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线段的定比分点教案2
线段的定比分点教案2教学目标1．学生通过学习、研究，弄清定比、定比分点的意义，特别是分点的位置与λ的对应关系．2．培养学生掌握转化、联想和类比等重要数学思想方法，提高学生研究问题的能力．教学重点与难点线段定比分点公式的猜想、鉴赏及其应用是教学重点，正确理解线段定比分点中定比λ与分点位置的对应是教学难点．教学过程师：请说出：1．有向线段、有向线段的长度、有向线段数量的意义．并举例说明以上三者的表示方法；2．说出有向线段数量公式；3．平行线分线段成比例定理．生：(略)．表示这两条有向线段数量的比？师：请同学们一定要分析清这三者之间的区别与联系．下面我们学习：1．线段定比分点(板书)这一重要概念．(用投影片打出)与以分点P为起点，线段的终点P2为终点的有向线段PP2数量之比，为了记忆，我2．内分点和外分点(板书)师：下面我们来分析定比分点P的位置，与之对应的比λ与实数R 之间的一一对应关系．请看下图：当P从左向右运动至P1点，请同学们猜测λ值的变化情况．|PP2|所以－1＜λ＜0，当P与P1点重合时，由于P1P=0所以λ=0．师：很好，如果P点继续向右作靠近P2点的运动．此时P在P1P2上，我们把P因此λ可取一切实数值．师：在点P与P2重合时，显然此时|PP2|=0．λ值怎样呢？生：应该不存在．师：下面观察当P点继续向右移动的情况，λ值怎样变化．生：λ应是负值，并且|P1P|＞|PP2|，因此λ值总大于负1，即λ＞－1．师：观察以上情况，λ能否是－1的值．生：(议论后得出)λ=－1不可能成立．师：我们把λ的变化情况总结为下表：了使有向线段数量比“代数化”的作用．3．定比分点坐标公式(板书)师：下面我们研究这个问题，设在数轴上，P1和P2两点坐标分别为2和7，代数化可得一个关于x的方程：师：这个方程把x解出来，先暂时不做数的运算：这个式子中x是分点坐标，2是起点坐标，7是终点坐标，λ是定比分点，你能猜想分点坐标的一般形式吗？家能否根据λ≠－1猜想一下公式应是什么结构．生：分母应有1+λ的特征．师：很好，怎样求出(x，y)的计算公式呢？x轴上去，再根据平行线分线段成比例定理就可以解决了．师：这个解题思路很正确，通常将二维问题利用投影法转化为一维问题是研究数学问题的重要方法之一．过点P1、P2P分别作x轴的垂线P1M1、P2M2、PM，则垂足分别为M1(x1，如果点P在线段P1P2上，那么点M也在线段M1M2上；如果点P在线段P1P2或P2P1的延长线上，那么点M也在线段M1M2或M2M1的延长线上．因此因为M1M=x－x1，MM2＝x2－x，即(1+λ)x= x1+λx2，当λ≠－1时，4．例题(板书)例1 点P1和P2的坐标分别是(－1，－6)和(3，0)，点P的横坐标为师：根据由投影法得到的关系式．先求出λ的值，再由定比分点公式，求出P点的纵坐标．(学生自己求解)解由λ的定义，可得，例2 已知点A(3，－4)与B(2，－1)，延长AB到P，使|BP|＝2|AB|，求P点坐标(x，y)．师：因为P1，P2和P这3个点的位置已经确定，关键是要在上述3个点中，把哪一个视为分点；其次再定出余下的两个点，哪个是起点，哪个是终点，只有把各个点的位置确定之后，才能按照解题思路、方法和规律得出正确的结果．因此P点坐标是(0，5)．y＝5．因此P点坐标是(0，5)．师：当然还有其它的选择方法，因此我们在解题时可根据题目的要求选择起点、分点、终点，使我们的解题方法快捷简便．例3 已知三角形顶点是A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，求△ABC 的重心G的坐标(图1－13)．师：因为△ABC的3个顶点坐标已经给出，说明三角形重心是固定的，又因为D是BC的中点，因此D点坐标确定了．只要根据重心到顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍，即求出重心G的坐标．解题前还是应先确定A、G、D谁是分点、起点、终点，避免出错．这题怎样确定呢？生：定G分AD较好．师：对，这样λ是正整数，计算简便．解设BC边的中点为D，则D点坐标是整理后得重心G的坐标师：这个重心坐标的结论，使我们见到了数学和谐的对称美．5．引导学生小结在使用定比分点公式时，2)当已知P为P1P2的定比分点时，可通过其一个关系式求λ的值．3)公式中的λ，当起点、终点、分点确定时也随之确定，但对具体问题，为了计算方便，起点、终点、分点又可视问题灵活选择，使运算简便．6．作业：1)课本：第10页练习1，2，3，习题一，5，6(2)，7(2)、(3)，13，14．2)补充题：①已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且|PA|=2|PB|，求点P坐标．②已知△ABC的顶点A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则∠A的平分线的长设计说明定比分点坐标公式是解析几何中的重要公式，通过这个公式的教学，除了在教学中渗透“形数结合”这种解析几何中常用的数学方法外，还应充分展示这个公式的思想价值、联想类比等重要数学思想．如在推导公式过程中利用投影法转化思想，把二维问题转化为一维问题，这种射影手段、转化思想在教学中不可忽视，它是研究数学问题的重要方法．在今后的学习中可以向学生介绍这样一个重要性质，如果[a，b]是x轴上的区间，[0，1]是y轴上的一区间，点P1(a，0)，P2(b，1)，那么对x∈[a，b]，必存在y由定比分点公式可得因为a≤x≤b，所以y'∈[0，1]，取y=y'，即存在y∈[0，1]，使得P(x，y)在直线参数方程中有：立体几何中，已知棱台上、下底面积为S1，S2，设P为其高上一点，且将高自上而下分成的比为λ，过P作一平行于底的截面，则截面面积S满足都可用定比分点公式去解．因此，通过定比分点教学寻找不同知识点、不同章节以及不同学科之间的规律联系之所在，无疑是培养和提高学生数学思维方法和解题能力的重要手段．。
《线段的定比分点》说课稿
《线段的定比分点》说课稿《线段的定比分点》说课稿迁安一中各位老师，领导，大家好：今天我说课的课题是高一下册第五章第5节线段的定比分点．现我就教材，教法，学法，教学程序，方面进行说明．一、教材、教法分析本节课主要内容是定比分点公式的推导及应用，主要是运用定比分点的公式中点公式、重心公式进行求解，证明．这是平面向量这一章中的第5节的内容，它是在学习了向量的加法与减法、实数与向量的积及平面向量的坐标运算之后的一个重要公式，它为今后研究平面向量的运算、解析几何中线段比及点坐标等问题做好了铺垫．因此它起着承上启下的作用，同时也培养了学生运算和观察能力．作为新授课要使学生掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式并熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决问题。
难点是明确点P的位置及用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜0。
为了培养学生认真参与、勇于探究的精神，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度．教学方法我采用了引导发现、合作探究的方法。
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
激发学生的学习兴趣，二、教具为多媒体和直尺。
通过多媒体的使用加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现，可以更好的为教学服务．三、教学过程１、提出问题，创设情境向同学出示题目，并提出两个问题（1）已知及，，求P点坐标；（2）已知，，及，求的值。
设计意图：通过提出问题的方式把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识。
引导学生主动思考，培养学生自我发现的学习能力。
2、进行课前预练.（1）.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐标是（2）已知ABC三点共线，且A（3，6），B（-5，2），若C点横坐标为6，则C点纵坐标为巩固学生已学的向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算，为公式推导及应用铺平道路。
2017最新高一数学优秀教案-线段的定比分点
1§5.5 线段的定比分点教学目标：1.通过在教师引导下的自学，使学生了解线段定比分点坐标公式的由来，初步形成一个知识网络；2.理解并掌握线段的定比分点中定比λ的含义、分点的坐标公式及中点坐标公式，会简单应用；3.了解线段的定比分点坐标表示形式，为进一步应用作好铺垫；教学重点：线段定比分点中定比λ值的确定，线段定比分点坐标公式的理解、记忆和灵活运用； 教学难点：使用线段的定比分点坐标公式时，对定比λ值的确定及分点位置的判断；线段定比分点坐标公式的灵活应用，知识网络的形成； 教学过程： 一.复习回顾：1.向量共线的充要条件：若有向量a (0a ≠ )、b，实数λ，使b a λ= ，则a 与b 为共线向量；2.向量的坐标表示：已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，求AB的坐标. 2211(,)(,)AB x y x y =-2121(,)x x y y =--．二.线段的定比分点定义（新课讲解）1.12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ，使12PP PP λ=，λ叫做点P 分12PP 所成的比.师生共研究λ的正负.“显然，当点P 在线段12PP 上时，0λ>；当点P 在线段12PP 或21P P 的延长线上时，0λ<”为什么“显然”？请用一句话概括定比分点P 的位置与λ符号的关系.理论根据是：当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；定比分点P 的位置与λ符号的关系是内分为正，外分为负。
2.定比λ的值如何确定？确定定比λ的方法：|λ|的确定方法是，起点到分点的线段长比上分点到终点的线段长；若P 点是内分点，则λ＞0，若P 点是外分点，则λ＜0．即|λ|=12||||PP PP练习:如图，点B 分有向线段AC 的比为 ，点C 分有向线段AB 的比为 ，点A 分有向线段BC 的 。
高一数学线段的定比分点教案_1
诚西郊市崇武区沿街学校§线段的定比分点教学目的：1．进一步纯熟掌握定比分点的相关概念；2．明确分点位置与λ的范围间的制约关系；3．能用定比分点的比值灵敏解题〔交换分点求分比〕；4．理解定比分点的向量表示．教学重点：由A 分PB 之比的比值探求交换分点后如何求分比．教学难点：定比分点的向量表示．教学过程知识平台1．阅读课本P113-114，理解公式的推导过程及构造特征；2．对定比分点坐标公式中λ的理解．情景平台1．假设1P 、2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于1P 、2P 的任意一点，那么存在一个实数λ，使，那么λ叫做P 分有向线段所成的比．2．P 分有向线段AB 所成比为λ，假设||3||AP PB ，那么λ=，A 分有向线段PB 的比为．3．P 分有向线段AB 之比为λ． ①当P 在线段AB 两端点之间时，λ的取值范围是．②当P 在线段AB 的延长线上时，λ的取值范围是．③当P 在线段AB 的反向延长线上时，λ的取值范围是．【小结】1°掌握λ的意义；2°会根据分点位置推出λ的取值范围； 3°注意结合图形求解．才能平台4．设123PP PP =，求点1P 分2PP 所成的分比．5．设1P 、2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任一点，且12PP PP λ=，O 是平面上任一点．〔1〕假设111(,)P x y ，222(,)P x y ，求P 点坐标； 〔2〕假设111(,)P x y ，222(,)P x y ，P 为12P P 的中点，求P 点坐标； 〔3〕求证：121OP OP OP λλ+=+．6．两点1(3,2)P ，2(8,3)P -，求点1(,)2P y 分12PP 所成的比λ及y 的值． 【小结】 1°掌握线段定比分点公式及中点坐标公式． 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 2°引申线段定比分点向量式为121OP OP OP λλ+=+．作业：教材P117习题T1〔1〕〔2〕，T2 后记:。
高一数学教案：线段的定比分点
高一数学教案：线段的定比分点课 题：线段的定比分点教学目的： 1把握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式； 3明白得点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义； 4明确点P 的位置及λ范畴的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0依旧λ＜０授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB = b , 那么BA = a - b即a - b 能够表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 7．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa9．平面向量差不多定理：假如1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯独确定的数量 10．平面向量的坐标表示分不取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量差不多定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 专门地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=11．平面向量的坐标运算假设),(11y x a =，),(22y x b =，那么b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=12．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情形：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)2定比分点坐标公式：假设点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，那么点P 的坐标为〔λλλλ++++1,12121y y x x 〕，我们称λ为点P 分21P P 所成的比 设P P 1=λ2PP点P 1, P , P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)，由向量的坐标运算 P P 1=(x-x 1,y-y 1) ，2PP=( x 2-x, y 2-y) ∵P P 1=λ2PP∴ (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x, y 2-y)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 点P 分12P P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比，要注意方向3点P 的位置与λ的范畴的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点专门地，当λ＝１时，有P P 1＝2PP，即点P 是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为〔2,22121y y x x ++〕 ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点 探究：假设Ｐ１、Ｐ２是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，那么存在一个实数λ，使P P 1＝λ2PP ，λ叫做P 分有向线段21P P 所成的比而且，当点P 在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P 在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０关于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)假设λ＞０，那么点P 为线段Ｐ１Ｐ２的内分点；(2)假设λ＜０，那么点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点一样来讲，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝λλ++121x x 和ｙ＝λλ++121y y 明显都无意义，也确实是讲，当λ＝－１时，定比分点不存在由此可见，当点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１4线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，由于P P 1＝OP －1OP ＝OP －ａ，2PP ＝2OP －OP ＝ｂ－OP 且有21P P ＝λ2PP，因此OP -a =λ(b -OP )即可得 OP =b a b a λλλλλ+++=++1111 这一结论在几何咨询题的证明过程中应注意应用三、讲解范例：例1A (1，3)，B (－２，０)，Ｃ〔２，１〕为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分不是BC 、CA 、AB 上的点，满足BL ∶BC ＝CM ∶CA ＝NA ∶AB ＝１∶３，求L 、M 、N 三点的坐标分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L 、M 、N 分向量BC 、CA 、AB 所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标 另外，要求L 、M 、N 的坐标，即求OL 、OM 、ON 的坐标(那个地点O 为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式 下面给出第二种解法 解：∵Ａ〔１，３〕，Ｂ〔－２，０〕，Ｃ〔２，１〕， ∴OA ＝〔１，３〕，OB ＝〔－２，０〕，OC ＝〔２，１〕又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３∴可得：L 分CB ，M 分AC ，N 分BA 所成的比均为λ＝２∴OL ＝λ+11OC ＋λ+11OB ＝31〔２，１〕＋32〔-2，0〕=〔-32，31〕 OM =λ+11OA +λλ+1OC =31 (1,3)+ 32〔２，１〕＝〔35，35〕 ON ＝λ+11OB ＋λλ+1OA ＝31〔－２，０〕＋32〔１，３〕＝〔０，２〕 ∴Ｌ〔－32，31〕、Ｍ〔35，35〕、Ｎ〔０，２〕为所求 上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用例2三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ〔５，－３〕，Ｄ点内分AB的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，因此它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解解：由有AD ＝31DB ，那么得ABDB ＝34 又21=∆∆ABC BDE S S ，而Ｓ△ＢＤＥ＝21｜DB ｜·｜BE ｜·sin ∠DBE ， Ｓ△ＡＢＣ＝21｜AB ｜·｜BC ｜sin ∠ABC ，且∠DBE ＝∠ABC ∴21=⋅⋅BC AB BEDB ，即得：32=BC BE又点E 在边BC2=，∴点E 分成比λ＝２由定比分点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+-=221)3(20221524E E y x ,即Ｅ〔２，－２〕， 又由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+-⨯+=631181311)4(310D D y x ,有D 〔－１，６〕 记线段DE 的中点为M (x ,y ),那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==-+=2262212)1(2y x ,即M 〔21，２〕为所求 四、课堂练习：1．点A (－２，-３)，点Ｂ〔４，１〕，延长AB 到P ，使｜｜＝３｜｜，求点P 的坐标解：因为点P 在AB 上的延长线上，P 为的外分点，因此，＝λ，λ＜０，又依照｜｜＝３｜｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P 点的坐标为〔７，３〕．2．两点P １〔３，２〕，Ｐ２〔－８，３〕，求点P (21，ｙ)分21P P 所成的比λ及ｙ的值解：由线段的定比分点坐标公式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=λλλλ1321)8(321y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2249175y λ 五、小结六、课后作业： 1点A 分有向线段BC 的比为2，那么在以下结论中错误的选项是〔 〕A 点C 分AB 的比是-31B 点C 分BA 的比是-3 C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是22两点P １〔－１，－６〕、Ｐ２〔３，０〕，点P 〔－37，ｙ〕分有向线段21P P 所成的比为λ，那么λ、ｙ的值为〔 〕A －41，８B 41，－８C －41，－８D ４，81 3△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，假设AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，那么顶点C 的坐标是〔 〕A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)4点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上，那么x =5△ABC 的顶点A (2，3)，B (-4，-2)和重心G (2，-1)，那么C 点坐标为 6M 为△ABC 边AB 上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝81Ｓ△ＡＢＣ，那么M 分AB 所成的比为 7点A (-1,-4)、B (5,2)，线段AB 上的三等分点依次为P １、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ．8过P １〔１，３〕、Ｐ２〔７，２〕的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值9平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分不为M (3，0)、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标参考答案：1D 2C 3A 42或27 5(8,-4) 6 71 7P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分不为-21,-2 8 125 9Ｂ〔８，－１〕，Ｃ〔４，－３〕，Ｄ〔－６，－１〕 七、板书设计〔略〕八、课后记：。
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5.4 平面向量的坐标运算【基础知识精讲】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对任一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得=x+y,则实数对(x,y)叫做向量的直角坐标(简称坐标)，记作=(x,y)，其中x和y分别称为向量的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而=(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.显然=(1,0), =(0,1), =(0,0)2.平面向量的坐标运算：(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：±=(x1±x2,y1±y2)(其中=(x1,y2)、=(x2,y2)).(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，则=(x1-x2,y1-y2)(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若=(x,y),则λ=(λx,λy)3.向量平行的坐标表示已知向量、(≠)，则∥的充要条件为存在实数λ，使=λ.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)( b≠0)则a∥b的充要条件为：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】1.向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.2.向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.3.实数λ与向量a的积的运算时，λ应与a的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设λ∈R，a=(x,y)λ=λ(x,y)=(λx,y)或λ=λ(x,y)=(x,λy)例1 若向量=(x+3,x 2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=解：∵A(1,2),B(3,2) 则有=(2,0). 又∵=，∴它们的坐标一定相同.∴应填：-1例2 已知a =(3x+4y,-2x-y), b =(2x-3y+1,-3x+916y+3)，若2a =3b ,试求x 与y 的值. 分析：这里可以根据条件2=3建立关于x,y 的方程组，通过解方程组即可求得x 与y 的值.解：∵=(3x+4y,-2x-y),=(2x-3y+1,-3x+916y+3) ∴由2a =3b 可得： (6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+316y+9)说明：这里的题设条件2=3，其实它反应了向量，同向，并且2｜｜=3｜｜,即｜｜=23｜｜,所以，的坐标应成比例，即的横、纵坐标分别与的横纵坐标之比相等且都等于23.例3 已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y) 依题意，=或=或= 由=，可得：-=-即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0) 同理，若AC =DB 可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4) 若AB =CD 可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)例4 已知｜a ｜=10, b =(3,-4),且a ∥b ,求a .解：设a =(x,y)，则有或⎩⎨⎧=-=86y x ∴=(6,-8)或(-6，8)例5 已知=(3,2), =(-2,1), =(7,-4),用，表示.解：设=m +n ,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1)∴ ⎩⎨⎧-=+-=-42723n m m m 解得：⎩⎨⎧-==21n m ∴ =-2例6 如图，已知凸四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 与CD 的中点，试证：2=+分析：本例是实数与向量积，但用向量的坐标运算进行论证，其思路明确，过程简单.证明：设A(x 1，y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) 于是AD =(x 4，y 4)-(x 1，y 1)=(x 4-x 1,y 4-y 1)=(x 3,y 3)-(x 2,y 2)=(x 3-x 2,y 3-y 2)又2²OE =OA +OB∴2²OE =(x 1,y 1)+(x 2,y 2)=(x 1+x 2,y 1+y 2)2²=(x 3+x 4,y 3+y 4) 2=2(-)=(x 3+x 4-x 1-x 2,y 3+y 4-y 1-y 2)+=(x 4-x 1,y 4-y 1)+(x 3-x 2,y 3-y 2)=(x 3+x 4-x 1-x 2,y 3+y 4-y 1-y 2)∴2=+【难题巧解点拔】例1 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10) 若=+λ² (λ∈R),试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上?点P 在第三象限内?分析：由题设条件可用λ分别表示点P 的横、纵坐标，再根据点P 在一、三象限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等，点P 在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负，就能求出相应的λ值.解：设点P 的坐标为(x,y) 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)+λ²=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ) ∵=+λ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若点P 在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ∴λ=21 (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+074055λλ ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<741λλ ∴λ＜-1 即只要λ＜-1时，点P 就在第三象限内.例2 如图已知OA =a ,OB =b , OC =c ,求证A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是：有不全为0的实数m,n,l ，使得l +m +n =0且l+m+n=0解：过A 、B 的直线方程是 =+t(-)1°必要性：若A 、B 、C 在同一直线上，则c =a +t(b -a )=(1-t) a +t b -c =0令1-t=l,t=m,-1=n,则有t +m +l 且m+n+l=02°充分性：由l+m+n=0 l +m +m =⇒ m(-)=-l(-)即m BC =-l AC ⇒BC ∥AC 且有公共点⇒A 、B 、C 三点共线.评析：证明充要条件一定要证两个方面，即充分性和必要性两个部分.例3 已知：a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β), a +b =(54,53) 求(1)(cos(α-β),sin(α-β)) (2)tan2βα+解：(1)依题意，可得：①2+②2得2+2cos(α-β)=-1∴cos(α-β)=-21， 从而sin(α-β)=±23 ∴(cos(α-β),sin(α-β))=(- 21,±23) (2)由①得：2cos2βα+²cos 2βα-=54 ③ 由②得：2sin 2βα+ ²cos 2βα-=53④③④得：tan 2βα+=43【课本难题解答】课本第112页习题5.4第8题： 设=λ即：(x,-6)=λ(2,3) ⇒ (x,-6)=(2λ,3λ)∴ ⎩⎨⎧=-=λλ362x 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4第9题：AB =(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD =(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8) 显然=-2 ∴与共线.【命题趋势分析】向量的坐标表示，实际是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，就可以使向量的运算完全代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密联系起来了.本节考查学生是否会求向量的坐标，能否正确利用向量的坐标表示进行向量的线性运算.利用向量共线的充要条件解证相关的问题，本节是高考的热点.【典型热点考题】例1 若向量a =(1,2), b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ，则x= . 解：u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)=2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3) 由∥,一定存在λ∈R ，使=λ则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)⎩⎨⎧=-=+λλ34)2(12x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2134x λ ∴应填21.例2 若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 .解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1) ∴AB =(3,1), BC =(1,-4) ∴AD =2³(3,1)-3³（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14)设点D(x,y) 则=(x+1,y-2)故⎩⎨⎧=-=+14231y x ∴ ⎩⎨⎧==162y x ∴D 的坐标为(2，16)∴应填：(2，16)例3 若A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则AB +2BC ，BC -21AC 的坐标分别为 、 .分析：本题主要考查向量的坐标表示及向量的坐标运算. 解：=(-2,10), =(-8,4), =(-10,14) ∴+2=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18) -21=(-8,4)- 21(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3) ∴应填：(-18，18)，(-3，3)例4 已知≠，≠, 不平行于,求证：+不平行于-.证明：令=(x 1,y 1), =(x 2,y 2),有+=(x 1+x 2,y 1+y 2)-=(x 1-x 2,y 1-y 2) 假设a +b ∥a -a则(x 1+x 2)(y 1-y 2)-(y 1+y 2)(x 1-x 2)=0整理得x 2y 1-x 1y 2=0. 因为≠, ≠所以∥) 这与已知矛盾，∴+不平行于-本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.若，是不共线的两个向量，且=λ1+, =+λ2(λ1,λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=02.已知=(3,-1), =(-1,2)，则-3-2的坐标是( )A.(7，1)B.(-7，-1)C.(-7，1)D.(7，-1)3.已知a =(-1,3), b =(x,-1)，且a ∥b ，则x 等于( )A.3B. 31C.-3D.-31 4.已知平行四边形ABCD 中，=(3,7), =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则的坐标是( ) A.(-21，5) B.(- 21， -5) C.( 21)，-5) D.( 21，5)5.若向量=(x-2,3)与向量=(1,y+2)相等，则：( )A.x=1,y=3B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-16.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( )A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)7.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75°8.已知向量=(6,1), =(x,y), =(-2,3),则=( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)9.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 2110.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e )=,λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为=λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.已知=(1,2), =(2,1), =(3,-2),且=λ+μ，则实数λ= ,μ= .3.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .4.在△ABC 中，已知=,=，O 是△ABC 的重心，则+= .5.已知、是两非零向量，且｜｜=m,｜｜=n ，=+，当m ＜n 时，｜｜的最小值是 .三、解答题：1.已知a =AB ,B(1,0), b =(-3,4), c =(-1,1)，且a =3b -2c ，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求.3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示++.【素质优化训练】一、判断题1.已知：=(1,3), =(-3,-6),则｜-｜=｜｜+｜｜( )2.已知：i =(1,0), =(0,1). a =(3,4)，则a =3i -4( )3.已知：a =(5，-4),则2.5a =(12.5,-10)( )4.已知：a =(3.14,π), b =(314,100π),则a ∥b ( )5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，则｜｜+｜｜＞｜｜( )6.已知：=(x 1,y 1)，=(x 2,y 2)，若x 1y 2+x 2y 1=0则∥( )7.若a 与b 不平行，m 、n ∈R *,1c =m a +n b ,2c =m a -n b ，则1c 与2c 不平行( )8.若a =(x,y)，则-a =(y,x)( )9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)则AB =CD ( )二、1.已知点A(-1，2)，B(2，8)，及=31,=-31,求C 、D 的坐标.2.已知ABCD 的正方形，BE ∥AC ，AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长于F ，求证：AF=AE.3.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，的坐标.【生活实际运用】如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船航行的速度｜1V ｜=10km/h ，水流速度｜2V ｜=4km/h ，那么1V 与2V 的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B 处?船行驶多少时间(精确到0.1min)?解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使1V 与2V 的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如图所示).根据向量的平行四边形法则和解直角三角形的知识，可以算出 ｜V ｜=9.2km/h, θ=114°,t=3.3min.【知识探究学习】在很大的一湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为v=2.5km/h ，同时岸上有一人，从同一地点追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v 1=4km/h ，在水中游的速度为v 2=2km/h ，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少?解析：用向量合成法来求解这个问题.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上.所以本题讨论的问题不是同一直线上的追及问题，只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设人在岸上跑的时间t 1内到达A 点，然后人在水中沿AE 方向游水追船，如图所示，以船在B 点时为参照物，则人在水中船的速度3v 应为3v =2v -v ，要追上船，不管2v 方向如何，相对速度3v 方向不变，只要在α＞θ，人就能追上船，由2v ，-v , 3v 组成的向量三角形，其中3v ，v 的方向不变(图中∠ADE 恒定)，而2v 大小是恒定的，要DE 边最长(即v 的大小最大)，AE 必与AD 相互垂直.AF ∥DE ∥OB ，CE ∥AB ，∵△AFC ∽△OAB ∴AC AF =OA OB =1v v , 又∵AF=v,∴AC=v 1.在Rt △AEC 中有sin ∠ACE=sin β=12v v =21,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，即△AED 为等腰直角三角形，因此有v max =2v 2=22km/h.∴当船速为2.5km/h 时，人可以追上小船.参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A二、1.±22 2.λ=-37,μ=38 3.(-1，2) 4. 31 (-) 5.n-m 三、1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 【素质优化训练】一、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.³ 9.√二、1.C(0，4)，D(-2，0)2.先求E 的坐标(231+，231-) F 的坐标(-2-3，1)再证：｜｜=｜｜ 3. OA =(231-,231+), OC =2 (462+,462-)。
《线段的定比分点》教案
《线段的定比分点》教案教案：线段的定比分点教学目标：1.理解线段的定比分点的概念和性质；2.掌握求解线段的定比分点的方法；3.运用线段的定比分点解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和空间想象力。
教学重点：1.理解线段的定比分点的概念；2.理解线段的定比分点的性质；3.掌握求解线段的定比分点的方法。
教学难点：1.运用线段的定比分点解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和空间想象力。
教学准备：1.教学PPT；2.课堂展示用的线段模型；3.案例练习题。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线段的定义：什么是线段？如何求线段长度？2.提问：如果要将一个线段分成两个等长的部分，应该如何切割呢？二、讲解（20分钟）1.讲解线段的定比分点的概念：什么是定比分点？在一个线段上如何确定一个定比分点？2.讲解定比分点的性质：定比分点将线段分成两个部分，这两个部分的比等于给定的比例。
3.讲解如何求解线段的定比分点：通过比例求解定比分点的坐标，或者通过距离比例求解定比分点的坐标。
三、示范（20分钟）1.模拟示范一：展示一个线段，介绍给定的比例，然后求解线段的定比分点的坐标。
2.模拟示范二：展示一个线段，介绍给定的长度比例，然后求解线段的定比分点的坐标。
四、练习（30分钟）1.独立练习：学生分组进行线段的定比分点的练习。
2.案例练习：提供一些实际问题，要求学生运用线段的定比分点解决问题。
五、总结（10分钟）1.给出线段的定比分点的定义、性质和求解方法的总结；2.引导学生进行反思和回顾，让他们意识到线段的定比分点在实际问题中的应用和重要性。
六、拓展（10分钟）1.引导学生思考：如何运用线段的定比分点来解决其他几何题目？2.提供一些拓展问题，让学生进行思考和讨论。
教学延伸：1.使用几何软件进行线段的定比分点的可视化演示；2.安排学生进行实地考察，观察和测量现实生活中的线段及其定比分点。
教学评价：1.教师观察学生的参与程度和学习态度；2.教师收集整理学生的练习答案并进行评分；3.学生之间进行小组合作评价；4.教师对学生的表现进行评价并给出建议。
定比分点导学案(6)
5.5线段的定比分点（1）一、学习目标：1、 准确理解线段的定比分点与定比λ的关系；2、 掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式；3、 把握向量运算与分点坐标运算的选择。
二、学习重点与难点重点：掌握线段的定比分点坐标公式与中点坐标公式； 难点：区分λ0>或λ0<。
三、知识储备1、平面向量的坐标运算),(222x x P ，),(12122y y x x P P --=；2、平面向量相等的坐标运算。
四、学习过程阅读课本：阅读课本P 124，理解)1(21-≠=λλPP P P ，考察定比分点坐标公式的推导过程，记忆公式，研究下列问题。
问题1：分点与分比的关系。
（A 级）1、依下列条件用图表示分点P 的位置：（1）212PP P P = λ= （2）213PP P P -=λ=（3）212PP = λ= （4）P P 213-=λ=（A 级）2、（1）点P 在21P P 上，21PP Pλ=，λ 0，点P 叫做 分点； （2）点P 在21P P 延长线上，21PP P P λ=， λ 0，点P 叫做 分点； （3）点P 在12P P 延长线上， 21PP P Pλ=，λ 0，点P 叫做 分点。
（4）λ=–1可能成立吗？为什么？（A 级）3、定比分点坐标公式： 中点坐标公式： 。
（B 级）4、已知P 1（（x 1,y 1），P 2(x 2,y 2)，P(x,y)，且21PP P λ=，求λ的值。
问题2：定比分点、定比、线段的关系。
要考虑多种可能性。
（B 级）例1：（1=，P 在线段21P P 上，则点P 分21P P 的比=λ ；（2）=，点P 在线段21P P 延长线上，则点P 分21P P 的比=λ ； （3=P 在线段12P P 延长线上，则点P 分21P P 的比=λ 。
（B 级）练习1：设线段21P P 的长为5cm ，点P 分21P P 的比λ。
（1）点P 在线段21P P=1cm ，=λ 。
高中数学《线段的定比分点》说课教案
线段的定比分点南宁二中 陈芬教学重点：1、准确理解和掌握定比分点的有关概念；2、掌握定比分点坐标公式及其推导方法与应用。
教学难点：1、定比分点的有关概念及定比分点坐标公式的推导方法； 2、暴露公式推导中所蕴涵的数学思想与方法。
教学目标⑴掌握定比分点的有关概念、定比分点坐标公式及公式的推导方法和应用。
⑵领悟到公式推导中蕴涵的数学思想，并在推导过程中培养学生的思维能力和创新能力，以及对知识的应用能力。
⑶感悟如何去分析问题、提出问题并解决问题的思维过程，学会自主学习。
⑷培养学生勇于探究、善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质。
教学方式：启发式、探究式 教具使用：多媒体教学过程： 一、设置情景中国驻南极的科考站派出的科考车在科考站附近的两个地点1P 、2P 之间进行实地考察（如图），1P 在科考站北偏西距离10公里的地方，2P 在科考站北偏东距离20公里的地方。
科考车按一定速度从1P 到2P 直线行驶需3个小时。
一天，科考站收到消息，科考车从1P 出发2小时到P 处时出现故障，现从科考站派出的救援车若按一定速度行驶，则应朝哪个方向行驶可最快赶往出事点P 处？二、探究引入与揭示课题西针对以上实际问题，请同学们提炼出一个数学模型。
（展示学生的成果） ①已知点),(111y x P 、),(222y x P ，有一点P 使 k PP PP =21，求P 点坐标 ②已知点),(111y x P 、),(222y x P ，直线21P P 上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标 ③已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标 问题二：哪几个表述是可以解决的？（通过分析，学生会发现只有③可以确定解决，①解决不了，而②包含有两种情况，其中一种就是③，那另一种情况呢？引导学生对②进行分类，得出以下两种表述）④已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 延长线上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标⑤已知点),(111y x P 、),(222y x P ，线段21P P 反向延长线上有一点P 使k PP PP =21，求P 点坐标问题三：③④⑤的表述有哪些异同？可以用什么更简洁的表述形式来代替这些表述？ （引导学生归纳出：③④⑤的表述都可用下面的形式代替就） 21PP P P λ= 问题四：λ取何值时分别代表③④⑤的意义？ 点P 在线段21P P 上⇔0>λ； 点P 在线段21P P 延长线上⇔1-<λ； 点P 在线段21P P 反向延长线上⇔01<<-λ三、概念的形成及公式的推导设1P 、2P 是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任意一点，则存在一个实数λ，使21PP P P λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
5.5线段的定比分点教案
5.5线段的定比分点一、教学目的1、理解点p 分有向线段12p p所成比λ的含义；2、明确点p 的位置及λ范围的关系；3、在运用线段的定比分点坐标公式中能正确确定λ的值。
二、教学难点1、线段的定比分点和中点坐标公式的应用及在应用中能正确确定λ的值。
2、用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还是λ<0。
三、教学过程 1、复习回顾同学们在初中的时候，我们就知道一个特殊的点-----黄金分割点，就是说线段12p p 上取一点p,使122120.618p p pp pp p p =≈， 其中p 叫做线段12p p 的黄金分割点。
如果现在我们给12p p 规定一个方向，假设以1p 为起点，2p 为终点，就可以得到向量1p p 同理给2pp 规定一个方向，那么就有向量1p p 和向量2pp是共线的并且方向相同如图所示：结合这里我们就有120.618p p pp = ，显然在向量12p p上取一并于1,2p p 点p ，未必刚好就是线段12p p 的黄金分割点，但是我们知道无论怎样取，向量1p p 、2pp始终共线。
根据前面我们所学的共线向量的定理，肯定存在非零实数()120p p pp λλ=≠，此时点p 就成了有向量线段12p p的分割点，像这样分割有向线段的点叫什么呢？2、线段定比分点的定义这就是我们今天要学习的新内容，线段的定比分点，首先我们一定来看一下等比分点的定义：线段的定比分点，设1,2p p 是直线l 上的两点，点p 是l 上不同于1,2p p 的任意点，则存在一个实数λ，实数()120p p pp λλ=≠，λ叫做点p 分有向线段所成的比，点p 叫做有向线段12p p的定比分点。
3、分点位置与λ的范围的关系根据定义，计算下面图形中点P 分12p p所成的比。
P P 2P 1lP 1P 2P（λ>0）（1）()0101λλλ<⎧⇒-<<⎨<⎩（2） ()011λλλ<⎧⇒<-⎨>⎩（3）点评：（1）强调三点位置顺序：起点→分点，分点→终点。
《线段的定比分点》教案及说明
7. 板书设计： 5.5 线段的定比分点 1.线段的定比分点的定义: 3.中点坐标公式: 例1
2.线段的定比分点的坐标公式:
例2
《线段的定比分点》教案说明
《线段的定比分点》是高中数学人教版第一册（下）第五章第五节内容，是 定比分点坐标公式的推导及应用，主要是运用定比分点的坐标公式进行求解，证 明。 它是在学习了平面向量的加法与减法、实数与向量的积及平面向量的坐标运 算之后的一个重要公式， 它为今后研究平面向量的运算等问题做好了铺垫。因此 它起着承上启下的作用，同时也培养了学生运算和观察能力。 根据上述教材分析， 考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目 标： (一) 知识目标：1.“线段的定比分点”的概念； 2.“分点 P 分有向线段 P 1P 2 所成比λ ”的概念； 3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。 (二) 能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程； 2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式 解决有关问题。 （三）德育目标：1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识； 2. 渗透由特殊到一般的思想,培养用新的数学语言对原 有的数学现象加以概括、加以解决的能力。 3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度 和能力。 本节课的重点是线段的定比分点问题的确立；线段的定比分点坐标公式的 推导过程以及公式的应用。难点是由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线 段的定比分点”这一概念过渡以及“分点 P 分有向线段 P 1P 2 所成比λ ”这一概 念的建立过程。为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我在从 教法和学法上做一说明。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学 生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原 则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我准备采用引导发现法、
5.5线段的定比分点(说课稿)
线段的定比分点（说课稿） 福建省厦门外国语学校 薛梅风一、教材分析1、教材的地位与作用《线段的定比分点》是高中《数学》第一册（下）（人教试验修订本）第四章第五节的内容，主要介绍点P 分有向线段21P P 所成比、定比分点坐标公式和中点坐标公式。
前面学生已经学习了两个非零向量共线的充要条件、向量的坐标表示，在此基础上来研究线段的定比分点，时机恰到好处，不但对以前所学知识进行巩固，而且通过本节的学习提高学生对知识的运用意识，体现了数学的特性，进而培养了学生的探索、创新精神，提高了分析问题和解决问题的能力，增强了对数学的学习兴趣。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
2、教学重点和难点教学重点：线段的定比分点及中点坐标公式的应用。
教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分0>λ还是0<λ。
二、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下。
1、知识目标（1）点P 分有向线段21P P 所成比；（2）线段的定比分点坐标公式； （3）线段的中点坐标公式。
2、能力目标（1）掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； （2）熟练运用线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；（3）理解点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义； （4）明确点P 的位置及λ范围的关系。
3、德育目标（1）培养学生勇于探索、勤于思考的精神； （2）培养学生合作学习和数学交流的能力； （3）培养学生应用意识和创新精神； （4）培养学生辩证唯物主义思想。
三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、分组讨论把学生四～五人分成一组，进行合作学习、合作研究。
2、问题解决教学不断提出问题，不断解决问题。
3、计算机辅助教学借助多媒体教学手段使问题变得直观，易于突破难点，给人以美的享受。
高一数学下课时活动-5.5线段的定比分点.doc
教学内容
备课札记
一、复习 向量基本定理及向量的坐标公式
二、有向线段的定比分点
1、 的定比分点P和P分 所成的比λ的概念
练习P1153
2、有向线段的定比分点坐标公式及线段中点坐标公式
练习P1151、2（A（x，y）关于P（a，b）的对称点如何求）
三、公式的应用
例1、已知两点P1（3，2）、P2（-8，3），求P（ ）分 所成的比λ及y的值
课时设计活页纸
主备人：扬德玉
总 课 题
有向线段的定比分点
总课时
1
第 1 课时
课 题
有向线段的定比分点
课 型
新授
教学目标
1、理解有向线段的定比分点的概念
2、掌握有向线段的定比分点坐标公式及λ的计算公式
3、能利用公式解决有关问题
教学重点
有向线段的定比分点坐标公式的应用
教学难点
定比分点的位置与λ的符号之间的关系
班级
高一（）
姓名
学号
课题
有向线段定比分点
一、选择题：
1、设点 ( )
A.(2，3) B.(3，4) C.(4，5) D.(5，6)
2、 ( )
A.4 B. C. D.不能确定
3、△ABC中，
( )
A.(-4，2) B.(-4，-2) C.(4，-2) D.(4，2)
4、点 分 所成之比为( )
A.4或-2 B.-3或1 C.-4或2 D.3或-1
二、填空题：
5、设 ；
若 ，则P在线段 ；
P分 所成之比为， 所成的比为。(用λ表示)
6、点 的对称坐标依次为、、
、。
7、△ABC中，①如果 ；②若边 。
高中_5.5线段的定比分点
§5.5线段的定比分点 班级 学号 姓名一、课堂目标：⑴理解定比分点的概念，能根据线段长度求比值λ；⑵掌握定比分点坐标公式，中点坐标公式的推导及应用。
二、要点回忆：1．设直线l 上两点P P P ,,21是l 上不同于21,P P 的任意一点，假设存在一个实数λ，使 ，那么λ叫做点P 分21p p 所成的比。
2．当P 是线段21P P 的内分点时，=λ ；当P 是线段21P P 的外分点时，=λ 。
3．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，那么=x ，=y ， 当1=λ时，即点P 为线段21P P 的中点，那么=x ，=y 。
4．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，那么P 分21p p 所成的比=λ = 。
三、目标训练1．假设点P 在AB 的反向延长线上，且P 分AB 的比为λ，那么λ的取值范围是……………〔 〕A.()1,-∞-B.()+∞,0C.()0,1-D. ()0,∞-2.点P 分有向线段21p p 的比2-=λ,那么P 点的位置是……………………………………( )21p p 的延长线上 B. 在21p p 上C. 在12p p 2P 重合P 分AB 的比为31,那么点B 分AP 的比为……………………………………………( ) A.41 B. 43 C.34- D. 34 4.△ABC 的两个顶点为()7,3A 和()5,2-B ，假设AC 的中点在轴x 上，BC 的中点在y 轴上，那么顶点C 的坐标是………………………………………………………………………………()A.()7,2-B. ()2,7-C.()5,3--D. ()3,5--5．假设三点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,4,,5,0,2C a B A 共线，那么B 点分有向线段AC 的比=λ ，=a 。
6．点()()2,5,4,1B A --，线段AB 上的三等分点依次为21,P P⑴求21,P P 的坐标； ⑵求A ，B 分21P P 所成比21,λλ。
新人教版高一数学《线段的定比分点》市公开课教案
线段的定比分点教学目的：掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式； 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；理解点P 分有向线段21P P 所成比λ的含义；明确点P 的位置及λ范围的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2．向量加法的交换律：+=+3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =7．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b)=λa+λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λ9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量10．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(0=11．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=12．a ∥b(b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0二、讲解新课：1．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0(-1<λ<0)定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 设P 1=λ2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2)，由向量的坐标运算P 1=(x-x 1,y-y 1) ，2PP =( x 2-x, y 2-y) ∵P 1=λ2PP ∴ (x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x, y 2-y)∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x 定比分点坐标公式(1-≠λ) 点P 分12P P 所成的比与点P 分21P P 所成的比是两个不同的比，要注意点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分特别地，当λ＝１时，有P 1＝2PP ，即点P 是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（2,22121y y x x ++）②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的探究：若Ｐ１、Ｐ２是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使P P 1＝λ2PP ，λ叫做P 分有向线段21P P 所成的比而且，当点P 在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P 在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若λ＞０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２的内分点； (2)若λ＜０，则点P 为线段Ｐ１Ｐ２一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝λλ++121x x 和ｙ＝λλ++121y y 显然都无意义，也就是说，当λ由此可见，当点P 为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ，由于P 1＝－1＝－ａ，2PP ＝2OP －＝ｂ－且有21P P ＝λ2PP ，所以OP -a =λ(b -OP )即可得=a b a λλλλλ+++=++1111 三、讲解范例：例1已知A (1，3)，B (－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 上的点，满足BL ∶BC ＝CM ∶CA ＝NA ∶AB ＝１∶３，求L 、M 、N分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L 、M 、N 分向量、、另外，要求L 、M 、N 的坐标，即求、OM 、ON 的坐标(这里O 为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），∴＝（１，３），＝（－２，０），＝（２，１） 又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３ ∴可得：L 分CB ，M 分AC ，N 分BA 所成的比均为λ＝２ ∴＝λ+11＋λ+11＝31（２，１）＋32（-2，0）=（-32，31） OM =λ+11OA +λλ+1OC =31 (1,3)+ 32（２，１）＝（35，35）ON ＝λ+11＋λλ+1＝31（－２，０）＋32（１，３）＝（０，２）∴Ｌ（－32，31）、Ｍ（35，35）、Ｎ（０，２）为所求上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵例2已知三点A (0，8)，B (－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分的比为１∶３，E 点在BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求DE 中点的坐标分析：要求DE 中点的坐标，只要求得点D 、E 的坐标即可，又由于点E 在BC 上，△BDE 与△ABC 有公共顶点B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例解：由已知有＝31＝34又21=∆∆ABC BDE S S ，而Ｓ△ＢＤＥ＝21｜｜·｜｜·sin ∠DBE ，Ｓ△ＡＢＣ＝21｜AB ｜·｜BC ｜sin ∠ABC ，且∠DBE ＝∠ABC21=32= 又点E 在边BC2=，∴点E 分BC 成比λ＝２由定比分点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+-=221)3(20221524E E y x ,即Ｅ（２，－２）， 又由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+-⨯+=631181311)4(310D D y x ,有D （－１，６） 记线段DE 的中点为M (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==-+=2262212)1(2y x ,即M （21 四、课堂练习：1．已知点A (－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长AB 到P ，使｜｜＝３｜PB ｜，求点P 的坐标解：因为点P 在AB 上的延长线上，P 为AB 的外分点，所以，AP ＝λ，λ＜０，又根据｜｜＝３｜｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P 点的坐标为（７，３）．2．已知两点P １（３，２），Ｐ２（－８，３），求点P (21，ｙ)分21P P 所成的比λ及ｙ解：由线段的定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=λλλλ1321)8(321y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2249175y λ 五、小结六、课后作业：已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）点C 分的比是-31B 点C 分的比是-3点C 分的比是-32D 点A 分的比是2已知两点P １（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P （－37，ｙ）分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）－41，８ B4 C －41，－８ D 81△ABC 的两个顶点A (3，7)和B (-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ ）(2，-7) B ，2) C (-3，-5) D (-5，-3)已知点A (x ,2),B (5,1),C (-4,2x )在同一条直线上，那么x =△ABC 的顶点A (2，3)，B (-4，-2)和重心G (2，-1)，则C 点坐标为6已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝81Ｓ△ＡＢＣ，则M 分AB所成的比为已知点A (-1,-4)、B (5,2)，线段AB 上的三等分点依次为P １、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ．过P １（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A (-2,1)，一组对边AB 、CD的中点分别为M (3，0)、N (-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标参考答案： D 2C 3A 42或27 5(8,-4) 6 71P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-21259Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ 七、板书设计（略）八、课后记：。
高一数学教案下学期 5.5 线段的定比分点_0791文档
2020高一数学教案下学期 5.5 线段的定比分点_0791文档EDUCATION WORD高一数学教案下学期 5.5 线段的定比分点_0791文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。
其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】一．教学目标1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.二．教学重点线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．教学难点用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0．三．教学具准备投影仪，直尺．四．教学过程1．设置情境已知线段的两个端点、，为线段所在直线上任一点，由共线向量知识，必有．我们能否解决这样的问题，（1）已知及、，求P 点坐标；（2）已知、及，求值．本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题――线段的定比分点）2．探索研究（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．师：已知直线ll上两点、，在直线上取不同于、的任一点PP生：有三种情形，PPP师：请得很好，下面我们就P在直线上的三种情况给出定义：设、是直线l上的两点，点PlP你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）生：当PPP下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式师：设，，PP（按以下思路引导学生进行思考）师：设，你能用坐标表示等式吗？生：师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？生：师：对！这就是线段的定比分点PP（2）例题分析【例1】已知两点，，求点分所成的比及y的值．解：由线段的定比分点坐标公式得【例2】如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，D是边AB 的中点，GCDG解：∵D是AB的中点∴点D的坐标为∵∴由定比分点坐标公式可得G点坐标为：即点G的坐标为，也就是的重心的坐标公式．3．演练反馈（投影）（1）如图所示，点B分有向线段的比为，点C分有向线段的比为，点A分有向线段的比为．（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是，和y轴交点的坐标是．（3）如图所示，中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标．参考答案：（1）；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）4．总结提炼（1）定比分点的几种表达方式：……向量式……坐标式……公式形式（2）中点公式，重心公式要熟记．（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．五．板书设计。
-线段的定比分点全面版
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点 坐标公式。
想一想
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ），
且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐 标公式与①相同吗？
结果是：相同
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分
别为A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，
y3），D是边AB的中点，G是CD上一点，
且CG：GD＝2。求点G的坐标。
y
A
D
·G
B C
O
x
例3 已知A（1，3），B（－2，0）， C（2，1）为三角形的三个顶点，L、M 、N分别是BC、CA、AB上的点，满足 BL︰BC＝CM︰CA＝AN︰AB＝1︰3， 求L、M、N三点的坐标。 y
用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜0
5.5 线段的定比分点
1．点P位置与λ 范围关系 2．定比分点坐标公式
3．中点坐标公式
1．点P位置与λ 范围关系
（1）点P分有向线段P1P2所成的比
设P1、P2是直线l上的两点，点P是上l不同于
P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使P1P＝
λPP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
因x为：x2P2P1x11Px1P1,x所 2 ，同以理：y y1 y2
1 1
1
1
3．中点坐标公式
特别地，当λ＝1，即当点P是线段P1P2的中点时，
x
x1 2
x2
y
高一数学线段的定比分点.doc
线段的定比分点和中点坐标公式的应用.
●教学难点
用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０.
●教学方法
启发引导式
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：例1(记作§5.5.1 A)
第二张：例2(记作§5.5.1 B)
●教学过程
Ⅰ.课题引入
师：上一节，我们一起研究了平面向量的坐标表示问题，这一节，我们一起来研究线段的定比分点问题，并将学习定比分点坐标公式的具体应用.
∴ ，即得：
又点E在边BC上，所以 ，
∴点E分 成比λ＝２
由定比分点坐标公式有
即Ｅ（２，－２），又由
有D（－１，６）.
记线段DE的中点为M(x,y),则
即M（ ，２）为所求.
师：为巩固本节所学，下面我们进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ115练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式，并能熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决相关问题.
另外，要求L、M、N的坐标，即求 、 、 的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式.
下面给出第二种解法.
解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），
∴ ＝（１，３）， ＝（－２，０）， ＝（２，１）
又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３
∴可得：L分 ，M分 ，N分 所成的比均为λ＝２
●备课资料
1.概念辨析
我们知道，若Ｐ１、Ｐ２是直线l上的两点，点P是l上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使 ＝λ ，λ叫做P分有向线段 所成的比.
而且，我们还知道：当点P在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０.
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5.4 平面向量的坐标运算【基础知识精讲】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，对任一向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得=x+y,则实数对(x,y)叫做向量的直角坐标(简称坐标)，记作=(x,y)，其中x和y分别称为向量的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而=(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.显然=(1,0), =(0,1), =(0,0)2.平面向量的坐标运算：(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2)(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若=(x,y),则λ=(λx,λy)3.向量平行的坐标表示已知向量a、b(b≠0)，则a∥b的充要条件为存在实数λ，使a=λb.如果=(x1,y1), =(x2,y2)( ≠)则∥的充要条件为：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】1.向量的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.2.向量的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.3.实数λ与向量的积的运算时，λ应与的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设λ∈R，=(x,y)λ=λ(x,y)=(λx,y)或λa=λ(x,y)=(x,λy)例1若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=解：∵A(1,2),B(3,2)又∵=，∴它们的坐标一定相同.∴应填：-1例2 已知a =(3x+4y,-2x-y), b =(2x-3y+1,-3x+916y+3)，若2a =3b ,试求x 与y 的值. 分析：这里可以根据条件2=3建立关于x,y 的方程组，通过解方程组即可求得x 与y 的值. 解：∵=(3x+4y,-2x-y),=(2x-3y+1,-3x+916y+3) ∴由2a =3b 可得：(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+316y+9)说明：这里的题设条件2=3，其实它反应了向量，同向，并且2｜｜=3｜｜,即｜｜=23｜｜,所以，的坐标应成比例，即的横、纵坐标分别与的横纵坐标之比相等且都等于23.例3 已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y) 依题意，=或=或= 由=，可得：-=-即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y). ∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)例4 已知｜｜=10, =(3,-4),且∥,求. 解：设=(x,y)，则有或⎩⎨⎧=-=86y x∴a =(6,-8)或(-6，8)例5 已知a =(3,2), b =(-2,1), c =(7,-4),用a ，b 表示c . 解：设c =m a +n b ,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1) ∴ ⎩⎨⎧-=+-=-42723n m m m 解得：⎩⎨⎧-==21n m∴c =a -2b例6 如图，已知凸四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 与CD 的中点，试证：2EF =AD +BC 分析：本例是实数与向量积，但用向量的坐标运算进行论证，其思路明确，过程简单.证明：设A(x 1，y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) 于是=(x 4，y 4)-(x 1，y 1)=(x 4-x 1,y 4-y 1)BC =(x 3,y 3)-(x 2,y 2)=(x 3-x 2,y 3-y 2)又2²OE =OA +OB∴2²=(x 1,y 1)+(x 2,y 2)=(x 1+x 2,y 1+y 2) 2²=(x 3+x 4,y 3+y 4)2=2(-)=(x 3+x 4-x 1-x 2,y 3+y 4-y 1-y 2)=(x 3+x 4-x 1-x 2,y 3+y 4-y 1-y 2) ∴2=+【难题巧解点拔】例1 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若=+λ² (λ∈R),试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上?点P 在第三象限内?分析：由题设条件可用λ分别表示点P 的横、纵坐标，再根据点P 在一、三象限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等，点P 在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负，就能求出相应的λ值.解：设点P 的坐标为(x,y)则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)+λ²=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7) =(3,1)+(5λ,7λ) =(3+5λ,1+7λ)∵=+λ ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ) ∴⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ∴⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若点P 在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ ∴λ=21 (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+074055λλ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<741λλ ∴λ＜-1即只要λ＜-1时，点P 就在第三象限内.例2 如图已知OA =a ,OB =b , OC =c ,求证A 、B 、C 三点在一条直线上的充要条件是：有不全为0的实数m,n,l ，使得l a +m b +n c =0且l+m+n=0解：过A 、B 的直线方程是 =+t(-)1°必要性：若A 、B 、C 在同一直线上，则=+t(-)=(1-t) +t -=0则有t +m +l 且m+n+l=0 2°充分性：由l+m+n=0 l +m +m =⇒ m(-)=-l(-)即m BC =-l AC ⇒BC ∥AC 且有公共点⇒A 、B 、C 三点共线. 评析：证明充要条件一定要证两个方面，即充分性和必要性两个部分.例3 已知：a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β), a +b =(54,53) 求(1)(cos(α-β),sin(α-β)) (2)tan 2βα+解：(1)依题意，可得：①2+②2得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-21， 从而sin(α-β)=±23 ∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-21,±23) (2)由①得：2cos 2βα+²cos2βα-=54③ 由②得：2sin2βα+ ²cos2βα-=53④③④得：tan 2βα+=43【课本难题解答】课本第112页习题5.4第8题：设=λ即：(x,-6)=λ(2,3) ⇒ (x,-6)=(2λ,3λ) ∴ ⎩⎨⎧=-=λλ362x 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4第9题：AB =(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD =(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8)显然=-2【命题趋势分析】向量的坐标表示，实际是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，就可以使向量的运算完全代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密联系起来了.本节考查学生是否会求向量的坐标，能否正确利用向量的坐标表示进行向量的线性运算.利用向量共线的充要条件解证相关的问题，本节是高考的热点.【典型热点考题】例1 若向量a =(1,2), b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ，则x= . 解：u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)=2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由∥,一定存在λ∈R ，使=λ 则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)⎩⎨⎧=-=+λλ34)2(12x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2134x λ ∴应填21.例2 若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 . 解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1) ∴AB =(3,1), BC =(1,-4)∴AD =2³(3,1)-3³（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14) 设点D(x,y) 则AD =(x+1,y-2) 故⎩⎨⎧=-=+14231y x ∴ ⎩⎨⎧==162y x∴D 的坐标为(2，16)∴应填：(2，16)例3 若A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则+2，-21的坐标分别为 、 .分析：本题主要考查向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：AB =(-2,10), BC =(-8,4), AC =(-10,14)∴+2=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18)-21=(-8,4)- 21(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3) ∴应填：(-18，18)，(-3，3)证明：令=(x 1,y 1), =(x 2,y 2),有+=(x 1+x 2,y 1+y 2)a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)假设a +b ∥a -a则(x 1+x 2)(y 1-y 2)-(y 1+y 2)(x 1-x 2)=0 整理得x 2y 1-x 1y 2=0.因为≠, ≠所以∥) 这与已知矛盾，∴+不平行于-本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.若a ，b 是不共线的两个向量，且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1,λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是( ) A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=02.已知=(3,-1), =(-1,2)，则-3-2的坐标是( ) A.(7，1)B.(-7，-1)C.(-7，1)D.(7，-1)3.已知=(-1,3), =(x,-1)，且∥，则x 等于( ) A.3B.31C.-3D.-314.已知平行四边形ABCD 中，=(3,7), =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则的坐标是( ) A.(- 21，5) B.(-21， -5) C.(21)，-5) D.(21，5)5.若向量=(x-2,3)与向量=(1,y+2)相等，则：( )A.x=1,y=3B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-16.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( ) A.x 1y 2-x 2y 1=0 B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1) 7.设a =(23,sin α), b =(cos α,31)且a ∥b ，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75°8.已知向量=(6,1), =(x,y), =(-2,3),则=( ) A.(x+4,2-y) B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)A.1B.2C.31D.2110.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e )=,λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为=λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.已知=(1,2), =(2,1), =(3,-2),且=λ+μ，则实数λ= ,μ= .3.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .4.在△ABC 中，已知AB =a ,CA =c ，O 是△ABC 的重心，则OB +OC = .5.已知a 、b 是两非零向量，且｜a ｜=m,｜b ｜=n ，c =a +b ，当m ＜n 时，｜c ｜的最小值是 .三、解答题：1.已知=,B(1,0), =(-3,4), =(-1,1)，且=3-2，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD +BD +CD .【素质优化训练】一、判断题1.已知：a =(1,3), b =(-3,-6),则｜a -b ｜=｜a ｜+｜b ｜( )2.已知： =(1,0), =(0,1). =(3,4)，则=3-4( )3.已知：=(5，-4),则2.5=(12.5,-10)( )4.已知：=(3.14,π), =(314,100π),则∥( )5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，则｜｜+｜｜＞｜｜( )6.已知：=(x 1,y 1)，=(x 2,y 2)，若x 1y 2+x 2y 1=0则∥( )7.若a 与b 不平行，m 、n ∈R *,1c =m a +n b ,2c =m a -n b ，则1c 与2c 不平行( )8.若a =(x,y)，则-a =(y,x)( )9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)则AB =CD ( )二、1.已知点A(-1，2)，B(2，8)，及=31,=-31,求C 、D 的坐标.2.已知ABCD 的正方形，BE ∥AC ，AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长于F ，求证：AF=AE.3.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，的坐标.【生活实际运用】如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船航行的速度｜1V ｜=10km/h ，水流速度｜2V ｜=4km/h ，那么1V 与2V 的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B 处?船行驶多少时间(精确到0.1min)?解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使1V 与2V 的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如图所示).根据向量的平行四边形法则和解直角三角形的知识，可以算出 ｜V ｜=9.2km/h, θ=114°, t=3.3min.【知识探究学习】在很大的一湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为v=2.5km/h ，同时岸上有一人，从同一地点追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v 1=4km/h ，在水中游的速度为v 2=2km/h ，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少?解析：用向量合成法来求解这个问题.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上.所以本题讨论的问题不是同一直线上的追及问题，只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设人在岸上跑的时间t 1内到达A 点，然后人在水中沿AE 方向游水追船，如图所示，以船在B 点时为参照物，则人在水中船的速度3v 应为3v =2v -v ，要追上船，不管2v 方向如何，相对速度3v 方向不变，只要在α＞θ，人就能追上船，由2v ，-v , 3v 组成的向量三角形，其中3v ，v 的方向不变(图中∠ADE 恒定)，而2v 大小是恒定的，要DE 边最长(即v 的大小最大)，AE 必与AD 相互垂直.AF ∥DE ∥OB ，CE ∥AB ， ∵△AFC ∽△OAB ∴AC AF =OA OB =1v v, 又∵AF=v,∴AC=v 1.在Rt △AEC 中有sin ∠ACE=sin β=12v v =21,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，即△AED 为等腰直角三角形，因此有v max =2v 2=22km/h.∴当船速为2.5km/h 时，人可以追上小船.参考答案【同步达纲练习】一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A二、1.±222.λ=-37,μ=383.(-1，2)4. 31 (-)5.n-m三、1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 【素质优化训练】一、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.³ 9.√ 二、1.C(0，4)，D(-2，0) 2.先求E 的坐标(231+，231-) F 的坐标(-2-3，1)再证：｜AF ｜=｜AE ｜ 3. =(231-,231+), =2 (462+,462-)。