果保留根号)．4．(2017·丽水)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15m，AB＝2.70m，∠BOD ＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)【问题】如图，在△ABC中，AC＝23，BC＝2.(1)若∠C＝Rt∠，求sin A；(2)若∠A＝30°，求AB；(3)通过(1)(2)解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理三角函数的定义，以及解直角三角形的方法．类型一 锐角三角函数的概念例1(2015·丽水)如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )A .BD BCB .BC AB C .AD AC D .CD AC【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．1．(1)(2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2B .255C .55D .12(2) (2015·扬州)如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外(与点C 在AB 同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C ＞sin ∠D ；②cos ∠C ＞cos ∠D ；③tan ∠C ＞tan ∠D 中，正确的结论为( )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①③2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论：①sin A ＝32；②cos B ＝12；③tan A ＝33；④tan B ＝3，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号)．类型二 特殊角的三角函数值例2 式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．2 【解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．3．(1)(2015·滨江)下列运算：sin 30°＝32，8＝22，π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 (2)计算6tan 45°－2cos 60°的结果是( )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．5 (3)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°类型三 解直角三角形的几何应用例3 (2015·湖北)如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．【解后感悟】本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用．4．(1)(2015·荆门)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝Rt ∠，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连结BD ，则tan ∠DBC 的值为( )A .13B .2－1C ．2－ 3D .14 (2)如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则( )A ．S 1＝12S 2B ．S 1＝72S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1＝85S 25．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，则AB 的长为 .类型四 解直角三角形中一个常见的模型例4 (2016·绍兴)如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A 处，测得河的北岸边点B 在其北偏东45°方向，然后向西走60m 到达C 点，测得点B 在点C 的北偏东60°方向，如图2.(1)求∠CBA 的度数；(2)求出这段河的宽(结果精确到1m ，备用数据2≈1.41，3≈1.73)．【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用－－方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；通过基本图形与实际问题的结合，揭示图形的基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．如图1是基本图形，若C ，D ，B 在同一直线上，且∠ABC ＝Rt ∠，∠ACB ＝α，∠ADB ＝β，CD ＝a ，AB ＝x ，则有x ＝BD·tan β，x ＝CB·tan α，∴x tan α－x tan β＝a ，∴x ＝a1tan α－1tan β. 变式为如图2，结论是x ＝a 1tan α＋1tan β.6．(2016·河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)类型五解直角三角形的测量问题例5(2016·黄石)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF ＝30°，∠CBE＝45°.(1)求AB段山坡的高度EF；(2)求山峰的高度CF.(2≈1.414，CF结果精确到米)【解后感悟】本题考查了解直角三角形的应用－－斜坡问题：解题涉及到的量是坡度与坡角，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝h∶l的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝tanα.7．(1)(2016·重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)()A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米(2)(2017·绍兴)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.①求∠BCD的度数；②求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)类型六解直角三角形的实际应用例6如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：(单位：cm)(1)求AM的长；(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1cm)．备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.【解后感悟】本题是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形；注意把实际问题转化为数学问题．8．(2015·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间．．．处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144cmB ．180cmC ．240cmD ．360cm9．(2017·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64；cos 40°≈0.77；tan 40°≈0.84)10．(2016·台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm ，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B ，肘关节C 和笔端A 的位置关系抽象成图2的△ABC ，已知BC ＝30cm ，AC ＝22cm ，∠ACB ＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)【课本改变题】教材母题－－浙教版八下，第82页某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)．【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题．这种题型是中考常用的考查方式．【把一般三角形当作直角三角形来解】如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得△A′B′C′，使B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′的值为________．参考答案第29讲锐角三角函数与解直角三角形【考题体验】1．A2.A3.(103＋1)4.作AE ⊥CD 于E ，BF ⊥AE 于F ，则四边形EFBC 是矩形，∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ，∴∠A ＝∠BOD ＝70°，在Rt △AFB 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE ＝AF ＋BC ≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1m ，答：端点A 到地面CD 的距离是1.1m.【知识引擎】【解析】(1)∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AB ＝4，∵sinA ＝BC AB ，∴sinA ＝12； (2)作CD ⊥AB ，交AB 于点D.∵∠A ＝30°，∴CD ＝ACsin30°＝3，AD ＝ACcos30°＝3，∵CD ⊥BD ，∴BD ＝1，∴AB ＝AD ＋BD ＝4. (3)解一般三角形的思路：一般三角形转化为直角三角形；解直角三角形的方法：利用方程思想，借助勾股定理、三角函数等关系求解．【例题精析】例1 ∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠α＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∴∠α＝∠ACD ，∴cos α＝cos ∠ACD ＝BD BC ＝BC AB ＝DCAC，只有选项C 错误，符合题意，故选：C .例2 原式＝2×32－1－(3－1)＝3－1－3＋1＝0.故选B . 例3(1) 过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°，在Rt △ACE 中，CE ＝AC·cos C ＝1，∴AE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中，tan B ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC＝BE ＋CE ＝4； (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1，∵AE⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°，∴sin ∠ADC ＝22. 例4(1)由题意得，∠BAD ＝45°，∠BCA ＝30°，∴∠CBA ＝∠BAD －∠BCA ＝15°； (2)作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ，设BD ＝x m ，∵∠BCA ＝30°，∴CD ＝BDtan 30°＝3x ，∵∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ＝x ，则3x －x ＝60，解得x ＝603－1＝30(3＋1)≈82，答：这段河的宽约为82m .例5 (1)作BH ⊥AF 于H ，如图，在Rt △ABH 中，∵sin ∠BAH ＝BHAB ，∴BH ＝800·sin 30°＝400m ，∴EF ＝BH ＝400m ；答：AB 段山坡的高度EF 为400米． (2)在Rt △CBE 中，∵sin ∠CBE ＝CEBC，∴CE ＝200·sin 45°＝1002≈141.4(m )，∴CF ＝CE ＋EF ＝141.4＋400≈541(m )．答：山峰的高度CF 约为541米．例6(1)由题意，得AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )．故AM 的长为72cm ； (2)∵AP 平分∠BAC ，∠BAC ＝104°，∴∠EAD ＝12∠BAC ＝52°.过点E 作EG ⊥AD 于G ，∵AE ＝DE＝36，∴AG ＝DG ，AD ＝2AG .在△AEG 中，∵∠AGE ＝90°，∴AG ＝AE·cos ∠EAG ＝36·cos 52°≈36×0.6157＝22.1652(cm )，∴AD ＝2AG ＝2×22.1652≈44(cm )．故AD 的长约为44cm .【变式拓展】1．(1)D (2)D 2.②③④ 3.(1)D (2)D (3)D 4.(1)A (2)C 5.3＋36. 在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则BD ＝CD ＝9米．在Rt △ACD 中，CD ＝9米，∠ACD ＝37°，则AD ＝CD·tan 37°≈9×0.75＝6.75(米)．所以，AB ＝AD ＋BD ＝15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.75－2.25＝13.5(米)，因为耗时45s ，所以上升速度v ＝13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．7.(1)A (2)①过点C 作CE ⊥BD ，则有∠DCE ＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE ＋∠BCE ＝18°＋20°＝38°；②由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60＝20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .8．B9.过点A 作AC ⊥OB ，垂足为点C ，在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ＝1.2米，∴AC ＝sin ∠AOC ·AO ≈0.64×1.2＝0.768米，∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．10.他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图2所示：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵BC ＝30cm ，∠ACB ＝53°，∴sin 53°＝BD BC ＝BD30≈0.8，解得：BD ＝24cm ，cos 53°＝DCBC ≈0.6，解得：DC ＝18cm ，∴AD ＝22－18＝4(cm )，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝42＋242＝592cm <900cm ，∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．【热点题型】【分析与解】先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.根据题意，得∠BAD ＝60°，AB ＝0.3米．∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∴△BAD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20＝6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A 1B 1C 1D 1.根据题意，得∠B 1A 1D 1＝10°，A 1B 1＝0.3米．∵在菱形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∠B 1A 1O 1＝5°，∴在Rt △A 1B 1O 1中，B 1O 1＝sin ∠B 1A 1O 1·A 1B 1＝sin 5°×0.3≈0.02616(米)，∴B 1D 1＝2B 1O 1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．【错误警示】13 过A′作A′D ⊥BC′于点D ，则B′D ＝A′D.设AB ＝a ，则A′C ＝a ，BC ＝2a ，所以A′D ＝A′C·sin 45°＝a·22＝22a.所以B′D ＝22a.故BD ＝BC ＋B ′D ＝322a.所以在Rt △A ′BD 中，tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝22a 322a ＝13.。